bab. i integral a. pendahuluan. filebab. i integral a. pendahuluan. 1. pengertian integral. integral...
TRANSCRIPT
BAB. I INTEGRAL
A. Pendahuluan.
1. Pengertian integral.
Integral adalah lawan (kebalikan) dari diferensial. Dapat diumpamakan
bahwa operasi diferensial itu, diketahui orang tuanya, disuruh mencari
anaknya, sedangkan operasi integral, diketahui anaknya, disuruh mencari
orang tuanya.Amatilah :
No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x)No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x)
(Orang tuanya) (Anaknya)
1. 2x 2
2. x2 2x
3. x3 3x2
4. 3x2+5x-7 6x+5
5. x3+x2-4x+3 3x2+2x-4
6. cos x - sin x
7. 2 sin x – 3 cos x 2 cos x + 3 sin x
8. (3x +2)4 + (3x+2)3 12(3x+2)3+9(3x+2)2.
Dalam diferensial, jika F(x) = x n maka F’(x) = n x n -1. F’(x) = f (x) adalah
fungsi turunan dari fungsi F(x). Jika F(x) = x2 maka F’(x) = f (x) = 2x dan jika
F(x) = x3 maka F’(x) = f (x) = 3x2. Untuk menentukan fungsi semula, yaitu
fungsi yang didiferensialkan ( yang diturunkan ),bila diketahui fungsi turunannya
maka menggunakan operasi lawan dari operasi diferensial, yang disebut hitung
integral.Contoh :
1. Jika F(x) = ½ x2 maka F ‘(x) = f (x) = x
2. Jika F(x) = ½ x2 +3 maka F ‘(x) = f (x) = x
3. Jika F(x) = ½ x2 - 7 maka F ‘(x) = f (x) = x
4. Jika F(x) = ½ x2 + 35 maka F ‘(x) = f (x) = x...
Jika F(x) = ½ x2 + c maka F ‘(x) = f (x) = x
Sebaliknya :
Jika F ‘(x) = f (x) = x maka F(x) = ½ x2 + c
Fungsi F(x) = ½ x2 + c merupakan anti turunan dari fungsi F ‘(x) = f (x) = x.
Fungsi F(x) diperoleh dengan mengintegralkan fungsi F ‘(x) = f (x) = x, ditulis
dengan notasi :
∫ ∫ ∫ +==== cxxdxdxxfdxxFxF2
21)()(')(
∫ ∫ +=== cxdxxdxxFxF3
3
12)(')(
Untuk F(x) = 1/3 x3 + c yang turunannya adalah F ‘(x) = x2
2. Integral tak tentu
1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan
∫ ∫ +=== cxxdxdxxfxF2
2)()(
1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan
(fungsi anti turunannya) adalah F(x) = x2, F(x) = x2 + 1, F(x) = x2 - 2, F(x) = x2 + 5
…, secara umum adalah F(x) = x2 + c, ini berarti :
yang disebut hasil dari integral tak tentu
2. Rumus untuk integral tak tentu dari f (x) = x n dengan 1−≠n
Dari rumus diferensial :
Jika F(x) = x n maka F ‘(x) = n x n – 1, dapat dikembangkan :
Jika F(x) = x n + 1 maka F ‘(x) = (n+1) x n
nnnxxn
nxmakaFx
nxJikaF =+
+=
+=
−++ 1)1(1)1(
1
1)('
1
1)(
∫ ∫ −≠++
===+
11
1)(')(
1cuntuknx
ndxxdxxFxF
nn
∫ += cxFdxxf )()(
Sebaliknya :
Jika F ‘(x) = x n maka
Secara umum, jika F(x) suatu fungsi anti turunan dari f (x), maka :
Yang merupakan himpunan semua fungsi anti turunan dari fungsi f (x).
Contoh :Contoh :
1. Integralkan : a. x 3 b. 1/x2
Penyelesaian :
∫ +=++
=→+
cxcxdxxx41333
4
1
13
1
∫ ∫ +−=+−
=++−
==→−+−−
cx
cxcxdxxdxxx
1
1
1
12
111 1122
22
2. cxxcxcxdxxdxx +=+=++
==+
∫∫3 2
3
5
1
32
3 2
5
31
1
12
5
3
2
3
2
3. ∫ ∫ ++−=+−=− cxxxdxxxdxx 963
4)9124()32(
2322
4. Jika F ‘(x) = 6x+5 dan F(-2) = 9 maka tentukan F(x) !
Penyelesaian :
F(x) = 3x2 + 5x + c
F(-2) = 3.(-2)2 + 5.-2 + c
9 = 12 – 10 + c
c = 7
F(x) = 3x2 + 5x + 7
∫ ∫ +== dxxdxxFxF )56()(')(
F(x) = 3x2 + 5x + 7
Latihan 1.
Integralkan !
1. a. x b. x 2 c. x 5 d. x 8 e. x p
2. a. 4x b. 6x2 c. 5x4 d. – 8x3 e. 3
3. a. x -3 b. 4x -2 c. 1/x 4 d. – 6 / x 5 e. - 2 / x -6
4. a. x 2/5 b. x 4/3 c. x – ½ d. x V x e. 4 / Vx
3. Beberapa penggunaan integral tak tentu
Contoh :
a. Suatu kurva dengan persamaan y = f (x). Pada setiap titik (x,y) dari kurva itu,
gradien garis singgungnya adalah 2x. Kurva itu melalui titik (1,-2). Tentukan
persamaan kurva itu !
xxfydx
dy2)('' ===
Penyelesaian :
Dengan menggunakan notasi diferensial untuk gradien suatu kurva pada
setiap titik,
dx
∫ ∫=== xdxdxxfxfy 2)(')(
y = x 2 + c
Kurva itu melalui titik (1,-2) � -2 = 12 + c
c = -3
Persamaan kurva itu adalah y = x2 - 3
b. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m / detik. Pada saat
t detik, kecepatan dinyatakan oleh persamaan v = 3 – 4t. Pada saat
t = 2 detik, benda telah menempuh jarak 10 meter. Tentukan persa-
maan gerak benda itu !
Penyelesaian :
Dengan menggunakan notasi diferensial pada mata pelajaran fisika, jarak yang
ditempuh oleh benda dinyatakan s = f (t)
ttfsdt
dsv 43)('' −====
dt
∫ ∫ ∫ −=== dttvdtdttfs )43()('
s = 3t – 2t2 + c
s = 10 untuk t = 2 � 10 = 3.2 – 2.22 + c
10 = 6 – 8 + c
c = 12
Jadi persamaan gerak benda itu, s = - 2t2 + 3t + 12
4. Integral fungsi trigonometri
cxxdxdxyy +===→ ∫∫ sincos'
∫∫ +=−−=−==→ cxxdxxdxdxyy coscos.sin'
caxaxdx +=→ ∫ sin1
cos
Dari diferensial : Jika y = sin x maka y ‘ = cos x
Dari diferensial : Jika y = cos x maka y ‘ = - sin x
Untuk f(x) = sin ax � f ‘(x) = a . cos axf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = 1/a . a cos axf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = cos ax
∫ +−=→ cxxdx cossin
caxa
axdx +=→ ∫ sin1
cosf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = cos ax
caxa
axdx +−=∫ cos1
sin
Contoh : cxxdx +=∫ 2sin2
12cos.1
cxxdx +−=∫ 4cos4
14sin.2
cxcxdxx +−=+−−−=−∫ )3cos(3
13cos(
3
1.)3sin(.3 πππ
cxxdxdxx +==−∫ ∫ 2sin2
12cos)1cos2(.4
2
∫ ∫ += dxxxxdxx )sin5(sin2cos3sin2.5
cxx +−−= cos5cos5
1
∫ ∫ −= dxxxxdxx )4cos2(cos2
1sin3sin.6
cxx +−= 4sin8
12sin
4
1
B. Luas daerah1. Pengantar.
Untuk daerah yang berbentuk tertentu dan baku seperti persegi,
persegi-panjang, segitiga, trapesium dan lingkaran, cara menghitung luas
daerahnya dengan menggunakan rumus-rumus geometri.
s
Bentuk persegi,
L = s2
p
l
b
a
t
r
Bentuk persegi-panjang,
L = p . l
Bentuk trapesium,
L = ½ (a + b) . t
Bentuk lingkaran,
L = 2rπ
2. Dengan menggunakan persegi satuan.
Untuk daerah yang bentuknya tidak baku, bukan bentuk seperti bahasan 3.1,
cara menghitung luasnya dengan menggunakan persegi-persegi satuan
A
L
Gb. 2( i ) ( ii )
Pada Gb. 2 (i) kurva tertutup A membatasi daerah yang luasnya dinyatakan L.
Mencari luas daerah itu, dengan mengcopy, ditaruh di kertas petak dengan per-
segi satuan, seperti pada Gb. 2 (ii). Dengan menghitung, ada 46 buah persegi
satuan yang utuh dan 19 persegi satuan tidak utuh, yang menutupi daerah itu.
Berarti luas daerah itu antara 46 persegi satuan dan 65 persegi satuan.
46 < L < 65
Perhitungan itu akan lebih teliti bila menggunakan kertas petak persegi yang
ukurannya lebih kecil
3. Dengan aturan trapesium.
Untuk menghitung luas daerah seperti pada Gb. 3, alasnya dibagi
menjadi sejumlah bagian yang sama (misalnya 5), yang masing-masing
lebarnya h satuan
Kemudian digambar garis-garis vertikal
yang panjangnya y1, y2,y3,. . . ,y6, sehing-
ga luas daerah itu terbagi menjadi 5 pias.
masing-masing pias luasnya mendekati
luas trapesium. Luas seluruh daerah di –
bawah kurva adalah :y
y5
y6
bawah kurva adalah :
L= 1/2 h(y1+y2)+1/2 h(y2+y3)+ . . +1/2 h(y5+y6)
L= 1/2 h[(y1+y6)+2 (y2+y3+y4+y5)]
L= h [1/2(y1+y6)+ (y2+y3+y4+y5)]
y1y2
y3
y4
y5
h h h h h
Contoh :
3
7
4
4
2
4
4
102
80
A B
C
P
Luas daerah ABCP
adalah …..
● ● ● ● ● ●
4. Dengan notasi integral.
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), sumbu X, garis x = a dan x = b cara
menghitung luasnya adalah :
y = f (x)
L f (xi)f (xi)
Y
−∆− ix
ox = a x = b
x2x3 xn
x1 xi
xi
X
Interval [ a , b ] dibagi menjadi n interval dengan lebar masing-masing
nxxxx ∆∆∆∆ ..,, ,3,21 dengan x1,x2,x3,..,xn adalah koordinat x dari n titik
Pada sumbu X, yang masing-masing terletak dalam interval itu, sehingga
umumnya titik xi terletak dalam interval yang panjangnyaix∆
Kemudian dibuat n persegi-panjang seperti gambar tadi. Pada gambar disebe-
lah kanan digambar persegi panjang yang ke_i dengan skala besar. Tinggi per-
segi-panjang adalah f (xi) dengan nilai f pada x = xi, dan lebarnya ix∆
11).( xxf ∆
22 ).( xxf ∆
Dengan demikian :
Luas persegi-panjang pertama =
Luas persegi-panjang kedua =
Luas persegi-panjang ketiga =
…………………………………….
Luas persegi-panjang terakhir =
33).( xxf ∆
nn xxf ∆).(
Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑
Ditulis dengan notasi : ∑=
∆≈n
i
ii xxfL1
).(
Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi interval [ a , b ],
Relasi itu ditulis dengan notasi : ∑=
=
∆≈bx
ax
xxfL ).(
Untuk fungsi yang dapat didiferensialkan, dapat ditunjukkan bahwa : ∑=
=
∆bx
ax
xxf ).(
dapat dibuat sedekat mungkin dengan L, dengan jalan membuat n cukup besar,
Ini ekuivalen dengan membuat x∆ cukup kecil, sehingga dapat didefinisikan :
∑=
=→∆
∆=bx
axx
xxfL ).(lim0
∫=
b
a
dxxfL )(
∫=
3
1
xdxL
Sebagai penyederhanaan, bentuk limit tersebut dapat ditulis dengan notasi :
Dibaca : Luas L sama dengan integral f (x) dari a ke b
Contoh :
1.
L
Luas daerah yang diarsir dinyatakan :
1 3
y = x
L
3
2.
o 2
L
y = x3
∫=
2
0
3dxxL
3.y = sin x
π31
π
L
∫=
π
π3
1
sin xdxL
4. ∫3
1
2dxx digambar :
1 3
y = x2
L
∫−
++−
3
1
2)32( dxxx
•
5.y = -x2 +2x+3
-1 3
3 •
•
L
satuanluasa
DDL
32
2210
6
64
)1(6
1616
6==
−==
C. Integral tertentu.
1. Pengertian integral tertentu
Dari notasi integral yang menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f (x)
di atas sumbu X, sebelah kiri dibatasi garis x = a, sebelah kanan oleh garis x=b
seperti dalam bahasan A.4 adalah :∫=
b
a
dxxfL )(
Penyelesaian integral itu adalah : )()()]([)( aFbFxFdxxfb
a
b
a
−==∫
Dengan F(x) merupakan anti-turunan dari f (x) yang daerah asalnya bxa ≤≤
Penyelesaian ini disebut nilai integral tertentu
Contoh :
a. [ ] 10212)11()33()12(223
1
2
3
1
=−=+−+=+=+∫ xxdxx
b. [ ] 429221
11 9
4
9
4
1
21
9
4
2
9
4
21
−==
+−==
+−−
∫∫ xxdxxdxx
=2.3 – 2.2 = 6 – 4 = 2
c. [ ]5 2
23
5
2
2
5
2
2463)4129()23( −
−−
+−=+−=− ∫∫ xxxdxxxdxx
= (3.53 - 6.52 + 4.5) – [3.(-2)3 – 6.(-2)2 + 4.(-2)] = (375 – 150 + 20) –(-24 – 24 – 8)
= 245 + 56 = 301
2. Sifat-sifat integral tertentu
Perhatikan perhitungan integral tertentu berikut ini :
[ ] [ ] 1578)916()19()34()13(2222224
3
23
1
2
4
3
3
1
=+=−+−=−+−=+=+∫∫ xxxdxxdxa. … (I)
[ ] 15116142224
1
2
4
1
=−=−==∫ xxdx --- (ii)
Dari (I) dan (II) ternyata : ∫∫∫ =+
4
1
4
3
3
1
222 xdxxdxxdx
Sifat i ) ∫∫∫ =+
c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfxf )()()(
Coba beri contoh lain !
b. Hitunglah ! dxx∫2
23
[ ]2
∫1
Amatilah ! [ ] 7.3).(3)1.2..(3.333
7
3
1
3
83
3
13
3
12
1
3
3
1
2
1
2==−=−==∫ xdxx
Sifat ii ). ∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
Buatlah contoh lainnya
c. [ ]31
23
3
1
2
3
1
253)563()]52()43[( −
−−
−+=−+=−++ ∫∫ xxxdxxxdxxxx =(27+27-15) – (-1+3+5) = 46
Selesaikan ! ∫∫−−
−++
3
1
3
1
2)52()43( dxxdxxx
Sifat iii ) ∫∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
d. Apakah ? ∫∫ −−=−
2
5
2
5
2
2)12()12( dxxdxx
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
=∫3
1
34 dtt
Coba yang lain ! Sifat iv )
e. =∫3
1
34 dss =∫
3
1
34 duu=∫
3
1
34 dxx
=3
4x =
3.... =
3.... =
3....=
3
1
4x =
3
1.... =
3
1.... =
3
1....
Lanjutkan !
Sifat v ). ...)()()()( ==== ∫∫∫∫b
a
b
a
b
a
b
a
duufdssfdttfdxxf
……. …….. ……… ………
D. Isi benda putar
1. Macam-macam benda putar.
a. tabung
b. kendang
c. buah pepaya
d. bola
e. tempolong
f. cangkir, dsb.
2. Rumus volum benda putar.
∆
o a b
L
Daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f (x)
sumbu X, garis x = a dan garis x = b dipu-
tar 3600 mengelilingi sumbu X
X
Y
xi
f(xi)
Persegi-panjang yang ke - i direbahkan, di-
perbesar seperti gb. bawah, diputar menge-
lilingi sb. X, menjadi tabung, dengan tinggi
Xi , dan jari-jari f (xi), sehinggga isinya :
xxfV ∆= .)]([2
π
y = f (x)
ii xxfV ∆= .)]([2π
o a bXxi
xi
f(xi)
∆
ii xxfV ∆= .)]([2
π
Volum benda putar yang terjadi seluruhnya
adalah :
∑=
=→∆
∆=bx
axx
xxfV .)]([2
0lim π
∫∫ ==
b
a
b
a
dxydxxfV22
)]([ ππ
.●
Bagaimana untuk pemutaran terhadap sumbu Y ?
Contoh :
1.
πππππ 9)09()0.3.(3
313
31
3
0
3
31
3
0
2=−=−=== ∫ xdxxV
30
y = x
Periksalah dengan rumus isi kerucut !
∫=
4
0
ydyV π
4
0
2
2
1 yπ=
30 isi kerucut !
2. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2,
sumbu Y dan garis y = 4 diputar 360o
mengelilingi sumbu Y.
4
= 8 π
E. Integral lanjutan
∫ ∫
1. Integral dengan substitusi
Ciri-ciri dari integral dengan substitusi.
adalah suatu permasalahan integral yang bentuknya sebagian merupakan
turunan pertama dari bagian lain
Bentuk umum : f(x){F(x)}n dx atau {f(x)}n.f ‘(x) dx
Contoh : du
dxxxx∫ ++42
)3)(32(
Contoh :
1. Dapat dilihat bahwa (2x+3) merupakan turunan pertama
dari (x2 + 3x)
Dengan perumpamaan : u = (x2 + 3x) ���� u’ = du/dx = 2x - 3
du = (2x+3) dx
Soal berubah menjadi : cxxcuduu ++=+=∫52
515
514
)3(
du
u
2. ∫ = ?cos.sin2
xdxx
cxctdtt +=+=→ ∫3
3
13
3
12sin
∫ =−
?1
6
3
2
x
dxx
andaikan t = sin x dengan dt = cos x dx
misalkan p = x3 – 1 � dp = 3x2 dx
2 dp = 6x2 dx
cxcpcpdppp
dp+−=+=+
+−==→
+−−
∫ ∫ 1441
1.22
2 31
2
1
2
1
2
1
2
1
∫ =−− ?)43()32( 3 22dxxxx
Untuk 3x2 – 4x = U � dU = (6x – 4) dx
- ½ dU = (2 – 3x) dx
cxxxxcUCUdUUdUU +−−−=+−=++
−=−=−→+
∫∫ 3 2221
32
3 2)34()34(
10
3
5
3.
2
1
1
1.
2
1
2
1
2
13
5
3
2
3
2
2. Integral parsial
∫ udv
dx
dvuv
dx
du
dx
dy.. +=
Bentuknya : Dengan u = f(x) dan v = f(x)
Dari turunan : y = u . v
� y ‘ = u ‘. v + u . v ‘
dx
dy = v . du + u . dv
Contoh :
∫ = ?cos..1 xdxx � u = x, dv = cos x dx
∫ ∫== xdxdvdxdu cos,
v = sin x
∫ ∫∫ −=−= xdxxxduvvudvu sinsin....dy = v . du + u . dv
dy – v . du = u . dv
u . dv = dy – v . du
∫ ∫ ∫−=→ duvdydvu ..
∫ ∫−= duvydvu ..
∫ ∫−= duvvudvu ...
∫ ∫∫ −=−= xdxxxduvvudvu sinsin....
= x.sin x – (- cos x) + c
∫ ++=→ cxxxxdxx cossin.cos.
Cara lain :
∫ = ?cos..1 xdxx
1 sin x
0 - cos x
(-)
= x sin x+cos x + c
kiri kanan
turunkan integralkan
∫ =− ?1.2 dxxx
∫ ∫ −== dxxdvdxdu 21
)1(,
23
)1(3
2−= xv
u = x , dv = (x – 1)1/2
∫ ∫ ∫−==− vduvudvudxxx ..1
dxxxx 23
23
)1(3
2)1(
3
2. −−−= ∫
cxxxx +−+
−−−=+1
23
23
21
)1(1
1.
3
2)1)(1.(
3
2
cxxxx +−−−−=51
)1(4
)1)(1.(2
∫ =− ?)53sin(..32 dxxx
2x -1/3 cos(3x-5)
2 -1/9 sin(3x-5)
0 1/27 cos(3x-5)
(-1)
cxxxxx +−+−+−−= )53cos(.27
2)53sin(.
9
2)53cos(.
3
1 2
cxxxx +−+−−−= )53sin(.9
2)53cos().
9
2(
3
1 2
cxxxx +−−−−= 35
21
)1(15
4)1)(1.(
3
2
cxxxxx +−−−−−= 21
21
)1()1(15
4)1)(
3
2
3
2(
22
cxxxxx +−+−−−= 21
)1)}.(15
4
15
8
15
4()
3
2
3
2{(
22
cxxx +−−+= 1)15
4
15
4
5
2(
2
993
?)12(
64
3 2=
−∫
x
xdxdxxdvxu 3
2
)12(,6−
−==
31
32
)12(2
3)12(
1
1.
2
1,6
1
32
−=−+−
==+−
xxvdvdu
dxxxx .6.)12(3
2)12(
3
2.6 3
131
−−−= ∫
cxxxx +−−−−= 31
31
)12).(12.(5
6)12.(4
cxxx +−+−= 31
)12).(5
6
5
124(
cxx +−+= 3 12).68(5
1
Latihan : (unjian nasional 2006)
....sincos
26
6
lim3
=−
−
→x
x
x
π
π
π33.32.3.3
3
1.3
2
1. −− edcba1. Nilai dari
2. Salah satu garis singgung kurva y = x2 + 10x + 25 di titik yang berordinat 4,
memotong sumbu Y di titik …. A. (0,7) b. (0,16) c. (0,- 8) d. (0,- 11) e. (0, - 12)
3. Sebuah tempat terbuat dari seng berbentuk silinder tanpa tutup, dengan volume
27 cm3. Supaya luas seng yang diperlukan minimum, maka jari-jari silinder . . . .
3.
3. cma ππ
.3
.2
cmb ππ
.3
. 3
2cmc π
π.
3.
3 2cmd π
π.
3.
3 2
2cme π
π
....)('028(sin)(.42
=−= xadalahfxxftamafungsiTurunanper π
)28sin(2. π−xa )28sin(8. π−xb )416sin(2. π−xc )416sin(8. π−xd )416sin(16. π−xe
satuanluasadalahx ....50 ≤≤
5. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2- 2x pada interval
a. 30 b. 26 c. 64/3 d. 50/3 e. 14/3
∫ =+−−−
....)16)(3(.632 dxxxxHasildari
Cxxa ++−−−42
)16(8
1.
Cxxb ++−−−42
)16(4
1.
Cxxc ++−−−42
)16(2
1.
Cxxd ++−−− 22
)16(4
1.
Cxxe ++−−− 22
)16(2
1.
∫ +− xdxxxHasildari sin)13(.72
∫ +− xdxxxHasildari sin)13(.72
cxxxxxa +−+++− sin)32(cos)13.(2
cxxxxxb +−+−+− sin)32(cos)13.(2
cxxxxxc +−++− cos)32(sin)13.(2
cxxxxxd +−++− sin)32(cos)13.(2
cxxxxxe +−++− sin)32(cos)33.(2
Ulangan Harian
∫ ++= xxxxdxuntukfxfTentukan 4712)()(.135
∫+= !)(2sin43)(.22 dxxfkanxmakatentuxxJikaf
∫ ++
7
3
23)524(.3 dxxxHitung
4. Hitung luas daerah di antara kurva y = x2 – 2x dan y = - x2
5. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
kurva y = - x2 – 2x dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X !