ripaimat.files.wordpress.com · web view2.1 rasionalisasi dalam penyelesaian masalah matematika...

53

Pengantar Analisis dan Komputasi Metode Numerik

2.1 RasionalisasiDalam penyelesaian masalah matematika yang terkait dengan integral, diferensial dan lainnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x + 6 secara anlitik umumnya dengan mudah dapat kita selesaikan. Akan tetapi dalam upaya menyelesaikan

secara analitik menjadi bukan pekerjaan yang gampang. Butuh

pengetahuan yang luas dengan penguasaan analisis yang tinggi. Sementara

fungsi sangat banyak digunakan dalam kehidupan karena fungsi

tersebut merupakan model dari gelombang suara yang dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari.

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

sin(x)/x

Gambar 2.1 Grafik fungsi f(x) = sin (x)/x

Mengubah bentuk fungsi menjadi fungsi polynomial lainnya

yang bersesuaian dalam domain tertentu menjadi alternatif solusi yang cepat dalam penyelesaian integrasi tersebut. Suatu hampiran yang digunakan untuk mendapatkan model yang berbeda dari suatu model matematika atau fakta alam yang ada disebut dengan Aproksimasi. Suatu hampiran yang baik dari

adalah .

Hal ini dapat ditunjukkan dalam domain [-3.5 3.5] bahwa kurva fungsi tersebut berimpit., sehingga kepentingan analisis pada domain [-3.5 3.5] pada fungsi

Ripai, S.Pd., M.Si

BAB 1. INTERPOLASI

54


dapat dilakukan dengan menyelesaikannya pada domain [-3.5

3.5] dari fungsi .

-6 -4 -2 0 2 4 6

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

x8/362880 - x6/5040 + x4/120 - x2/6 + 1

X: -3.339Y: -0.05485

f(x)=sin(x)f(x)=P(x)

Gambar 2.2 Aproksimasi fungsi f(x)=sin(x)/x dengan fungsi polynomial

Lebih lanjut, dalam upaya mendapatkan mendapatkan nilai f(75) dari f(x) = x2+2x+2 dengan sangat mudah kita lakukan, yakni f(75) = 752 + 2(75) + 2 = 5777. Akan tetapi menjadi sulit jika akan dicari nilai f(75) dari sekumpulan data pemetaan seperti:

x 50 100 150 200 250 300f(x) 45 60 78 73 57 41

dimana x adalah jarak pengukuran pada permukaan sungai dan f(x) adalah kedalaman sungai. Hal ini disebabkan karena fungsi analitik dari f(x) tidak diketahui. Sementara nilai f(75) diperlukan unutk mengetahui kedalaman sungai pada jarak 75 cm dari pinggir sungai. Upaya matematis yang bertujuan unutk mendapatkan nilai dianatara data yang diketahui sebagaimana ilustrasi di atas disebut dengan interpolasi. Dengan teknik interpolasi yang sebentar ajan di bahas, diperoleh persamaan pendekatan analitik yang dapat digunakan pada f(x) tersebut adalah f(x) = 135.9999999998 - 4107666666667 x + 0.062416666667x2-0.000382333333x3 +0.000001033333x4 -0.00000000104x5

.

Ripai, S.Pd., M.Si

55


Dapat diperiksa bahwa pemetaan x ke f(x) dapat dirumuskan dengan fungsi tersebut di atas sehingga dapat dengan mudah dihitung nilai dari f(75).

2.2 Aproksimasi2.2.1 Metode Deret MaclaurinPersamaan umum fungsi polynomial f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + ... + anxn

Turunan fungsi polynomial tersebut hingga turunan ke-n adalah sebagai berikut:f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + ... + anxn

f'(x) = (1)a1+ 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ... + nanxn-1

f"(x) = (1)(2)a2+ (2)(3)a3x+ (3)(4)a4x2 + ... + (n-1)(n)anxn-2

f'"(x) = (1)(2)(3)a3+ (2)(3)(4)a4x+ ... + (n-2)(n-1)(n)anxn-3

fiv(x) = (1)(2)(3)(4)a4 + ….+ (n-3)(n-2)(n-1)(n)anxn-4

f(n)(x) =(1) (2)(3) ... (n-2)(n-1)(n)an = n!an

untuk x = 0 →f(0) = a0 → a0 = f(0)f'(0) = a1 → a1 = f'(0)

f"(0) = 2a2 = 2!a2 → a2 =

f"'(0) = (2)(3)a3 = 3!a3 → a3 =

fiV(0) = 4!a4 a4= fiv(0)/4!

f(n) (0) = (2)(3)...(n-2)(n-1(n)an = n!an → an =

Selanjutnya deret tersebut didefinisikan sebagai deret Maclaurin.Tafsiran geometri deret maclaurin tersebut adalah suatu hampiran nilai f(x) berdasarkan nilai f(0).

Ripai, S.Pd., M.Si

56


Gambar 2.3 Tafsiran Geometris Deret Maclaurin

Teladan 2.1Diketahui: f(x)= sin xTuliskan f(x)dalam bentuk fungsi polinomial!Solusi:f(x) = sin x → f(0) = 0f'(x) = cos x → f'(0) = 1f''(x) = -sin x → f''(0) = 0f'"(x) = -cos x → f'"(0) = -1f'"'(x) = sin x → f'"'(0) = 0f'"''(x) = cos x → f'"''(0) = 1sehingga diperoleh

f(x) = f(0)+f'(0)x+

= 0 +(1)x +(0)x2 + + ...

=x -

Jadi, bentuk pebdekatan polinomial dari f(x)=sin x adalah

f(x) =x -

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

x-1/6 x3+1/120 x5-1/5040 x7+1/362880 x9

f(x)=sin(x)

Gambar 2.4 Aproksimasi Deret Macalurin hingga derajat ke-10

2.1.2 Metode Deret TaylorBerdasarkan definisi deret Maclaurin, jika x0 = 0 digeser sejauh a ke kanan, maka

Ripai, S.Pd., M.Si

57


diperoleh jarak antara x dengan a adalah x-a, sehingga diperoleh bentuk persamaan baru dengan mengikuti pola persamaan deret Maclaurin tersebut adalah

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+

Tafsiran geometris dari deret Taylor tersebut adalah

Gambar 2.5 Tafsiran geometris Deret TaylorTeladan 2.2Diketahui : f(x) = sin xTentukan fungsi polinomial dari f(x) dengan mengikuti nilai awal x0 = 10Solusi:f(x) = sin x → f(10) = sin(10) = -0.5440f'(x) = cos x → f'(10) = cos(10) = -0.8391f''(x) = -sin x → f''(10) = -sin(10) = 0.5440f'"(x) = -cos x → f'"(10) = -cos(10) = 0.8391f'"'(x) = sin x → f'"'(10) = sin(10) = -0.5440f'"''(x) = cos x → f'"''(10) = cos (10) = -0.8391

Untuk a = 10, maka diperoleh

Komputer program yang dapat digunakan unutk mengevaluasi deret taylor ini dan sketsa grafiknya adalahsyms xf=sin(x);

Ripai, S.Pd., M.Si

58


t=taylor(f,12,10);d=[2:0.1:16];ezplot(t,d)hold onplot(d,subs(f,d),'r')legend('Aproksimasi','f(x)=sin x')grid on

2 4 6 8 10 12 14 16

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

sin(10) -...- (cos(10) (x - 10)11)/39916800

Aproksimasif(x)=sin x

Gambar 2.6 Aproksimasi deret Taylor hingga derajat ke-12 dengan x0 = 10.

Aproksimasi fungsi dari f(x) = sin x dengan fungsi polynomial berderajat 11 (sebelas ) adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

59


2.3 Interpolasi

Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Dalam kehidupan sehari- hari ,interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi dimana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data

2.3.1 Interpolasi PolinomialInterpolasi polynomial merupakan suatu metode untuk mendapatkan nilai suatu titik data yang terletak diantara data-data yang diketahui mengunakan persamaan polynomial. Tinjauan kembali persamaan umum polinimial sebagai berikut:f(x) = a0 + a1x+ a2x2 dengan n bilangan Asli

Apabila polynomial tersebut diambil hingga derajat n=1,maka akan diperoleh persamaan f(x) = a0 + a1x. Interpolasi menggunakan persamaan ini disebut sebagai interpolasi linier. Sedangkan jika polynomial yang diambil hingga derajat n=2, maka diperoleh persamaan f(x) = a0 + a1x + a2x2 yang selanjutnya disebut interpolasi kuadrat. Lebih lanjut untuk interpolasi hingga mengambil derajat polynomial n = 3 disebut sebagai interpolasi kubik dengan persamaan umum f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3. Untuk n ≥ 4 maka interpolasi polynomial tersebut umumnya disebut sebagai interpolasi polynomial berderajat n. Pemilihan jenis interpolasi polynomial tersebut didasari atas banyaknya data dan pola data yang diketahui.

2.3.1.1 Interpolasi LinierSebagaimana dalam pembahasan sebelumnya, bahwa interpolasi linier merupakan interpolasi yang mengunakan persamaan polynomial berderajat n=1 dengan persamaan linier, f(x) = a0 + a1x. Misalkan dimiliki dua buah titik (x1, f(x1)) dan (x2, f(x2)), maka persamaan linier yang melalui kedua titik tersebut adalah:f(x1) = ao + a1x1

f(x2) = a0 + a1x2

____________ -

f(x2) – f(x1) = a1(x2 – x1)

f(x1) = ao + a1x1 a0 = f(x1) – a1x1 = f(x1) - x1

Ripai, S.Pd., M.Si

60


f(x) = a0 + a1x = f(x1) - x1 + x

f(x) = (x-x1)+f(x1)

Persamaan terakhir disebut sebagai persamaan untuk interpolasi linier yang digunakan untuk mendpatkan nilai f(x) berdasarkan data (x1,f(x1)) dan (x2, f(x2)).Teladan 2.3Dua buah warung makan sama-sama menjual nasi bungkus dengan harga yang sama, pada hari penjualan yang sama, warung A mendapat untung Rp. 130.000 perhari dengan modal awal Rp. 500.000 dan warung B mendapat untung sebesar Rp. 50.000 dengan modal Rp. 300.000. karena melihat warung A dan B memperoleh keuntungan yang cukup menjanjikan, pak Ahmad berkeinginan untuk menjual nasi bungkus seperti yang dijual oleh kedua warung tersebut. Dengan melihat perbandingan hasil atau keuntungan yang didapatkan oleh toko A dan B, berapakah keuntungan yang akan didapatkan pak Ahmad dengan menggunakan modal sebesar Rp. 350.000

Solusi:Berdasarkan data di atas, maka pendekatan yang dapat digunakan adalah interpolasi linier karena banyaknya data yang diketahui ada 2 (dua). Beradasarkan data tersebut maka dapat didefiniskan variable sebagai berikut:x1 = 200.000,- dan f(x1) = 50.000,-x2 = 500.000,- dan f(x2) = 130.000,-x = 350.000,- dan f(x) = ….?

f(x) = (x-x1)+f(x1)

=

= 90.000,-Jadi perkiraan keuntungan penjualan dengan modal Rp. 350.000,- adalah Rp. 90.000,-

Teladan 2.4Berapakah perkiraan jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1990 berdasarkan data hasil sensus pada tabel dibawah ini:

Ripai, S.Pd., M.Si

61


Tahun 1986 1994Jumlah penduduk (juta) 133.4 143.5

Variable tahun kita sebut sebagai x, (x1= 1996, x2=1994) dan variable jumlah penduduk sebagi y, (y1= 133.4, y2=143.5). dengan menggunakan persamaan interpolasi linier diperoleh nilai untuk jumlah penduduk tahun 1990

Jadi perkiraan banyaknya penduduk Indonesia pada tahun 1990 adalah 129.35 juat jiwa.

Teladan 2.5

Aliefa akan menentuka nilai ttabel pada taraf siginifikan 5% untuk uji satu pihak dengan dk = 47. Pada table tersebut nilai yang dicari tidak termuat. Akan tetapi nilai yang termuat adalah ttabel= 2.68 untuk dk = 40 dengan ttabel = 1.67dan dk = 60. Tentukan nilai pendekatan ttabel pada dk 47 tersebut dengan mengunakan interpolasi linier.

Solusi:Dari permasalahan tersebut diketahui x1 = 40, f(x1) = 2.68x2 = 60, f(x2) = 1.68x = 47, f(x) = ..?

f(x) = +f(x1)

f(x) = +2.68 = 2.33

Jadi nilai ttabel = 2.33 pada taraf signifikan 5% dengan dk = 47.

Teladan 2.6

Hasil pengukuran kedalam sungai yang memiliki lebar 3m pada interval tiap 50cm dari suatu pinggir sungai adalah sebagai berikut:

Jarak (cm) 50 100 150 200 250 300

Ripai, S.Pd., M.Si

62


Kedalaman cm 45 60 78 73 57 41

Tentukan pendekatan secara linier kedalam sungai tiap 10 cm dan sketsa grafik perkiraan pola dasar sungai.

Solusi:Penyelesaian masalah tersebut dengan metode interpolasi linier dilakukan dengan menentukan nilai pada tiap 10 cm pada selang [50 100], [100 150], [150 200],[200 250] dan [250 300] dengan cara sebagai berikut:

Interval (x) Formula Interpolasi x f(x)[50 100] f(x) =

= (3*x)/10 + 30

50.0060.0070.0080.0090.00

100.00

45.0048.0051.0054.0057.0060.00

[100 150] f(x) =

= (9*x)/25 + 24

110.00120.00130.00140.00150.00

63.6067.2074.4070.8078.00

[150 200] f(x) =

= 93 - x/10

160.00 170.00 180.00 190.00 200.00

77.0076.0075.0074.0073.00

[200 250] f(x) =

= 137 - (8*x)/25

210.00 220.00230.00240.00250.00

69.8066.6063.4060.2057.00

[250 300] f(x) =

= 137 - (8*x)/25

260.00270.00280.00290.00300.00

53.8050.6047.4044.2041.00

Evaluasi nilai di atas dilakukan dengan kode program berikut:x=[50 100 150 200 250 300];y=[45 60 78 73 57 41];xi=[50:10:300];yi=interp1(x,y,xi,'linear');

Ripai, S.Pd., M.Si

63


[xi yi];subplot(2,1,1)plot(x,y,'o')hold onplot(xi,yi,'-*r')legend('Data aktual','Interpolasi')subplot(2,1,2)plot(xi,-yi,'-.r')title('Perkiraan bentuk Dasar Sungai')xlabel('Jarak Pengukuran')ylabel('Kedalaman sungai')

Rekontruksi model pendekatan dasar sungai diberikan oleh gambar berikut:

50 100 150 200 250 30040

50

60

70

80

Data aktualInterpolasi

50 100 150 200 250 300-80

-70

-60

-50

-40Perkiraan bentuk Dasar Sungai

Jarak Pengukuran

Ked

alam

an s

unga

i

Gambar 2.7 Model dasar sungai dengan interpolasi linier

2.3.1.2 Interpolasi KudratInterpolasi kuadrat erupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan kuadrat atau polynomial berderajat 2, yaitu f(x) = a0 + a1x + a2x2.Metode ini digunakan apabila diketahui minimal data pengamatan ada 3 titik. Misalkan titik-titik yang diketahui adalah (x1,y1), (x2, y2) dan (x3, y3), maka nilai yang terdapat diantara titik-titik tersebut adalah fungsi kuadrat yang

Ripai, S.Pd., M.Si

64


koefesiannya a0, a1 dan a2 adalah solusi dari system persamaan linier 3 (tiga) variable sebagai berikut:

(x1, y1) a0 + x1a1 +x12 a2= y1

(x2, y2) a0 + x2a1 + x22 a2= y2

(x3, y3) a0 + x3a1 + x33a2 = y3

Augmented matriks dari SPL tersebut adalah

Jadi persamaan interpolasi kuadrat yang dapat dilakukan adalah f(x) = a0 + a1x + a2x2 dengan

Teladan 2.7Selesaikanteladan 3.6 di atas dengan mengunakan interpolasi kuadratSolusi:Prosedur penyelesaian yang dapat diterapkan adalah dengan membangun partisi domain interpolasi kuadrat sebagai berikut:(1) Untuk titik (50,45), (100, 60) dan (150,78) diperoleh bentuk augmented

matriks koefesien polynomial kuadrat adalah

Dengan komputasi sederhana dapat diperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut:

A1=[1 50 50^2;1 100 100^2;1 150 150^2];B1=[45;60;78];k1=inv(A1)*B1k1 =

Ripai, S.Pd., M.Si

65


33.000000000000000 0.210000000000000 0.000600000000000

Hasil komputasi tersebut memberikan persamaan kuadrat untuk menentukan nilai f(x) pada

interval [50 150].(2) Untuk titik (150,78), (200, 73) dan (250,57) diperoleh bentuk augmented

matriks koefesien polynomial kuadrat adalah

A2=[1 150 150^2;1 200 200^2;1 250 250^2];B2=[78;73;57];k2=inv(A2)*B2k2 = 27.000000000000000 0.670000000000000 -0.002200000000000

Hasil komputasi tersebut memberikan persamaan kuadrat untuk menentukan nilai f(x) pada interval

[150 250].

(3) Untuk titik (250, 57) dan (300, 41) tidak cukup untuk melakukan interpolasi kuadrat, pendekatan yang dilakukan dengan interpolasi linier dengan bentuk persamaan sebelumnya f(x) = 137 - (8*x)/25.

Berdasarkan analisis di atas, maka persamaan interpolasi yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:

Selanjutnya evaluasi nilai fungsi tersebut dilakukan dengan kode program komputasi berikut:xa=[50 100 150 200 250 300];ya=[45 60 78 73 57 41];

Ripai, S.Pd., M.Si

66


x1=[50:10:150];x2=[160:10:250];x3=[260:10:300];[xi;yi]'syms xf1=33+0.21*x+0.0006*x*x;f2=27+0.67*x-0.0022*x*x;f3=137-(8/25)*x;xi=[x1 x2 x3];yi=[subs(f1,x1) subs(f2,x2) subs(f3,x3)];subplot(2,1,1)plot(xa,ya,'*')hold onplot(xi,yi,'-or')legend('Aktual','Interpolasi')subplot(2,1,2)plot(xi,-yi,'.-r')xlabel('Jarak');ylabel('Kedalaman')title('Model dasar sungai')

Hasil komputasi dengan kode program di atas diperoleh sebagai berikut:Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman

50 45 150 78 250 5760 47.76 160 77.88 260 53.870 50.64 170 77.32 270 50.680 53.64 180 76.32 280 47.490 56.76 190 74.88 290 44.2

100 60 200 73 300 41110 63.36 210 70.68 120 66.84 220 67.92 130 70.44 230 64.72 140 74.16 240 61.08

Ripai, S.Pd., M.Si

67


50 100 150 200 250 30040

50

60

70

80

AktualInterpolasi

50 100 150 200 250 300-80

-70

-60

-50

-40

Jarak

Ked

alam

an

Model dasar sungai

Gambar 2.8 Model dasar sunagi dengan interpolasi kuadrat

2.3.1.3 Interpolasi KubikInterpolasi kubik merupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan polynomial berderajat 3 dengan persamaan umum f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3.Metode ini digunakan apabila diketahui minimal data pengamatan ada 4 titik. Misalkan titik-titik yang diketahui adalah (x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) dan (x4, y4), maka nilai yang terdapat diantara titik-titik tersebut akan memeuhi fungsi kubik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah solusi dari system persamaan linier 4 (empat) variable sebagai berikut:(x1, y1) a0 + a1x1 +a2x1

2+ a3x13 = y1

(x2, y2) a0 + a1x2 + a2x22+ a3x2

3= y2

(x3, y3) a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3

3= y3

(x4,y4) a0 + a1x4 + a2x43 + a3x4

3= y3

Augmented matriks dari SPL tersebut adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

68


Teladan 2.8

Penyelesaian permasalahn teladan 2.6 di atas dapat dilakukan dengan interpolasi kubik dengan partisi titik-titik data pengukuran sebagai berikut:

(1) Partisi pertama adalah titik {(50,40),(100,60),(150,78),(200,73)} sehingga diperoleh Augmented matriks koefesien SPL adalah sebagai berikut:

Penyelesaian dengan computer program diperoleh sebagai berikut:

A=[1 50 50^2 50^3;... 1 100 100^2 100^3;... 1 150 150^2 150^3;... 1 200 200^2 200^3];B=[40;60;78;73];format longk=inv(A)*Bk = 38.999999999999986 -0.310000000000003 0.008000000000000 -0.000028000000000

Dari hasil komputasi tersebut diperoleh fungsi interpolasi kubik yaitu f(x) = 38.999999999999986–0.31x + 0.008x2 – 0.000028x3.

Ripai, S.Pd., M.Si

69


(2) Sedangkan titik keduanya mengunakan pendekatan interpolasi kuadrat, karena data yang dimiliki tidak cukup untuk membentuk polynomial derajat 3 yaitu titik {(200,73),(250,57), (300,41)}. Aumented mPenyelesaian dengan computer program sebagai berikut:

A=[1 200 200^2;1 250 250^2;1 300 300^2];B=[73;57;41];format longk=inv(A)*B;poly2sym([k(3) k(2) k(1)])ans =137 - (8*x)/25

Hasil komputasi tersebut memberikan fungsi polynomial yang dapat digunakan adalah linier f(x) = 137 - (8*x)/25. Hal ini menunjukkan ketiga titik (200,73),(250,57), (300,41) cendrung membentuk suatu garis lurus ketimbang kuadrat. Fungsi polynomial yang digunakan untuk melakukan interpolasi adalah

Perhitungan dengan computer sebagimana kode program di bawah ini menghasilkan nilai pendekatan kedalaman sungai dan grafik model dasar sungai sebagai berikut:

syms xxa=[50 100 150 200 250 300];ya=[45 60 78 73 57 41];d1=[50:10:200];d2=[210:10:300];f1=38.999999999999986-0.31*x + 0.008*x*x-0.000028*x*x*x;f2=137-(8/25)*x;xi=[d1 d2];yi=[subs(f1,d1) subs(f2,d2)];[xi;yi]'subplot (2,1,1)

Ripai, S.Pd., M.Si

70


plot(xa,ya,'*')hold onplot(xi,yi,'-or')legend('Aktual','Interpolasi')subplot(2,1,2)plot(xi,-yi,'-.r')xlabel('Jarak pengukuran')ylabel('Kedalaman Sungai')title('Pendekatan model dasar sungai')

Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman

50 40 150 78 250 57

60 43.152 160 79.512 260 53.8

70 46.896 170 79.936 270 50.6

80 51.064 180 79.104 280 47.4

90 55.488 190 76.848 290 44.2

100 60 200 73 300 41

110 64.432 210 69.8

120 68.616 220 66.6

130 72.384 230 63.4

140 75.568 240 60.2

Ripai, S.Pd., M.Si

71


50 100 150 200 250 30040

50

60

70

80

50 100 150 200 250 300-80

-70

-60

-50

-40

Jarak pengukuran

Ked

alam

an S

unga

i

Pendekatan model dasar sungai

AktualInterpolasi

Gambar 2.9 Model dasar sunagi dengan interpolasi kubik

2.3.1.4 Interpolasi Polinomial Derajat n

Interpolasi polynomial nerajan n merupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan umum polinomial f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+ … + anxn

. Untuk data sebanyak n, maka akan dapat didekati melalui persamaan polynomial berderajat n-1 yaitu f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+ … + anxn

Misalkan dimiliki data (x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) hingga (xn, yn), maka akan diperoleh Sistem persamaan Linier untuk koefesien polynomial sebagai berikut:(x1, y1) a0 + a1x1 + a2x1

2 + a3x12 + … + anx1

n-1 = y1

(x2, y2) a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2

2 + … + anx2n-1 = y2

(x3, y3) a0 + a1x3+ a2x32 + a3x3

2 + … + anx3n-1 = y3

(xn, yn) a0 + a1xn + a2xn2 + a3xn

2 + … + anxnn-1 = yn

Augmented matriks dari koefesien SPL adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

72


Sehingga solusi dari koefesien SPL tersebut adalah

Teladan 2.9Tinjau kembali data pengukuran kedalaman sungai pada teladan 2.6 di atas.

Jarak (cm) 50 100 150 200 250 300Kedalaman cm 45 60 78 73 57 41

Karena banyaknya data ada 6 titik, maka interpolasi polynomial yang dapat dikontruksi adalah polynomial berderajat 5. Augmented matriks koefesien yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut:

Dengan komputasi sebagaimana kode di bawah ini diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

Ripai, S.Pd., M.Si

73


A=[1 50 50^2 50^3 50^4 50^5;... 1 100 100^2 100^3 100^4 100^5;... 1 150 150^2 150^3 150^4 150^5;... 1 200 200^2 200^3 200^4 200^5;... 1 250 250^2 250^3 250^4 250^5;... 1 300 300^2 300^3 300^4 300^5];B=[45;60;78;73;57;41];k=inv(A)*Bk = 1.0e+002 * 1.35999999999998 -0.04107666666667 0.00062416666667 -0.00000382333333 0.00000001033333 -0.00000000001040

Hasil komputasi tersebut diperoleh nilai untuka0 = 1.35999999999998 x 102

a1 = -0.04107666666667 x 102

a2 = 0.00062416666667 x 102

a3 = -0.00000382333333 x 102

a4 = 0.00000001033333 x 102

a5 = -0.00000000001040 x 102

sehingga persamaan polynomial diperoleh adalah

f(x) = 135.9999999998 - 4107666666667 x + 0.062416666667x2

-0.000382333333x3 +0.000001033333x4 -0.00000000104x5

f=poly2sym([k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1)]);pretty(f)

Ripai, S.Pd., M.Si

74


Evaluasi nilai f(x) pada data interpolasi pada domain [50 300] dengan Δx = 10

Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman Jarak Kedalaman

50 45 150 78 250 57

60 44.239296 160 78.756096 260 53.904896

70 46.227072 170 78.519872 270 50.908672

80 50.016128 180 77.388928 280 47.905728

90 54.819904 190 75.496704 290 44.701504

100 60 200 73 300 41

110 65.053696 210 70.066496

120 69.601472 220 66.862272

130 73.374528 230 63.539328

140 76.202304 240 60.223104

Ripai, S.Pd., M.Si

75


50 100 150 200 250 30040

50

60

70

80

InterpolasiAktual

50 100 150 200 250 300-80

-70

-60

-50

-40

Model pendekatan pola dasar sungai

Gambar 2.10 Model dasar sunagi dengan interpolasi derajat 5

Kode komputasi unutk mengambar grafik fungsi tersebut:

d=[50:10:300];subplot(2,1,1)plot(d,subs(f,d),'-or')hold onplot([50:50:300],[45 60 78 73 57 41],'*')legend('Interpolasi','Aktual')grid onsubplot(2,1,2)plot(d,subs(f,d),'-.r')plot(d,-subs(f,d),'-.r')legend('Model pendekatan pola dasar sungai')

Teladan 2.9

Ripai, S.Pd., M.Si

76


Lakukan hampiran dengan interpolasi polynomial untuk mendapatkan model matematika hubungan antra tahun angkatan dengan banyaknya mahasiswa berdasarkan data actual pada jurusan pendidikan matematika IAIN MAtaram dari tahun 2003 sampai dengan 2010 sebagai berikut:

Tahun 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010Banyaknyamahasiswa

43 40 80 114 177 98 147 146

Solusi:Karena ada 8 data yang diketahui maka interpolasi polinomila yang dapat diterapkan adalah polynomial derajat 7 dengan persamaan umum

Dan berdasarkan data yang diketahui, maka bentuk SPL simultannya adalah

Dan augmented matriks koefesien SPL adalah

Evaluasi nilai koefesien SPL dengan kode program komputer sebagai berikut:A=[2003^7 2003^6 2003^5 2003^4 2003^3 2003^2 2003 1;...2004^7 2004^6 2004^5 2004^4 2004^3 2004^2 2004 1;...2005^7 2005^6 2005^5 2005^4 2005^3 2005^2 2005 1;...2006^7 2006^6 2006^5 2006^4 2006^3 2006^2 2006 1;...2007^7 2007^6 2007^5 2007^4 2007^3 2007^2 2007 1;...2008^7 2008^6 2008^5 2008^4 2008^3 2008^2 2008 1;...2009^7 2009^6 2009^5 2009^4 2009^3 2009^2 2009 1;...2010^7 2010^6 2010^5 2010^4 2010^3 2010^2 2010 1];

Ripai, S.Pd., M.Si

77


B=[43;40;80;114;177;98;147;146]; format longk=inv(A)*Bk =1.0e+017 *0.00000000000000-0.000000000000000.00000000000000-0.00000000000035-0.000000002039750.00000588520083-0.006315133790202.51648371579466

Berdasarkan hasil komputasi nilai koefesien SPL tersebut, dapat dikontruksi fungsi polinomial pendekatan yang diperoleh dengan kode program berikut:

Kode komputasi unutk kontruksi fungsisyms xf=k(1)*x^7+k(2)*x^6+k(3)*x^5+k(4)*x^4+k(5)*x^3+k(6)*x^2+k(7)*x+k(8); pretty(f)

Hasil evaluasi fungsi tersebut terhadap data aktual menunjukkan bahwa nilai yang diberikan tidak tepat dengan data aktual (lihat tabel di bawah). Hal ini menunjukkan bahwa fungsi pendekatan tersebut tidak valid, sehingga perlu dilakukan analisis ulang. Suatu analisis yang memungkinkan dilakukan adalah dengan melakukan normalisasi data x (tahun angkatan). Pemilihan cara ini didasri atas kenyataan nilai variabel x yang memuat bilangan ribuan sedangkan y bilangan ratusan yang memiliki penyimpangan sangat besar antara data x dan data y. Persamann normalisasi yang digunakan adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

78


Dimana : t = tahun angkatan (2003-2010)

rata-rata dari t = 2006.5

Stdv (t) = standar deviasi dari t = 2.45Sehingga diperoleh data transpormasi untuk tahun angkatan adalah

No Tahun Masuk (t) y

1 2003 -1.42886901662352 43

2 2004 -1.02062072615966 40

3 2005 -0.61237243569579 80

4 2006 -0.20412414523193 114

5 2007 0.20412414523193 177

6 2008 0.61237243569579 98

7 2009 1.02062072615966 147

8 2010 1.42886901662352 146

Dengan menerapkan cara yang sama sebagaimana sebelumnya untuk x dan y, maka akan diperoleh persamaan polynomial sebagai berikut:

Evaluasi nilai dari persamaan tersebut terhadap data actual adalah sebagai berikut:

T X Y f(x)

2003 -1.42886901662352 43 42.99999999999949 42 43 432004 -1.02062072615966 40 39.99999999999989 39 40 402005

Ripai, S.Pd., M.Si

79


T X Y f(x)

-0.61237243569579 80 79.99999999999996 79 80 802006 -0.20412414523193 114 1.140000000000000e+002 113 114 1142007 0.20412414523193 177 1.770000000000000e+002 177 178 1772008 0.61237243569579 98 98.00000000000017 98 99 982009 1.02062072615966 147 1.470000000000005e+002 147 148 1472010 1.42886901662352 146 1.460000000000014e+002 147 146 147

Karena banyaknya mahasiswa merupakan data diskrit (cacah), maka nilai f(x) perlu dilakukan pembulatan. Hasil analisis pada table di atas, dilakukan dengan tiga cara, yakni pembulatan biasa, pembulatan ke atas dan pembulatan ke bawah. Hasil konparasi nilai pendekatan dengan data actual diketahui bahwa pembulatan ke bilangan bulat terbesar merupakan pembulatan yang bernilai sama dengan data actual. Sehingga fungsi polynomial yang dapat diterapkan adalah

Dan grafik model matematis berdasarkan interpolasi polynomial berderajat 7 dari banyaknya mahasiswa tiap tahun angkatan adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

80


Gambar 2.11 Model pendekatan dengan interpolasi polynomial berderajat 7.

Teladan 2.10:Suatu pesawat jatuh menabrak tebing yang model kecuramannya dilukiskan pada gambar di bawah ini. Pendakian akan dilakukan untuk mengankat korban kecelakaan tersebut. Jenis peralatan pendakian dipersiapkan yang disesuaikan dengan tingkat kecuraman tebing bukit yang akan di daki. Untuk itu, dilakukan analisis tingkat kecuraman tebing berdasarkan sketsa gambar di bawah. Dilakukan pengukuran tinggi tebing pada gambar pada tiap satuan jarak pada sumbu horizontal. Gambar grid pengukuran dan hasil pengukuran diberikan sebagai berikut:

Gambar 2.12 Model pelukis sebuah bukiti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f 0.5 1.1 1.6 2.7 5.3 6.3 7.8 10 10.3 10.5 10.6 10.7

Tentukan kemiringan tebing pada tiap titik untuk ∆x = 0.1.

Ripai, S.Pd., M.Si

81


Solusi:Untuk mendapatkan kemiringan tiap titik dengan ∆x = 0.1, maka perlu diketahui nilai f(x) pada tiap ∆x = 0.25. Untuk itu perlu dilakukan interpolasi nilai tiap titik yang belum diketahui. Mencermati gambar di atas, berdasarkan bentuk pola gambar, maka ditentukan beberapa jenis interpolasi yang dipilih sebagai berikut:

Interval Pola Kurva Jenis Interpolasi

Titik-titik

x0 ≤ x ≤ x1 Cendrung Linier Linier (x0,f0) dan (x1,f1)x1 ≤ x ≤ x2 Cendrung Linier Linier (x1,f1) dan (x2,f2)x2 ≤ x ≤ x5 Cendung Kubik Kubik (x2,f2), (x3,f3), (x4,f4) dan (x5, f5)x5 ≤ x ≤ x7 Cendrung Kubik Kubik (x4,f4), (x5,f5), (x6, f6) dan (x7,f7)x7 ≤ x ≤ x9 Cendrung

kuadratKuadrat (x7,f7), (x8,f8) dan (x9,f9)

x9 ≤ x ≤ x11 Cendrung Kuadrat

Kuadrat (x9,f9), (x10,f10) dan (x11,f11)

a. Pada domain 1≤ x ≤ 2 digunakan interpolasi f(x) = ax + b dengan titik interpolasi (1, 0.5) dan (2, 1.1). Bentuk augmented matriks koefesien

fungsi f(x) adalah . Berdasarkan

evaluasi nilai a dan b dapat didefinisikan sebagai f(x) = 0.6x -0.1. b. Domain 2 ≤ x ≤ 3 f(x) = ax + b

(2,1.1) dan (3, 1.6) , sehingga

diperoleh fungsi interpolasi adalah f(x) = 0.5x + 0.1. Hasil komputasi ketinggian tebing pada interval 2 ≤ x ≤ 3 adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

82


c. Domain 3 ≤ x ≤ 5 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(3,1.6), (4,2.7), (5,5.3) dan (6,6.3)

sehingga

diperoleh fungsi interpolasi adalah f(x) = -0.5167x3 + 6.95x2 -28.4333x + 38.3

d. Domain 5 ≤ x ≤ 8 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(5,5.3),(6, 6.3),(7, 7.8) dan (8, 10)

, sehingga diperoleh

fungsi interpolasi adalahf(x) = 0.0333 x3 -0.35x2 + 1.8167x + 0.8

e. Domain 8 ≤ x ≤ 10 f(x) = ax2 + bx + c(8,10), (9, 10.3) dan (10.10.5)

sehingga diperoleh fungsi interpolasi adalah f(x) = -0.05x2+1.15x+4

f. Domain 10 ≤ x ≤ 12 f(x) = ax2 + bx + c(10, 10.5), (11,10.6) dan (12,10.7)

,

sehingga diperoleh fungsi interpolasi adalahf(x) = x2 + x + 9.5Grafik pendekatan model bukit berdasarkan hasil interpolasi.

k1=inv([1 1;2 1])*[0.5;1.1]p1=poly2sym(k1);

Ripai, S.Pd., M.Si

83


d1=[1:0.1:2];f1=subs(p1,d1);

k2=inv([2 1;3 1])*[1.1;1.6]p2=poly2sym(k2);d2=[2:0.1:3];f2=subs(p2,d2);

k3=inv([27 9 3 1;64 16 4 1;125 25 5 1;... 216 36 6 1])*[1.6;2.7;5.3;6.3]p3=poly2sym(k3);d3=[3:0.1:5];f3=subs(p3,d3);

k4=inv([125 25 5 1;216 36 6 1;... 343 49 7 1;512 64 8 1])*[5.3;6.3;7.8;10]p4=poly2sym(k4);d4=[5:0.1:8];f4=subs(p4,d4);

k5=inv([64 8 1;81 9 1;100 10 1])*[10;10.3;10.5]p5=poly2sym(k5);d5=[8:0.1:10];f5=subs(p5,d5);

k6=inv([100 10 1;121 11 1;144 12 1])*[10.5;10.6;10.7]p6=poly2sym(k6);d6=[10:0.1:12];f6=subs(p6,d6);plot(d1,f1,'.-',d2,f2,'.-',d3,f3,'.-',d4,f4,'.-',d5,f5,'.-',d6,f6,'.-')

Persamaan fungsi yang memenuhi model bukit tersebut adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

84


Dengan model grafik

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Ket

ingg

ian

Pendekatan model tebing

Dasar

Gambar 2.13 Grafik interpolasi model pelukis bukitbukit pada gambar 2.13

Sedangkan persamaan kemiringan tiap titik diberikan oleh turunan pertama dari f(x) sebagai berikut:

Grafik yang menyatakan hubungan antara jarak dengan tingkat kecuraman adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

85


0 2 4 6 8 10 12-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Jarak

Ting

kat K

ecur

aman

Grafik turunan pada interval yang diberikan

Gambar 2.14 Gradien setiap titik dipermukaan bukit pada gambar 2.13Kode program yang digunakan unutk menghitung

d1=[1:0.1:2];n1=length(d1);df1=ones(1,n1)*0.6; d2=[2:0.1:3];n2=length(d2);df2=ones(1,n2)*0.5; d3=[3:0.1:5];syms xdp3=-1.5501*x^2+13.9*x-28.4333;df3=subs(dp3,d3); d4=[5:0.1:8];dp4=0.0999*x^2-0.7*x+1.8167;df4=subs(dp4,d4); d5=[8:0.1:10];dp5=-0.1*x+1.15;df5=subs(dp5,d5); d6=[10:0.1:12];dp6=-0.000000000000002*x+0.1;df6=subs(dp6,d6);

Ripai, S.Pd., M.Si

86


plot(d1,df1,'.-',d2,df2,'.-',d3,df3,'.-',d4,df4,'.-',d5,df5,'.-',d6,df6,'.-')xlabel('Jarak')ylabel('Tingkat Kecuraman')title('Grafik turunan pada interval yang diberikan')

2.3.2 Interpolasi Newton GregoriInterpolasi Newton Gregori merupakan interpolasi yang dikontruksi dari aproksimasi dengan Deret Taylor menggunakan perhitungan beda hingga. Beda hingga terdiri dari beda maju, beda mundur dan beda tengah.

2.3.2.1 Beda HinggaBeda dapat dipandang sebagai selisih sedangkan berhingga berarti nilainya dapat dinyatakan dengan jelas, sehingga beda hingga memiliki pengertian selisih yang dapat ditentukan. Beda dalam matematika disimbolkan dengan lambang ∆ (baca delta) untuk beda maju dan (baca nabla) untuk beda mundur . Perhatikan ilustrasi berikut:

Gambar 2.15 Tafsiran geometris beda hingga

Pada gambar 2.15.a di atas, merupakan bentuk analitik dari beda hingga. Mula-mula dimiliki titik x dan f(x) . Dari titik x ditentukan titik berikutnya sejauh h, yaitu titik x+h dan diperoleh pemetaanya di f(x+h). selisih nilai dari (x+h) – x dan selisih pemetaanya f(x+h) – f(x) disebut sebagai beda maju dengan formula analitiknya adalah ∆x = (x+h) – x dan ∆f = f(x+h) – f(x)

Pada gambar 2.15b di atas, titik x bersesuian dengan x i, sehingga x berikutnya yang ditentukan sejauh h keknana dari titik xi disebut xi+1 dan titik sebelumnya yang ditentukan sejauh h disebut titik xi-1. Bersesuaian dengan titik-titik tersebut diperoleh pemetaan fi untuk xi, fi+1 untuk xi+1 dan fi-1 untuk xi. Beda maju dari xi dan fi ditentukan dengan formula numerik beda maju adalah ∆xi = xi+1 – xi dan ∆fi = fi+1 – fi.

Ripai, S.Pd., M.Si

87


Definisi beda Maju

Lebih lanjut beda mundur secara analitik ditentukan dengan nilai selisih dari x – (x-h) dan f(x) – f(x-h) untuk bentuk analitik dan x i – xi-1 dan fi - fi-1 untuk bentuk numeriknya.

Definisi beda Mundur

Tinjau kembali gambar 2.15 di atas. Jika dari titik x+h dan x-h ditentukan bedanya maka nilai bedanya tersebut dinyatakan sebagai beda tengah, karena x berada ditengah-tengah x+h dan x-h. Sejalan dengan itu, selisih dari nilai pemetaanya juga, yaitu f(x+h)-f(x-h) disebut sebagai beda tengah. Sedangkan selisih secara numeriknya adalah x i+1 – xi-1 dan fi+1 – fi-1 disebut formula beda beda tengah.

Beda tingkat ke-n dari x dan f(x) secara matematis didefinisikan sebagai

berikut:

dan

dan

Berdasarkan definisi tersebut maka bentuk-bentuk sebagai berikut:

Menurut beda maju

i = 0 ==> ∆f0 = f1 – f0

==> ∆2

f0 =∆(∆f0) = ∆(f1 - ∆f0) = ∆f1 - ∆f0

==> ∆3

f0 = ∆2

(∆f0) = ∆2

(f1 - ∆f0) = ∆2

f1 - ∆2

f0

==> ∆4

f0 = ∆3

(∆f0) = ∆3

(f1 – f0) = ∆3

f1 - ∆3

f0

dst

Ripai, S.Pd., M.Si

88


Menurut beda mundur

dst

Secara sederhana formula ini dapat dikontruksi kedalam bentuk tabel beda

hingga sebagai berikut:

Suatu kenyataan yang dapat diaplikasikan dari beda hingga tersebut adalah

untuk memeriksa apakah suatu data terkontruksi dari polynomial berderajat

n. Apabila beda ke-n memberikan nilai 0 (nol), maka data tersebut

terkontruksi dari polynomial berderajat (n-1).

Teladan 2.11

Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3

memiliki beda yang ke-4 bernilai 0 (nol).Solusi:

x f(x)

Ripai, S.Pd., M.Si

89


0 0

1

1 1 6

7 6

2 8 12 0

19 6

3 27 18 0

37 6

4 64 24 0

61 6

5 125 30

91

6 216

Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui bahwa beda ke-4 dari f(x) bernilao 0

(nol). Hal ini disebabkan karena fungsi f(x) berderajat 3 (tiga) dimana apabila

sudah di turunkan derajatnya hingga tingkat 4, akan bernilai 0 (nol).

Teladan 2.12

Auliya akan membuka hotel baru. Untuk memperkenalkan kepada masyarakat

di awal pembukaan dia menghabiskan dana Rp. 800.000,- untuk acara

pembukaan dan makan gratis untuk tamu undangan. Pada hari pertama

penjualan, dia merugi Rp 300.000,-. Sedangkan hari kedua dia memperoleh

keuntungan Rp .600.000,-. Keuntungan tiap hari berikutnya hingga hari ke-7

dituliskan dalam table berikut. Kontruksi model matematika hubungan antara

hari dengan Laba dan perkirakan laba yang diperoleh hingga hari ke-15.

Hari 0 1 2 3 4 5 6 7

Ripai, S.Pd., M.Si

90


Laba -8 -6.3333 -4.6667 -3 6 31 57.5 84 177 322 531

Ket. Laba dalam satuan ratusan ribu.

Solusi:

Untuk dapat menyelesaikan permasalahan tersebut, dianalisis model

hubungan yang terjadi. Analisis pertama untuk mengetahui apakah data

tersebut terkontruksi oleh suatu fungsi polynomial atau tidak. Dengan

menerapkan table beda hingga diperoleh sebagai berikut:

x f(x)

0 -8

5

1 -3 4

9 12

2 6 16 0

25 12

3 31 28 0

53 12

4 84 40 0

93 12

5 65 52 0

145 12

6 322 64 0

209 12

7 531 76

Ripai, S.Pd., M.Si

91


Berdasarkan table beda hingga di atas, diketahui bahwa pada beda ke-4, nilai

bedanya 0 (nol). Hal ini mnunjukkan bahwa data tersebut terkontruksi dengan

fungsi polynomial berderajat 3 dengan bentuk persamaan umum f(x) = a3x3

+

a2x2

+ a1x + a0. Dengan mengambil sembarang 4 (empat) buah titik dari 8

(delapan) titik yang ada, maka diperoleh augmented matriks koefesien

polynomial berderajat 4 adalah sebagai berikut:

Titik yang dipilih (0,-8), (1,-3), (2,6) dan (3,31)

(x,f(x)) f(x) = a3x3

+ a2x2

+ a1x + a0

(0,-8) -8 = a0

(1,-3) -3 = a3 + a2 + a1 - 8 a3 + a2 + a1 = 5

(2,6) 6 = 8a3 + 4a2 + 2a1 – 8 8a3 + 4a2 + 2a1 = 14

(3,31) 31 = 27a3 + 9a2 + 3a1 -8 27a3 + 9a2 + 3a1 = 39

Sehingga ougmented matriks koefesien SPL tersebut adalah

Dari penyelesaian ini diperoleh bahwa a3 = 2, a2 = -4, a1 = 7 dan a0 = -8 sehingga

persamaan dari data laba penjualan itu adalah

f(x) = 2x3

– 4x2

+ 7x -8.

Evaluasi nilai f(x) untuk 0 ≤ x ≤ 7 dengan ∆x = 1 diperoleh sebagai berikut:

X 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) -8 -3 6 31 84 177 322 531

X 8 9 10 11 12 13 14 15

f(x) 816 1189 1662 2247 2956 3801 4794 5947

Ripai, S.Pd., M.Si

92


0 5 10 15-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Hari

Laba

Hubungan hari dengan laba

Data aktualInterpolasi P3Ekstrapolasi P3

Gambar 2.16 Grafik pemetaan hari terhadap laba

Memperhatikan bahwa interpolasi derajat tiga yang diterapkan dapat dengan

tepat melalui semua titik yang ada, maka fungsi f(x) = 2x3

– 4x2

+ 7x -8 dapat

diterapkan unutk melakukan ektrapolasi, yaitu penentuan nilai yang berada

diluar titik data yang ada. Hasil yang diperoleh sebagaimana pada table di atas.

Laba yang diperoleh setelah 15 hari penjualan adalah dengan menjumlahkan

nilai laba dari hari awal hingga hari ke-15 yaitu Rp. 2.455.200.000,-

Beberapa sifat beda hingga adalah sebagai berikut: 1.

2. Jika h = 1, maka ∆nxn = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) = n!

Bukti:

=

Ripai, S.Pd., M.Si

93


Lebih lanjut jika h=1, maka ∆nxn = n!. ∆f(x)=f(x+h)-f(x)

∆x= (x+1)-x = 1

∆x2 = (x+1)2-x2 = x2 +2x + 1 –x2 = 2x +1

∆2x2=∆(∆x2) = ∆(2x+1)=2∆x + ∆1 = 2(1)+0 = 2.

∆x3= (x+1)3-x3 = x3+3x2+3x+1-x3 = 3x2+3x+1

∆2x3=∆(∆x3)= ∆(3x2+3x+1)

=3∆x2+3∆x+∆1

=3(2x+1)+3(1)+0

=6x+6

∆3x3=∆(∆2x3)= ∆(6x + 6)

=6∆x+∆6

=6(1)+0 = 6

= 3 x 2 x 1 = 3!

∆nxn = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) = n!

2.3.2.2 Metode Newton Gregori MajuMetode Newton Gregori Maju merupakan metode interpolasi mengunakan polinomial yang direkontruksi dari Deret Taylor.

Dengan

Teladan 2.14Selesaikan teladan di atas dengan mengunakan interpolasi polynomial newton gregori maju.SolusiTinjau kembali table beda hingga pada teladan di atas. Jika mengambil nilai

Ripai, S.Pd., M.Si

94


awal x0 = 0, maka diperoleh koefesien beda hingga untuk polynomial newton gregori maju sebagaimana yang terlingkari berikut:

xi x f(x)

x0 0 -8

5

x1 1 -3 4

9 12

x2 2 6 16 0

25 12

x3 3 31 28 0

53 12

x4 4 84 40 0

93 12

x5 5 177 52 0

145 12

x6 6 322 64

209

x7 7 531

Dari table di atas, diperoleh nilai x0 = 0, f0 = -8, ∆f0 = 5, ∆2f0 = 4 dan ∆3f0 = 12. h = x1 – x0 = 1 – 0 = 1 dan s = (x – x0)/h = x. Drin ilia tersebut maka diperoleh pendekatan dengan polynomial newton gregori maju sebagai berikut:

Ripai, S.Pd., M.Si

95


Hasil ini sesuai dengan hasil fungsi .Sebagai pembanding hasil persamaan yang diperoleh tersebut, misalkan diambil nilai awal x0 = 3, maka diperoleh nilai beda hingga yang digunakan unutk interpolasi adalah sebagaimana yang dilingkari.

xi x f(x)

x-3 0 -8

5

x-2 1 -3 4

9 12

x-1 2 6 16 0

25 12

x0 3 31 28 0

53 12

x1 4 84 40 0

93 12

x2 5 177 52 0

145 12

x3 6 322 64

209

x4 7 531 x0 = 3, f0 = 31, ∆f0 = 53, ∆2f0 = 40, ∆3f0 = 12, h = x1 – x0 = 4 – 3 = 1 dan s=(x-x0)/h =x-3 sehingga diperoleh persamaan polynomial adalah

Ripai, S.Pd., M.Si

96


Hasil tersebut sesuai dengan dua jenis analisis sebelumnya. Hal ini menunjukkan bahwa dengan memilih nilai x0 yang berbeda akan tetapi tetap memberikan persamaan interpolasi yang sama.

2.3.2.3 Definisi Polinomial Newton Gregori Mundur

Dengan

TeladanSelesaiakn teladan di atas dengan metode newton gregori mundur untuk x0 = 7 dan x0 = 5.SolusiNilai bedahingga untuk x0 = 7 dan x0 = 5 adalah berikut ini.

xi

(x0=7)

Xi

(x0=3)

x f(x)

x-7 x-3 0 -8

5

Ripai, S.Pd., M.Si

97


xi

(x0=7)

Xi

(x0=3)

x f(x)

x-6 x-2 1 -3 4

9 12

x-5 x-1 2 6 16 0

25 12

x-4 x0 3 31 28 0

53 12

x-3 x1 4 84 40 0

93 12

x-2 X2 5 177 52 0

145 12

x-1 X4 6 322 64

209

x0 X4 7 531

Untuk x0 = 7, maka s=(x-x0)/h = x-7, f0 = 531, ∆f-1=209, ∆2f-2 = 64, ∆3f-3 = 12, sehingga diperoleh polynomial newton Gregory Mundur adalah sebagai berikut:

Ripai, S.Pd., M.Si

98


Jadi dengan polynomial Newton Mundur dan x0 = 7 diperoleh fungsi polynomial . Hasil ini sama dengan nilai dari polynomial newton maju sebelumnya.

Selanjutnya dilakukan pemeriksaan apakah perhitungan polynomial newton gregori mundur dengan nilai awal x0 = 5 akan memberikan nilai yang sama dengan hasil sebelumnya. Untuk x0 = 3, maka s= x-3, f0=31, ∆f-1=25, ∆2f-2=16 dan ∆3f-3 = 12

Hasil akhir ini menunjukkan polynomial yang diberikan selalu sama meskipun dilakukan dengan metode invers matriks, polynomial newton maju, dengan nilai awal yang berbeda dan polynomial newton mundur dengan nilai awal yang berbeda.

Teladan.Evaluasi nilai f(0.73) dari data f(x)=tan (x) pada interval [0 1] dengan ∆x = 0.2 mengunakan polynomial newton maju dan munur.Solusi:Tabel beda hingga perolehan data dari fungsi f(x)=tan x pada domain interval [0 1] dengan ∆x = 0.2 adalah:

S X f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x)x-2 0 0

0.203x-1 0.2 0.203 0.017

Ripai, S.Pd., M.Si

99


S X f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x)0.220 0.024

x0 0.4 0.423 0.041 0.0200.261 0.044

x1 0.6 0.684 0.085 0.052

0.346 0.096

x2 0.8 1.030 0.181 0.211

0.527 0.307

x3 1.0 1.557 0.4881.015

Penyelesaian menggunakan interpolasi Newton-Gregory MajuDiketahui: h = 0.2Ambil x0 = 0.4 , bias juga x0 = 0.6 ( karena sebelum 0.73 (jika gunakan polynomial Newton Maju)

gunakan f(0.73)

Jadi: gunakan n = 3 ( misalkan)

( nilai sebenarnya f(0.73) = 0.897 )Perhitungan nilai f(0.73) menggunakan interpolasi polynomial newton gregori maju diperoleh tingkat error = |0.893-0.897| = Penyelesaian menggunakan interpolasi Newton- Gregory MundurDiketahui : h = 0.2Ambil x0 = 1.0Maka f0=1.557 ; ∆f-1=0.527 ; ∆2f-2=0.181 ; ∆3f-3=0.096

Ripai, S.Pd., M.Si

100


Jadi:

Jadi

2.4 Rangkuman1. Suatu hampiran yang digunakan untuk mendapatkan model yang berbeda

dari suatu model matematika atau fakta alam yang ada disebut dengan Aproksimasi

2. Metode aproksimasi dengan Deret Maclaurin adalah

3. Metode aproksimasi Deret Taylor adalah

4. Interpolasi adalah menentukan nilai suatu objek atau titik yang terletak di antara titik titik yang ada.

5. Interpolasi Linier adalah menentukan nilai yang terletak diatara dua titik dengan persamaan garis f(x) = ax + b.

6. Interpolasi kuadrat adalah menentukan nilai yang terletak diantara tiga titik dengan persamaan kuadrat f(x) = ax2 + bx +c.

7. Interpolasi Kubik adalah menentukan nilai yang terletak diantara empat titik dengan persamaan polinomial derajat tiga f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

8. Interpolasi polinomial berderajat n adalah menentukan nilai diantara n data dengan polinomial berderajat n-1 dengan persamaan f(x) = an-1xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a1 x +a0

9. Interpolasi Newton Gergori Maju adalah menentukan nilai diatara data yang diketahui dengan persamaan

Ripai, S.Pd., M.Si

101


dengan .

10. Interpolasi Newton Gergori Mundur adalah menentukan nilai di antara data yang diketahui dengan persamaan

Dengan .

Ripai, S.Pd., M.Si

102


2.5 LatihanSelesaikan soal di bawah ini dengan benar!

1. Dapatkan persamaan yang memenuhi dari data

Kemudian tentukan nilai y bila x = 0.4

2. Lakukan interolasi polinomial untuk merekontruksi model garis pelukis bukit pada gambar di bawah ini, kemudian tentukan ketingian bukit pada jarak h = ¼ dan tingkat kecuramanya.

Gambar 2.17 Model gritosasi pola sebuah bukit

3. Lakukan aproksimasi untuk mendapatkan bentuk fungsi lain yang sesuai

dari fungsi pada domain 1 <

x < 1.5. kemudian tentukan nilai dari f’(1.2).

Ripai, S.Pd., M.Si

103


4. Lakukan gritisasi dan rekontruksi fungsi yang tepat melalui kurva daerah rawan banjir (warna merah) di kecamatan Sandubaya Kota Mataram berikut, kemudian hitung luasnya.

Suber: Peta tata ruang 2011-2031 kota MataramGambar 2.18 Peta daerah rawan banjir di Kecamatan Sandubaya Kota

Mataram NTB

5. Lengkapi tabel berikut dan Sketsa grafik fungsi y = f(x) .x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y0 ………….

…………5 …………. 0.0013

0.0888 …………..10 …………. …………. 0.0002

………….. ………….. -0.000215 ………... ………….. ………….

…………. 0.001720 …………. …………..

…………25 0.4663

Ripai, S.Pd., M.Si

104


6. Lakukan aproksimasi dengan deret Maclaurinatau Deret Taylor untuk menghampiri fungsi berikut sehingga bernilai sama pada domain yang diberikan:a. f(x) = ex pada domain [-5 5];b. f(x) = sin x / x pada domain [10 13];

7. Dengan metode Newton Gregory Maju dan Mundur, tentukan nilai awal yang tepat untuk menentukan nilai f(0.158) dan f(0.636) dari data sebagaimana tabel beda hingga berrikut :

x f(x) ∆f ∆2f ∆3f ∆4f0.125 0.79168

-0.018340.250 0.77334 -0.01129

-0.02963 0.001340.375 0.74371 -0.00995 -0.00038

-0.03958 0.001720.500 0.70413 -0.00823 0.00028

-0.04781 0.002000.625 0.65632 -0.00623

-0.054040.750 0.60228

8. Tentukan nilai dari y untuk x = 0.58 dengan interpolasi kubik pada domain [0.3 0.9] dari data berikut:

x y ∆y ∆2y ∆3y0.1 0.003

0.0640.3 0.067 0.017

0.081 0.0020.5 0.148 0.019

0.100 0.0030.7 0.248 0.022

0.122 0.0040.9 0.370 0.026

0.148 0.0051.1 0.518 0.031

0.1791.3 0.697

Ripai, S.Pd., M.Si

105


Ripai, S.Pd., M.Si

ripaimat.files.wordpress.com · web view2.1 rasionalisasi dalam penyelesaian masalah matematika...

Documents