ripaimat.files.wordpress.com · web viewcontoh 3.1 tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam...
TRANSCRIPT
BAB III
EKSPEKTASI MATEMATIKA
3.1 Rasional
Dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika.
3.2 Ekapektasi Matematik
Definisi 3.1 Ekspektasi Matematika Suatu Peubah Acak
Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan X atau harapan matematik X didefinisikan sebagai
ï
î
ï
í
ì
=
ò
å
kontinu
X
Jika
dx
x
f
x
diskret
X
Jika
x
xf
X
E
)
(
.
)
(
)
(
Contoh 3.1
Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria !
Solusi :
Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah :
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
3
7
3
3
3
4
)
(
x
x
f
, x = 0,1,2,3
Sehingga, f(0)=
(
)
(
)
;
35
18
2
;
35
12
1
;
35
1
=
=
f
f
dan
(
)
35
4
3
=
f
Jadi, E(X) = 0.
7
5
1
7
12
35
4
.
3
35
18
2
35
12
.
1
35
1
=
=
+
-
+
+
Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih adalah
7
5
1
tiap pemilihan.
Contoh 3.2
Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada:
f(X) =
î
í
ì
<
<
lainnya
X
untuk
X
untuk
X
,
0
1
0
,
2
Solusi:
E(X) =
(
)
3
2
3
2
2
,
1
0
1
0
1
0
3
=
ú
û
ù
=
=
ò
ò
x
xdx
x
dx
x
xf
Definisi 3.2 Ekspektasi Matematik Suatu Fungsi
Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,.
ï
î
ï
í
ì
=
ò
å
¥
¥
kontinu
x
Jika
dx
x
f
x
g
diskret
x
Jika
x
f
x
g
x
g
E
x
Contoh 3.3:
Misalnya X suatu peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:
x
0
1
2
3
f(x)
10
1
5
2
10
3
5
1
Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1
Solusi:
Karena X peubah acak diskret, maka
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
å
å
=
+
=
=
x
x
x
f
x
x
f
x
g
x
g
E
3
0
1
=
(
)
(
)
(
)
(
)
5
1
1
3
10
3
1
2
5
2
1
1
10
1
1
0
+
+
+
+
+
+
+
=
9
,
2
10
29
10
8
10
9
10
8
10
4
=
+
+
+
Contoh 3.4:
Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang
f(X) =
ï
î
ï
í
ì
<
<
-
lainnya
x
untuk
x
untuk
x
,
0
2
1
,
3
2
Hitunglah nilai harapan g(X)=2X-1!
Solusi:
(
)
(
)
ò
ò
-
=
-
=
-
2
1
2
3
2
2
3
1
3
1
1
2
)
1
2
(
dx
x
x
dx
x
x
x
E
(
)
(
)
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
-
1
8
3
1
1
16
2
1
3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
4
x
x
5
,
1
2
3
6
9
2
9
3
1
3
2
15
3
1
=
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
Definisi 3.3 Ekspektasi Matematika dari Fungsi Peluang Gabungan
Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x), maka nilai harapan matematika fungsi g(X,Y) ditentukan oleh:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
ò
ò
å
å
¥
¥
-
¥
¥
-
kontinu
Y
dan
X
Jika
dxdy
y
x
f
y
x
g
diskret
Y
dan
X
Jika
y
x
f
y
x
g
Y
X
g
E
x
y
.
,
,
,
,
,
,
,
Contoh 3.5:
Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y sebagai berikut
Hitungalah nilai harapan g(X, T) = XY .
Solusi:
18
15
18
4
9
2
9
2
2
1
9
1
18
1
.
4
4
1
.
2
9
1
.
1
)
2
,
2
(
)
2
)(
2
(
)
1
,
2
(
)
2
)(
1
(
)
1
,
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
,
1
(
)
1
)(
1
(
)
0
,
1
(
)
0
)(
1
(
)
2
,
0
(
)
2
)(
0
(
)
1
,
0
(
)
0
(
)
0
,
0
(
)
0
)(
0
(
)
,
(
)
(
2
0
2
0
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
å
å
=
=
f
f
f
f
f
f
f
f
y
x
xyf
XY
E
x
y
Contoh 3.6:
Hitunglah
÷
ø
ö
ç
è
æ
X
Y
untuk fungsi padat :
ï
î
ï
í
ì
<
<
<
<
+
=
lainnya
y
dan
x
x
x
y
x
x
f
0
1
0
;
2
0
4
)
3
1
(
)
(
2
Solusi:
8
5
2
3
4
)
3
1
(
3
1
0
2
1
2
1
0
=
+
ò
=
+
ò
ò
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
dy
y
y
dxdy
y
y
X
Y
E
Sifat 3.1 Ekspektasi Matematika
a. Jika a dan b konstanta, maka E(aX+b)-aE(X)+b
b. Jika a = 0, maka E(b)=b
c. Jika b = 0, maka E (aX) = aE(X)
d. E[g(X)+ h(X)] = E[g(X)]+ E[h(X)]
e. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y)=Y maka E(X+ Y)= E(X)+E(Y)
f. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y).
Bukti:
b
X
aE
x
f
b
x
xf
a
x
f
b
ax
b
aX
E
x
x
x
+
=
+
=
+
=
+
å
å
å
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(sifat 3.1a terbukti)
Bukti sifat berikutnya sebagailatihan mahasiswa.
3.3 Moment
Definisi 3.4 Moment Disekitar Pusat
Jika X peubah acak, maka moment disekitar pusat X dibdefinisikan sebagai
)
(
'
k
k
x
E
=
m
.
Jika k=0 maka dieproleh
1
)
(
)
(
0
'
0
=
=
=
å
å
x
x
x
f
x
f
x
m
. Untuk X diskret, dan
1
)
(
)
(
0
'
0
=
ò
=
ò
=
¥
¥
-
¥
¥
-
dx
x
f
dx
x
f
x
m
untuk X kontinu. Sekarang, jika k=1, maka
)
(
)
(
'
1
X
E
x
xf
x
=
=
å
m
dan
)
(
)
(
'
1
x
E
dx
x
xf
=
ò
=
¥
¥
-
m
yaitu nilai harapan pubah acak X itu sendiri. Dengan demikian momen pertama di sekitar titik asal suatu peubah acak X ini menyatakan rataan peubah acak tersebut. Maka dari itu rataan ini ditulis dengan
x
m
atau lebih sederhana
m
saja. Jadi,
)
(
x
E
=
m
.
Definisi 3.4 Moment Disekitar Rataan
Jika X peubah acak, maka moment disekitar rataan X dibdefinisikan sebagai
2
)
(
m
m
-
=
x
E
k
Untuk k=2 atau momen kedua di sekitar rataan, yaitu
2
m
, akan memberikan gambaran pengukuran sekitar rataan. Oleh sebab itu untuk selanjutnya
2
m
ini dinamakan variansi peubah acak X dan dinyatakan dengan
2
x
s
atau lebih singkat
2
s
saja. Jadi
]
)
[(
2
2
2
m
m
s
-
=
=
X
E
. Akar positif dari variansi ini akan memberikan suatu ukuran yang disebut dengan simpangan baku atau standar deviasi.
Teorema 3.1 Varians
Jika peubah acak bebas, maka
[
]
2
2
2
)
(
)
(
x
E
x
E
-
=
s
Bukti:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)]
(
[
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
2
(
)
(
x
E
x
E
x
E
x
E
E
x
E
x
E
x
x
E
x
E
-
=
-
=
+
-
=
+
-
=
+
-
=
-
=
m
m
mm
m
m
m
m
m
s
Contoh 3.7
Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !
Solusi:
Distribusi peluangnya adalah :
x
0
1
2
3
f(x)
35
1
35
12
35
18
35
4
7
24
35
4
.
3
35
18
.
2
35
12
.
1
35
1
.
0
)
(
]
[
7
12
35
4
.
3
35
18
.
2
35
12
.
1
35
1
.
0
)
(
]
[
2
2
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
å
å
x
x
x
f
x
X
E
x
xf
X
E
Jadi
49
24
7
12
7
24
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
Contoh 3.8
Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai :
î
í
ì
<
<
-
=
laiinya
x
untuk
x
x
x
f
0
2
1
)
1
(
2
)
(
hitunglah Rataan dan Variansi
Solusi
3
5
6
5
2
2
3
3
7
2
)
1
4
(
2
1
10
8
(
3
1
2
2
1
3
1
2
)
(
2
)
1
(
2
]
[
2
1
2
3
2
2
1
2
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
-
ò
=
-
ò
=
x
x
dx
x
x
dx
X
X
X
E
[
]
.
6
17
)
1
(
2
2
2
=
-
ò
=
dx
x
x
X
E
Sehingga diperoleh rataan
3
5
)
(
=
=
X
E
m
dan varians
18
1
3
5
6
17
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
Definisi 3.4 Kovarians
Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan
x
m
dan
y
m
, maka kovarians peubah acak X dan Y didefinisikan sebagai
)]
)(
[(
2
y
x
XY
Y
X
E
m
m
s
-
-
=
Teorema 3.2 Kovarians
Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan
x
m
dan
y
m
, maka kovarians peubah acak X dan Y dapat ditentukan dengan
)
(
)
(
)
(
2
Y
E
X
E
XY
E
xy
-
=
s
Bukti:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
)(
[(
2
Y
E
X
XY
E
Y
E
X
E
Y
E
X
E
X
E
Y
E
XY
E
Y
E
X
E
Y
E
X
E
XY
E
Y
X
XY
E
Y
X
E
x
y
y
x
x
y
y
x
xy
-
=
+
-
-
=
+
-
-
=
+
-
-
=
-
-
=
m
m
m
m
m
m
m
m
s
Contoh 3.9
Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut!
Solusi:
Distribusi pelang gabungannya sebagai berikut:
X
Y
0
1
2
0
28
3
28
9
28
3
1
28
6
28
6
2
28
1
Sehingga
[
]
å
å
=
=
=
=
2
0
2
0
14
3
)
,
(
x
y
y
x
xyf
XY
E
(lihat nilai harapan peubah acak gabungan X dan Y)
[
]
[
]
2
1
)
28
1
)(
2
(
)
28
12
)(
1
(
)
28
15
)(
0
(
)
(
)
,
(
4
3
)
2
3
)(
2
(
)
28
15
)(
1
(
)
28
10
)(
0
(
)
(
)
,
(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=
+
+
=
=
=
=
=
+
+
=
=
=
=
å
å
å
å
å
å
-
-
-
-
-
-
x
x
y
y
x
x
x
x
y
yh
y
x
yf
Y
E
x
xg
y
x
xf
X
E
m
m
Jadi
56
9
)
2
1
)(
4
3
(
14
3
)
(
-
=
-
=
-
=
y
x
xy
XY
E
m
m
s
Contoh 3.10
TEntukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai
î
í
ì
<
<
<
<
=
lainnya
x
y
y
x
y
x
f
0
1
0
;
0
4
)
,
(
4
1
4
)
(
0
1
0
x
=
ò
ò
=
=
ydxdy
X
E
y
m
dan
2
1
4
)
(
0
1
0
=
ò
ò
=
xydxdy
XY
E
y
sehingga
9
10
)
3
4
)(
3
2
(
2
1
)
(
=
=
=
y
x
xy
Xy
E
m
m
s
Sifat 3.1 Varians
a. Jika X pebuah acak dengan distribusi leluang f(x), maka variansi g(X) adalah
[
]
2
2
)}
(
)
(
{
)
(
x
X
g
E
x
g
x
m
s
-
=
b. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka
2
2
2
s
s
s
=
=
+
x
b
x
c. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka
2
2
2
2
2
s
s
s
a
a
x
ax
=
=
d. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
xy
Y
bY
aX
ab
a
s
s
s
2
2
2
2
+
=
+
e. Jika X dan Y penuh acak yang bebas, makan
2
2
2
2
2
y
x
bY
aX
b
a
s
s
s
+
=
-
Teorema 3.2 Teori Chebyshev
Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpngan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
1
k
, yaitu
2
1
1
(
k
k
X
k
p
-
³
+
<
<
-
s
m
s
m
Bukti :
Menurut definisi variansi,
[
]
dx
x
f
x
dx
x
f
x
dx
x
f
x
dx
x
f
x
dx
x
f
dx
x
f
x
X
E
k
k
k
k
k
k
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
m
s
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
ò
ò
ò
ò
ò
ò
-
¥
-
¥
+
+
-
¥
+
-
¥
-
¥
¥
-
-
+
-
³
-
+
-
+
-
=
-
=
-
=
karena integral
dx
x
f
x
k
k
)
(
)
(
2
ò
-
-
-
s
m
s
m
m
tak negatif. Kemudian
s
m
K
X
³
-
dengan
s
m
k
x
+
³
atau
s
m
k
x
-
£
dengan
2
2
2
)
(
s
m
k
X
³
-
dalam kedua integral lainnya, maka
ò
ò
¥
+
¥
-
+
³
s
m
s
m
s
s
s
k
k
dx
x
f
dx
x
f
k
)
(
)
(
2
2
2
2
. Jika ruas kanan dibagi dengan
2
2
s
k
, maka diperoleh
ò
ò
-
¥
-
¥
+
£
+
s
m
s
m
k
k
k
dx
x
f
x
f
2
1
)
(
)
(
sehingga
ò
-
-
-
³
=
+
<
<
-
s
m
s
m
s
m
s
m
k
k
k
dx
x
f
k
X
k
p
2
1
1
)
(
)
(
dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.
Contoh 3.11 :
Suatu peubah acak X mempunyai rataan
,
8
=
m
variansi
,
9
2
=
s
sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4
6
8
³
-
X
.
Solusi :
a, Telah diketahui, bahwa
,
8
=
m
variansi
,
9
2
=
s
sehingga
.
9
9
=
=
g
s
yang harus dicari adalah nilai k. Nilai k ini dicari dengan melihat salah satu ujung interval, yaitu -4 atau 20. Berdasarkan teorema Chebyshev diketahui, bahwa
,
1
1
)
(
)
(
2
ò
+
-
-
>
=
+
<
<
-
s
m
s
m
s
m
s
m
k
k
k
dx
x
f
k
X
k
p
sehingga
4
3
8
-
=
-
=
-
k
k
s
m
Dengan menyelesaikan persamaan ini diperoleh nilai k=4. Jadi,
[
]
s
s
1
15
)
20
4
(
1
1
1
)
3
)(
4
(
8
)
3
)(
4
(
8
)
20
4
(
³
<
<
-
Û
-
³
+
<
<
-
=
<
<
-
X
P
X
P
X
P
Kerena diketahui , bahwa simpangan baku = 3, maka 3k = 6
Û
k = 2, sehingga :
4
1
)
3
)(
2
(
8
)
3
)(
2
(
8
(
1
)
6
8
(
£
+
<
<
-
-
=
³
-
X
P
X
P
b.
)
6
8
6
8
(
1
)
6
8
6
(
)
6
8
(
1
)
6
8
(
+
<
<
-
-
=
<
-
<
-
-
=
<
-
-
=
³
-
X
P
X
P
X
P
X
P
3.4 Fungsi Pembangkit Moment
Definisi 3.5 Fungsi Pembangkit Moment
Fungsi pembangkit momen peubah acak X didefinisikan sebagai
Mx(t) = E(
)
tX
e
=
ï
î
ï
í
ì
å
=
¥
¥
-
ò
n
i
i
tX
tX
disket
x
jika
x
f
e
kontinu
x
jika
dx
x
f
e
1
),
(
,
)
(
Fungsi Pembangkit momen hanya ada, jika jumlah atau integral pada definisi di atas konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Caranya dengan menggukana rumus : misal X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit momen Mx(t), maka :
r
t
r
x
r
dt
t
M
d
m
=
=
0
)
(
Contoh 3.12:
Tentukan fungsi pembangkit momen peubah acak binomial X dan kemudian tunjukkan bahwa
np
=
m
dan
.
2
npq
=
s
Solusi:
Dari definisi diperoleh
å
å
=
=
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
n
x
n
x
n
t
n
t
q
pe
x
n
q
p
x
n
e
t
M
0
0
)
(
)
(
l
l
l
l
l
jumlah yang terakhir adalah penguraian binomial (pet+q)n, sehingga Mx(t)=(pet+q)n. Kemudian dibeproleh bahwa
t
n
t
pe
q
pe
n
dt
t
dMx
.
)
(
)
(
1
-
+
=
sehingga,
]
.
)
(
.
)
)(
1
(
[
)
(
1
21
2
2
t
n
t
t
n
t
t
e
q
pe
pe
q
pe
n
e
np
dt
t
Mx
d
-
-
+
+
+
-
=
. Untuk t=0, maka
np
=
1
m
dan
].
1
)
1
[(
2
+
-
=
p
n
np
m
Jadi,
np
=
=
1
m
m
dan
npq
n
np
=
-
=
-
=
)
1
(
2
1
2
2
m
m
s
Teorema 3.3 Ketunggalan
a. Jika X dan Y dua peubah acak, masing-masing dengan fungsi pembangkit moment Mx(t) dan My(t), maka untuk semua harga t, peubah acak X dan Y mempunyai distribusi peluang yang sama Mx(t) dan My(t)
b. Mx+a(t) = eatMx(t)
Bukti :
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
t
M
e
e
E
e
e
E
t
M
x
at
tx
at
a
x
t
a
x
=
=
=
+
+
Max(t) = Mx(at). (bukti sebagai tugas mahasiswa)
Jika x1, x2,..., x2 peubah acak bebas dengan fungsi penbangkit moment masing-masing Mx1(t), Mx2(t),..., Mxn(t), dan Y=X1+X2+....+X3 maka My(t) = Mx1(t) +Mx2(t)+.....+Mxn(t) (bukti sebagai tugas mahasiswa).
3.4 RANGKUMAN
1. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan sebagai
ï
î
ï
í
ì
=
ò
å
kontinu
X
Jika
dx
x
f
x
diskret
X
Jika
x
xf
X
E
)
(
.
)
(
)
(
2. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,.
ï
î
ï
í
ì
=
ò
å
¥
¥
kontinu
x
Jika
dx
x
f
x
g
diskret
x
Jika
x
f
x
g
x
g
E
x
3. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y) ditentukan oleh
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,.
ï
î
ï
í
ì
=
ò
å
¥
¥
kontinu
x
Jika
dx
x
f
x
g
diskret
x
Jika
x
f
x
g
x
g
E
x
4. Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b. Jika a = 0, maka E(b) = b. Jika b = 0, maka E(aX) = aE(X).
5. E[g(X)±h(X),Y] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)].
6. E[g(X,Y)±h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)].
7. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, maka diperoleh E(X±Y) = E(X)E(Y)
8. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y)
9. Variansi peubah acak X adalah
]
)
[(
2
2
m
s
-
=
X
E
10. Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataaan masing-masing
x
m
dan
y
m
diberikan oleh :
)]
)(
[(
y
x
xy
Y
X
E
m
m
s
-
-
=
11. Misal X peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka variansi g(x) adalah
]
)
)
(
[(
2
)
(
2
x
g
x
g
E
m
s
-
=
12. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka
2
2
2
s
s
=
=
+
x
b
x
a
13. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka
2
2
2
2
s
s
s
a
a
x
ax
=
=
14. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
2
2
2
2
2
)
(
2
2
y
ab
y
X
x
g
b
a
s
s
s
s
+
+
=
15. Jika X dan Y pe ubah acak yang bebas, maka
2
2
2
2
2
y
y
by
ax
b
a
s
s
s
+
=
+
16. Jika X dan Y peubah acak dan bebas, maka
2
2
2
2
2
y
y
by
ax
b
s
s
s
+
=
+
17. Peluang bahwa nilai setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
1
k
, yaitu
2
1
1
(
k
k
X
k
P
-
³
+
<
<
-
s
m
s
m
3.5 Soal-soal
1. Diketahui distribusi peluang peubah acak X adalah sebagai
x
x
x
x
f
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
3
3
4
1
4
1
)
(
untuk x = 0, 1, 2, 3, hitunglah E(X)!
2. Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang
î
í
ì
<
<
-
=
lainnya
x
x
x
x
f
0
1
0
)
1
(
2
)
(
3. Jika X menyatakan hasil yang muncul jika suatu dadu yang sepasang dilantunkan, hitunglah nilai E(Y), jika Y=2X2-5.
4. Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi padat gabungan :
î
í
ì
<
<
<
<
=
lainnya
x
y
x
xy
y
x
f
0
0
;
1
0
2
)
,
(
Hitunglah nilai harapan Z =
!
2
2
y
X
+
5. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang berikut :
X
1
2
3
P(X = x)
6
1
2
1
3
1
Hitunglah a) E(X); b. E(x2); c. E[(2X+1)2]; dan E[{X-E(X)}2]
6. Olid dan Dilla bersama-sama mengambil empat buah-buahan secara acak dari dalam tas yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang. Jika X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah kovariansi peubah acak X dan Y.
7. hitunglah kovariansi acak X dan Y yang mempunyai fugsi padat peluang gabungan ; f(x,y)= x+y, 0
8. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul jika sebuah dadu hiaju dilantunkan dan Y bilangan yang muncul jika sebuah dadu merah dilantukan hitunglah variansi peubah acak a, 2X-Y;b. X+3Y-5!
9. Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi
5
2
=
X
s
dan
5
2
=
y
s
, hitunglah variansi peubah acak Z = 12X+4Y-3!
10. Diketahui soal no. 9, hitunglah variansinya jika peubah acak X dan Y tak bebas dan
.
1
=
XY
s