diferensial dan integral - · pdf filekita baca “turunan fungsi yterhadap x”....

DiferensialDiferensial dandan IntegralIntegral

Oleh: Sudaryatno Sudirham

Open Course

Pengantar

Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakan

bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas

bagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral.

Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik,

pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan

pendekatan dari sisi aplikasi.

Cakupan Bahasan

� Turunan Fungsi-Fungsi

Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua

Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi

Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan

dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri

Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial

� Integral

Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. Penerapan

Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral.

� Persamaan Diferensial

Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat

Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan

Diferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian

Pengertian-Pengertian

Kita telah melihat bahwa

kemiringan garis lurus adalah

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆=

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

ΔΔΔΔxΔΔΔΔy

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

P1

Δy

Δx

x

y

P2

y = f(x)

∆x di perkecil menjadi ∆x*

pada kondisi ∆x mendekati nol

)()()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

xx′=

∆

−∆+=

∆

∆

→∆→∆

fungsi turunan dari )(xf

di titik P

ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P


P1

Δy*

Δx*

x

y y = f(x)

∗2P

(x1,y1)

(x2,y2)

x

y

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

)(xfy =


maka dikatakan bahwa fungsi f(x)

“dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x

y

x ∆∆

→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”.

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika

tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x

yy

dx

d

dx

dy

x ∆∆

==→∆ 0

lim)(


Fungsi Mononom

Fungsi Mononom

Turunan Fungsi, Mononom

kxfy == )(0

00)()(

lim0

0 =∆

=∆

−∆+=′

→∆ xx

xfxxfy

x

Contoh-1.1

xxfy 2)(11 ==

222)(2

lim)(0

1 =∆

∆=

∆

−∆+=′

→∆ x

x

x

xxxxf

x

Contoh-1.2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5x

y

xy 21 =

2)(1 =′ xf

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

222 2)( xxfy ==

xxx

x

xxxxx

x

xxxxf

x

xx

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

0

222

0

22

02

=∆+×=∆

−∆+∆+=

∆

−∆+=′

→∆

→∆→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk

mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)


Contoh-1.3

333 2)( xxfy ==

2222

0

33323

0

33

03

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxf

x

x

x

=∆+∆×+×=

∆

−∆+∆+∆+=

∆

−∆+=′

→∆

→∆

→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk

mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Contoh-1.4


nmxxfy == )(

)1()( −×=′ nxnmy

Secara umum, turunan mononom

adalah

kxfy =′=′ )(

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus

dan turunannya berupa nilai konstan,

nmxy =

)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan

fungsi x,

nmxy =

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi

turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′

)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′

*) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

*)

dx

dyxfy =′=′ )(

2

2

)(dx

ydxfy =′′=′′

3

3

)(dx

ydxfy =′′′=′′′

disebut turunan pertama,

turunan kedua,

turunan ke-tiga, dst.


344 2)( xxfy ==

12 ;12)2(6 ;6)3(2 4)12(

42)13(

4 =′′′==′′==′ −− yxxyxxy

Contoh-1.5:


nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100

0

100

200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4xy =

34xy =′

212xy =′′

xy 24=′′′

24=′′′′y

212xy =′′3

4xy =′

Contoh-1.6:

34xy =′ 2

12xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y

4xy = dan turunan-turunannya Fungsi

Fungsi Polinom

Turunan Fungsi, Polinom

Contoh-1.7: 24)(11 +== xxfy

{ } { }4

242)(4lim)(1 =

∆

+−+∆+=′

→∆ x

xxxxf

xx

f1(x) = 4x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

4)('1 =xf Turunan fungsi ini

sama dengan

turunan f(x)=4x

karena turunan dari

tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)

Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf

4)(2 =′ xf

)2(4)(2 −−−−==== xxf

4)(2 ====′′′′ xf

-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4x

y

Contoh-1.8:



Contoh-1.9: 524)(2

33 −+== xxxfy

{ } { }28224

5245)(2)(4lim

22

03

+=+×=∆

−+−−∆++∆+=′

→∆

xx

x

xxxxxxy

x

5245)(23

44 −++== xxxxfy

{ } { }

281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

22

2323

04

++=+×+×=

∆−++−−∆++∆++∆+

=′→∆

xxxx

x

xxxxxxxxxy

x

Contoh-1.10:

Secara Umum:

Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa

mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom

dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

Nilai Puncak Suatu Fungsi

Turunan Fungsi, Nilai Puncak

Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis

singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x).

Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol.

Contoh-1.11: Polinom Orde Dua 13152 2 ++= xxy

154 +=′ xy

Inilah absis titik puncak

0154 =+=′ pxy 175,3−=px

Jika fungsi turunan pertama ini = 0 maka

Ordinat titik puncak diperoleh dengan

memasukkan xp ke persamaan kurva

125,15 13)75,3(152(-3,75)

13152

2

2

−=+−×+=

++= ppp xxy

Jadi koordinat titik puncak adalah: 15.125)- ,15.3(P =

cbxaxy ++= 2

02 =+=′ baxy

a

bxp

2−=

Secara umum, xp dari fungsi kuadrat

dapat diberoleh dengan membuat

sehingga diperoleh

Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan

xp ke persamaan.

a

acbc

a

bcbxaxy ppp

4

4

4

222 −

−=+−=++=


Maksimum dan Minimum


Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak

merupakan nilai minimum atau maksimum?

Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak.

y

x

Q

P

y′y′

y′ (kemiringan garis

singgung) sekitar titik

maksimum terus menurun

y″ bernilai negatif di

sekitar titik maksimum

y′ (kemiringan garis

singgung) sekitar titik

minimum terus meningkat

y″ bernilai positif di

sekitar titik minimum

Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak

tersebut adalah titik maksimum.

Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak

tersebut adalah titik minimum


13152 2 ++= xxy

125,15−=py

4=′′yNilai puncak fungsi

dan ini merupakan nilai

minimum, karena y ″ > 0

Contoh-1.12:

175,3−=px

-30

-15

0

15

30

45

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

Contoh-1.13: 13152 2 ++−= xxy

4−=′′yNilai puncak fungsi

dan ini merupakan nilai

maksimum, karena y ″ < 0

75,3+=px 125,41+=py

-60

-45

-30

-15

0

15

30

45

-4 -2 0 2 4 6 8

Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > ymin

Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < ymaks

Contoh-1.14:


332 23 +−= xxy

0)1(666 2 =−=−=′ xxxxy

1dan 0 memberikan 21 == pp xx

3+=puncaky 2+=puncaky

6 1Untuk

6 0Untuk

612

+=′′⇒=

−=′′⇒=

−=′′

yx

yx

xy

maksimum

relatif

minimum

relatif

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

P[0,3] Q[1,2]

x

y

Turunan Fungsi, Garis Singgung

Garis Singgung

Kemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurva

suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R.

Persamaan garis singgung:

Kxys +=12

K+×= 2127

17247 −=−=K

1712 −= xys

332 23 +−= xxyContoh-1.15:

)1(666 2 −=−=′ xxxxy

2R =x

734382R =+×−×=y

Titik R dengan absis memiliki ordinat R(2,7)

12126 =××=mKemiringan garis singgung di titik R adalah

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5x

y

ys

R332 23 +−= xxy

Fungsi Yang Merupakan

Perkalian Dua Fungsi

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

dx

dy+==

)(

vwy =

)(

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

∆∆+∆+∆+=

∆+∆+=∆+

x

wv

x

vw

x

wv

x

vwvwvwwvwv

x

yyy

x

y

∆∆∆

+∆∆

+∆∆

=

∆−∆∆+∆+∆+

=∆

−∆+=

∆∆

)()(

Jika

maka

Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Contoh-1.16:

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

xxdy =+=×+×=

×=′

56xy = 430xy =′Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx

duvw

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

duv

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

uvdw

dx

dwuv

dx

wuvd

dx

uvwd

)()()(

)( )(

)())(()(

++=

++=+==

Jika uvwy =

56xy =

44442

222

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

uvwd

dx

dy

=++=×+

×+×==

Contoh-1.17:

Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

vvvvy ××== 2361Contoh-1.18:

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dy

5

4555

22345

32

23231

6

2

)()()(

=

++++=

++

++=

++=

dx

dvv

dx

dv

dv

dv

dx

dv 566

6==

dx

dvnv

dx

dv nn

1−=

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

Contoh-1.19:

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

2332 )1()1( −+= xxy

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

)1()1(

3223

22233322

22232332

3223

2332

−++−=

+−+−+=

+−+−+=

+−+

−+=

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian

dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi Rasional

Turunan Fungsi, Fungsi Rasional

Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w

vy = 1−= vwy

−=

+−

=+−=

+==

=

−−

−−−

dx

dwv

dx

dvw

w

dx

dv

wdx

dv

w

v

dx

dvw

dx

dvvw

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

w

v

dx

d

dx

dy

2

2

12

111

1

1

)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

w

v

dx

d

−

=

atau

Jadi:

Turunan Fungsi, Fungsi Rasional

3

2 3

x

xy

−=

4

2

6

244

6

223

9)93(2

)3)(3()2(

x

x

x

xxx

x

xxxx

dx

dy

+−=

−−=

−−=

Contoh-1.20:

2

2 1

xxy +=

3

2 22

4

2102

xx

xxx

dx

dy−=

×−×+=

Contoh-1.21:

1dengan ;1

1 2

2

2

≠−

+= x

x

xy

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2)1(2)1(

−

−=

−

−−−=

−

+−−=

x

x

x

xxxx

x

xxxx

dx

dy

(agar penyebut tidak nol)Contoh-1.22:

Fungsi Implisit

Fungsi Implisit

Turunan Fungsi, Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit

namun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan

fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam

bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat

didiferensiasi terhadap x.


Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.

Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,

maka operasi yang sama harus dilakukan pula di

ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita

lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan

kita akan peroleh

822 =++ yxyxContoh-1.23:

yxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dxy

dx

dyxx

−−=+

=+++

2)2(

022

yx

yx

dx

dy

2

2

+

+−=

0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika


434 434 =−+ yxyx

0124)3(44

0)3()4(

44

3323

43

33

=−++

=−++

dx

dyyy

dx

dyyxx

dx

yd

dx

xdy

dx

dyxx

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan.

Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita

akan memperoleh

Contoh-1.24:

0)( 32 ≠− yxy

)(3

)(32

33

yxy

yx

dx

dy

−

+−=

kita dapat memperoleh turunanUntuk

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

(v adalah fungsi yang

bisa diturunkan)

q

pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat

dx

dvpv

dx

dyqy pq 11 −− =

Jika y ≠ 0, kita dapatkandx

dv

qy

pv

dx

vd

dx

dy

q

pqp

1

1/ )(

−

−==

( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==

dx

dvv

q

p

dx

dvv

q

p

dx

dv

qv

pv

dx

vd

dx

dy

qp

qppp

qpp

pqp

1)/(

)/()1(

)/(

1/

)(

−

+−−−

−

=

===

sehingga

qpn vvy /== pq vy =

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,

hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Kaidah Rantai

Kaidah Rantai

Turunan Fungsi, Kaidah Rantai

Kaidah rantai

)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,

)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika

( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka

dt

dx

dx

dy

dt

dy=

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan

demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.

Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan

persamaan yang berbentuk

)(dan )( tfytfx ==

)(xFy =

Diferensial dx dan dy

Diferensial dx dan dy

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan

merupakan peubah bebas lain selain x;

2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx

yang dinyatakan dengan dxxFdy )('=

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

)(lim0

xfx

y

dx

dy

x′=

∆

∆=

→∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian

rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y

terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan

y merupakan fungsi dari x: )(xFy =

P

dx

dy

θ

x

y

Pdx

dy

θ

x

y

Pdx

dy

θ

x

y


Penjelasan secara grafis

Pdx

dy

θ

y

xIni adalah

peubah bebas

Ini adalah fungsi

(peubah tak bebas)dxxFdy )('= P

dx

dy

θ

y

x

Jika dx berubah, maka dy

berubah sedemikian rupa

sehingga dy/dx sama

dengan kemiringan garis

singgung pada kurva

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif

jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia

“mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

θ= tandx

dydxdy )(tan θ=

; besar perubahan nilai y sepanjang

garis singgung di titik P pada kurva,

jika nilai x berubah sebesar dx

laju perubahan y

terhadap perubahan x.


Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula

turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ;0 == cdx

dc

dx

dvc

dx

dcv=

dx

dw

dx

dv

dx

wvd+=

+ )(

cdvdcv =

konstan ;0 == cdc

dwdvwvd +=+ )(

dx

dvw

dx

dwv

dx

dvw+= wdvvdwvwd +=)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

dx

w

vd −

=

2w

vdwwdv

w

vd

−=

dx

dvnv

dx

dv nn

1−= dvnvdvnn 1−=

1−= nn

cnxdx

dcx dxcnxcxdnn 1

)(−=

DiferensialTurunan Fungsi


Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian

dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan

tabel)

Contoh-1.25: 653 23 −+−= xxxy

563 2 +−=′ xxy

dxxxdy )563( 2 +−=sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan

formula dalam tabel di atas

dxxx

dxxdxdxxdxdxdxddy

)563(

563 )6()5()3()(

2

223

+−=

+−=−++−+=

Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri

x

xxxxx

x

xxx

dx

xd

dx

dy

∆

−∆+∆=

∆

−∆+==

sinsincoscossin

sin)sin(sin

xy sin= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.

Oleh karena itu

xdx

xdcos

sin=


x

xxxxx

x

xxx

dx

xd

dx

dy

∆

−∆−∆=

∆

−∆+==

cossinsincoscos

cos)cos(cos

xy cos= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.

Oleh karena itu

xdx

xdsin

cos−=


Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 2

22

2

seccos

1

cos

)sin(sincos

cos

sintan==

−−=

=

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 2

22

2

cscsin

1

sin

)(coscossin

sin

coscot−=

−=

−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdtansec

cos

sin

cos

)sin(0

cos

1sec22

==−−

=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdcotcsc

sin

cos

sin

)(cos0

sin

1csc

22−=

−=

−=

=


Contoh-1.26:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad

merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada

kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt

dvCi C

C =

( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

d

dt

dvCi C

C =××==

watt800sin16400sin400cos32400cos16,0400sin200 tttttivp CCC ==×==

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

vC pCiC

vC

iCpC

t [detik]


Contoh-1.27:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus

iL = −0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt

diLv L

L =

( ) tttdt

d

dt

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==

W800sin20400cos400sin40)400cos2.0(400sin200 tttttivp LLL −=−=−×==

vL

iLpL

vL pLiL

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=

ydx

dy

cos

1=

21

1

xdx

dy

−=x

1

21 x−

y

ydx

dy

sin

1−=

21

1

xdx

dy

−

−=

x

1 21 x−y

xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=


xy 1tan−= yx tan= dyy

dx2cos

1=

ydx

dy 2cos=21

1

xdx

dy

+=x

1

21 x+y

xy 1cot−= yx cot= dyy

dx2sin

1−=

ydx

dy 2sin−=21

1

xdx

dy

+

−=

x

1

21 x+y


xy 1sec−=y

yxcos

1sec == dy

y

xdx

2cos

)sin(0 −−=

1

1

1

1

sin

cos

2

22

2

−=

−×==

xx

x

x

xy

y

dx

dy

1

x12 −xy

xy 1csc−=y

yxsin

1csc == dy

y

xdx

2sin

)(cos0 −=

1

1

1

1

cos

sin

2

22

2

−

−=

−×−=

−=

xx

x

x

xy

y

dx

dy1

x

12 −x

y

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdcos

)(sin)(sin==

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdsin

)(cos)(cos−==

Jika v = f(x), maka

dx

dvv

dx

dv

x

xx

v

v

dx

d

dx

vd 2

2

22

seccos

sincos

cos

sin)(tan=

+=

=

dx

dvv

v

v

dx

d

dx

vd 2cscsin

cos)(cot−=

=

dx

dvvv

dx

dv

v

v

vdx

d

dx

vdtansec

cos

sin0

cos

1)(sec

2=

+=

=

dx

dvvv

vdx

d

dx

vdcotcsc

sin

1)(csc−=

=


dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(sin

−=

−

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cos

−−=

−

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(tan

+=

−

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cot

+−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(sec

2

1

−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(csc

2

1

−−=

−

Jika w = f(x), maka

Fungsi Logaritmik

dan

Fungsi Eksponensial

Turunan Fungsi Logaritmik

Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik

)0( 1

ln)(1

>== ∫ xdtt

xxfx

xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi

oleh kurva (1/t) dan

sumbu-t, dalam selang

antara t = 1 dan t = x

x t

1/x

1/t

x +Δx 1/(x+Δx)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

∫=x

dtt

x1

1

ln

∆=

∆−∆+

= ∫∆+ xx

xdt

txx

xxx

dx

xd 11)ln()ln(ln

Luas bidang ini lebih kecil dari luas

persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x

makin kecil, luas bidang tersebut akan

makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan

(∆x × 1/x).

xdx

xd 1ln=

ln(x+∆x)−lnx

Tentang integral akan

dipelajari lebih lanjut

Turunan Fungsi Eksponensial

Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial

xey = xexy == lnln

penurunan secara implisit di kedua sisi

11ln

==dx

dy

ydx

yd

xeydx

dy==atau

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri

xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.

.

)(xvv =dx

dve

dx

dv

dv

de

dx

de vvv

==Jika

xey1tan−

=2

tan1tan

1

tan1

1

x

e

dx

xde

dx

dy xx

+==

−−

−

Integral Tak Tentu

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk

mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

)(xfdx

dy=

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti

ini disebut persamaan diferensial.

036

652

22

2

2

2

=++

++=

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Contoh persamaan diferensial


)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan

diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat

memenuhi

)()(

xfdx

xdF=

)(xfdx

dy=Tinjau persamaan diferensial

[ ]0

)()()(+=+=

+

dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFdKarena maka

KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi


Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf +=∫ )()(

dxxfxdF )()( =

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral

tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

xfdx

xdF=

dapat dituliskan


45xdx

dy=

dxxdy 45=

dxxxd 45 5)( =

Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh-2.1:

oleh karena itu


Carilah solusi persamaan

yxdx

dy 2=

Contoh-2.2:

dxyxdy 2=kelompokkan peubah sehingga

ruas kiri dan kanan

mengandung peubah berbedadxxdyy 22/1 =−

( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23

3

1=

( )

= 32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

3

12 KxKy +=+

KxKKxy +=−+= 312

32/1

3

1

3

12


Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk

memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah

ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

Kydy +=∫

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

∫∫ = dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1

−≠++

=+

∫ nKn

ydyy

nn

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah

pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).


Penggunaan Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu, Penggunaan

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan

bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal

melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki

oleh K.

kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

yi = 10x2 +Ki

y

x

Kxdxx

+=∫ 23

103

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan

menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah

posisi benda pada t = 4.

Contoh-2.3:

tatv 3==

kecepatan percepatan waktu

dt

dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt

dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdtds =

∫ +=+== KtKt

atdts 22

5,12

3

274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts

Integral Tak Tentu, Penggunaan

Luas Sebagai Suatu Integral

Luas Sebagai Suatu Integral

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral

)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva

sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh-2.4:

p x x+∆x q

y

x

y = f(x) =2

0

2

∆ApxApx

xApx ∆=∆ 2 )(2 xfx

Apx ==∆

∆atau

2)(lim0

===∆

∆

→∆xf

dx

dA

x

A pxpx

x

KxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp += 20 pK 2−=atau

pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤

p x x+∆x q

y

x

y = f(x)

0

∆Apx

f(x)f(x+∆x )

Apx

∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x

xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0

x0 adalah suatu nilai x yang

terletak antara x dan x+∆x

Jika ∆x → 0: )(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x==

∆

∆

→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(

] qppq xFpFqFA )()()( =−=

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral

Integral Tentu

Integral Tentu, Pengertian

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang

sebagai suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Bidang dibagi dalam

segmen-segmen

Luas bidang dihitung

sebagai jumlah luas segmen

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk)×∆xk


sebagai f(xk+∆x)×∆xk

Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11

0

1

)()()(

Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekati

suatu nilai limit yang sama

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0


sebagai f(xk)×∆xk


sebagai f(xk+∆x)×∆xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu


∫=q

ppq dxxfA )(

] )()()()( pFqFxFdxxfAqp

q

ppq −=== ∫

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas bidang menjadi


Luas Bidang

)(xfy =Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p

sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas

sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

Integral Tentu, Luas Bidang

xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x

dari x = −3 sampai x = +3.

Contoh-2.5:

xxy 123 −=

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

=−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

−=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi

mengenai Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki

bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x

p

q

y

x

A4

A1

A2

A3

y = f(x)

( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

4321 AAAAApq +−+−=

Integral Tentu, Luas Bidang

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas

p q

y

x0

y1

y2

x x+∆x

∆Apx

{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21

Rentang qxp ≤≤

dibagi dalam n segmen

{ }∑∑∆−=

=

∆−=xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 21

1

jumlah semua segmen:

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21

1

Dengan membuat n menuju tak

hingga sehingga ∆x menuju nol

kita sampai pada suatu limit

Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva

{ } ] 30)12(186)2(4(32

3

2=−−==−−= +

−

+

−∫ xdxApq

41 =y 22 −=yJika dan

berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

Contoh-2.6:

21 xy = 42 =yJika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh-2.7:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,24 212

21 ==−==⇒=→= qxpxxyy

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

=−

−=

−−−−

−

−=−= ∫−

xxdxxApq

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y2

y1y2

di atas

y1

y

x


221 +−= xy xy −=2Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh-2.8:

Batas integrasi adalah nilai x pada

perpotongan kedua kurva

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=

−

++−==

=++−−=+−→=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+

−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y1 di atas y2

y1

y2

y

x


Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan

konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh

piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan

energi diberi simbol w, maka

yang memberikan

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas

bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan

satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8

jam adalah

dt

dwp = ∫= pdtw

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 1008

0

8

0

8

0

=

==== ∫∫ tdtpdtw

Penerapan Integral

Integral Tentu, Penerapan

Contoh-2.9:

dt

dqi = ∫= idtq

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu

sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan

yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai

t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh-2.10:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

Integral Tentu, Penerapan

Volume Sebagai Suatu Integral

Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral

untuk menghitung volume.

Balok

∆x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan

A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan

maka volume irisan ∆V adalah

xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(

Volume balok V adalah ∑ ∆=q

p

xxAV )(

luas rata-rata irisan antara

A(x) dan A(x+∆x). Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil

A(x) sebagai pengganti maka kita

memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈q

p

xxAV )(

Jika ∆x menuju nol dan A(x)

kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=→∆

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x


y

x

∆x

O Q

P

A(x) adalah luas lingkaran dengan

jari-jari r(x); sedangkan r(x)

memiliki persamaan garis OP.

[ ] ∫∫∫ π=π==hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()(

m : kemiringan garis OP

h : jarak O-Q.

3

3

PQ/OQ)(

3

23232

kerucuth

rhhm

V π=π

=π

=

Jika garis OP memotong sumbu-y maka

diperoleh kerucut terpotong

Rotasi Bidang Sembarang


y

x

∆x

0 a b

f(x)

( ) ( )22)()()( xfxrxA π=π=

( )∫ π=b

adxxfV

2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi

bagian. Pada gambar di samping ini

terdapat tiga rentang x dimana

fungsi linier kontinyu. Kita dapat

menghitung volume total sebagai

jumlah volume dari tiga bagian.

y

x

∆x

0 a b

f2(x)

f1(x)

f3(x)

Pengertian

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat

satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial

diklasifikasikan sebagai:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak

termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau

fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi

turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah

pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xex

y

dx

yd

dx

yd=

++

+

12

5

2

22

3

3

Contoh:

Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan

diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan

digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh

f(x) dan turunannya.

0=+− −− xx keke

xkey −= 0=+ ydt

dyadalah solusi dari persamaan

xkey −=xke

dt

dy −−=karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan

kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang

mengandung n tetapan sembarang.

Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

Persamaan Diferensial Orde Satu

Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan

Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah

Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan

Peubah Yang Dapat Dipisahkan

Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita

tuliskan dalam bentuk

0)()( =+ dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi

umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(

yxedx

dy −=

0=− dxedye xy

y

x

e

e

dx

dy=Persamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai

persamaan dengan peubah terpisah

Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau

Contoh-3.1:

Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas:


Contoh-3.2:xydx

dy 1=

0=−x

dxydy

Kx

dxydy =− ∫∫

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy

=− ln2

2

Kxy ′+= 2ln

atau

x

dxydy = atau

Integrasi kedua ruas


Persamaan Diferensial Homogen

Orde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan

dalam bentuk

=

x

yF

dx

dy

Jadikan sebagai peubah bebas baru

x

yv =

vxy =

dx

dvxv

dx

dy+=)(vF

dx

dvxv =+

0)(

=−

+vFv

dv

x

dx

pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

vvFdx

dvx −= )(

x

dx

vvF

dv=

−)(

atau:

Contoh-3.3: 02)( 22 =++ xydydxyx

02)1(2

22 =++ xydydx

x

yxUsahakan menjadi homogen

dyx

ydx

x

y2)1(

2

2

−=+

)/()/(2

)/(1 2

xyFxy

xy

dx

dy=

+−=

Peubah baru v = y/x

vxy =

dx

dvxv

dx

dy+= v

v

dx

dvxv

2

1 2+−=+

v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

1 22 +−=

+−−=

x

dx

v

vdv−=

+ 231

20

31

2

2=

++

v

vdv

x

dxpeubah terpisah atau

)(2

1 2

vFv

v

dx

dy=

+−=


Kita harus mencari solusi

persamaan ini untuk

mendapatkan v sebagai

fungsi x.

031

2

2=

++

v

vdv

x

dx

dx

xd

x

)(ln1=

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(

2

2

2

22

vvdv

vd

vd

vd

dv

vd

+=

+

+

+=

+Kita coba hitung

KKvx ′==++ ln3

1)31ln(

3

1ln 2

0)31ln(

3

1 2

=+

+ dvdv

vd

x

dx

KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2

Kvx ′=+ )31( 23

( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan

kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk

persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:


Persamaan Diferensial Linier

Orde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau

nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita

tuliskan dalam bentuk

QPydx

dy=+

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan.

Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

dya =+

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu

bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama

yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus.

Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit

yang merupakan gabungan dari bentuk utama.


Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada

peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.

Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara

pendugaan.

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan

rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa

tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

penggerak.

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan

jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah

fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan

solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan

homogen

0=+ bydt

dya


Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang

diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka

y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=+++=

+++

=+

bfdt

dfabf

dt

dfabf

dt

dfa

ffbdt

ffdaby

dt

dya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan

kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah

dari solusi khusus dan solusi homogen.


Solusi Homogen

Persamaan homogen 0=+ bydt

dya

Jika ya adalah solusinya maka

0=+ dta

b

y

dy

a

a

integrasi kedua ruas memberikan

Kta

bya =+ln

sehingga

Kta

bya +−=ln

taba

Kta

b

a eKey )/(−+−==

Inilah solusi homogen


)(tfbydt

dya p

p=+

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

ω+ω=→ω=ω=

==→==

==→==

=→=

αα

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini

dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti

itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalahtab

aptotal eKyy )/(−+=

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 =+ vdt

dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.


Contoh-3.4:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.

Solusi khusus bernilai nol.

01000 =+ dtv

dv

Ktv +−= 1000ln

ta

Kt eKev 10001000 −+− ==

Penerapan kondisi awal: aK=12

Solusi total: V 12 1000tev −=


Contoh-3.5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 =+− vdt

dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 =+−a

a vdt

dv0103 =+ dt

v

dv

a

a

taa eKv 1000−=

Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan):t

atotal eKv 100012 −+=

Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=


Contoh-3.6: Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien

menghasilkan persamaan tvdt

dv10cos1005 =+

Carilah solusi total

Solusi homogen: 05 =+ aa v

dt

dv05 =+ dt

v

dv

a

a

Ktva =+ 5lnt

aa eKv 5−=

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA

010sin510sin10 =+− tAtA sc0510 =+− sc AA

8=sA 4=cA

Solusi total (dugaan):t

aeKttv 510sin810cos4 −++=

Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=

Persamaan Diferensial

Linier Orde Dua

Untuk

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan

langsung melihat

Analisis Transien

Courseware

Diferensial dan Integral

Sudaryatno Sudirham

diferensial dan integral - · pdf filekita baca “turunan fungsi yterhadap x”....

Documents