Pengenalan

GEOMETRI AFFINE

Dasar dari Geometri Affine adalah Geometri Terurut.

Bidang Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari

bidang terurut. Pengertian pangkalnya sama yaitu titik

dan keantaraan.

PENGENALAN GEOMETRI AFFINE

Aksioma 4.1 Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 4.2 Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A F B].

Aksioma 4.3 (Dalam ruang dimensi dua) Semua titik ada dalam satu bidang.

AKSIOMA-AKSIOMA PADA GEOMETRI AFFINE

Aksioma 4.4 Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.

Aksioma 4.5 Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r.

Aksioma 4.6 Jika A, A’, B, B’, C, C’, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB// A’B’, BC//B’C’, maka CA//C’A’.

Kesejajaran dalam Geometri Affine ini adalah suatu relasi ekuivalensi. Jadi memenuhi sifat-sifat :◦Refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan

garis a sendiri.◦Simetrik, yaitu jika garis a sejajar dengan

garis b, maka garis b sejajar dengan garis a.

◦Transitif, yaitu jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c.

KESEJAJARAN DALAM GEOMETRI AFFINE

Teorema 4.1Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC//B’C’, CA//C’A’ dan AB//A’B’. maka ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik(konkuren) atau sejajar.

Diketahui :BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’ Akan dibuktikan:AA’, BB’ dan CC’

berpotongan pada satu titik atau sejajar

Bukti: ◦Jika ketiga garis AA’, BB’ dan

CC’ tidak semuanya sejajar, dua diantaranya tentu berpotongan

◦misalnya AA’ dan BB’ berpotongan di O dan OC memotong B’C’ di C1

◦Maka didapat AA’, BB’ dan CC1 berpotongan di O dan AB//A’B’, BC//B’C1(BC//B’C’), maka AC//A’C1 (aksioma 4.6)

◦karena C1 pada B’C’ dan AC//A’C1

◦Maka C1 pada A’C’ (AC//A’C’) dan C1 juga pada B’C’.

O

C A

B

C’ A’ C1

B’

A’B’C’ suatu segitiga.

maka haruslah C1 berimpit dengan C’.

Jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik jika tidak semuanya sejajar

O

CA

B  C’

A’

B’

Teorema 4.2Jika A, A’, B, B’, C, C’ adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA’, BB’, CC’ diletakkan sedemikian hingga garis AB sejajar dengan A’B’. BC sejajar dengan B’C’, maka CA juga sejajar dengan C’A’

Diketahui : AA’//BB’//CC’ AB//A’B’ dan BC//B’C’

Akan dibuktikan: CA//C’A’

Bukti: Melalui A’ dilukis A’C1 // AC,

sehingga C1 terletak pada B’C’. Maka AB//A’B’ dan BC//B’C’ dan AC//A’C1. Jadi AA’//BB’//CC1 (teorema 4.1).

Diketahui AA’//BB’//CC’ sehingga C1 terletak pada CC’, C1 juga terletak pada B’C’.

Karena garis-garis BB’ dan CC’ berlainan, maka tidak mungkin B’ terletak pada CC’

B C

A    B’ C1 C’

  A’ 

Jadi dari C1 pada CC’ dan C1 pada B’C’ dapat disimpulkan bahwa C1 berimpit dengan C’ dengan demikian diperoleh CA // C’A’

A C   B 

A’ C’  

B’

Definisi 4.1

Empat titik A,B, C, dan D yang tidak segaris

dikatakan membentuk suatu jajargenjang

jika AB sejajar DC dan BC sejajar AD

D C 

P

A B

Definisi 4.2

Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang

mentransformir setiap garis ke garis yang

sejajar

Teorema 4.3

Dua Segmen yang diketahui AB dan A’B’

pada garis-garis yang sejajar menentukan

dengan tunggal suatu dilatasi AB → A’B’

P’ C’

A’ B’

Bukti : Misalkan P sebarang titik pada

bidang. Untuk melukis bayangan P

yaitu P’ : ◦ Buat garis melalui A’ // AP◦ Buat garis melalui B’ // BP

Titik potong keduanya adalah P’ Menurut teorema 4.1, maka

AB //A’B’ sehinga AA’, BB’, CC’ dan PP’ adalah konkruen atau sejajar, sehingga C’P’ // CP.

Jadi transformasi itu betul suatu dilatasi.

P C

A B

Namun jika AB berhimpit dengan A’B’ maka transformasi dapat dipandang sebagai AC→A’C’, sehingga dua segmen sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi

P’ C’

C P

A’ A B

B’

Definisi 4.3Invers dari dilatasi AB → A’B’ ialah dilatasi A’B’ → AB

Definisi 4.4Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB→AB

Maka hasil kali dua dilatasi AB → A’B’ dan A’B’ → A”B” ialah dilatasi A’B’ → A’’B’’

A B

A’ B’

A” B”

Garis-garis invarian :Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya.

Garis-garis invarian berpotongan pada satu titik atau sejajar.

Suatu Dilatasi dikatakan dilatasi sentral jika garis-garis invarian menghubungkan dua titik berkorespondensi, berpotongan pada satu titik.

Titik pusat dilatasi: Titik potong garis-garis invarian

Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi.

Dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak mempunyai titik invarian.

A A’ O C B C’

B’

A A’

C C’ B B’

Bukti : Jika kita misalkan :

◦garis AA’ ialah garis a◦garis BB’ ialah garis b◦garis CC’ ialah garis c

untuk setiap titik C, titik potong C dengan suatu segmen AB dengan A pada garis a dan B pada garis b maka akan diperoleh [ACB]

a c b

A’ C’

B’

A C B

Teorema 4.5Dilatasi AB → A’B’ mentransformir setiap

titik

Jika ABC dan A’B’C’ merupakan 2 pasangan 3 titik yang segaris pada garis-garis yang berlainan sedemikian hingga garis AA’, BB’ dan CC’ mempunyai titik sekutu O yang tidak terletak antara A dan A’,tidak terletak antara B dan B’, dan tidak terletak antara C dan C’.

Jika [A C B] maka [A’ C’ B’]Bukti :OC terletak di dalam sudut AOB Untuk setiap titik C’, titik potong OC dengan suatu segmen A’B’ dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada OB dipenuhi [A’ C’ B’].

O

A’ C’ B’

A C B

Untuk titik-titik A, B, dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garis-garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini.

[ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]

a b c a b c

A1 A2

A C B A’ C’ B’

B1 B2

Teorema 4.6Hasil kali 2 translasi A B dan B C adalah translasi A C

Bukti: Andaikan hasil kali 2 translasi ini bukan suatu

translasi, maka tentu ada titik invariannya O. Titik O diperoleh dari translasi pertama A B, Titik O di bawa ke O’ karena translasi pertama A B. Titik O’ dibawa ke O karena titk O titik invarian oleh

B C,tetapi O’ O adalah invers dari O O’ Jadi hasil kali dua translasi mempunyai titik invarian

jika yang satu invers dari yang lain dan hasil kali ini berupa identitas. Jadi hasil kali dua translasi adalah suatu translasi yaitu dilatasi yang tidak ada titik invariannya.

Definisi 4.5Jika 2 titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB BA atau A ↔ B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.

Jika C sebarang titik di luar garis AB, maka untuk mencari bayangannya kita hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui B sejajar AC dan yang melalui A sejajar BC ialah D bayangannya dari C. Jika ACBD adalah suatu jajargenjang, setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C ↔ D. Garis-garis invarian AB dan CD, diagonal-diagonal suatu jajargenjang, berpotongan dititik O,yang menjadi titik invarian setengah putaran A ↔ B, titik O adalah titik tengah segmen AB.

Teorema 4.7Hasil kali 2 setengah putaran A ↔B dan B ↔ C adalah translasi A → C Bukti : Jika A ↔ B tidak sama dengan B ↔ C, maka

(A ↔ B) (B ↔ C) tidak mempunyai titik invarian. Jadi berupa translasi.

Jika ADBC suatu jajargenjang, maka A↔B sama dengan C ↔ D dan A→D sama dengan C → B

Contoh 4.1Diketahui (A ↔ B) (B → C) = (A ↔ C), tunjukkan bahwa sebarang C yang ditentukan adalah titik invarian dari suatu setengah putaran, dengan mengganti A = C dalam persaman

Penyelesaian :◦(A ↔ B) (B → C) = (A ↔C)◦Jika A = C, maka diperoleh◦(C ↔ B) (B → C) = (C ↔ C)◦(C ↔ C), berarti C suatu titik invarian

Teorema 4.8Setengah putaran A↔B dan C ↔ D sama, bila dan hanya bila translasi A→D dan C → B sama

Diketahui : A↔ B = C ↔D Akan Dibuktikan : A → D = C → B

Bukti :A → D = (A↔ B) (B ↔D) = (C↔ D) (B↔ D) = (C ↔D) (D↔ B) = C→ B

Contoh 4.2 Jika ketiga sisi diagonal dari suatu segienam (tidak perlu konveks) mempunyai titik tengah yang sama, maka buktikan sebarang dua sisi berhadapan sejajar.Diketahui : AO = OD, BO = OE, CO = OFDibuktikan : 2 sisi berhadapan adalah sejajarBukti :D →A = B → ED → E = B → A (Teorema 4.8)Berarti DE sejajar dengan BAD → A = F → C D → C = F → A Jadi DC sejajar dengan FA

F E D

O

A B C

E ↔ B = C ↔ F E ↔ F = C ↔ B Jadi EF sejajar

dengan CB. Terbukti sisi-sisi

yang berhadapan sejajar

F E D

O

A B C

Teorema 4.9Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dan sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik sisi yang ketiga

Contoh 4.3Titik titik tengah sisi sisi suatu segiempat sebarang adalah titik titik sudut suatu jajargenjang.

Diketahui : ABCD segi empat sebarang P,Q,R dan S berturut-turut titik titik tengah AB,BC,CD dan DA

Akan Dibuktikan : PQRS suatu jajargenjangBukti :

Pandang ACD dan ACBSR // AC (teorema 4.9)PQ // AC (teorema 4.9)

Maka SR // PQ ………(1)

Pandang BDA dan BDC PS // BD (teorema 4.9) QR // BD (teorema 4.9)

Maka PS // QR ……..(2) Berdasarkan (1) & (2) maka PQRS adalah

suatu jajargenjang yaitu segiempat yang sisi sisinya berhadapan sejajar