PENGENALAN GEOMETRI TERURUTFarida Chandra L.Hanim FaizahEllisa Melliadona Y.

Geometri Terurut

Geometri Affine Geometri Absolut

Geometri Euclid

Pada Geometri Terurut, ditentukan titik-titik A, B, dan C sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan relasi keantaraan sebagai relasi yang tidak didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C], yang berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak terletak antara A dan C, maka dikatakan tidak [A B C].

Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:Aksioma 3.1Ada paling sedikit dua titikAksioma 3.2Jika A dan B dua titik yang berlainan, maka ada satu titik C yang memenuhi [A B C]Aksioma 3.3Jika [A B C], maka A dan C berlainan A C Aksioma 3.4Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A]

Teorema-teorema yang diturunkan dari aksioma:Teorema 3.1:Jika [A B C], maka tidak [C A B]Bukti: Menurut Aksioma 3.4Jika [C A B], maka tidak [A B C]Ini ekuivalen dengan: Jika [A B C], maka tidak [C A B]

Teorema 3.2Jika [A B C], maka A, B, dan C berlainan atau A B CBukti:Andaikan B = C, maka [A B B]Jika [A B B], maka [B B A], (Aksioma 3.4)Jika [A B B], maka tidak [B B A] (Aksioma 3.4)terdapat kontradiksi, jadi B C.Andaikan A = B, maka [A A C]Jika [A A C], maka tidak [C A A] (Aksioma 3.4)terdapat kontradiksi, jadi A BTerbukti, bahwa A B C

Definisi 3.1Jika A dan B dua titik yang berlainan, maka segmen AB atau ruas garis AB ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada segmen AB.Teorema 3.3Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen ABBukti:Andaikan A atau B terletak pada segmen AB maka terdapat [A A B] atau [A B B]. Ini bertentangan dengan teorema 3.2. Jadi, A maupun B tidak terletak pada segmen AB.

Teorema 3.4Segmen AB = segmen BA

Bukti:Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga [A P B] (Definisi)= himpunan titik P sedemikian hingga [B P A] (Aksioma 3.4)= segmen BA (Definisi)

Definisi 3.2Interval ialah segmen AB ditambah ujung-ujungnya yaitu A dan B. Jadi = A+ AB + BSinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan titik-titik P yang memenuhi [P A B]Garis AB ialah interval ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B + + B/A

Akibat :Interval = interval Garis AB = garis BA

Aksioma 3.5Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka A pada garis CD.

Teorema 3.5Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka garis AB = garis CD.Bukti:Jika A, B, C, dan D tidak semua berlainan, maka dapat dimisalkan B = D dan akan dibuktikan, bahwa garis AB = garis BC. Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC, kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada setiap garis BC adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya.

(i)C pada garis AB (premis)misalkan X pada garis AB, maka menurut aksioma 3.5, B pada garis CX.B pada garis CXC pada garis CX (C ujung CX)Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC.Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.

(ii) Misalkan Y pada garis BCC pada AB (premis)B pada AB (B ujung AB)Maka A pada garis BC.Y pada garis BCA pada garis BCMenurut Aksioma 3.5, maka B pada garis AY

B pada garis AYA pada garis AY (A ujung AY)Jadi, menurut aksioma 3.5, Y pada garis AB.Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB.

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC.Jika D B, maka dengan jalan yang sama dapat dibuktikan, bahwa garis BC = garis CD, sehingga garis AB = garis BC = garis CD.

Jadi, jika A, B, C, dan D semua berlainan garis AB = garis CD.

Akibat 1 : Dua titik berlainan terletak tepat pada satu garis. Dua garis berlainan (jika ada) mempunyai paling banyak satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titk potong dari kedua garis itu.

Akibat 2 : tiga titik berlainan A, B, dan C pada suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu dari relasi-relasi [ABC], [BCA], atau [CAB].

Aksioma 3.6Jika AB suatu garis, ada suatu titik C tidak pada garis ini.

Teorema 3.6Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga B tidak pada AC. Garis-garis BC, CA, dan AB berlainan.Bukti:Andaikan A pada garis BC B pada garis BC (B ujung BC)Jadi, C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak pada garis AB.Kesimpulan, A tidak pada garis BC.Dengan cara yang sama untuk yang lain.

Definisi 3.3Titik-titik yang terletak pada garis yang sama disebut collinear (kolinear atau segaris).Tiga titik non-collinear A, B, C menentukan suatu segitiga ABC yang memuat tiga titik ini, yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.

Aksioma 3.7Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A F B].

Teorema 3.7Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.

Menurut aksioma 3.6 ada suatu titik E tidak pada AB.Menurut aksioma 3.2 pada titik C memenuhi [A E C].Menurut Teorema 3.5 maka garis AC = gais AE, B tidak terletak pada garisIni. Maka ABC suatu segitigaABCED.Menurut aksioma 3.2 ada suatu titik D yang memenuhi [B C D].Menurut aksioma 3.7 ada titik F antara A dan B.TERBUKTIBukti : Misalkan A dan B kedua titik itu seperti pada gambar berikut: F

Teorema 3.8Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B] dan [D E F]

Bukti:Karena F terletak pada garis DE, maka ada kemungkinan:F = DJika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B, dan C collinear. Karena ABC suatu segitiga, maka terdapat pertentangan, jadi F D.

F = EJika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B, dan C collinear. Hal ini juga tidak mungkin, karena ABC suatu segitiga.Jadi F E

c. Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut:Dalam segitiga DCE dengan [C E A] dan [E F D], maka berdasarkan aksioma 3.7:Pada garis AF, ada titik X yang memenuhi [D X C] karena AF dan CD tidak mungkin berpotongan lebih dari satu kali, maka X = B, sehingga terdapat [D B C]. Ini bertentangan dengan ketentuan [B C D]. Jadi tidak mungkin [E F D]. XFECDA

c. Jika [F D E], maka perhatikan gambar berikut:Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka menurut aksioma 3.7:Pada garis BD ada suatu titik Y sedemikian hingga [A Y E]. Karena BD dan AE hanyaberpotongan di satu titik, maka Y = C, sehingga terdapat [A C E]. Hal ini bertentangan dengan ketentuan [A E C]. Jadi tidak mungkin [F D E].Jadi kemungkinannya hanyalah [D E F]BYFAED

Teorema 3.9Suatu garis tidak mungkn memotong ketiga sisi suatu segitiga (sisi berupa segmen)

Teorema 3.10Jika [ABC] dan [BCD], maka [ABD]

ACBD

Teorema 3.11Jika [A B C] dan [A B D] dan C D, maka [B C D] atau [B D C], dan [A C D] atau [A D C]

Teorema 3.12Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, maka [A B C] atau [A C B]

Teorema 3.13Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D].ACBDACBDCBDA

Definisi 3.4Jika [ABC] dan [ACD], kita tulis [ABCD].Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [ABCD], maka [DCBA]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik O pada segmen AB membagi segmen itu dalam 2 segmen, AO dan OB.AOB

Sebarang titik O pada sinar dari A membagi sinar dalam suatu segmen dan suatu sinar, AO dan O/A

Sebarang titik pada garis membagi garis dalam 2 sinar berlawanan, jika [AOB], maka sinar-sinar itu adalah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat titik B,kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.

AOAOB

Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik-titiknya dapat T1, T2, ..., Tn sedemikian hingga kedua sinar itu T1/Tn dan Tn/T1,

Sedang, n-1 segmen itu T1T2, T2T3, , Tn-1Tn, masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan, bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2Tn dan ditulis [T1T2,T2T3, ,Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini ialah : [T1T2T3], [T2T3T4], [T3T4T5],, [Tn-2Tn-1Tn]T1T2T3Tn

Mari kita perhatikan kembali aksioma 3.8, perkembangan logika yang terbaik dari subjek menggunakan himpunan aksioma yang paling sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan pernyataan yang lebih kuat tentang aksioma 3.7 ia menyatakan :Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain (atau melalui suatu titik sudut).

Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu aksioma dari Peano lebih baik, karenakata bidang tidak dipakai sama sekali:Garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara yang khusus yaitu sebelum memotong CA ia berasal dari titik D pada C/B.

Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat diturunkan teorema 3.14. jika teorema 3.14 ini diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat diturunkan aksioma 3.7 sebagai teorema.

Teorema 3.14Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D], maka pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [C E A]

Bukti:Diambil G pada B/F dan di pandang BDF dengan [F B G] dan [B C D]. Maka menurut aksioma 3.7 pada garis GC ada titik H sedemikian, sehingga [D H F]. Menurut teorema 3.8 [G C H].

GADCBFEH

Menurut teorema 3.10, karena [A F B] dan [F B G], maka [A F G]. Di pandang AFD dengan [A F G] dan [D H F]. Maka menurut aksioma 3.7 pada garis GH ada suatu titik K sedemikan, sehingga [DKA], dan menurut teorema 3.8 [GHK]. Karena [GCH] dan [GHK], maka [CHK]. ADCBFEHGJadi ada segitiga ACK dengan [AKD] dan [KHC], maka menurut aksioma 3.7 pada garis DH atau garis DF ada suatu titik E yang memenuhi [CEA].TERBUKTI

K

Definisi 3.4Jika A, B, C tiga titik non-coliniar, bidang ABC adalah himpunan semua titik yang coliniar dengan pasangan titik-titik pada satu atau 3 sisi pada segitiga ABC.Suatu segmen, interval, garis atau sinar dikatakan terletak dalam bidang, jika semua titiknya terletak dalam bidang itu.

Aksioma 3.1 sampai 3.7 dapat digunakan membuktikan letak dalam bidang. Aksioma lainnya yang dapat digunakan adalah aksioma yang dikemukakan Gilbert, yaitu :1. Sekarang 3 titik non-colinier dalan bidang menentukan dengan lengkap bidang tersebut.2. Jika 2 titik berlainan pada suatu garis m terletak pada bidang , maka setiap titik dari m terletak dalam bidang .

Definisi 3.5Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan 2 sinar yang non-colinier yang titik pangkalnya O. Titik O disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi sisi sudut.

Aksioma 3.8 (dalam ruang dimensi 2)Semua titik ada dalam satu bidang.

Aksioma 3.9Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing hmpunan yang terletak antara 2 titik dari himpunan lainnya, maka ada 1 titik dari 1 himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.