1BAB II

MEDAN LISTRIK STATIS

2.1 Hukum Eksperimental CoulombCoulomb (nama lengkapnya Kolonel Charles Coulomb) melakukan

suatu rangkaian percobaan untuk menentukan secara kuantitatif gaya yangbekerja antara dua benda yang masing-masing bermuatan listrik statis, daripercobaan tersebut Coulomb menemukan bahwa gaya antara dua bendayang sangat kecil dalam ruang hampa yang terpisahkan pada jarak yangbesar dibandingkan ukurannya, berbanding lurus dengan besar muatanmasing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadratjarak. Atau :

221

RQQkF (2.1)

dengan :Q1 dan Q2 menyatakan besar muatan masing - masing benda(positif atau negatif),Jika Q1 dan Q2 mempunyai tanda yang sama (positif semuaatau negative semua), maka gaya yang dirasakan akan tolak-menolak, sedangkan jika berlawanan tanda (satu muatan positifdan satu muatan negatif) akan terjadi gaya tarik-menarik.

R = jarak antara kedua benda tersebut.K = konstanta yang tergantung dari medium tempat muatan berada, yangdirumuskan :

or 41

41k (2.2)

2dengan : = permitivitas medium = r or = permitivitas relatif medium terhadap ruang hampa

o = permitivitas ruang hampa = 8,854 x 10 12 Fm-1 910361 x Fm

-1

maka dalam ruang hampa, konstanta k menjadi :

1Fm910.9o4

1k sehingga persamaan (2.1) menjadi : (di ruang hampa atau medium udara)

2219

20

21RQQ10.9R4

QQF

Persamaan di atas selanjutnya disebut Hukum Coulomb.

Untuk medium lain : Besar Gaya :

2r219

2r21

RQQ10.9R4

QQF0

2.2 Gaya CoulombKeberadaan muatan listrik Q1 dan Q2 dinyatakan sebagai tempat

kedudukan titik-titik dalam suatu ruang yang membentuk garis, sehinggakeduanya dijabarkan dalam koordinat ruang dan jarak yangmenghubungkan kedua muatan tersebut satu sama lain dinyatakansebagai suatu vektor. Gaya Coulomb yang terjadi pada muatan Q2 akibatmuatan Q1 dinyatakan dalam koordinat kartesian diberikan pada gambar2.1.

3Dari gambar (2.1), didefinisikan :

1212 RRR

z12y12x1212

z1y1x1z2y2x212

azzayyaxxRazayaxazayaxR

12

12

12

1212 RR

RRRRa

212212212

z12y12x12

zzyyxxazzayyaxx

Gambar 2.1 Gaya Coulomb yang terjadi pada muatan Q2 akibatmuatan Q1 dinyatakan dalam koordinat kartesian

Sehingga gaya coulomb pada Q2 dituliskan sebagai vektor :

12212r219

12212r21

1222 aRQQ9.10aR

QkQaFF 0 (2.3)

Q1(x1, y1, z1) Q2(x2, y2, z2)

1Rx

2Rx

x

y

z12R

2Fx

4dengan :Q1 = besar muatan 1 (coulomb)Q2 = besar muatan 2 (coulomb)R12 = jarak antar muatan (m)

12a = vektor satuan dengan arah dari 1 ke 2r = permitivitas relatif medium

Contoh Soal :Dua buah muatan masing-masing Q1 = 200 C berada di titik (1,0,3) danQ2 = 30 C berada di titik (0,2,1). Jika muatan tersebut berada dalammedium udara, tentukan gaya yang dialami oleh muatan Q2Jawab :

1212 RRR = (0 xa + 2 ya + 1 za ) (1. xa + 0 ya + 3 za )= - xa + 2 ya - 2 za

R12 = 2221212 )2()2()1(RRR

= 3

12a = 3a2a2a zyx 6N1x3

x200x10x30x109x10F 2669

2

Na4a4a23a2a2a6aFF zyxzyx1222

Gaya yang dinyatakan dalam hukum Coulomb merupakan gayatimbal balik, karena masing-masing muatan mengalami gaya yangbesarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga kita bisa menuliskangaya yang terjadi pada muatan Q1 akibat muatan Q2 adalah :

21221r219212

21r02121 aR

QQ9.10aRQkQF-F

(2.4)

5Hukum Coulomb merupakan hukum yang linier artinya jika kitakalikan Q1 dengan faktor n, maka gaya yang bekerja pada Q1 jugabesarnya akan dikalikan dengan faktor n demikian juga dengan gaya padaQ2 . Karena linier, maka jika ada beberapa muatan, gaya yang timbuladalah jumlah gaya yang disebabkan oleh masing-masing muatantersebut.

2.3 Medan ListrikGambar 2.2 menunjukan interaksi dua buah muatan listrik yang

saling berdekatan. Muatan Q adalah muatan yang diletakkan di tempatyang tetap, sedangkan muatan q berupa muatan yang dapat bergerakbebas di sekitar Q, dan berada dalam pengaruh medan listrik Q.

Jika diasumsikan medan listrik di sekitar muatan Q serba sama(uniform), untuk jarak r yang sama maka muatan q akan mendapatkanbesar gaya coulomb yang sama. Besar kecilnya gaya yang diterima qtergantung dari besar muatan Q, q, jarak r, serta jenis medium tempatmuatan tersebut berada. Jika q adalah muatan uji sebesar 1 (satu)coulomb, maka gaya yang dialami oleh q adalah

+Q

E

qr

Gambar 2.2 Medan listrik yang terjadi pada suatu muatan.

Q = muatan sumberq = muatan ujir = jarak antara sumber dan

muatan ujira = vektor satuan dalam arah

radial

6gaya persatuan muatan. Selanjutnya gaya persatuan muatan uji disebutsebagai medan listrik (E ).

r2or

ar4Q

qFE

(2.5)

Medan listrik merupakan besaran vektor dan dapat dinyatakan dalamsistem koordinat seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.3.

Q1(x1, y1, z1) P(xp, yp, zp)

1R

pR

x

x

y

z1pR

E

qp

Dari gambar tersebut didefinisikan :

1p

1p2

1p0r

1RRRR

RR4QE

Gambar 2.3 Penggambaran vektor medanlistrik dalam koordinat kartesian

731p

1p

01

RRRR

4QE

r

31p

1p

01

RR

4QE

r

(2.6)

Contoh Soal :Tentukan medan listrik di titik (0,2,3) yang disebabkan oleh muatan Q= 10nC yang berada di titik (1,0,1), jika muatan tersebut berada di mediumudara.Jawab :

pR

= 0 xa + 2 ya + 3 za

1R

= 1 xa + 0 ya + 1 za

pR

- 1R

= -1 xa + 2 ya + 2 za

3221RR 2221p

3)a2a2a1(x3

x10x109x10aEE zyx299

1p

3)a2a2a1(x10E zyx

zyx a6,67a6,67a33,3E Vm-1

Catatan : Satuan medan listrik adalah Newton/Coulomb atau Volt/meter.

2.4 Medan Listrik n buah MuatanJika ada beberapa muatan pada suatu ruang, maka medan listrik

yang disebabkan oleh beberapa buah muatan itu merupakan penjumlahanvektor dari medan listrik masing-masing muatan.

8Gambar 2.4 Medan listrik dari 2 buah muatan.Gambar 2.4 menunjukan medan listrik yang diakibatkan oleh dua buahmuatan. Dari gambar ini didefinisikan :

1E

adalah medan listrik di P yang disebabkan oleh Q1

2E

adalah medan listrik di P yang disebabkan oleh Q2Maka medan listrik yang diakibatkan oleh kedua muatan tersebutadalah:

32p

2p0r

23

1p

1p0r

121 RR

4Q

RR

4QEEE

32p

2p0r

23

1p

1p0r

1RRRR

4Q

RRRR

4QE

(2.7)Medan listrik yang disebabkan oleh n buah muatan titik,

dinyatakan sebagai berikut :

n4321 E...EEEEE

Q 1

Q 2

P

1pR pE

2E

1E

2pR

93kp

kp0r

knk1k k R

R4QEE

(2.8)

Contoh Soal :Hitung medan listrik di titik P(0,3,3) yang disebabkan oleh muatan Q1= 5nC yang berada di (3,0,3) dan Q2= 8 nC yang berada di (3,3,0) jika muatantersebut berada di udara.Jawab :

1pR

pR

- 1R

= 0 xa + 3 ya + 3 za - (3 xa + 0 ya + 3 za )= -3 xa + 3 ya + 0 za

18033RRR 2221p1p

2pR

pR

- 2R

= 0 xa + 3 ya + 3 za - (3 xa + 3 ya + 0 za )= -3 xa + 0 ya + 3 za

18303RRR 2222p2p

21 EEE

18)a3a0a3(x18

x108x9x1018

)a0a3a3(x18 x105x9x10E zyx

99zyx99

)a83,2a83,2()a77,1a77,1(E zxyx Vm-1

)a83,2a77,1a60,4E zyx Vm-1

2.5 Latihan soal tentang Gaya Coulomb dan Medan Listrik :1. Sebuah muatan positif sebesar 2 mC (milli Coulomb) terletak dalam

ruang hampa pada titik P(3,-2,-4) dan sebuah muatan negatif sebesar

10

5C (micro Coulomb) terletak pada titik R(1,-4,2). Hitung : a. Gayavektor pada muatan negatif

b. Besar gaya Coulomb pada muatan positif.Jawab : a. Zyx a848,1a616,0a616,0 N b. 2,04 N

2. Hitung E pada M(3,-4,2) dalam ruang hampa yang disebabkan oleh : a.Muatan C2Q1 di ),,( 000P1 b. Muatan C3Q2 di ),,( 321P1 dan c.Muatan C2Q1 di ),,( 000P1 dan muatan C3Q2 di ),,( 321P1 Jawab : a. Zyx a230a460a345 V/m;

b. Zyx a969a419a280 , V/mc. Zyx a3160a880a625 , V/m

2.6 Distribusi Muatan2.6.1 Muatan Ruang

Jika dalam suatu ruang dengan volume tertentu terdistribusi banyakmuatan listrik yang jaraknya sangat berdekatan, maka setiap elemenmuatan listrik tersebut akan berkontribusi terhadap medan listrik di suatutitik di luar daerah tersebut, yang artinya medan listrik yang dirasakan,adalah medan listrik yang dihasilkan oleh muatan total pada volumetersebut. Dari sini kita akan mendefinisikan rapat muatan (density charge),yaitu besarnya muatan setiap satuan volume ruang ( 3m/C ) yangdirumuskan sebagai :

dvdQ

v (2.9)Medan listrik yang dibangkitkan oleh setiap muatan diferensial dQ adalah :

R2 aR4dQEd (2.10)

11

Muatan total dalam volume tersebut diperoleh dengan mengintegrasikanrapat muatan untuk seluruh volume, yaitu :

vol vol

vdvdQQ (2.11)

Medan listrik yang dihasilkan adalah Medan listrik total yang dibangkitkanoleh seluruh muatan dalam volume tersebut, yaitu :

dvR4aE

v 2Rv

(2.12)

2.6.2 Muatan PermukaanMuatan listrik juga dapat tersebar pada suatu permukaan atau

lapisan tipis tertentu. Setiap diferensial dQ di permukaan tersebut jugaakan menghasilkan diferensial medan listrik :

R2 aR4dQEd

Jika rapat muatan permukaan kita simbolkan S ( 2m/C ) dan jika tidak adamuatan-muatan lain di dalam daerah itu, maka medan listrik total yangdihasilkan adalah :

dSR4aE

S 2RS

(2.13)

2.6.3 Muatan GarisJika muatan listrik tersebar sepanjang garis lurus, maka setiap

muatan diferensial sepanjang garis itu menghasilkan diferensial medanlistrik :

R2 aR4dQEd

12

Jika rapat muatan garis kita simbolkan L ( m/C ) dan jika tidak adamuatan-muatan lain di dalam daerah itu, maka medan listrik total yangdihasilkan adalah :

dlR4aE

L 2RL

(2.14)

Contoh Soal :Tentukan muatan total dalam volume yang didefinisikan oleh 0 x 1m,0 y 1m dan 0 z 1m, jika rapat muatan dalam volume

)m/C(yx30 32 .Solusi :

v

vv d.Q = 1

0

1

0

1

0zyx2 ddydx30 =5C

2.7 Fluks Listrik dan Kerapatan FluksFluks listrik (electric fluks) atau perpindahan listrik yang disimbolkan

berawal dari muatan positif dan berakhir di muatan negatif. Jika tidakada muatan negatif, maka fluks listrik berakhir di tak berhingga. Sepertipada diilustrasikan pada gambar 2.5.

-Q+Q+Q

Gambar 2.5 Fluks Listrik

13

Jika di suatu tempat terdapat muatan listrik, maka di titik-titik di luartempat tersebut akan dirasakan medan listrik yang merupakan gaya yangdihasilkan per satuan muatan. Di sekitar muatan tersebut akan munculgaris-garis medan listrik yang selanjutnya terjadi fluks listrik. Semakinbesar muatan listriknya, semakin kuat medan listrik yang dihasilkan dansemakin rapat fluks listriknya. Arah fluks listrik sama dengan arah medanlistriknya. Konsep ini berawal dari eksperimen Faraday pada tahun 1837,yang dilakukan pada dua bola konduktor dengan diameter berbeda.Kedua bola ditempatkan sepusat (konsentris) seperti pada gambar 2.6.Eksperimen yang dilakukan Faraday adalah sebagai berikut :

1. Dengan membuka bagian luar, bola bagian dalam diisi denganmuatan positif yang diketahui besarnya.

2. Kedua belahan bola digabungkan dengan erat setelah ruangdiantara kedua bola diisi bahan dielektrik setebal kira-kira 2 cm.

3. Bola luar dihilangkan muatan listriknya dengan menghubungkannyake tanah sebentar.

4. Bola luar tersebut dipisahkan kembali dengan hati-hati denganmenggunakan alat yang terbuat dari bahan isolator agar tidakmengganggu muatan induksinya.

Faraday menemukan bahwa muatan total pada bola luar sama besarnyadengan muatan semula yang ditempatkan pada bola dalam dan hal iniselalu berlaku, tak bergantung pada bahan dielektrik yang terdapat

14

diantara kedua bola tersebut. Ia menyimpulkan bahwa ada semacamperpindahan dari bola dalam ke luar, yang selanjutnya dinamakan flukslistrik. Dari eksperimen itu juga, Faraday menemukan bahwa ketikamuatan positif yang diberikan pada bola dalam ditambah, fluks listriknyajuga semakin besar, sehingga ada perbandingan lurus antara fluks listrikdengan besar muatan listrik, atau dirumuskan :

Q (diukur dalam coulomb) (2.15)Satu Coulomb muatan listrik, menghasilkan satu coulomb fluks listrik

(dari gambar 2.5, satu garis fluks listrik dihasilkan oleh satu coulombmuatan listrik).

Untuk muatan yang sangat banyak, fluks listrik yang dihasilkan akansemakin banyak, sehingga didefinisikan kerapatan fluks listrik (D) yangdiukur dalam coulomb per meter persegi atau kadang-kadang dinyatakansebagai garis per meter persegi, karena tiap garis dihasilkan oleh muatansatu coulomb.

15

Dari gambar di atas, bola dalam mempunyai diameter a dan bola luarmempunyai diameter b, yang mempunyai muatan masing-masing sebesarQ dan Q. Lintasan fluks memancar dari bola dalam ke bola luardinyatakan dengan garis medan yang terbagi secara simetris dandilukiskan menurut arah radial dari bola dalam ke bola luar.

Pada permukaan bola dalam, coulomb fluks listrik ditimbulkan olehmuatan Q = Coulomb yang terbagi serbasama pada permukaan seluas

22ma4 . Kerapatan fluks pada permukaan ini adalah 2a4 atau

2a4Q

2m/C sedangkan kerapatan fluks pada bola luar adalah

2b4 atau 2b4

Q .

Kerapatan fluks merupakan besaran vektor, yang arahnya radial keluar permukaan, sehingga dirumuskan :

r=a

r=b+Q-Q

Isolator atau bahandielektrik

Bola logamkonduktor

Gambar 2.6 Fluks listrik diantara kedua bola konsentris

16

R2 aR4QD

(2.16)

Jika dibandingkan dengan intensitas medan listrik di ruang hampa yang

memiliki persamaan : R20aR4

QE , maka hubungan antara kerapatan

fluks dengan intensitas medan listrik adalah : ED 0 (untuk ruang hampa) (2.17)

Untuk distribusi muatan ruang yang umum dalam ruang hampa,

dvR4aE

v 20Rv

maka kerapatan fluks listrik yang dihasilkan :

dvR4aD

v 2Rv

(2.18)

2.8 Hukum GaussHukum Gauss merupakan pengembangan dari eksperimen Faraday

yang menyatakan bahwa besarnya fluks listrik sama dengan banyaknyamuatan Q. Bila dari lintasan-lintasan fluks tersebut dibayangkan ada suatupermukaan tertutup dengan luas sd dan fluks listrik menembus permukaantersebut, maka fluks listrik yang menembus permukaan tertutup samadengan muatan total yang dilingkupi oleh permukaan tersebut. Itulahhukum Gauss.

17

Kita tinjau suatu distribusi muatan yang digambarkan sebagai awanmuatan titik (gambar 2.7) yang dilingkupi oleh permukaan tertutup yangbentuknya sebarang. Jika muatan totalnya Q, maka Q Coulomb fluks listrikakan menembus permukaan yang melingkupi awan muatan tersebut.Pada setiap titik pada permukaan tersebut, vektor kerapatan fluks listrik Dakan berharga sD , dengan subskrip s menunjukan bahwa D diambil dari

permukaan itu dan sD umumnya akan berubah besar dan arahnya darisatu titik ke titik yang lain pada permukaan tersebut.

Fluks total yang menembus permukaan tertutup didapat denganmenjumlahkan setiap diferensial fluks yang menembus setiap bagian padapermukaan tersebut, atau dalam bentuk matematik :

tertutuppermukaan

s dS.Dd (2.19)

sD

Gambar 2.7 Kerapatan Fluks listrik sD di P yangdisebabkan oleh Q

P

18

Dari persamaan (2.19), hukum Gauss dinyatakan dengan persamaanmatematik sebagai berikut :

s

s ds.D =muatan yang melingkupi = Q

dengan catatan : muatan yang melingkupi bisa berupa muatan titik, muatangaris, muatan permukaan maupun muatan ruang.

2.9 DivergensiAda dua karakteristik yang mengungkapkan bagaimana medan

elektromagnetik berubah dari suatu titik ke titik lain dalam ruang, yaitudivergensi dan curl. Divergensi menunjukan bagaimana perubahan medanlistrik dari suatu titik ke titik lain dalam ruang dan curl menunjukanbagaimana perubahan medan magnet dari suatu titik ke titik lain dalamruang. Pada bagian ini akan dibahas tentang divergensi.

Divergensi kerapatan fluks A adalah banyaknya aliran fluks yangkeluar dari sebuah permukaan tertutup per satuan volume yang menuju kenol, atau dituliskan secara matematis adalah :

Divergensi A = div A = vSdA

lim s0v

(2.20)

Divergensi berkaitan erat dengan suatu aliran fluks, yang artinyapenerapan divergensi adalah pada suatu aliran fluks, misalnya padakecepatan aliran fluks air dari lubang kuras bak mandi yang dibuka . Aliran

19

neto air yang melalui setiap permukaan tertutup yang seluruhnya adadalam air harus sama dengan nol, karena air merupakan zat yang takmungkin dimampatkan, sehingga air yang masuk dan yang meninggalkansebuah permukaan tertutup harus sama, ini berarti divergensikecepatannya nol. Jika kita tinjau kecepatan udara dalam sebuah banyang baru dilubangi dengan paku, kita tahu bahwa udaranya mengembangserta tekanannya turun, akibatnya ada aliran neto udara keluar dari setiappermukaan tertutup yang terdapat dalam ban tersebut, aliran masuk udaraketika ban dipompa lebih cepat dari pada aliran udara keluar pada lubangakibat paku, ini berarti divergensi kecepatannya lebih besar dari nol.

Divergensi positif untuk setiap kuantitas menunjukan adanya sumberkuantitas tersebut pada titik yang kita tinjau. Dengan cara yang serupa,kita dapatkan bahwa divergensi menunjukan adanya lubang. Karenadivergensi kecepatan air yang tersebut di atas adalah nol, ini berarti tidakada sumber. Sebaliknya udara yang mengembang menghasilkandivergensi positif dari kecepatan, sehingga setiap titik dalam ban tersebutdapat dipandang sebagai sumber.2.10 Energi Listrik

Pada bagian terdahulu sudah didefinisikan bahwa intensitas medanlistrik merupakan gaya yang bertumpu pada muatan uji satuan pada titikyang ingin kita tinjau medan vektornya. Jika kita coba gerakkan muatan ujitersebut melawan medan listrik, kita harus mengerjakan gaya yang sama

20

besar tetapi arahnya berlawanan dengan gaya yang dikerjakan olehmedan, ini berarti kita memerlukan energi atau harus melakukan kerja.Jika kita ingin memindahkan muatan tersebut dalam arah medan, makaenergi yang diperlukan menjadi negatif, kita tidak melakukan kerja,medanlah yang melakukan kerja.

Gaya pada muatan Q yang ditimbulkan oleh medan listrik adalah EQFE . Gaya ini merupakan besaran vektor dalam arah

Ld , atau

dituliskan : LEEL aFF , sehingga besarnya gaya pada muatan Q yang

ditimbulkan oleh medan listrik adalah : LE aEQF . Usaha atau energi

yang dibutuhkan untuk menggerakan muatan Q sejauh Ld sama denganperkalian gaya dengan jaraknya. Karena perpindahan muatan itu darisatu titik ke titik lain, berarti ada kedudukan awal dan kedudukan akhirnya,maka usaha yang dibutuhkan seluruhnya adalah :

akhir

awalLdEQW (2.21)

dengan : zzyyxx adadadLd (kartesian)

zz adadadLd

(tabung)

adsinrardadLd rr (bola)

21

Tanda negatif menunjukkan usaha tersebut dalam arah melawan arahmedan listriknya.

Jika kedudukan awal muatan Q pada titik B dan berakhir di titik A,dimana dari B sampai A merupakan suatu garis yang terdiri dari 6 segmengaris, yaitu 21 L,L . 6L , (gambar 2.8) maka usaha yang diperlukanuntuk memindahkan muatan Q dari B ke A adalah :

)LE.......LELE(QW 662211 (2.22)

Jika medan listrik sepanjang garis itu serbasama (besar dan arah sama) ,

yaitu 621 E........EE maka persamaan (2.22) menjadi :

)L.......LL(EQW 621 (2.23)

Hasil dari persamaan (2.23) merupakan suatu vektor yang mempunyai

arah dari titik awal B ke titik akhir A, yaitu BAL , sehingga persamaan

(2.23) menjadi :

BALEQW (2.24)

22

L

Gambar 2.8 Gambaran grafis integral garis medan serbasamaContoh soal :Sebuah medan listrik tak serbasama, memiliki persamaan sebagai berikut :

zyx a3axayE Volt/meter. Hitung usaha yang dilakukan untuk

memindahkan muatan 5 C dari B (0,2,1,0,2) ke A(0,8 , 1, 1) sepanjangbusur lingkaran yang pendek dari suatu lingkaran dengan persamaan :

1zx 22 , y = 1.Solusi :

1LE

B

1LE

E

L2 L3E

EL4

E

L5

L6Kedudukan

akhir

23

Dengan memakai koordinat kartesian , maka zzyyxx adadadLd

dan integralnya menjadi :

A

BLdEQW

A

Bzzyyxxzyx )adadad()a2axay(2

8,0

1

1

1z

6,0

0yx d4xd2yd2

dari persamaan lingkaran diperoleh : 2x1y dan 2y1x dan

z=1, sehingga :

0dy12dx12W y6,0

02x

8,0

12

6,00

128,01

12 ]ysiny1y[]xsinx1x[

= -(0,48 + 0,927 0 - 1,571) - (0,48 + 0,644 0 - 0)=-0,96 J

2.11 Potensial dan Beda PotensialPotensial didefinisikan sebagai kerja/usaha yang dilakukan untuk

memindahkan satu satuan muatan positif dari suatu titik ke titik lain dalammedan listrik.

24

Beda potensial antara 2 titik didefinisikan sebagai usaha yangdilakukan untuk memindahkan muatan sebesar +Q per satuan muatandari suatu titik (tempat) ke titik (tempat lain) dalam medan listrik. Jikalintasan perpindahan itu berupa lintasan garis (dL) maka secara matematisdituliskan :

Beda Potensial = V = akhir

awalLdEQ

W (2.25)

Kalau perpindahan muatan itu terjadi dari titik B ke titik A maka ABVmerupakan beda (selisih) potensial antara titik A dan titik B, yangmerupakan usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan satuandari B (disebut dibelakang) ke A (disebut lebih dahulu). Jadi pada simbol

ABV , B merupakan titik awal dan A merupakan titik akhir. Jadi bedapotensial antara titik A dan B dituliskan :

A

BlAB LdEV (2.26)

satuannya dalam volt atau joule per coulomb.Jika potensial di titik A adalah AV dan di B adalah BV , maka beda

potensial antara titik A dan titik B adalah :

BAAB VVV (2.27)

Jika ABV positif, usaha harus dilakukan untuk membawa muatan satuanpositif dari B ke A, maka A disebut berada pada potensial yang lebih tinggidari B.

25

Contoh soal :Hitunglah usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan +2C dari titikB (2,0,0) m ke titik A (0,2,0) m melalui lintasan garis lurus penghubungkedua titik itu di dalam medan listrik :

yx ay4ax2E (V/m)

Hitung juga beda potensial antara titik A dan B.Solusi :Usaha diferensial pada soal di atas adalah :

zyxyx adzadyadx)ay4ax2(2)LdE(QdW

ydy8xdx4

Persamaan bagi lintasan di atas adalah : x + y =2, dimana dy = -dxsepanjang lintasan itu. Maka :

dx)16x4()dx)(x2(8xdx4dW

(2,0,0)0x

(0,2,0)

y

Path 1Path 2 B

A

26

dan 0

2J24dx)16x4(W

Jika titik B adalah (2,0, 0) m dan titik A pada (0,2,0) m, maka :

V12C2J24VAB

Dengan demikian titik A berada pada potensial yang lebih tinggi dariB, yaitu 12V lebih tinggi. Dari sini juga kita mendapatkan informasi bahwa

BAV = -12V.

2.11.1 Potensial Listrik Muatan TitikMedan listrik yang terjadi pada suatu muatan titik Q memiliki arah

dalam arah radial atau dituliskan : r20rr ar4

QaEE . Beda potensial

antara titik A dan titik B akibat muatan titik Q pada titik asal (pusatkoordinat) dinyatakan sebagai berikut :

BA

r

r 020

r

rr

A

BAB r

1r1

4Q

rdr

4QdrELdEV A

B

A

B(2.28)

dengan :

Ar = jarak dari titik pusat ke titik A

Br = jarak dari titik pusat ke titik B

rd = bagian unsur diferensial panjang dalam arah radial

27

Untuk muatan titik Q yang positif, titik A berada pada potensial yanglebih tinggi dari titik B jika Ar lebih kecil daripada Br .

Jika titik B berada pada tak berhingga, maka potensial pada titik Bmenjadi nol dan potensial pada titik A dinamakan absolute potensial yangbesarnya :

A0A rQ

41V (Volt) (2.29)

Absolute potensial merupakan potensial pada suatu titik yangdiakibatkan oleh muatan listrik Q atau kerja yang dilakukan per coulombmuatan untuk membawa satu muatan positif dari titik tak berhingga kesuatu titik.

2.11.2 Potensial Listrik Distribusi MuatanApabila muatan tersebar dalam volume yang terbatas dengan

kerapatan muatan (C/m3 ), maka pada titik di luar volume tersebutmisalnya pada titik P (gambar 2.9) potensial listrik yang terjadi adalah :

vol 0R4dvV (2.29)

dengan :dQ = dV

28

Gambar 2.9 Potensial listrik distribusi muatan pada titik P.

2.12 GradienHubungan antara intensitas medan listrik dengan potensial listrik

dinyatakan oleh suatu operasi yang disebut gradien, yang dituliskansebagai berikut :

VE (2.30)

dengan: zz

yx aayax

(kartesian) (2.30a)

zzaa1a

asinr1ar

1ar r

sehingga :

z

zyx aVay

VaxVE (untuk kartesian) (2.30b)

Persamaan (2.30) disebut juga persamaan gradien potensial, yangmemiliki pengertian fisik sebagai laju perubahan potensial maksimumterhadap ruang dan arah dimana potensial maksimum tersebut terjadi.Gradien nol menunjukan bahwa disetiap titik di daerah tersebut

dVP

dQ

29

potensialnya sama (konstan). Tanda negatif muncul karena medan listrikberarah dari potensial tinggi ke rendah.Contoh soal :

Diketahui potensial listrik dengan persamaan : z5yx2V 2 .a. Hitung potensial di titik P(-4,3,6)b. Hitung medan Listrik di titik P(-4,3,6)

Solusi :

a. Potensial di titik P, 66)6(5)3()4(2V 2p Volt

b. Medan Listrik kita dapatkan dari persamaan (2.30) :

zy2x a5ax2axy4VE (Volt/meter)

zy2xp a5a)4(2a)3)(4(4E zyx a5a32a48

(V/m)

2.13 DipoleKombinasi dari dua buah muatan titik Q yang berlawanan tanda

terpisahkan jarak L dikenal dengan sebutan dipole (dwikutub). Berikut inimerupakan gambar geometrik dari dipole.

30

Gambar di atas memperlihatkan geometri dipole dengan dua muatan Qyang berlawanan tanda yang terpisahkan jarak dekat yaitu L. Titik P (titikobservator) berada pada tempat jauh yang dinyatakan dengan koordinatbola r, dan =90. Muatan +Q dan Q masing-masing terletak padakoordinat (0,0,1/2L) dan (0,0,-1/2L). Yang perlu dihitung di titik observatoradalah intensitas medan listrik total yang dihasilkan oleh muatan +Q dan Q.

Medan listrik total yang dihasilkan di titik P merupakan penjumlahanmedan listrik masing-masing muatan. Karena titik P sangat jauh dan jauhlebih besar dari panjang L, maka seolah-olah garis-garis radial 1r,r dan 2rmenjadi parallel (sejajar), seperti gambar berikut :

+Q

=

-Q

L

1r

r

2r

P

Gambar 2.10. Geometri dari dipoleyang terpisahkan jarak yang sangat

dekat yaitu L

31

Gambar 2.11 Untuk titik jauh P, ketiga garis radial dianggap sejajar.Untuk mencari intensitas medan listrik total di titik P, yang paling

mudah dicari terlebih dahulu adalah potensial listrik di titik P karenapotensial listrik merupakan bilangan skalar. Selanjutnya dengan operasigradien kita bisa tahu intensitas medan listriknya.

Dari gambar 2.11 diketahui :

cos2LrR1 dan cos2

LrR2

dengan : r = jarak dari titik tengah dipole ke titik P = sudut antara sumbu dipole dengan r

Potensial listrik di titik P akibat +Q :10R4

QV

Ke titikJauh P

1R

r

2R

cosLRR 12

+Q

-Q

L

x

y

z

32

Potensial listrik di titik P akibat -Q :20R4

QV

Sehingga potensial total :2112

0210 RRRR

4Q

R1

R1

4QV

Perhatikan pada gambar 2.11, bidang z = 0 yang berada di tengah keduamuatan titik Q merupakan tempat kedudukan titik dengan 21 RR ,sehingga bidang tersebut merupakan bidang potensial nol. Untuk titik yangjauh, 21 RR dan perkalian 21RR dalam penyebut dapat digantikan

dengan 2r . Jika 1R , R2dan r dianggap sejajar, maka cosLRR 12 ,sehingga potensial listrik di titik P menjadi :

20r4cosQLV

(2.31)

Dengan memakai gradient pada koordinat bola, maka intensitas medanlistrik pada titik P :

aVsinr1aVr

1arVVE r

kita dapatkan :

ar4

cosQLar2cosQLE 30

r30

atau :

asinacos2r4QE r30

(2.32)

33

2.14 Kapasitor dan KapasitansiSetiap dua konduktor yang terpisahkan oleh ruang bebas atau oleh

bahan dielektrik mempunyai nilai kapasitansi diantara kedua konduktortersebut. Pemberian beda tegangan antara keduanya akan menghasilkan+Q pada satu konduktor dan Q pada konduktor yang lain. Sebagaicontoh kapasitor, kapasitor merupakan perangkat yang dapat menyimpanmuatan listrik atau energi listrik. Terdiri dari dua konduktor yangdipisahkan medium atau bahan dielektrik.

Kapasitansi didefinisikan sebagai perbandingan antara besar muatanpada satu konduktor dengan perbedaan potensial antara kedua konduktor,atau dituliskan :

VQC (2.33)

dengan : C = kapasitansi (dalam Farad, F)Q = muatan (dalam Coulomb, C)V = perbedaan potensial (dalam volt, V)

Kapasitansi bergantung pada muatan dan tegangan, denganbertambahnya tegangan yang digunakan (perbedaan potensial semakintinggi), maka muatan yang tersimpan akan bertambah, akan tetapiperbandingan muatan terhadap tegangan akan tetap (konstan). Contohsederhana dari kapasitor ditunjukkan pada gambar 2.12. Disinidiasumsikan medium antara dua pelat konduktor adalah udara. Totalmuatan dari satu pelat yang luasnya A adalah :

34

AQ s . (2.34)Setiap titik pada permukaan pelat konduktor memiliki potensial sama,

sehingga medan listrik antara dua pelat tersebut uniform. Potensial antarapelat dapat dicari dengan menggunakan persamaan :

dEV (dalam volt) (2.35)

Magnitude kerapatan fluks listrik D antara pelat sama dengan rapatmuatan s dan sama dengan medan listrik dikalikan permitivitas bahan :

ED 0s (2.36)

d0++-- s

s E D

+

--

+

-V

Area A

(a)

d

(b)

Gambar 2.12 penampang dari kapasitor dua konduktorparalel.

35

Dari persamaan (2.34) ,(2.35) dan (2.36) diperoleh nilai kapasitansi daridua pelat konduktor dengan luas masing-masing A yang terpisahkan jarakd adalah :

dA

EdEA

d.EA

VQC 00s (Farad, F) (2.36)

dengan : 0 = permitivitas medium (udara) = 8,854 pF/m

A = Luas area pelat konduktor ( 2m )D = jarak antar pelat (m)

2.14.1 Kapasitor dengan dielektrikJika diantara pelat konduktor terdapat bahan dielektrik lain selain

udara dengan permitivitas bahan dielektrik tersebut relative terhadap udaraadalah r , maka besar kapasitansi antara pelat konduktor tersebut menjadi:

dA854,8

dA

EdEA

d.EA

VQC rr0s (pF) (2.37)

dengan : r = permitivitas relatif bahan dielektrik terhadap udara (ruanghampa)

2.14.2 Kapasitor dengan dua bahan dielektrikPerhatikan gambar 2.13 yang merupakan dua pelat konduktor

dengan luas masing-masing A, diantaranya diisikan 2 jenis bahandielektrik yang berbeda dengan tebal dan permitivitas masing-masing

36

2121 ,,d,d . Jika diantara dua konduktor terdapat dua dielektrik dengan

permukaan batasnya sejajar denganEdanD . Kapasitansi total antara

kedua pelat adalah hubungan seri antara dua kapasitansi masing-masingdielektrik, yaitu :

2C1

1C1

1

S22d

S11d

12V1V

QVQC

(2.38)

Gambar 2.13 Dua pelat konduktor dengan 2 bahan dielektrik yang sejajarbidang konduktor.

Jika bidang batas dielektrik diletakkan tegak lurus terhadap keduakeeping konduktor dan luas daerah dielektrik masing-masing adalah 1Adan 2A (gambar 2.14), kapasitansi total antara kedua keeping konduktortersebut merupakan hubungan seri antara dua kapasitansi dielektrik, yaitu :

212211 CCdAAC (2.39)

1d

2d

d1

2

Pelat konduktor 1, luas A

Pelat konduktor 2, luas A

37

Gambar 2.14 Dua pelat konduktor dengan 2 bahan dielektrik yang tegaklurus bidang konduktor.

Contoh soal :1. Hitung kapasitansi suatu kapasitor pelat paralel yang berisi dua bahan

dielektrik dengan 5,11r dan 5,32r dan masing-masing mengisiseparoh volumenya. Bidang batas dielektrik tegak lurus pelat

konduktor. Luas pelat adalah 2 2m dan jarak antar pelat adalah 1mm.Solusi :Karena bidang batas kedua dielektrik tegak lurus bidang konduktor,maka kapasitansi total yang dirasakan diantara pelat konduktor adalahhubungan paralel antara dua kapasitansi dari dua jenis bahan dielektrik, yaitu :

2A2r1A1rd0d 2A2r0

d1A1r02C1CC

= nF3,44)1.5,31.5,1(3101210.854,8

d 1r 2r

1A 2A

38

2. Hitung beda potensial pada masing-masing dielektrik dari kapasitor digambar 2.15 kalau tegangan yang diberikan 200 V.

Solusi :

050003101.5.01C

; 301000310.302C

nF77,205,312301000050002C1C2C1CC

Volt5,125.1210.854,8

310.1200.910.77,2

1V

1r01d.A

CV

1r01d.A

Q

1r01d.1s

1r0

1d.1D1d.1E1V

0

5r

3mm

1mm2m1

39

Volt5,1871.1210.854,8

310.3.1200.910.77,2

2V

2r02d.A

CV

2r02d.A

Q

2r02d.2s

2r0

2d.2D2d.2E2V