BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Peubah Acak1

Peubah acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang

ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Untuk melambangkan suatu

peubah acak, digunakan huruf capital, misalnya X dan huruf kecil, misalnya x

untuk melambangkan salah satu di antara nilai-nilainya.

Percobaan acak sekeping mata uang, ruang sampelnya akan berisi semua hasil

yang mungkin, yaitu C = {x | x = A, G }, A adalah yang muncul angka, dan G

gambar. X merupakan fungsi, jika c adalah angka, maka X(c) = 0, dan X(c) = 1,

apabila c adalah gambar. X merupakan fungsi bernilai real yang terdefinisi pada

ruang sampel C , sehingga terbentuk suatu ruang sampel baru yaitu A = { x | x = 0,

1}. Maka X adalah peubah acak.

Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel c. Fungsi X yang

menghubungkan setiap c C tepat dengan satu bilangan real x(c) = x, disebut

peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bilangan real A = { x | x = X(c) ; c

C c}.

Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau

suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya

dengan bilangan cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskrit. Bila suatu

ruang contoh mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama

banyaknya dengan titik pada sebuah ruas garis, maka ruang itu disebut ruang

contoh kontinu.

Peubah acak yang didefenisikan di atas ruang contoh yang diskrit dan kontinu

masing-masing disebut peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Dalam

prakteknya, peubah acak kontinu digunakan untuk data yang diukur, misalnya

tinggi, bobot, suhu, jarak, atau umur, sedangkan peubah acak diskrit digunakan

1 Walpole, Ronald E. 1992. Pengantar Statistika. III(Jakarta:Gramedia Pustaka Utama),hal.114-116

II-1

II-2

untuk data yang berupa cacahan, misalnya banyak produk cacat, banyaknya

kecelakaan per tahun di suatu provinsi.

2.2. Fungsi Kepadatan Probabilitas

Fungsi kepadatan peluang dibagi menjadi dua jenis. Yakni untuk data

diskrit dan kontinu. Untuk fungsi kepadatan peluang data diskrit sering disebut

sebagai fungsi sebaran peluang, sedangkan untuk fungsi kepadatan peluang data

kontinu sering disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (fkp), atau probability

density function (pdf).

2.2.1. Fungsi Kepadatan Peluang Diskrit

Fungsi ini disebut juga fungsi sebaran peluang. Sedangkan untuk definisi

nya sendiri, fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari

peubah acak X, jika untuk setiap hasil yang muncul x berlaku :

1. f(x) ≥ 0

2. ∑x f(x) = 1

3. P(X=x) = f(x)

F(x) lebih besar atau sama dengan nol. Jelas karena f(x) adalah peluang

dari masing-masing nilai peubah acak yang diperoleh dari permasalahan sesuai

kisaran nilai peluang. Sedangkan sigma f(x) = 1, menunjukan nilai peubah acak

menyebar di ruang sampel (berpasangan dengan anggota ruang sampel) sehingga

jumlah jika setiap titik sampel yang menjadi pasangan nilai peubah dijumlahkan

maka akan sama dengan ruang sampel, sehingga peluangnya jelas berjumlah 1

karena peluang menjadi ruang sampel dibagi ruang sampel sama dengan 1.

P(X=x) = f(x), adalah peluang untuk peubah acak x tertentu. Sama dengan

fungsi sebaran peluang untuk x tertentu tersebut.

Contoh 1.

Dua buah dadu ditos satu kali, diberi peubah acak x yaitu jumlah mata

dadu yang muncul. Tentukan :

1. Formula sebaran peluangnya

2. P(X=3)

II-3

3. P(X<5)

Jawab :

1. Terlebih dahulu kita menentukan nilai peubah acak yang mungkin yakni

{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, lalu masukkan kedalam Tabel 2.1. Dalam

Tabel 2.1. dapat dilihat nilai peubah acak dari dua buah dadu yang ditos

satu kali.

Tabel 2.1. Tabel Nilai Peubah Acak

Sehingga sebaran peluangnya dapat dilihat pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2. Sebaran Peluang Dua Dadu

2. P = (x = 3) = f(3) = 2/36

3. P(X <5) = F(2) + F(3) + F(4)

= 1/36 + 2/36 + 3/36

= 6/36

= 1/6

2.2.2. Fungsi Kepadatan Peluang Kontinu

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang sebuah peubah acak kontinu X,

yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila :

1. F(x) ≥ 0 untuk semua x є R

2.

II-4

3. P(a < x < b) =

Karena x di definiskan pada ruang sampel kontinu, mungkin saja F(x)

tidak kontinu pada beberapa titik yang terhingga banyaknya. Akan tetapi,

kebanyakan fungsi padat yang mempunyai penggunaan praktis dalam analisis data

statitika bersifat kontinu dan grafiknya, beberapa diantaranya, dapat dibentuk

salah satu dari bentuk grafik. Karena peluang akan dinyatakan sebagai luas dan

peluang merupakan bilangan positif maka fungsi haruslah seluruhnya terletak

diatas sumbu x.

Fungsi padat peluang kontinu didefiniskan sedemikian rupa sehingga luas

daerah, diantara kurva dan sumbu x yang dihitung atas semua rentangan harga X

pada daerah f(x) terdefinisi adalah 1. Kalau seluruh nilai X terletak pada selang

berrhingga, selalu mungkin memperluas selang tersebut sehingga mencakup

seluruh himpunan bilangan real dengan mendefiniskan f(x) sama dengan nol pada

semua titik pada selang perluasan tersebut.

Contoh 2.

Misalkan bahwa galat suhu reaksi dalam 0C, pada suatu percobaan

laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi

padat peluang :

a. Tunjukan bahwa syarat 2 terpenuhi

b. Hitung P(0 < x ≤ 1)

Jawab :

a.

b. P(0 < X ≤ 1) =

II-5

2.3. Jenis-Jenis Distribusi Diskrit

Distribusi diskrit adalah distribusi yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit dan peluangnya. Distribusi diskrit

memiliki titik-titik sampel yang terbatas, dapat dihitung satu persatu yang

dinyatakan dalam bilangan bulat (cacah).

2.3.1. Distribusi Seragam

Distribusi peluang diskrit yang paling sederhana ialah peubah acaknya

memperoleh semua nilainya dengan peluang yang sama. Distribusi peluang

semacam ini disebut distribusi peluang diskrit. Dimana peubah acak X mendapat

nilai dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit

diberikan oleh :

Lambang f(x;k) telah dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menunjukan

bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter k.

Contoh distribusi seragam adalah bila sebuah dadu dilemparkan, maka tiap

elemen ruang sampelnya adalah S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, muncul dengan peluang

1/6. Jadi, distribusi peluang f(x;6} = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6. Grafik distribusi seragam

dapat dilihat pada gambar 2.1.

II-6

Gambar 2.1. Grafik Distribusi Seragam

2.3.2. Distribusi Binomial2

Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probabilitas diskrit yang

paling sering digunakan dalam analisis statistik modern. Suatu distribusi binomial

dibentuk oleh suatu eksperimen binomial yang merupakan n kali percobaan

Bernoulli sehingga harus memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya

(dinyatakan sebelum eksperimen dimulai).

2. Setiap pengulangan eksperimen, biasa disebut percobaan (trial) hanya dapat

menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.

3. Probabilitas suskses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 – p selalu

konstan dalam setiap percobaan.

4. Setiap percobaan saling bebas secara statistik, yang berarti keluaran suatu

percobaan tidak berpengaruh pada keluaran percobaan lainnya.

Kurva Distribusi Binomial dapat dilihat pada gambar 2.2.

2 Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Hal 76-88.

II-7

Gambar 2.2. Kurva Distribusi Binomial

Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), dimana p

adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam sekali

perobaan, jika suatu variabel acak X menyatakan banyaknya x yang sukses yang

terjadi pada n percobaan tersebut, dapat dibentuk suatu distribusi probabalitas

binomial dengan fungsi probabilitasnya:

n n

0 ≤ p ≤ 1

Di mana:

n = kombinasi dari n objek di mana untuk setiap pemilihan diambil x objek.

2.3.3. Distribusi Hipergeometrik

Suatu distribusi hipergeometrik dibentuk oleh suatu eksperimen yang

memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Populasi berukuran N (anggotanya terdiri dari N objek).

II-8

2. Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal dan

terdapat M buah sukses dalam populasi, jadi p = M/N

3. Suatu sampel berukuran n (anggotanya terdiri dari n objek) dipilih dari s

populasi tanpa pergantian di mana setiap himpunan bagian beranggotkan n

yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk

terpilih menjadi sampel.

Kurva Distribusi Binomial dapat dilihat pada gambar 2.3.

Gambar 2.3. Kurva Distribusi Hipergeometrik

Jika variabel acak X menyatakan jumlah x sukses dalam suatu sampel

berukuran n yang dipilih secara acak dari populasi berukuran N yang memiliki M

sukses dan N – M gagal, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas

hipergeometrik yang fungsi probabilitasnya adalah:

di mana

Jadi, fungsi suatu distribusi hipergeometrik merupakan fungsi dengan tiga

parameter n, M, dan N.

2.3.4. Distribusi Binom Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang

memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas.

II-9

2. Setiap percobaan hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang

mungkin yaitu sukses atau gagal.

3. Probabilitas sukses p dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 – p selalu

konstan dalam setiap percobaan.

4. Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total

r sukses diperoleh di mana r berupa bilangan bulat tertentu.

Kurva Distribusi Binom Negatif dapat dilihat pada gambar 2.4.

Gambar 2.4. Kurva Distribusi Binom Negatif

Apabila dalam sebuah eksperimen binomial negatif dari serangkaian

percobaan di mana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas

gagal dalam setiap percobaan, maka jika variabel acak X menyatakan banyaknya

x gagal sebelum r sukses tercapai pada eksperimen tersebut, dapat diperoleh

distribusi probabilitas binomial negatif dengan fungsi probabilitasnya:

0 ≤ p ≤ 1

Jadi, jumlah percobaan yang harus dilakukan adalah sebanyak x + r.

2.3.5. Distribusi Geometrik

II-10

Jadi pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakuakn

sampai diperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukses, r = 1), maka

eksperimen itu disebut eksperimen geometrik. Kurva Distribusi Geometrikdapat

dilihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5. Kurva Distribusi Geometrik

Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah

sukses tercapai maka dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas geometrik

dengan menetapkan harga r = 1 pada distribusi probabilitas binomial negatif.

Berikut ini merupakan fungsi probabilitasnya:

0 ≤ p ≤ 1

2.3.6. Distribusi Poisson

Dalam eksperimen Poisson, probabilitas memperoleh dengan tepat

peristiwa X sebanyak X kejadian untuk setiap satu satuan unit (waktu atau ruang)

yang ditentukan membentuk sebuah distribusi yang fungsi probabilitasnya adalah:

Pp

Di mana:

II-11

λ = laju kejadian (rata-rata banyaknya kejadian dalam satu satuan unit tertentu)

e = konstanta dasar logaritma natural = 2,71828

Jadi fungsi probabilitas dari suatu distribusi poisson merupakan fungsi

dengan parameter λ. Kurva Distribusi Poisson dapat dilihat pada gambar 2.6.

Gambar 2.6. Kurva Distribusi Poisson

2.3.7. Distribusi Bernoulli

Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli yang

memenuhi syarat sebagai berikut:

1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari sukses atau gagal

2. Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p.

Kurva Distribusi Bernoulli dapat dilihat pada gambar 2.7.

Gambar 2.7. Kurva Distribusi Bernoulli

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, di mana p adalah probabilitas sukses

dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang

II-12

menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli

sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:

PB

0 ≤ p ≤ 1

Dengan memperhatikan bentuk fungsi probabilitas Bernoulli pada

persamaan di atas dapat dipahami bahwa fungsi tersebut adalah fungsi dengan

satu parameter, yaitu p.

2.4. Jenis-Jenis Distribusi Kontinu3

Peubah acak kontinu dan fungsi kepekatannya muncul bila data percobaan

kita didefinisikan pada suatu ruang contoh yang kontinu. Oleh karena itu, bila kita

mengukur selang waktu, bobot, tinggi, volume, dan lain sebagainya, maka

populasi kita dapat dinyatakan dengan suatu distribusi kontinu. Adapun

penjelasan dari jenis-jenis distribusi kontinu dijelaskan sebagi berikut.

2.4.1. Distribusi Normal

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika

adalah distribusi normal. Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss untuk

menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855), yang juga menemukan

persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan

simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve)

karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Kurva Normal dapat dilihat pada gambar 2.8.

3 Ibid; 179-215.

II-13

Gambar 2.8. Kurva Normal

Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk genta

seperti pada Gambar 2.9. disebut peubah acak normal. Persamaan matematik bagi

sebaran peluang peubah acak normal ini bergantung pada dua parameter µ dan σ,

yaitu nilai tengah dan simpangan bakunya. Oleh karena itu kita lambangkan nilai

fungsi kepekatan bagi X ini dengan n(x; µ, σ).

n(x; µ, σ) =

Sedangkan dalam hal ini π = 3,14159... dan e = 2,71828…

Gambar 2.9. Arti dari σ

Bila nilai-nilai µ dan σ diketahui, maka kurva normal itu telah tertentu

dengan pasti. Misalnya, bila µ = 50 dan σ = 5, maka ordinat-ordinat n(x; 50, 5)

dengan mudah dapat dihitung untuk berbagai nilai x, dan kemudian kurvanya

dapat digambar. Dalam Gambar 2.10. diberikan sketsa dua kurva normal yang

mempunyai simpangan baku yang sama tetapi nilai tengah yang berbeda. Kedua

II-14

kurva itu sama bentuknya tetapi berpusat pada posisi yang berbeda sepanjang

sumbu mendatar.

Gambaar 2.10. Dua Kurva Normal dengan µ1 µ2 tetapi σ1 = σ2

Dalam Gambar 2.11. diberikan sketsa dua kurva normal dengan nilai

tengah yang sama tetapi simpangan bakunya berbeda. Di sini kita melihat bahwa

kedua kurva itu berpusat pada posisi yang sama pada sumbu mendatar, tetapi

kurva dengan simpangan baku yang lebih besar berada lebih rendah dan lebih

menyebar ke samping. Ingat bahwa luas daerah di bawah suatu kurva peluang

harus sama dengan 1, oleh karena itulah semakin beragam suatu gugus

pengamatan, maka kurvanya menjadi lebih rendah dan lebih melebar.

Gambar 2.11. Dua Kurva Normal dengan µ1 = µ2 tetapi σ1 < σ2

Kurva normal standar adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi

distribusi nilai Z, dimana distribusi tersebut akan mempunyai Q = 0 dan standar

deviasi W = 1. Grafik distribusi normal tergantung pada dua faktor, yaitu nilai

rata-rata (mean) dan standar deviasi. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat

grafik, dan standar deviasi menentukan tinggi dan lebar grafik.

Gambar 2.12. menunjukkan skets dua kurva normal yang mempunyai nilai

tengah dan simpangan baku yang berbeda. Jelas, bahwa keduanya berpusat pada

II-15

posisi yang berbeda pada sumbu mendatar dan bangun kedua kurva itu

mencerminkan kedua nilai σ yang berbeda.

Gambar 2.12. Dua Kurva Normal dengan µ1 µ2 tetapi σ1 < σ2

Dari pengamatan terhadap Gambar 2.9 sampai 2.12 kita memperoleh sifat-

sifat kurva normal berikut ini:

1. Modus, titik pada sumbu mendatar yang memberikan maksimum kurva,

terdapat pada x = µ.

2. Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui rataan µ.

3. Kurva mempunyai titik belok pada x = µ cekung dari bawah bila µ-σ

µ+σ, dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya.

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x

bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan.

5. Seluruh luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.

2.4.2. Distribusi T

Jarang sekali kita beruntung mengetahui ragam populasi induk (asal)

tempat kita menarik contoh. Untuk contoh berukuran n ≥ 30, nilai dugaan yang

baik bagi σ2 diberikan oleh s2. Dengan demikian apa yang terjadi dengan sebaran

nilai-nilai z dalam Dalil Limit Pusat bila kita mengganti σ2 dengan s2. Asalkan s2

merupakan nilai dugaan yang baik bagi σ2 dan tidak terlalu bervariasi dari contoh

satu ke contoh lainnya, dan inilah yang terjadi bila n ≥ 30, maka nilai-nilai ( -

µ)/(s/√n) masih menyebar menghampiri sebaran normal baku, sehingga Dalil

Limit Pusat tetap berlaku.

II-16

Bila ukuran contohnya kecil (n < 30), nilai-nilai s2 berfluktuasi cukup

besar dari contoh satu ke contoh lainnya, dan sebaran nilai-nilai ( - µ)/(s/√n)

tidak lagi normal baku. Bila demikian halnya, kita sesungguhnya berhadapan

dengan sebaran untuk statistik yang disebut T, yang nilai-nilainya adalah

t =

Dan merupakan sebuah nilai peubah acak T yang mempunyai sebaran t

dengan v = n – 1 derajat bebas.

Pada tahun 1908, W.S. Gosset mempublikasikan sebuah makalah yang

memuat keberhasilannya menurunkan sebaran peluang bagi T. Pada waktu itu,

Gosset bekerja pada sebuah pabrik bir milik orang Irlandia yang tidak

mengizinkan publikasi hasil-hasil penelitian para stafnya. Untuk mengatasi hal

ini, ia mempublikasikan karyanya itu dibawah nama samaran ”Student”. Sejak itu,

sebaran bagi T disebut sebaran t-Student atau ringkasnya sebaran t.

Sebaran t menyerupai sebaran z, dalam hal keduanya setangkup di sekitar nilai

tengah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta namun, sebaran t lebih

bervariasi, berdasarkan kenyataan bahwa nilai t bergantung pada fluktuasi dua

besaran yaitu x dan s2, sedangkan nilai z bergantung pada perubahan x dari satu

contoh ke contoh lainnya. Sebaran bagi t berbeda dengan sebaran bagi z dalam hal

ragamnya bergantung pada ukuran contoh n dan selalu lebih besar dari 1. Hanya

bila ukuran contoh kedua sebaran itu menjadi sama. Sifat kesetangkupan

sebaran t dapat dilihat pada gambar 2.13.

Gambar 2.13. Sifat Kesetangkupan Sebaran t

II-17

2.4.3. Distribusi F4

Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika terapan adalah

distribusi F. Distribusi F didefinisikan sebagai nisbih dua peubah acak chi-kuadrat

yang bebas, masing-masing dibagi dengan derajat kebebasannya. Distribusi F

diaberi dari nama R. A. Fisher. Dapat dituliskan sebagai berikut :

U dan V menyatakan peubah acak bebas, masing-masing berdistribusi khi-kuadrat

dengan derajat kebebasan v1 dan v2.

Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing berdistribusi khi-

kuadrat dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Maka distribusi peubah acak :

Parameter dari distribusi ini adalah d1 yakni derajat kebebasan pertama dan d2

yakni derajat kebebasan kedua.

Diberikan oleh :

0 < f <

= 0 untuk f lainnya

Distribusi F dapat dilihat pada gambar 2.14.

4 Ibid; Hal 374-375

II-18

Gambar 2.13. Distribusi F

2.3.4. Distribusi Chi-Kuadrat

Uji chi kuadrat antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan

yang didasarkan pada besaran yang terjadi. Frekuensi observasi nilainya didapat

dari hasil percobaan (o) sementara frekuensi harapan, nilainya dapat dihitung

secara teoritis (e).

Uji χ² dapat digunakan untuk :

1. Uji Kecocokan

2. Uji Kebebasan

3. Uji beberapa proporsi

Fungsi distribusi chi-kuadrat diberikan sebagai berikut:

Berikut aplikasi dari uji χ² pada penggunaan uji kebaikan suai. Bila suatu

contoh berukuran n ditarik dari sebuah populasi normal dengan ragam σ2, dan

kemudian hitung ragam contoh s2, maka kita memperoleh sebuah nilai bagi

statistik s2. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi σ2.

Dengan demikian statistik s2 disebut penduga bagi σ2.

Selang kepercayaan bagi σ2 dapat diperoleh dengan menggunakan rumus statistik:

II-19

yang disebut chi kuadrat, yang sebaran penarikan contohnya dikenal sebagai

sebaran chi kuadrat dengan v = n – 1 derajat bebas. V di sini sama dengan

pembagi dalam rumus s2. Nilai statistik chi-kuadrat dihitung dari suatu contoh

acak berdasarkan hal berikut.

Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yang ditarik dari suatu populasi

normal dengan ragam σ2, maka

merupakan sebuah nilai peubah acak 2 yang mempunyai sebaran chi-kuadrat

dengan v = n – 1 derajat bebas. Distribusi Chi-kuadrat dapat dilihat pada gambar

2.14.

Gambar 2.14. Distribusi Chi-kuadrat

2.3.5. Distribusi Weibull

Model ini banyak dipergunakan untuk sebaran fungsinya berupa fungsi

tidak linier terhadap waktu t. Fungsi padat peluang dari model distribusi Weibull

adalah:

f(t) =

dengan parameter θ dan γ adalah bernilai positif. Parameter θ merupakan

parameter skala merupakan karakteristik umur, yang menggambarkan sifat umur

produk. Sedangkan parameter γ merupakan parameter bentuk, yang

menggambarkan macam-macam bentuk distribusinya, jika nilainya bervariabel.

II-20

Jika nilai γ dilakukan simulasi pada fungsi padat peluang Weibull, maka akan

didapat distribusi seperti pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3. Hasil Simulasi Nilai γ terhadap Distribusi

Γ f(t) Distribusi

1 Eksponensial

3,43927 Normal

Selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif Weibull diberikan dengan:

F(t) =

Fungsi reliabilitas Weibull adalah :

R(t) =

Berikut ini disajikan plot dari fungsi reliabilitas weibull untuk bermacam-

macam nilai γ (atau g), untuk suatu θ diambil konstan. Plot Fungsi Reliabilitas

Weibull terhadap Waktu dapat dilihat pada gambar 2.15.

Gambar 2.15. Plot Fungsi Reliabilitas Weibull terhadap Waktu

Berdasarkan Gambar 2.15 diperoleh kesimpulan bahwa untuk nilai θ

konstan, fungsi reliabilitasnya adalah makin kecil, jika nilai γ makin besar

II-21

terhadap waktu. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi reliabilitas Weibull kurang

sensitive untuk nilai γ yang besar, dimana nilai θ dianggap konstan. Juga, fungsi

tingkat risiko weibull diberikan dengan :

h(t) =

Jika dilakukan simulasi secara umum terhadap nilai γ dengan θ dianggap

konstan pada fungsi tingkat resiko weibull didapat keputusan fungsi seperti pada

Tabel 2.4.

Tabel 2.4. Hubungan Antara γ dengan Fungsi

Γ Fungsi

Lebih dari 1 Monoton naik

Sama dengan 1 Konstan

Kurang dari1 Monoton turun

Di bawah ini ditampilkan plot dari fungsi tingkat risiko weibull untuk

suatu θ konstan dengan bermacam-macam nilai γ (atau g). Plot Fungsi Tingkat

Resiko Weibull terhadap Waktu dapat dilihat pada gambar 2.17.

Gambar 2.17. Plot Fungsi Tingkat Resiko Weibull terhadap Waktu

II-22

Menurut Gambar 2.15, untuk nilai θ konstan dapat dikatakan bahwa pada

γ= 1, maka h(1) merupakan fungsi konstan. Sedangkan pada γ lebih dari 1, nilai

awal h(γ) lebih kecil dari h(1) tetapi akhirnya lebih besar darinya, yang mana

makin besar nilai γ nilai fungsi h(γ) akan cepat besar. Sebaliknya, pada γ kurang

dari 1, nilai awal h(γ) lebih besar dari h(1) tetapi akhirnya lebih kecil darinya,

yang mana makin kecil nilai γ nilai fungsi h(γ) akan cepat mengecil.

Misalkan suatu produk diasumsikan bahwa waktu kegagalannya adalah

berdistribusi Weibull dengan parameter θ = 100 dan γ = 5. Maka reliabilitas untuk

waktu sesudah t adalah . Sehingga untuk t = 1,5 tahun didapat R(1,5) = 0,9269.

Sedangkan tingkat risiko pada waktu t adalah, pada t = 1,5 tahun tingkat risikonya

adalah 0,2531 kegagalan per tahun.

2.3.6. Distribusi Lognormal

Dalam teori-teori probabilitas, distribusi normal merupakan distribusi

probabilitas dari variabel acak yang logaritma adalah terdistribusi normal. Jika Y

adalah variabel random dengan distribusi normal, maka X = exp (Y) memiliki

distribusi lognormal juga, jika Y adalah log terdistribusi normal, maka log (Y)

adalah distribusi normal. Dasar dari fungsi logaritmik tidak menjadi masalah; jika

loga (Y) adalah terdistribusi normal, maka demikian adalah log b ( Y), untuk setiap

dua bilangan positif a,b ≠ 1. Fungsi distribusi lognormal dinyatakan sebagai

fungsi y sebagai berikut :

f(y) =

dengan :

mean

variansi,

dimana µx = mean distribusi normal, σx = variansi distribusi normal.

II-23

Probabilitas Fungsi Kepadatan pada Distribusi Lognormal dapat dilihat pada

gambar 2.18 dan Fungsi Distribusi Kumulatif pada Distribusi Lognormal dapat

dilihat pada gambar 2.19.

Gambar 2.18. Probabilitas Fungsi Kepadatan pada Distribusi Lognormal

Gambar 2.19. Fungsi Distribusi Kumulatif pada Distribusi Lognormal

2.4.9. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma merupakan distribusi fungsi padat yang terkenal luas

dalam bidang matematika. Fungsi gamma didefenisikan oleh:

Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma, dengan parameter dan ,

dimana >0 dan >0 maka padatannya diberikan oleh:

II-24

= 0 untuk x lainnya

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah:

= dan 2 = 2

Skewness :

Kurtosis :

Kurva distribusi gamma ditunjukkan pada Gambar 2.20.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

Distribusi Gamma

Gambar 2.20. Kurva Distribusi Gamma

2.4.10. Distribusi Laplace

Distribusi Laplace kontinu distribusi probabilitas dinamai Pierre-Simon

Laplace. Hal ini juga kadang-kadang disebut distribusi eksponensial ganda,

karena bisa dianggap sebagai dua distribusi eksponensial (dengan parameter

lokasi tambahan) disusun menjadi satu back-to-back, tetapi istilah distribusi

eksponensial ganda juga kadang-kadang digunakan untuk merujuk kepada

distribusi Gumbel.

Adpun relasi distribusi dari distribusi Laplace adalah sebagai berikut:

II-25

1. Jika X~Laplace(0,b) kemudian |X|~Exponential(b-1) adalah distribusi

eksponensial.

2. Jika X~Exponential(λ) dan Y~Bernoulli (0,5) independen X, kemudian.

X(2Y-1)~Laplace(0,λ-1).

3. Jika X1~Exponential(λ1) dan X2~Exponential(λ2) independen X1 , kemudian,

λ1X1 - λ2 X2~Laplace(0,1)

4. Jika V~Exponential(1) dan Z~N(0,1) independen dari V, maka. X=µ+

~Laplace(µ,b).

Kurva distribusi Laplace ditunjukkan pada Gambar 2.21.

Gambar 2.21. Kurva Distribusi Laplace

2.4.11. Distribusi Beta

Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi beta didefinisikan pada

interval (0, 1) oleh dua parameter positif, yang biasanya dilambangkan dengan α

dan β.

Probabilitas fungsi kepadatan dari distribusi beta adalah:

II-26

=

=

Dimana Γ adalah fungsi gamma, dan B adalah fungsi

2.4.12. Distribusi Triangular

Digunakan dalam situasi ketiadaan data, terutama jika minimum (a),

maximum (b) dan mode (m) dapat diperkirakan

Mean : (a + m + b) / 3

Varians : (a2 + m2 + b2 – am – ab – mb) /18

Distribusi Triangular dapat dilihat pada gambar 2.22

Gambar 2.22. Distribusi Triangular

Distribusi Triangular mempunyai fungsi kepadatan probabilitas sebagai berikut:

II-27

f(x) =

dengan parameter a, b, c , dimana a ≤ b ≤ c . Peubah acak X yang memiliki

distribusi Triangular dapat ditulis X ~ TRIA(a,b,c).

2.4.13. Distribusi Cauchy

The Cauchy-Lorentz distribusi adalah distribusi probabilitas kontinu .

Sebagai distribusi probabilitas, dikenal sebagai distribusi Cauchy, sementara di

kalangan fisikawan, itu dikenal sebagai distribusi Lorentz, fungsi Lorentz, atau

distribusi Breit-Wigner.

Distribusi yang Cauchy memiliki probabilitas fungsi kepadatan :

=

di mana x 0 adalah parameter lokasi, menentukan lokasi puncak distribusi, dan γ

adalah parameter skala yang menentukan lebar setengah maksimum. γ juga sama

dengan setengah inter kuartil.

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Cauchy adalah:

Invers fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Cauchy :

II-28

Kurva distribusi Cauchy ditunjukkan pada Gambar 2.23.

Gambar 2.23. Kurva Distribusi Cauchy

2.5. Pengujian Distribusi5

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih

populasi. Benar atau salahnya populasi tidak akan pernah diketahui dengan pasti,

kecuali bila seluruh populasinya diperiksa. Tentu saja dalam kebanyakan situasi

hal ini tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu dapat diambil suatu contoh acak

dari populasi tersebut dan mengunakan informasi yang dikandung contoh itu

untuk memutuskan apakah hipotesis tersebut kemungkinan besar benar atau salah.

Bukti dari contoh yang tidak konsisten dengan hipotesis yang dinyatakan tentu

saja membawa pada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti yang

mendukung hipotesis tersebut akan membawa pada penerimaannya.

Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak akan membawa

penggunaan istilah hipotesis nol yang dilambangkan dengan H0. Penolakan H0

akan mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif yang dilambangkan

dengan H1.

5Ronald E. Walpole. 1995. Pengantar Statistika.

II-29

2.6. P Value6

Dalam pengujian hipotesis dengan pengujian statistik yang diskret,

daerah kritis dipilih agak sembarang dan besarnya ditentukan. Bila α terlalu besar,

ukurannya dapat diturunkan dengan membuat penyesuaian dalam nilai kritis.

Mungkin saja perlu menaikkan ukuran sampel untuk mengimbangi penurunan

dalam kuasa uji yang terjadi secara otomatis.

Dalam beberapa angkatan analisis statistika, sudah merupakan kebiasaan

memilih α sebesar 0,05 atau 0,01dan kemudian memilih daerah kritis yang sesuai.

Kemudian, penolakan yang tegas atau penerimaan H0 akan bergantung pada

daerah kritis tersebut. Pendekatan nilai-P sebagai alat bantudalam pengambilan

keputusan cukup wajar karena hampir semua kemasan computer dalam

perhitungan pengujian hipotesis memberikan nilai-P bersama nilai yang sesuai

dengan uji statistic tersebut.

Nilai-P ialah taraf (keberatian) terkecil sehinggan nilai uji statistic yang

diamati masih berarti.

2.7. Koefiseien Determinasi7

Konsep korelasi linier daan koefisien determinasi yang diperkenalkan

dalam Pasal 11.8 memberikan ukuran kebaikan-suai terhadap garis regresi kuadrat

terkecil bagi gugus data yang berpasangan. Konsep tersebut juga dapat diperluas

pada kasus peubah ganda. Baiklah kita misalkan hubungan antara nilai-nilai

peubah tak bebas Y dengan peubah bebas X1 dan X2 dapat dijelaskan melalui

persamaan regresi berganda

µY|x1,x2 = β0 + β1x1 + β2x2

yang diduga dari contoh acak {(x1i, x2i, yi) ; I = 1, 2, …, n} melalui

persamaan regresi contoh kuadrat terkecil

ŷ = b0 + b1x1 + b2x2

6Ronald E. Walpole. 1995. Ilmu Peluang dan Statitika Untuk Insinyur dan Ilmuan. Hal. 341-342.7Ibd. Hal.373-374

II-30

koefisien determinasi berganda contoh, yang dilambangkan dengan R2y.12,

menunjukkan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah Y yang dapat

diterangkan oleh model yang digunakan. Kita mendefinisikan R2y.12 tepat seperti

ketika kita mendefinisikan r2 pada halaman 371. Jadi , R2y.12 = 1-

dan seperti sebelumnya,

JKG = 2

Tetapi sekarang ŷi merupakan nilai lamaran bagi Y yang diperoleh dengan cara memasukkan (x1i,x2i), untuk i = 1,2, …. N, kedalam persamaan regresi berganda.

2.8. Perbandingan Potensi Energi Angin menggunakan Metode

Matematika yang berbeda untuk Pasni, (Pakistan)8

2.8.1. Pendahuluan

Desain Konversi sistem energi angin memerlukan upaya besar untuk

mengenali model statistik yang sesuai untuk distribusi frekuensi kecepatan angin.

Fungsi yang banyak digunakan untuk memodelkan data kecepatan angin adalah

fungsi distribusi Weibull. Baru-baru distribusi ini telah menjadi fungsi distribusi

acuan dalam software analisis dan aplikasi i-e Wind Atlas. Kami metandai

distribusi Weibull dengan dua parameter, parameter skala dan parameter bentuk.

Metode grafik distribusi Weibull dan model lognormal digunakan untuk data

kecepatan angin oleh Garcia et al. Metode kemungkinan maksimum yang

dimodifikasi (MMLM) yang direkomendasikan oleh Seguro dan Lambert untuk

penilaian parameter Weibull menggunakan seri waktu data angin. Hal ini

didasarkan pada sejumlah data kecepatan angin dari tiga hari dan ia menyarankan

bahwa metode evaluasi yang benar memerlukan beberapa bulan / tahun untuk

8

II-31

pengukuran data kecepatan angin. Sulaiman dkk. (2002) menggunakan metode

grafis untuk menentukan parameter Weibull karakteristik angin untuk Oman.

Menggunakan metode grafis dan empiris untuk menganalisis kepadatan tenaga

angin di ketinggian 10, 30, dan 60 meter di Kerajaan Bahrain, Jowder. Metode

empiris memberikan prediksi yang lebih tepat pada kecepatan angin rata-rata dan

densitas daya. Dorvlo menyimpulkan bahwa metode Chi-square menyediakan

evaluasi yang lebih baik untuk parameter Weibull daripada metode grafis dan

momen, berdasarkan statistik Kolmogorov-Smirnov ketika menganalisis data

angin dari stasiun 04 di Oman. Data angin yang diamati tidak selalu mengikuti

distribusi Weibull tapi disebutkan di atas metode numerik mengindikasikan

bahwa data kecepatan angin mengikuti distribusi probabilitas Weibull.

2.8.2. Landasan Teori

Pengukuran distribusi kecepatan angin yang diukur dimodelkan dengan

teori fungsi distribusi untuk perhitungan potensi energi angin. Distribusi Weibull

ditandai dengan fungsi kecepatan dua parameter (k, c). Hal ini dapat dijelaskan

oleh fungsi kepadatan probabilitas f (v) dan fungsi distribusi F (v) diberikan

sebagai:

di mana k adalah parameter bentuk yang tidak berdimensi, v adalah kecepatan

angin, dan c adalah parameter skala yang memiliki dimensi yang sama dengan

kecepatan angin. Jika parameter bentuk k adalah 2, distribusi bernama distribusi

Rayleigh. Rata-rata angin kecepatan Weibull v.m, menggunakan fungsi Gamma

Γ, dinyatakan dengan persamaan (3), kepadatan energy Pv dinyatakan oleh

persamaan (4) (ρa: kerapatan udara 1,225 kg / m3) dan kepadatan energi yang

tersedia untuk semua angin kecepatan Ed (Weibull kepadatan energi) adalah

dinyatakan oleh persamaan (5).

II-32

dimana ρa adalah densitas udara 1,225 kg / m3 dan Γ() adalah fungsi Gamma

diungkapkan oleh

Survei dari enam metode statistik untuk memperkirakan parameter Weibull adalah

diberikan pada bagian berikut. i-e (MoM), (MLE), (MLM), (MMLM), (EM),

(PDM).

2.8.3. Analisis Eror Statistik dan Uji Kecocokan Model

Tujuh metode untuk menganalisis efisiensi yang digunakan dalam tes yang

dilakukan untuk mengestimasi parameter Weibull dan uji kecocokan dari data

yang diukur pada fungsi Weibull, RMSE dan koefisien determinasi. Tes ini adalah

sebagai;

Dimana, N adalah jumlah observasi, zi adalah rata-rata yi, yi adalah frekuensi yang

diamati untuk i, xi diharapkan frekuensi untuk i dan dihitung menggunakan

distribusi Weibull.

II-33

Root Mean Square Error (RMSE) diukur untuk titik data diskrit dan

umumnya digunakan untuk memperkirakan kesalahan atau ketidakpastian dalam

lokasi. Uji RMSE adalah akar kuadrat dari varians dari residual. Tes ini

memberikan ukuran absolut dari uji kecocokan model untuk data yang diukur.

Nilai RMSE yang lebih rendah menunjukkan kecocokan yang lebih. Uji koefisien

determinasi memberikan ukuran relatif kecocokan dari model data untuk

mengukur data dalam perbandingkan untuk RMSE. Nilai koefisien determinasi

yang mendekati satu menunjukkan bahwa proporsi yang lebih besar dari variasi

dalam data sedang dijelaskan oleh model.

Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan untuk menguji kesesuaian kepadatan

probabilitas teoritis fungsi. Tes tersebut didefinisikan sebagai maksimum

kesalahan antara 2 fungsi distribusi kumulatif:

dimana F(v) ≡ fungsi distribusi kumulatif untuk kecepatan angin dihitung

menggunakan parameter Weibull ditentukan.  O(v) ≡ fungsi distribusi kumulatif

untuk pengamatan atau data kecepatan angin yang secara acak dihasilkan. Nilai

kritis untuk uji Kolmogorov-Smirnov pada tingkat kepercayaan 95%. Tingkat

kepercayaan diberikan oleh:

Data kecepatan angin (pengukuran) dapat digambarkan oleh histogram.

Hal ini berguna dalam membandingkan distribusi variasi kecepatan angin dengan

model distribusi Weibull. Pilihan ukuran bin sangat penting sebagaimana bentuk

histogram tergantung pada ukuran bin. Ukuran bin (B) dapat ditentukan dengan

menggunakan ekspresi empiris berikut:

Dimana vmax adalah data kecepatan angin maksimum dan n adalah nomor data.

Tabel 2.4. Rata-rata Tahunan Data kecepatan Angin (m/dtk) untuk Pasni pada Tengah

Malam

II-34

Bulan 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Januari 1.7923 0.6638 0.8297 1.0289 1.0289 1.5267 2.6884 1.2280 0.7634 0.8629

Februari 1.1616 0.3651 0.4978 1.2612 0.7966 0.5310 1.7591 0.5642 0.9957 0.4315

Maret 0.0996 0.5642 1.8586 0.6306 0.8961 0.3983 0.0664 0.7966 1.3940 1.0289

April 0.4647 0.6638 1.6595 0.4813 1.4935 0.6970 0.4647 0.1991 1.6595 0.4647

Mei 0.3983 1.1948 1.0953 1.2944 1.8586 0.9625 0.7302 0.0332 1.4935 0.7966

Juni 0.4978 1.0621 1.4604 0.7302 1.5267 0.4978 0.3651 0.3651 1.3940 0.8961

Juli 3.1530 1.2280 1.2612 1.1616 1.3608 1.0289 0.5974 0.0000 1.4272 0.9957

Augustus 2.6884 0.5310 1.6595 0.3651 1.0953 0.8961 0.5974 0.0000 1.2612 0.7966

September 1.5599 0.9625 1.2612 0.0664 0.2987 0.4647 0.3319 0.3983 0.7634 0.5974

October 0.3651 0.7966 0.6638 0.3651 0.8961 0.8297 0.2987 0.5974 0.0996 0.3983

November 0.9293 1.2612 0.1328 0.5974 0.8629 0.3319 0.7966 0.5974 0.0332 0.1991

December 1.6595 1.4604 5.6755 0.9625 1.5599 1.0953 0.1328 0.4978 0.3983 1.1948

Rata-rata

Tahunan1.2308 0.8961 1.5046 0.7454 1.1644 0.7717 0.7357 0.4398 0.9736 0.7219

Tabel 2.5. Rata-rata Tahunan Data kecepatan Angin (m/dtk) untuk Pasni pada Tengah

Hari

Bulan 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Januari 6.1567 4.1819 3.1199 4.3811 3.5181 3.9828 3.5513 3.1862 2.9207 3.7505

Februari 5.8746 3.3190 3.2526 4.3811 3.5845 4.5802 3.9164 3.8500 2.8211 3.5513

Maret 7.4345 4.9453 7.4843 5.4763 5.4100 5.2440 5.3104 4.7794 6.0074 4.3479

April 6.7376 4.5470 5.9908 7.0363 6.7542 5.3436 4.7462 4.4806 6.9035 4.9453

Mei 6.4057 4.7462 5.9078 7.5009 7.2354 6.7707 5.7750 4.9785 7.5341 7.9324

Juni 7.1026 5.1776 6.0738 7.4345 6.8039 5.3104 3.9496 4.6798 5.5759 5.4431

Juli 7.0695 4.1487 6.2397 5.4763 5.3104 5.1776 4.3147 4.4475 5.2772 5.9410

Augustus 4.1156 4.9951 6.4388 5.4100 5.5095 5.7750 3.5513 4.6134 6.5052 3.0867

September 6.0074 4.9453 6.7376 5.6257 5.1776 5.2274 5.4100 5.1776 6.1733 5.1444

October 4.5636 4.0160 5.1776 4.8457 5.4100 4.1487 3.7837 3.4518 3.8168 3.5181

November 4.5138 3.2858 3.7837 3.0535 3.7837 4.0160 3.6675 2.8543 2.6552 2.3565

II-35

December 5.9078 5.0449 4.6466 3.2194 3.6841 3.4849 2.4561 3.0203 2.8875 3.1530

Rata-rata

Tahunan5.9908 4.4461 5.4044 5.3201 5.1818 4.9218 4.2027 4.1266 4.9232 4.4309

2.8.4. Hasil dan Pembahasan

Gambar 2.1. menunjukkan histogram data kecepatan angin per jam yan

digabungkan dengan berbagai fungsi Weibull dengan nilai estimasi k & c

menggunakan tujuh metode. Gambar 2.2-2.8 menyajikan histrogram kecepatan

angin harian diamati pada Pasni dengan berbagai fungsi Weibullnya. Histogram

yang tumpang tindih dengan kumulatif fungsi distribusi probabilitas (CDF) dan

distribusi probabilitas Weibull function (pdf) dihitung dengan bentuk dan skala

tertentu parameter untuk Data kecepatan angin (yang sebenarnya) juga untuk data

yang dihasilkan. Angka menunjukkan kesepakatan yang sangat halus antara

histogram, cdf dan pdf dari data seri waktu aktual dan data yang dihasilkan di

mana parameter bentuk dan skala Weibull dihitung menggunakan tujuh metode

statistik.

Gambar 2.1. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Fungsi Weilbull dengan Estimasi Nilai c dan k

Menggunakan Tujuh Metode

II-36

Gambar 2.2. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode MLE

Gambar 2.3. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan Metode

MLM

II-37

Gambar 2.4. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode MMLM

Gambar 2.5. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode MoM

Gambar 2.6. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode EM

II-38

Gambar 2.7. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode EPFM

Gambar 2.8. Histogram Data Kecepatan Angin Harian yang Tumpang

Tindih dari Berbagai Perhitungan Fungsi Weibull Menggunakan

Metode PDM

2.8.5. Kesimpulan

Diukur data kecepatan angin untuk Pasni dan dianalisis menggunakan

Fungsi Distribusi Weibull. Karakteristik parameter Bentuk dan skala untuk

distribusi Weibull yang ditentukan dengan menggunakan tujuh metode estimasi.

Perbandingan antara tujuh metode estimasi dilakukan dan untuk semua metode

meunjukkan hasil yang memuaskan. Nilai yang lebih rendah dari RMSE, yaitu,

103 diperoleh selama tujuh metode estimasi parameter Weibull. Hal ini

menunjukkan respon yang baik dari fungsi distribusi Weibull untuk data

kecepatan angin yang diukur. Perbandingan dari tujuh metode estimasi yaitu

MLE, MLM, MMLM, MoM, EM, EPFM dan PDM menunjukkan konsistensi dari

estimasi parameter bentuk dan skala nilai hal kecil RMSE. Sedikit perbedaan

perkiraan nilai k dan c diamati untuk EPFM dan PDM. Hal ini menunjukkan

bahwa fungsi distribusi Weibull cocok untuk mengukur distribusi kecepatan

angin. Tes RMSE dan koefisien determinasi untuk semua metode estimasi, yang

dilakukan memberikan nilai dalam kisaran yang direkomendasikan menunjukkan

keandalan metode yang digunakan untuk memperkirakan parameter Weibull dan

akibatnya pendekatan yang lebih baik dari pengukuran data distribusi kecepatan

II-39

angin. Uji statistik menunjukkan bahwa fungsi distribusi Weibull cukup

menjelaskan distribusi kecepatan angin yang diukur.

Analisis data kecepatan angin yang diukur mengungkapkan bahwa diantara

tujuh metode estimasi parameter Weibull, metode kemungkinan maksimum dan

Modifikasi Metode kemungkinan maksimum yang lebih akurat dibandingkan

dengan metode lain.

Fungsi distribusi Weibull cocok untuk meukur distribusi kecepatan angin.

Perjanjian antara distribusi kecepatan angin yang diamati dan distribusi Weibull

yang dianalisis dengan melakukan uji statistik, seperti tes RMSE dan koefisen

determinasi. Tes menunjukkan kesepakatan yang baik antara fungsi distribusi

yang diamati dan dicocokkan.