Modul_Struktur_Aljabar/Rachmaniah_Mirza 18

BAB II

SEMIGRUP DAN MONOID

2.1 SEMIGRUP Pada materi sebelumnya telah dibahas konsep grupoid, yaitu struktur aljabar yang

disertai dengan satu operasi biner tanpa syarat apapun. Maka grupoid dapat dikatakan sebagai

struktur aljabar yang paling sederhana. Berikut ini akan dibahas tentang struktur aljabar

dengan satu operasi biner yang bersyarat.

DEFINISI 1

Suatu grupoid ,G merupakan semigrup terhadap operasi penjumlahan jika memenuhi

syarat tertutup dan asosiatif terhadap operasi penjumlahan.

Contoh:

1. Grupoid bilangan asli N , bilangan bulat Z , bilangan rasional Q dan bilangan real R

merupakan semigrup terhadap operasi penjumlahan. Sehingga dapat dinotasikan sebagai

,N , ,Z , ,Q , ,R

DEFINISI 2

Suatu grupoid ,G merupakan semigrup terhadap operasi perkalian jika memenuhi

syarat tertutup dan asosiatif terhadap operasi perkalian.

Contoh:

1. Grupoid bilangan asli N , bilangan bulat Z , bilangan rasional Q dan bilangan real R

merupakan semigrup terhadap operasi perkalian. Sehingga dapat dinotasikan sebagai

,N , ,Z , ,Q , ,R

2. Diketahui himpunan bilangan asli N disertai dengan operasi biner xyyxyx * .

Buktikan bahwa ,*N adalah suatu semigrup.

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa ,*N tertutup

Ambil sebarang Nyx ,

Karena Nxyyxyx * , maka operasi biner * tertutup di N

Akan dibuktikan bahwa ,*N asosiatif

Ambil sebarang Nzyx ,,

Modul_Struktur_Aljabar/Rachmaniah_Mirza 19

zxyyxzyx ***

zxyyxzxyyx

xyzyzxzxyzyx (1)

yzzyxzyx ***

yzzyxyzzyx

xyzxzxyyzzyx (2)

Karena (1) dan (2) menunjukkan hasil yang sama, maka operasi biner * asosiatif di

N .

Jadi ,*N adalah semigrup.

3. Diketahui suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley sebagai berikut:

a b c d

a b c d a

b d a b c

c a b c d

d c d a b

Tunjukkan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

Penyelesaian:

Ambil ax , ay , dan az

Akan ditunjukkan zyxzyx

dabaaazyx

cbaaaazyx

Karena zyxzyx , maka tidak berlaku sifat asosiatif dalam grupoid tersebut.

Jadi grupoid tersebut bukan semigrup.

2.2 MONOID

DEFINISI 3

Suatu grupoid ,G disebut monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat

tertutup, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa monoid merupakan semigrup terhadap

perkalian yang memuat unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.

Modul_Struktur_Aljabar/Rachmaniah_Mirza 20

Contoh:

1. Semigrup-semigrup ,Z , ,Q dan ,R merupakan monoid-monoid karena memuat

unsur identitas terhadap penjumlahan yaitu 0e .

DEFINISI 4

Suatu grupoid ,G disebut monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat tertutup,

asosiatif dan mempunyai unsur identitas terhadap operasi perkalian.

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa monoid merupakan semigrup terhadap

perkalian yang memuat unsur identitas terhadap operasi perkalian.

Contoh:

1. Semigrup-semigrup ,Z , ,Q dan ,R merupakan monoid-monoid karena memuat unsur identitas terhadap penjumlahan yaitu 1e .

LATIHAN

1. Diketahui ,*N dengan xyyxyx * , Nyx , .

a. Tunjukkan bahwa ,*N merupakan semigrup.

b. Tunjukkan bahwa ,*N merupakan monoid.

2. Diketahui 3,2,1,04 Z dengan ZZ 4 . Jika didefinisikan cba * , dengan 01*3 ,

12*3 , dan 23*3 , tunjukkan dengan tabel operasi biner apakah 4Z memenuhi sifat-

sifat semigrup dan monoid.