bab 8 statistika distribusi sampel

BAB 8. DISTRIBUSI SAMPEL

Departemen Teknik Kimia

Fakultas Teknik

Universitas Indonesia

Populasi VS Sampel

Populasi

Keseluruhan pengamatan yang diteliti.

Ada 2 macam, populasi terbatas dan tak terbatas.

Ukuran populasi : banyaknya pengamatan (N)

Karakteristik : ciri atau sifat dari populasi

Parameter : hasil pengukuran karakteristik ( dan )

Sensus : cara mengumpulkan data

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Kelemahan Populasi :

1. Memerlukan biaya yang sangat mahal

2. Memerlukan waktu yang lama

3. Memerlukan tenaga dalam jumlah yang

besar

4. Data yang diperoleh tidak akurat

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Sampel

Mengambil sebagian anggota dari populasi.

Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil.

Fungsinya untuk menyimpulkan atau mengetahui

karakteristik atau parameter dari populasi (potret /

gambaran dari populasi).

Ukuran sampel : banyaknya pengamatan (n)

Statistik : hasil pengukuran karakteristik (X dan S)

Sampling : cara mengumpulkan data

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Populasi Sampel

Sampling

Besar / KecilTerbatas / Tak terbatas

S

X

StatistikParameter

nN

SampelPopulasi

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Keuntungan Sampel :

1. Biaya lebih murah

2. Waktu yang lebih singkat

3. Tenaga yang diperlukan lebih sedikit

4. Data yang diperoleh lebih akurat

Sampel harus representatif dengan ciri-ciri :

1. Mempunyai ukuran tertentu yang memakai syarat

2. Mempunyai kesalahan kecil

3. Dipilih dengan prosedur yang benar berdasarkanteknik atau cara sampling tertentu.

Teknik Sampling

Ada 2 macam, sampel probabilitas dan non probabilitas.

Sampel probabilitas ada empat teknik yang semuanya dapat dilakukan denganpengembalian atau tanpa pengembalian, yaitu :

1.Teknik pengambilan dengan acak sederhana

2.Teknik pengambilan dengan acak sistematis

3.Teknik pengambilan dengan acak stratifikasi

4.Teknik pengambilan dengan acak kluster

Teknik Pengambilan dengan Acak

Sederhana

Pengambilan sampel sebanyak n dimana

setiap anggota populasi mempunyai

kesempatan yang sama untuk terambil.

Teknik ini dipilih jika populasinya homogen.

Biasanya dilakukan dengan :

1.Menggunakan undian.

2.Dengan tabel bilangan acak.


Sistematis

Dengan mengambil unsur ke-k dalam populasi

dimana titik awalnya ditentukan secara acak

diantara k unsur tersebut.

Sering digunakan karena dapat menarik

kesimpulan yang tepat mengenai parameter

populasi sebab sampelnya menyebar secara

merata di seluruh populasi.


Stratifikasi

Dilakukan dengan membagi populasi menjadi

beberapa strata (tingkatan) kemudian sampel diambil

secara acak dari setiap tingkatan.

Teknik ini dilakukan bila populasinya heterogen.

Cara pengambilan sampel untuk setiap tingkatan tidak

sama, harus sebanding dengan jumlah anggota

setiap tingkatan (proporsional).

Rumusnya :

nN

N n i i =

Teknik Pengambilan dengan Acak Kluster

Mengambil beberapa kluster (kelompok) secara

acak kemudian semua atau sebagian dari

anggota masing-masing kelompok diambil

secara acak sebagai sampel.

Distribusi Sampel

Ada empat macam distribusi sampel :

1. Distribusi sampel rata-rata

2. Distribusi sampel proporsi

3. Distribusi sampel beda dua rata-rata

4. Distribusi sampel beda dua proporsi

Distribusi Sampel Rata-rata

Bila populasi terbatas berukuran N dengan rata-rata

x dan simpangan baku x diambil sampel berukuran

n secara berulang tanpa pengembalian, maka

diperoleh :

1. Distribusi sampel rata-rata

2. Simpangan baku

XX =

koreksifaktor disebut 1-N

n-N dimana

1-N

n-N

n X

X

=


(lanjutan)

Bila n>=30, maka distribusi sampelnya akan

mendekati distribusi normal sehingga variabel random

Z dapat dihitung dengan rumus :

X

X

X

X - X - X

Z

=

=


(lanjutan)Contoh :

Kecepatan maksimum 2000 mobil mempunyai rata-rata 135,5 km/jam dengansimpangan baku 5,2 km/jam. Jika sampel sebesar 150 mobil dipilih secara acaktanpa pengembalian, hitung probabilitas kecepatan maksimum rata-rata dari 150 mobil tersebut yang lebih besar dari 136,1 km/jam!

Jawab :

Jadi probabilitas kecepatan maksimum rata-rata mobil yang lebih besar dari136,1 km/jam adalah P(X>136,1) = P(Z>1,46) = 1- P(Z

Distribusi Sampel Proporsi

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka

proporsi p adalah X/N.

Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga

mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi

sampel proporsinya mempunyai :

1. Rata-rata

2. Simpangan baku

3. Variabel random

N

X pp ==

( )1-N

n-N.

n

p-1p p =

p

p-p Z

=

Distribusi Sampel Proporsi

(lanjutan)Contoh :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Yogyakarta memakai detergen A untuk mencuci

pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :

a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang

memakai detergen A!

b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen

A, tentukan probabilitasnya!

Jawab :

a. Rata-rata = 0,1

b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15

P(Z>1,67) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475

( )0,03

100

0,1.0,9

n

p-1p p ===

1,67 0,03

0,1 - 0,15

p-p Z

p

==

=

Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata

Terdapat 2 populasi. Populasi 1 sebanyak N1 dan mempunyai rata-rata 1serta simpangan baku 1. Populasi 2 sebanyak N2 mempunyai rata-rata 2serta simpangan baku 2.

Dari populasi 1 diambil sampel acak sebanyak n1 dengan rata-rata X1 dan daripopulasi 2 sampel acak sebanyak n2 dengan rata-rata X2 dimana keduasampel tersebut dianggap saling bebas.

Dari sampel X1 dan X2 dapat dibuat sampel baru yang juga bersifat acak, yaitusampel beda dua rata-rata. Rata-rata dan simpangan baku dari distribusisampel beda dua rata-rata adalah :

( ) ( )( )

( ) ( )21

21

21

XX

21

21

2121

2

2

2

1

2

1

XX

21XX

-2X1X Z: random Variabel

1NN

nnNN.

nn :baku Simpangan

- : rata-Rata

=

+++

=

=


(lanjutan)

Contoh :

Di suatu universitas diketahui rata-rata tinggi badan

mahasiswa laki-laki adalah 164 cm dengan simpangan

baku 5,3 cm. Sedangkan mahasiswa perempuan

tinggi badannya rata-rata 153 cm dengan simpangan

baku 5,1 cm. Dari dua populasi tersebut diambil

sampel acak yang saling bebas masing-masing 150

orang, berapa probabilitas rata-rata tinggi mahasiswa

laki-laki paling sedikit 12 cm lebihnya daripada rata-

rata tinggi mahasiswa perempuan?


(lanjutan)

( ) ( ) ( )

( )

0,0475 0,4525-0,51,67)P(Z asnyaprobabilit sehingga 1,67 0,6

11-12 Z

sehingga 12X-X maka perempuan, mahasiswabadan

tinggirata-rata daripada lebihnya cm 12sedikit paling laki-laki mahasiswabadan tinggirata-rata Karena

6,0

11-X-X

--X-X Z

0,6 150

1,5

150

5,3

nn :baku Simpangan

cm 11 153-164 : rata-Rata

perempuan mahasiswabadan tinggirata-rata X

laki-laki mahasiswabadan tinggirata-rata X Misal

orang 150 n : 2 sampeldan cm 5,1 , cm 153 : 2 populasi

orang 150 n : 1 sampeldan cm 5,3 , cm 164 : 1 populasi Diketahui

: Jawab

21

21

X-X

2121

22

2

2

2

1

2

1

X-X

21XX

2

1

222

111

21

21

21

====

=

=

=+=

+

=

===

=

=

===

===

Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi

Ada 2 populasi. Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsiX1/N1. Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2/N2.

Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akanmengandung jenis x1 dengan proporsi x1/n1. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak berukuran n2 maka sampel ini akan mengandung jenis x2dengan proporsi x2/n2.

Sampel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda duaproporsi. Distribusinya mempunyai :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

21

21

1

p-p

2121

21

2121

2

22

1

11p-p

212p-p

p-p-p-p Z: random Variabel

1NN

nnNN.

n

p-1p

n

p-1p :baku Simpangan

p-p : rata-Rata

=

+++=

=


(lanjutan)

Contoh :

5% barang di gudang timur cacat, sedangkan

barang yang cacat di gudang barat sebanyak

10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200

barang dari gudang timur dan 300 barang dari

gudang barat, tentukan probabilitas persentase

barang yang cacat dalam gudang barat 2%

lebih banyak dibanding gudang timur!


(lanjutan)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) 90,32% 0,9032 0,40320,5 -1,3ZP 02,0p-pPadalah asnyaprobabilit Jadi

1,3- 023,0

0,05-02,0 Z

:diperoleh sehingga 0,02p-p maka

timurgudang di daripadabanyak lebih 2%barat gudang dicacat barang Karena

023,0

0,05-0,1-p-p

p-p-p-p Z

0,023 200

0,950,05

300

0,90,1

n

p-1p

n

p-1p

sampel dalam timur gudang dicacat yang barang proporsi p

sampel dalambarat gudang dicacat yang barang proporsi p

0,05 p 200, n : timur Gudang

0,1 p 300, n :barat Gudang

: Jawab

21

21

21

p-p

2121

2

22

1

11p-p

2

1

22

11

21

21

==+=>=>

==

>

=

=

=+=+=

=

=

==

==

LATIHAN

1. Pada suatu pengiriman barang yang terdiri dari

2000 tube elektronika telah diketahui terdapat 600

unit tube yang tidak memenuhi standar mutu. Jika

sampel acak sebanyak 500 unit dipilih dari

populasi tersebut tanpa pengembalian, berapakah

probabilitas sampel populasi yang tidak memenuhi

standar mutu :

a. akan kurang dari 150/500

b. antara 144/500 sampai dengan 145/500

c. lebih besar dari 164/500

LATIHAN

(lanjutan)

2. Besi baja yang diproduksi perusahaan A

mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs

dan variansi sebesar 40000 lbs, sedangkan yang

diproduksi perusahaan B mempunyai rata-rata daya

regang sebesar 4000 lbs dan variansi sebesar

90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak 50

diambil dari perusahaan A dan sampel random

sebanyak 100 diambil dari perusahaan B,

berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda

dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar

dari 600 lbs?

Sampel Random adalah sampel yang diambil dari

suatu populasi dan tiap elemennya mempunyai

peluang yang sama untuk terambil.

SAMPEL RANDOM & DISTRIBUSI

SAMPLING

Distribusi Sampling :

Sifat Distribusi Sampling :

1. Jika sampel random dengan n elemen diambil

dari suatu populasi dengan mean dan

variansi , maka distribusi sampling harga mean mempunyai mean = dan variansi =

2. Jika populasinya berdistribusi normal, maka distribusisampling harga mean berdistribusi normal juga

3. Jika sampel-sampel random diambil dari suatu populasiyang berdistribusi sembarang dengan mean danvariansi , maka untuk n > 30 :

Teorema Limit Pusat

Sampel Random :

1. Dengan Pengembalian :

dan atau

2. Tanpa Pengembalian :

dan

Jika N sangat besar relative terhadap n, (N tidak

disebutkan), maka :

atau

Dalam Distribusi Sampling :

Contoh :

1) Suatu sampel random dengan 60 mahasiswa diambil

dari suatu populasi dengan N orang mahasiswa yang

mempunyai IQ rata-rata (mean = 120) dan variansi =

280. (sampel diambil tanpa pengembalian)

c) Jika N = 400, hitung :

(i) (P(110 125 )

(ii) P( 130)

d) Jika N sangat besar, hitung : P(110 125)

Jawab :

Diketahui : = 120 = 280

a) Jika N = 400 :

= = 120

P(110 125 )

P( 130)

P(120 130)

= P(0 Z )

= P(0 Z 5,00)

A = 0,5

P( 130) = 0,5 0,5 = 0

b) Jika N sangat besar (relatif terhadap n=60)

= P(-4,63 Z 2,31 )

= 0,5 + 0,4896

= 0,9896

2) Suatu sampel dengan 40 elemen diambil dari suatu

populasi dengan mean = 4,14 dan variansi = 84,64.

Hitung probabilitas bahwa mean sampel terletak

antara 40 dan 45.

Jawab :

Diketahui : = 41,4, = 86,64, n = 40

N tidak disebutkan (anggap bahwa N besar sekali)

Distribusi sampling harga mean :

= = 41,4

DISTRIBUSI NORMAL :

: nilai rata-rata populasi

xi : nilai variabel random

: standard deviasi populasi

SOAL :

Seorang siswa memperoleh nilai ujian matakuliah A=60, sedangkan nilai rata-rata kelas=65 dan standard deviasi=10.

Pada matakuliah B ia memperoleh nilai ujian=62, sedangkan nilai rata-rata kelas=66 dan standard deviasi=5

Pertanyaan : Pada matakuliah manakah siswa tersebutberada pada posisi yang lebih baik ?

SOAL :

Sebuah pabrik bola lampu setiap bulannya rata-rata

memproduksi sebanyak 25.000 unit bola lampu dengan

standard deviasi=4000 unit. Bila produksi lampu selama

satu periode tertentu dianggap berdistribusi normal, maka

hitunglah probabilitas akan diperoleh :

a) Tingkat produksi perbulan antara 26.000 27.500

b) Tingkat produksi kurang dari 27.000 unit

c) Tingkat produksi lebih dari 30.000 unit

SOAL :

Ujian negara statistik pada akhir tahun 1990 diikuti

sebanyak 2.000 peserta dengan rata-rata nilai ujian=58

dari variansi=100. Bila distribusi nilai ujian dianggap

berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas :

a) Peserta yang memperoleh nilai (Xi 70)

b) Bila nilai ujian untuk lulus=53,5 maka

berapa persen yang tidak lulus

c) Bila terdapat 5% peserta yang memperoleh

nilai A, maka berapa nilai minimal

(terendah) untuk memperoleh nilai A

PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL MENJADI DISTRIBUSI BINOMIAL

SOAL :

Bila diketahui bahwa 64% anggota MPR yang dipilihmemiliki umur 50 tahun. Jika dari anggota MPR tersebutdipilih 100 orang anggota secara random makaberapakah probabilitasnya :

a) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut 60% nya berumur 50 tahun

b) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebutberkisar antara 70% - 75% nya berumur 50 tahun

SOAL :

Pengawas produksi ban Bridgestone menemukan

bahwa rata-rata produksi ban yang cacat mencapai 2%

dari total produksi yang ada. Bila dari seluruh produksi

tersebut diambil sebanyak 400 ban secara random

(acak), maka berapakah probabilitasnya :

a) Ban yang cacat 3% (Xi 3%)

b) Ban yang cacat antara 1,5% - 2,5 %

DISTRIBUSI SAMPLING MEAN :

SOAL :

Pabrik alat elektronik SONY memproduksi sejenis

adaptor yang memiliki rata-rata umur pemakaian = 800

jam() dengan standar deviasi = 40 jam (S).

Hitunglah probabilitasnya bila dipilih 16 sampel secara

random akan memiliki umur rata-rata :

a) Kurang dari 775 jam

b) Antara 780 jam 820 jam

c) Lebih dari 810 jam

SOAL :

Bila rata-rata IQ dari seluruh mahasiswa baru di UI = 110

dengan standar deviasi = 10 (IQ dianggap berdistribusi

normal)

a) Hitunglah probabilitas mahasiswa

tersebut memiliki IQ 112

b) Hitunglah probabilitas dari 36

mahasiswa, rata-rata memiliki IQ 112

c) Hitunglah probabilitas dari 100

mahasiswa, rata-rata memiliki IQ 112

bab 8 statistika distribusi sampel

Documents