Uji Kecocokan Model Distribusi (Uji Chi-kuadrat & Uji Smirnov-Kolmogorov)

Uji Kecocokan

Untuk menentukan kecocokan distribusi

frekuensi dari sampel data terhadap fungsi

distribusi peluang, yang diperkirakan dapat

menggambarkan/mewakili distribusi

frekuensi tsb, maka diperlukan pengujian

parameter.

Pengujian parameter yang dapat dipakai:

1) Chi-kuadrat

2) Smirnov-kolmogorov

Distribusi dan Uji Chi-Kuadrat

Chi-kuadrat 2 Notasi 2, digunakan untuk menyatakan nilai kritis 2 (2 critical value). Nilai

kritis 2 merupakan nilai numerik pada sumbu 2 dimana luas daerah dibawah kurva

distrtibusi-2 dengan derajat kebebasan disebelah kanan 2, adalah . Gambar

1.1 mengilustrasikan notasi 2, dengan luas daerah di bawah kurva distribusi-2.

Gambar 1.1 Definisi dari notasi 2,

2

kurva 2 = kurva 2 n-1

0 2 ,

Luas daerah arsiran =

Tabel 1.1 Distribusi-2 : Luas ujung kurva (curve tail areas)

0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597

3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838

4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860

5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750

6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548

7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278

8 1.344 1.647 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955

9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589

10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188

11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757

12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300

13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819

14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319

15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801

kurva 2 = kurva 2n-1 Luas daerah arsiran =

2 ,

16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267

17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718

18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156

19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582

20 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997

21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401

22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796

23 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181

24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558

25 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928

26 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290

27 11.808 12.878 14.573 16.151 18.114 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645

28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994

29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335

30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672

32 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 42.585 46.194 49.480 53.486 56.328

34 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 44.903 48.602 51.966 56.061 58.964

36 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 47.212 50.998 54.437 58.619 61.581

38 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 49.513 53.384 56.895 61.162 64.181

40 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766

Distribusi dan Uji Chi-Kuadrat

Distribusi Chi-Kuadrat memiliki sifat sebagai berikut:

1. Seluruh nilainya positif

2. Tidak simetris

3. Bentuk distribusi tergantung pada derajat kebebasannya

4. Mean dari distribusi 2 adalah derajat kebebasannya ( )

5. Bentuk kurve (distribusi chi square) menjulur positif.

Semakin besar derajat kebebasannya, semakin mendekati

distribusi normal.

6. Derajat kebebasannya () = k 1atau k 3, di mana k

adalah jumlah kategori atau jumlah kelas bentuk kurve

atau distribusi chi square tidak ditentukan oleh banyaknya

sampel, melainkan oleh derajat kebebasan-nya.

Chi-kuadrat 2

Chi-kuadrat 2 beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi chi-kuadrat.

Mean (Nilai Harapan):

( )x E X (A)

Varians 2 2x (B)

Kemencengan (skewness)

21 3

8

(C)

Keruncingan (kurtosis)

2 4

43 1

(D)

Chi-kuadrat 2

Beberapa sifat yang terkait dengan distribusi Chi-Kuadrat adalah

a. Bila nXXXX ,,,, 321 merupakan variabel acak yang masing-masing berdistribusi

normal dengan mean dan variansi 2 dan seluruh variabel acak tersebut bebas

satu sama lain, maka variabel acak dengan

2

1

n

i

iXY

mempunyai distribusi

Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan .

b. Bila sampel acak sebanyak n dari suatu populasi berdistribusi normal dengan mean

dan variansi 2 diambil, dan pada setiap sampel tersebut dihitung variansi 2S , maka

variabel acak

2

22 1

Sn memiliki distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat

kebebasan 1 n .

Uji Chi-Square

Contoh Soal 1 Contoh : Suatu perusahaan cat mobil ingin mengetahui warna cat apa

yang harus lebih banyak diproduksi. Untuk itu dilakukan

penelitian. Berdasarkan pengamatan selama satu minggu di jalan

protokol terhadap mobil-mobil pribadi, diperoleh data : 1000

warna biru, 900 warna merah, 600 warna putih, 500 warna hitam.

a. Hipotesis :

H0 : Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna mobil

tidak berbeda (peluang 4 warna cat untuk dipilih

masyarakat adalah sama)

H1 : Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna mobil

berbeda (peluang 4 warna cat untuk dipilih

masyarakat adalah tidak sama)

b. Data yang terkumpul disajikan dalam tabel berikut :

Chi Square (Frekuensi Yang Diobservasi dan Yang Diharapkan pemilih warna

Mobil)

Warna

Mobil

fo

fn

(fo-fn)

(fo-fn)

(fo-fn)

fn

Biru

Merah

Putih

Hitam

1000

900

600

500

750

750

750

750

250

150

- 150

- 250

62.500

22.500

22.500

62.500

83,33

30.000

30.000

83,33

Jumlah

3000

3000

0

170.000

226,67

Chi Square Catatan : Frekuensi yang diharapkan (fo) untuk setiap kategori =

3000 : 4 = 750.

c. Pengujian Hipotesis :

Berdasarkan perhitungan diatas diketahui X = 226,67

Dalam hal ini d.f = n-1 = 4-1 = 3. Berdasarkan d.f = 3 dan taraf

kesalahan 5 %, maka diperoleh nilai Chi Square tabel = 7,815 (lihat

tabel nilai Chi Square) ternyata nilai Chi Square hitung lebih besar

dari nilai Chi Square tabel (226,67 > 7,815). Dengan demikian Ho

ditolak dan Ha diterima.

d. Kesimpulan :

Jumlah masyarakat yang memilih 4 warna cat mobil berbeda, dan

berdasarkan data, warna cat biru yang paling banyak diminati

masyarakat.

e. Saran : Disarankan agar warna cat yang diproduksi paling banyak

adalah warna biru.

Rahmad Wijaya, 2003 13

Contoh Soal 2

Contoh :

Manajer Personalia ingin melihat apakah pola absensi terdistribusi secara

merata sepanjang enam hari kerja. Hipotesis nol yang akan diuji adalah

Absensi terdistribusi secara merata selama enam hari kerja. Taraf nyata

yang digunakan adalah 0,05. Hasil dari sampel ditujukan sebagai berikut :

Hari Jumlah Absen

Senin 12

Selasa 9

Rabu 11

Kamis 10

Jumat 9

Sabtu 9

Ujilah hipotesis tersebut !

Rahmad Wijaya, 2003 14

Langkah-langkah yang dilakukan sbb :

a. Buat formulasi hipotesis :

Ho : tidak ada perbedaan antara frekuensi yang teramati dengan

frekuensi yang diharapkan.

H1 : ada perbedaan antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi

yang diharapkan.

b. Tentukan taraf nyata yang akan digunakan dalam pengujian.

Misalnya : 0,05

c. Pilih uji statistik yang sesuai dengan hipotesis. Dalam kasus diatas

dipergunakan rumus :

dimana :

fo = besarnya frekuensi yang teramati.

fn = besarnya frekuensi yang diharapkan.

n

no

f

ffX

22 )(

Rahmad Wijaya, 2003 15

d. Buat aturan pengambilan keputusan dengan jalan membandingkan nilai

X2 dengan nilai kritis (X2 tabel). Nilai kritis diperoleh dari tabel X2

dengan df = k-1 dan taraf nyata 0,05. Dari tabel X2(0,05;5) diperoleh

nilai 11,070. Aturan pengambilan keputusannya : hipotesis nol

diterima bila X2 < 11,070 dan jika X2 11,070, maka hipotesis nol

ditolak dan menerima hipotesis alternatif.

e. Lakukan pengambilan sampel dan hitung nilai chi square. Buat

keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis nol.

Penghitungan Chi Square :

Hari fo fe fo- fe (fo-fe)2 (fo-fe)

2/fe

Senin 12 10 2 4 0,4

Selasa 9 10 -1 1 0,1

Rabu 11 10 1 1 0,1

Kamis 10 10 0 0 0

Jum'at 9 10 -1 1 0,1

Sabtu 9 10 -1 1 0,1

Jumlah 60 0 0,8

Jadi X2 = 0,8. Karena X2 < 11,070, maka hipotesis nol diterima yang

berarti absensi terdistribusi secara merata.

Rahmad Wijaya, 2003 16

Contoh Soal 3

Contoh : Tabel berikut adalah jumlah mahasiswa yang terdaftar

berdasarkan fakultas di Universitas Indonesia Raya.

Fakultas Jml mhs Jml mhs

terdaftar yg mengembalikan kuesioner.

Seni dan sain 4700 90

Administrasi bisnis 2450 45

Pendidikan 3250 60

Teknik 1300 30

Hukum 850 15

Farmasi 1250 15

Univ. College 3400 45 Editor majalah mahasiswa memilih nama-nama secara acak dari masing-masing fakultas dan mengirim kuesioner. Jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner menurut fakultas ditunjukkan pada kolom 2 dalam tabel diatas. Dengan taraf nyata 5 %, tentukan apakah jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner menurut fakultas dapat mencerminkan populasi mahasiswa di Universitas Indonesia

Rahmad Wijaya, 2003 17

Penyelesaian :

1. Formulasi hipotesis.

Ho : jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner mencerminkan

populasi mahasiswa di universitas Midwestern.

H1 : jumlah mahasiswa yang mengembalikan kuesioner tidak

mencerminkan populasi mahasiswa di universitas Midwestern.

2. Taraf nyata 5 %

3. Pilih uji statistik (sama seperti pembahasan diatas)

4. Aturan pengambilan keputusan :

= k 1 = 7 - 1 = 6

X2 tabel = 12,592

Ho diterima jika X2 < 12,592

Ho ditolak jika X2 12,592 (menerima H1)

5. Hitung X2

Untuk menghitung X2 perlu dilakukan transformasi data. Data jumlah mahasiswa terdaftar dihitung proporsinya dengan jumlah kuesioner

yang kembali. Haslnya seperti pada tabel berikut :

Rahmad Wijaya, 2003 18

Jml Mhs Jml mhs yg Proporsi mhs

Fakultas terdaftar mengembalikan terdaftar

kuesioner

Seni dan sain 4700 90 0,27

Administrasi bisnis 2450 45 0,14

Pendidikan 3250 60 0,19

Teknik 1300 30 0,08

Hukum 850 15 0,05

Farmasi 1250 15 0,07

Univ. College 3400 45 0,20

Total 17200 300 1

Kemudian hitung X2 dengan fo = jumlah mahasiswa

yang mengembalikan kuesioner, fn = jumlah mahasiswa

terdaftar yang dihitung dari proporsi dikalikan dengan

jumlah total mahasiswa yang mengembalikan

kuesioner. Hasilnya sebagai berikut :

4700 / 17200

Rahmad Wijaya, 2003 19

Fakultas fo Proporsi fe (fo-fe)^2/fe

Seni dan sain 90 0,27 81 1,00

Administrasi bisnis 45 0,14 42 0,21

Pendidikan 60 0,19 57 0,16

Teknik 30 0,08 24 1,50

Hukum 15 0,05 15 0

Farmasi 15 0,07 21 1,71

Univ. College 45 0,20 60 3,75

Total 300 1,00 300 8,33

Kesimpulan hipotesis nol diterima, karena X2 <

12,592 (8,33 < 12,592) berarti jumlah mahasiswa

yang mengembalikan kuesioner

mencerminkan populasi mahasiswa di

universitas Midwestern.

300*0,07

Uji Smirnov-Kolmogorov

Uji kecocokan Smirnov-Kolmogorov, sering

juga disebut Uji kecocokan non parametrik,

karena pengujiannya tidak menggunakan

fungsi distribusi tertentu.

Prosedur Smirnov-Kolmogorov

4. berdasarkan tabel nilai kritis (Smirnov

Kolmogorov test) tentukan harga Do

Apabila D < Do maka distribusi teoritis yg

dipakai untuk menentukan pers.

distribusi dapat digunakan.

Apabila D > Do maka distribusi teoritis yg

dipakai untuk menentukn pers.

Distribusi tidak dapat digunakan.

Tabel 5. Nilai Kritis Do utk Uji Smirnov-Kolmogorov

N

0,2 0,10 0,05 0,01

5 0,45 0,51 0,56 0,67

10 0,32 0,37 0,41 0,49

15 0,27 0,30 0,34 0,40

20 0,23 0,26 0,39 0,36

25 0,21 0,24 0,27 0,32

30 0,19 0,22 0,24 0,29

35 0,18 0,20 0,23 0,27

40 0,17 0,19 0,21 0,25

45 0,16 0,18 0,20 0,24

50 0,15 0,17 0,19 0,23

N>50 1,07/N0.5 1,22/N0.5 1,36/N0.5 1,63/N0.5

= Derajat Kepercayaan

n = 0,20 = 0,10 = 0,05 = 0,02 = 0,01

26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311

27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305

28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300

29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295

30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290

35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269

40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252

45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238

50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226

55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216

60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207

65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199

70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192

75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185

80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179

85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174

90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169

95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165

100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161

Pendekatan 1,07/n 1,22/n 1,36/n 1,52/n

1,63/n

Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov

n = 0,20 = 0,10 = 0,05 = 0,02 = 0,01

1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929

3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829

4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734

5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669

6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617

7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576

8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542

9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513

10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486

11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468

12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449

13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432

14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418

15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404

16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392

17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381

18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371

19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361

20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352

21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344

22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337

23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330

24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323

25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317

Tabel 5. Nilai Kritis D untuk Uji Smirnov-Kolmogorov

Contoh soal 1

Suatu penelitian tentang berat badan

peserta pelatihan kebugaran fisik/jasmani

dengan sampel sebanyak 27 orang diambil

secara random, didapatkan data sebagai

berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72,

84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70,

72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan

= 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi

normal?

Jawab

Jawab :

Ho : tidak beda dengan populasi normal.

H1 : ada beda dengan populasi nomal.

: 0,05

No Xi Z = (X-m)/s Fs Ft |Ft-Fs|

1 67 0,07407407 -1,39019 0,0823 0,008226

2 67 0,07407407 -1,39019 0,0823 0,008226

3 68 0,11111111 -1,29295 0,0985 0,012611

4 69 0,14814815 -1,1957 0,117 0,031148

5 70 0,22222222 -1,09846 0,1379 0,084322

6 70 0,22222222 -1,09846 0,1379 0,084322

7 72 0,2962963 -0,90398 0,185 0,111296

8 72 0,2962963 -0,90398 0,185 0,111296

9 77 0,37037037 -0,41778 0,3409 0,02947

10 77 0,37037037 -0,41778 0,3409 0,02947

11 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981

12 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981

13 78 0,48148148 -0,32054 0,3745 0,106981

14 78 0,51851852 -0,32054 0,3745 0,144019

15 80 0,55555556 -0,12605 0,4522 0,103356

16 82 0,59259259 0,068429 0,5239 0,068693

17 84 0,62962963 0,262911 0,6064 0,02323

18 87 0,66666667 0,554634 0,7088 0,042133

19 88 0,7037037 0,651875 0,7422 0,038496

20 89 0,74074074 0,749116 0,7734 0,032659

21 90 0,81481481 0,846357 0,8023 0,012515

22 90 0,81481481 0,846357 0,8023 0,012515

23 95 0,85185185 1,332562 0,9082 0,056348

24 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263

25 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263

26 97 0,96296296 1,527044 0,9357 0,027263

27 98 1 1,624285 0,9474 0,0526

rata-rata 81,2963 0,144019

st deviasi 10,28372

Statistik uji:

D = maks |Ft-Fs| = 0,1440

Kriteria uji:

Tolak Ho jika D maks D Tabel,

diterima dalam hal lainnya

dengan = 0,05 dan N = 27

Karena D maks = 0,1440 < D

tabel =0,2540, jadi Ho diterima,

berarti sampel yang diambil dari

populasi berdistribusi normal

Tugas ke-9 di Kelas

1. Jika diketahui data uji kuat tekan beton dalam satuan ton dengan bentuk benda

uji silinder dengan diameter 150 mm sebagai berikut dan hitung (1 kg = 10 N) :

Selidikilah dengan = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal (dengan metode Smirnov-Kolmogorov)

2. Jika diketahui data nilai statistik kelas X sebagai berikut, apakah pola nilai angka

MK Statistik terdistribusi secara normal. Hipotesis nol yang akan diuji adalah

Nilai Statistik kelas X terdistribusi secara Normal (dengan metode Chi-kuadrat

2)

60,6 67,7 63,8 60,8 68,5 64,4 65,7 65,0

66,5 68,1 64,5 69,3 68,0 66,0 60,4 66,3

65,8 62,6 69,7 60,8 61,1 62,2 64,0 68,3

Nilai dalam

angka A AB B BC C D E

Frekuensi 12 1 3 1 5 6 21