statistika theory week 5 distribusi probabilitas diskrit · pdf filesuatu suku cadang dapat...
TRANSCRIPT
STATISTICS
WEEK 4
Hanung N. Prasetyo
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Pendahuluan:
Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau
melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku
(kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai,
pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda
mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.
Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan denganOleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan
percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas
yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama.
Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya
memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk
menyatakan banyak perubah acak diskret.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi::::
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini,
mahasiswa diharapkan:
1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi
probabilitas disket secara benar.
2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan
yang berkaitan dengan distribusi Binomial dan distribusi
Poisson
3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Daftar Isi Materi:
• Pendahuluan
• Distribusi Binomial
• Distribusi Poisson• Distribusi Poisson
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Distribusi kemungkinan binomial atau singkatnya distribusi
binomial adalah salah satu distribusi peluang teoritis
dengan variabel random diskret. Distribusi binomial
kadang-kadang juga disebut distribusi
bernoulli(penemunya bernama james bernoulli)
Apabila probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan
disebut probabilitas” sukses” dan diberi simbol p(baca;p-
kecil), sedang probabilitas tidak timbul gejala yang kita
harapkan disebut probabilitas “Gagal” dan diberi simbol qharapkan disebut probabilitas “Gagal” dan diberi simbol q
atau 1 – p, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita
harapkan sebanyak X kali dalam n kejadian (artinya X kali
akan sukses dan n – X kali akan gagal) dinyatakan dalam
rumus sebagai berikut:
XnX
nX qpX
nP −
=);(
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Pengantar Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap
usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-
kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan
bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari
percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses
Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan
berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang
2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan
menjadi 2-kategori, sukses atau gagal
3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari
satu usaha ke usaha berikutnya.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Contoh 1
Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,
diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.
Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan
mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.
Tabel 1
C=cacat ; T=tidak cacat (baik)Hasil X
TTT 0Karena barang diambil secara acak, dan
misalkan dianggap menghasilkan 25%
barang cacat, maka
Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan
jalan ang sama.
TTT
TCT
TTC
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
0
1
1
1
2
2
2
3
3 3 914 4 4 64
P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )= = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
tabel 2 Distribusi probabilitas X
Percobaan Binomial
Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah
acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi
x 0 1 2 3
f(x) 2764
964
2764
164
Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu
usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).
Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)
Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.
Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses
dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)
914 64
2 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )= = = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.
Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan
probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil
menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok
pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini
dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah
(bebas) maka probabilitasnya adalah
n
x
x n xnp q
x
−
Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan
probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka
distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya
kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah
0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n
x
− = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 1 : n=3 dan 14
p =
314
33 0 1 2 3x xb(x; , ) p q ;x , , ,
x
− = =
Contoh 2
Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu
dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4
suku cadang yang diuji tidak akan rusak.
Jawab:
Misal tiap pengujian saling bebas
2
2
23 3 3 271 44 4 4 2 2 1284
42 4
2!! !
b( ; , ) ( ) ( )
= = =
Catatan:
0
1n
x
b(x;n,p)
==∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Contoh
Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah
operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini,
berapa peluang:
a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh
b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh
c). tepat 5 orang yg sembuh
Jawab:
Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh
Diket : p = 0.4 n = 15Diket : p = 0.4 n = 15
a).
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338
[ ]9
0
10 1 10 1 0 1 9
1 15 0 4
1 0 9662
0 0338
x
P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )
b(x; ; . ) lihat tabel
.
.
=
≥ = − < = − = + = + =
= − ←
= −
=
∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
b)
Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779
8 2
0 0
3 8 8 2
15 0 4 15 0 4
0 9050 0 0271
0 8779
x x
P( X ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
. .
.
= =
≤ ≤ = ≤ − ≤
= − ←
= −
=
∑ ∑
c) 5 5 15 0 4 5 4P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )= = = ≤ − ≤c)
Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859
5 4
0 0
5 5 15 0 4 5 4
15 0 4 15 0 4
x x
P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
0.4032 - 0.2173
0.1859
= =
= = = ≤ − ≤
= − ←
=
=
∑ ∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Tabel 3 Cara menggunakan tabel binomial
n r p
0.01
. . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .
15 1
2 0.0271
::::
8 0.9050
9 0.9662
::
15
9
0
15 0 4 0 9662
x
b(x; ; . ) .
=→ =∑Untuk n=15, p=0.4 ;
2
0
15 0 4 0 0271
x
b(x; ; . ) .
==∑
8
0
15 0 4 0 9050
x
b(x; ; . ) .
==∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Cara lain mencari nilai distribusi Binomial: dengan cara menggunakan
minitab , langkahnya : buka Calc, probability Distribution ,pilih
binom
atau gunakan software R , langkahnya sbb(R commander):
> pbinom(9,15,0.4)
[1] 0.9661667
> pbinom(8,15,0.4)
[1] 0.9049526
> pbinom(2,15,0.4)
[1] 0.027114[1] 0.027114
> pbinom(5,15,0.4)
[1] 0.4032156
> pbinom(4,15,0.4)
[1] 0.2172777
Teorema
Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi
sbb:
dan npµ = 2 npqσ =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Contoh 3
Tentukan mean dan variansi dari contoh 2
Jawab:
Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh:
Dan
15 0 4 6( )( . )µ = =
2 15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .σ = =Dan
1 897.σ =
15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .σ = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Karakteristik distribusi Binomial:
1. Grafiknya diskontinu(terputus-putus)
2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n
3. Bentuknya simetris bila p = q atau p≠ q asal n besar
Ciri-ciri percobaan bernoulli :
1. Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni : sukses
atau gagalatau gagal
2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah
sama dan dinyatakan dengan p
3. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)
4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen
eksperimen binomial harus tertentu
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Distribusi PoisssonDistribusi Poisson disebut juga sebagai distribusi peristiwa yang
jarang terjadi (distribusi of rare event) adalah distribusi kemungkinan
teoritis dengan variabel random diskrit. Distribusi ini dianggap sebagai
pendekatan pada distribusi binomial apabila n(banyaknya percobaan)
adalah besar, sedangkan probabilitas suksesnya kecil.
Poisson distribusi bisa digunakan untuk menyebutkan benda acak
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
berikut :
�banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruang angkasa;
� jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik;
�jumlah salah sambung ke nomor teleponmu;
�distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.
Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan
tentang suatu distribusi Poisson.
Model data yang sering mengikuti pola Distribusi
Poisson adalah kematian bayi, banyaknya salah
cetak di suatu buku, dan probabilitas banyaknya
pelanggan tiba
Distribusi ini ditemukan oleh AhliDistribusi ini ditemukan oleh Ahli
matematik Perancis Siméon
Poisson di tahun 1837, dan
penggunaannya pertama adalah
menguraikan banyaknya
kematian kuda bagi Angkatan
perang Prusia pada waktu itu.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Pengantar Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang menyatakan
banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut
“distribusi poisson”.
Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:
1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)
waktu tertentu independen dengan daerah lainya.
2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak
tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang
sempit diabaikan.
Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan
dengan , dimana adalah rata-rata hasilp(x, t)λ tλ
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya
kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,
dinyatakan:
dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi per satuan waktu.
Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18
0 1 2t xe ( t)
x!p(x, t) ;x , , ,.....
λ λλ−
= =
tλ
tµ λ=
diberikan pada tabel Poisson.
Contoh 1
Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu
pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung
paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari
tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu
melayani. POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Jawab:
Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari
X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}
Maka
Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487
15
0
15 1 15 1 10
1 0 9513 0 0487
x
P(X ) P(X ) p(x; ) tabel
. .
=> = − ≤ = − ←
= − =
∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Contoh 2 :Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang
memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100 ribu pembaca. Jika
kemungkinan seorang akan membalas ikaln tersebut 0,00002
Ditanyakan :
a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut.
b. Berapa kemungkinannya bahwa yang akan membalas iklan tersebut hanya
seorang
c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas
Jawab :
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Jawab :
Diketahui
n = 100.000 p = 0,00002
a. Berapa orang diharapkan akan membalas :
misal u (rata-rata yang diharapkan) = n . p = 100.000 (0,00002) = 2
b. Kemungkinan bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang berarti
X = 1
Maka
c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = 0
%07,2727068,0)1(
!1
)13534,0(2
!1
.2)1(
21
≈=
==−
P
eP
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = 0
%53,1313534,01
)13534,0(1
!0
.2)0(
20
≈===−e
P
Contoh 3: Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC
adalah 0,001. Dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa
probabilitas
a. Tiga orang akan mati
b. Yang mati tidak lebih dari satu orang
c. Lebih dari 2 orang yang mati
Jawab :
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Jawab :
Diketahui
n = 2000
p = 0,001
µ = n.p = 2000 X 0,001 = 2
a. Tiga orang akan mati
b. Yang mati tidak lebih dari satu orang
%04,1818045,06
08272,1
1.2.3
)13534,0(8
!3
.2)3(
23
≈==
==−e
P
c. Coba hitung sendiri!
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
%6,40
40602,027068,013534,0)1()0(
27068,01
27068,0
!1
.2)1(
13534,0!1
.2)0(
)1()0(
21
20
≈
=+=+
===
==
+
−
−
PPjadi
eP
eP
PP
Teorema
Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi
sbb dan tµ λ=
Contoh 4
Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghitung
selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. berapa
probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu.
Jawab:
p(x, t)λ2 tσ λ=
Jawab:
dari tabel poisson dengan diperoleh
dari diperoleh
Jadi, selang yang ditanyakan adalah dari 0 sampai 8
6 4x ; tµ λ= = =
2 8 2 0danµ σ µ σ+ = − =
6 54 64
60 0
6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042e ( )
!x x
p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,−
= == = − = − =∑ ∑
24 4t danµ λ σ= = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
r
0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .
0
1
:::
5 0,7851
Tabel 4 Cara menggunakan tabel Poisson
µ
Meggunakan R:
> ppois(6,4)
[1] 0.889326
> ppois(5,4)
[1] 0.7851304
1
6 0,8893
::
16
6
0
4 0 8893
x
p(x; ) .
=→ =∑
Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:
5
0
4 0 7851
x
p(x; ) .
==∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Teorema
Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas
b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka
Contoh 3
Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas,
terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan.
npµ =→ ∞ 0→
b(x,n,p) p(x, )µ→
28
terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan.
Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai
satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel
acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung?
Jawab:
n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan
diperoleh menggunakan tabel: 8000 0 001 8( )( , )µ = =
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya
> pbinom(6,8000,0.001)
[1] 0.3132521
> ppois(6,8)
[1] 0.3133743
Diperoleh:
6 6
0 0
7 8000 0 001 8 0 3134
x x
P(X ) b(x; , . ) p(x; ) ,
= =< = = =∑ ∑
6
8000 0 001b(x; , . ) 0.3132521=∑
Dan
0
8000 0 001
x
b(x; , . ) 0.3132521
==∑
6
0
8
x
p(x; ) 0.3133743
==∑
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG
NP
Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jikamemenuhi kriteria sebagai berikut:
1. Jumlah kejadian yang muncul dalam satu interval waktuatau daerah tertentu adalah independen terhadapkejadian yang muncul pada interval waktu atau daerahatau daerah tertentu adalah independen terhadapkejadian yang muncul pada interval waktu atau daerahtertentu lainnya yang disjoin.
2. Probabilitas munculnya lebih dari satu kejadian dalamselang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut adalah sangat kecil dan dapatdiabaikan.
TELKOM
POLYTECHNIC/HANUNGNP