oleh: hanung n. prasetyo distribusi normal · pdf filepengantar:...

STATISTICSWEEK 6

DISTRIBUSI NORMAL

Oleh : Hanung N. Prasetyo

TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Pengantar:

Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi

kontinyu yang sangat penting di bidang statistika.

diantaranya distribusi normal. Distribusi ini sangat berperan

pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis,pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis,

pengujian panjang umur (life testing) dan sebagainya


Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini,

mahasiswa diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi

Probabilitas Kontinu secara benar.

2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang

berkaitan dengan distribusi normal

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.


Daftar Isi Materi:

• Distribusi Normal

• Distribusi Normal Baku• Distribusi Normal Baku

• Luas Daerah dibawah Kurva Normal


Perhatikan grafik Histogram dan

Poligon berikut

Histogram

Poligon

Kurva

f(X)

X


6.1 Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik

adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk

lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777-

1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang

bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan

persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter

n(x; , )µ σdinyatakan

Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan

simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3

melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart

deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan

standart deviasi yang berbeda.

(mean) dan (simpangan baku)µ σ n(x; , )µ σ


Distribusi Normal

• Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling

penting dalam statistika. Disebut pula dengan distribusi Gauss

(Gaussian distribution).

• Fungsi densitas dari variabel random X dengan mean µ dan • Fungsi densitas dari variabel random X dengan mean µ dan

variansi σ2 adalah:

, −∞ < x <∞( ) [ ]2/)()2/1(

2

1,; σµ

σπσµ −−= x

exn


0.2

0.3

0.4

dnorm(x)

σ

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

xµ

Gambar 6.1 Kurva normal


0.2

0.3

0.4

0.5

dnorm(x, 5, 1)

Distribusi Normal

1 2

2 21 2 1

µ µ

σ σ

≠

= =

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

x

Gambar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama


1.0

1.5

dnorm(x, 0, 0.25)

Distribusi Normal

21 10, 0.25µ σ= =

22 20, 0.5µ σ= =

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

x

dnorm(x, 0, 0.25)

23 30, 0.75µ σ= =

24 40, 1µ σ= =

Gambar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama


0.4

0.6

0.8

dnorm(x, 1, 0.5)

1 11 0 5, .µ σ= =

2 22 1,µ σ= − =

-6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

x

dnorm(x, 1, 0.5)

Gambar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda


Karakteristik Distribusi Normal

• Data merupakan data kontinu (interval atau rasio)

• Sebaran bersifat simetris dengan modus tunggal

(unimodal)

• Mean=median=modus• Mean=median=modus

• Batas nilai memungkinkan untuk seluruh bilangan

riil tak terbatas kekiri maupun kekanan

• Secara umum karakteristik ditentukan oleh dua

parameter yaitu mean dan standar deviasi


Perhitungan Probabilitas pada

Distribusi Normal

• P(x1 < X < x2) =

=

dxxnx

x

),;(2

1

∫ σµ

[ ] dxe x

x2

2

/)()2/1(1 σµ−−∫=

• Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk

memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang

berisikan luas dibawah area kurva normal baku

z=

[ ] dxex1

2 σπ ∫

σµ−x


Sifat Distribusi Normal

• Grafik simetri terhadap sumbu tegak x (=μ)

• Grafik selalu berada diatas sumbu X (f(X)>0)

• Mempunyai satu nilai Modus

• Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu • Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu

X)

• Luas dibawah kurva f(X) dan diatas sumbu X sama

dengan satu ( )( ) 1x-P =∞<<∞


Kurva Normal

Kurva normal yang dibentuk oleh normal, memiliki bentuklonceng simetris dan lebih lanjut memiliki properti sebagaiberikut:

1.memiliki modus, median, dan mean pada satu titik

2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yang2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yang

melewati µ3.kurva memiliki titik belok pada x = µ ±σ4.kurva normal mencapai sumbu horizontal secara

asimptot


Tumpang tindih

Tumpuk/stack

14 16 18 20 22 24 26


-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Sebaran Y~N(M,SD) dan Z~N(0,1)

P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


X

P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


X

P(x)

X-6 -4 -2 0 2 4 6

X


0.10

0.15

0.20

Distribusi Normal

Prob

0.95 0.10

0.15

0.20

Distribusi Normal

Prob

0.99

4 6 8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

Rentang Nilai

Prob

0.95

13.926.08

0.025 0.025

4 6 8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

Rentang Nilai

Prob

0.99

15.1524.848

0.005 0.005


Bentuk umum Kurva Distribusi

Normal

• Disebut juga dengan Distribusi Gauss.

( ) e2

1Xf

-X

2

1-

=

πσσµ

σ

f(X)

σ-

.2,71828... e

.3,14159...

rata-rata

bakusimpangan

2

=

=

=

=

πµσ

πσσ

X

σ-

µ


12 2

2

1

2

xb b

a a

P(a x b) f(x)dx e dx

µσ

πσ

− − ≤ ≤ = =∫ ∫

6.2. Luas daerah di bawah kurva NormalLuas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan

sbb:

0.4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

x

dnorm(x)

a b

Gambar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir


Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata

dan variansi dinyatakan sebagai:

211 22

x( )( )

n(x; , ) e ; x

µσ

πσµ σ

−−= −∞ < < ∞

2σ

µ

3 14159 2 71828dengan , .... dan e , ....π = =

50 5;µ σ= = 50 5n(x; , )

Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat

ditentukan. Misal:

maka ordinat dengan mudah dapat

dihitung.

µ 2σ


• Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.

Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal

dengan

Caranya menggunakan transformasi dengan rumus

Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan

ke perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.

Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika

X bernilai dan maka perubah acak Z akan

20 1danµ σ= =x

zµ

σ−=

xz

µσ−=

1x x= 2x x=X bernilai dan maka perubah acak Z akan

Bernilai dan kemudian dinyatakan sebagai:

1x x= 2x x=

11

xz

µσ−

= 22

xz

µσ−

=

( )2

12 2 212 2

1 22 2

1 12

1 2

1

1 1

2 2

0 1

xx zz

x zz

z

P(x x x ) e dx e dx

n(z, , ) dx P(z z z )

µσ

πσ πσ

− − − ≤ ≤ = =

= = < <

∫ ∫

∫TELKOM POLTECH/HANUNG NP

0.2

0.3

0.4

0.5

dnorm(x, 1, 0.75)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

x

Gambar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda

X1 x2


Distribusi Normal Baku

Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan

variansi 1 disebut distribusi normal baku

0.4

0.6

0.8

dnorm(x, -1, 0.5)

0.2

0.3

0.4

dnorm(x, 0, 1)

→

-4 -3 -2 -1 0 1 2

0.0

0.2

dnorm(x, -1, 0.5)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

z

dnorm(x, 0, 1)

Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

x1 x2 z1 z2

1 2 1 2P(x x x ) P(z x z )< < = < <

1 2P(x x x )< < 1 2P(z z z )< <


Probabilitas P(a<X<b)

P(a<X<b) ditentukan oleh luas daerah dibawah kurva f(X)

f(X) Menghitungnya luas daerah di bawah kurva f(X) dengan interval a dan b dilakukan dengan menggunakan

σµ-X

Z =Xµa b

dilakukan dengan menggunakan rumus integral.

Akan lebih mudah dihitung jika nilai-nilai X ditransformasikan menjadi nilai-nilai baku Z.



(lanjutan)

µ µ+σ µ+2σ µ+3σµ-3σ µ-2σ µ-σ

0 1 2 3-3 -2 -1

Dengan transformasi tersebut maka diperoleh Distribusi Normal Z yang mempunyai rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1.Distribusi Normal Z ini disebut dengan Distribusi Normal Standar.Probabilitas menjadi P(z1<Z<z2).



(lanjutan)

f(X)

X-2 20 31-1-3

z2z1



(lanjutan)

Probabilitas P(z1<Z<z2) dihitung dengan memakai tabel

Distribusi Normal Standar.

Contoh :

Tentukan probabilitas dari ( )2,53Z0P ≤<Tentukan probabilitas dari

Jawab :

Dari tabel diperoleh 0,4943

Maka = 0,4943

( )2,53Z0P ≤<

( )2,53Z0P ≤<0 2,53

Daerah P(0<Z<2,53)


Contoh 6.1

50µ = 10σ =Diketahui suatu distribusi normal dengan

dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai

antara 45 dan 62

Jawab:

Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah

dan

Jadi:

1 245 62x dan x= =

45 501 10

0 5z .−= = −62 50

2 101 2z .−= =

45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )< < = − < <

0.4

0.04

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 20 40 60 80 100

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

45 62P( x )< < 0 5 1 2P( , z . )− < <

Gambar 6.7 Luas daerah contoh 6.1TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

45 62 0 5 1 2

1 2 0 5

0 8849 0 3085

0 5764

P( x ) P( , z , )

P(z , ) P(z , )

, ,

,

< < = − < <

= < − < −

= −

=

Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09

:

:

-0.5 0.3085

0

:

:

1.2 0.8849

:

:TELKOM POLTECH/HANUNG NP

PELUANG EKSAKNo B.Bawah B. Atas Luas

(Peluang)

1 Mean -1,645 Deviasi

Baku

Mean + 1,645

Deviasi Baku

90%


Baku

Mean +1,96

Deviasi Baku

95%


Baku

Mean +2,58

Deviasi Baku

99%


LATIHAN

Hitung probabilitas dari nilai Z berikut :

• P(Z<-1,75)

• P(-2,75<Z<-1,52)

• P(Z>-1,52)• P(Z>-1,52)

• P(Z<0,97)

• Bila X adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata 25 dan simpangan baku 10, tentukan probabilitas P(20<X<38)!


Distribusi Kumulatif

Perhitungan probabilitas variabel random Z yang

berdistribusi normal standar akan lebih mudah dihitung

dengan memakai fungsi distribusi kumulatif.

Distribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimanaDistribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimana

F(z) = P(Z<z) sehingga :

( ) ( ) ( )( ) ( )z1Fz2F

z1ZPz2ZP z2Zz1P

−=

<−<=<<


Hitung probabilitas dari P(-1,43<Z<2,53)

a. Dengan distribusi normal standar

b. Dengan distribusi kumulatif

Jawab:

a. P(-1,43<Z<2,53)=P(0<Z<1,43)+P(0<Z<2,53)

=0,4236+0,4943=0,9179

b. P(-1,43<Z<2,53)=F(2,53)-F(-1,43)

Dari tabel distribusi normal standar kumulatif

nilai z2=2,53 ada diantara 2,50 dan 2,55 juga

diantara 2,326 dan 2,576. Kita pilih yang I.

Sedangkan nilai z1=-1,43 ada diantara -1,405 dan -1,476

juga diantara -1,40 dan -1,45. Kita pilih yang II.

Jika za=2,50 dan zb=2,55 kemudian Lz2=luas daerah (besar nilai)

z2, Lza dan Lzb masing-masing untuk za dan zb maka besar z2 dapat

dihitung dengan rumus :

Lza-Lzb

Lza-Lz2

za-zb

za-z2=


( )( ) 0,0808-0735,0

0,0808-Lz1

1,40--1,45-

1,40--1,43-

0,99428 Lz2

0,9938-9946,0

0,9938-Lz2

2,50-2,55

2,50-2,53

=

=

=

Contoh (lanjutan)

( )

( ) ( ) ( )0,91786 0,07642-0,99428

1,43-F2,53F2,53Z1,43-P Jadi

0,07642 Lz1

0,0808-0735,01,40--1,45-

==

−=<<

=

=


Contoh Distribusi Normal

1. Tinggi badan mahasiswa ITB berdistribusi normal

dengan µ = 165 cm dan σ = 10 cm.

– Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang dipilih– Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang dipilih

secara acak memiliki tinggi lebih dari 180 cm?

– Tentukan ambang di mana persentase mahasiswa yang

melewati ambang batas ini tidak lebih dari 5%!


Contoh Distribusi Normal

2. Sebuah pabrik lampu menghasilkan lampu dengan

usia nyala yang berdistribusi normal dengan µ = 2500 jam dan σ = 100 jam. Suatu batch dinyatakan sebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji, sebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji, maksimum 1lampu yang usianya kurang dari 2350 jam. Berapa probabilitas suatu batch dinyatakan baik? Kalau terjadi kerusakan pada proses produksi

sehingga µ-nya menjadi 2400 jam, berapa probabilitas kerusakan ini terdeteksi?


Pendekatan Distribusi Normal

Terhadap Distribusi Binomial

Pada saat n sangat besar dan p tidak bernilai ekstrim mendekati 0 atau 1, perhitungan terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan perhitungan distribusi normal.

Teorema:Teorema:

Jika X adalah sebuah variabel random binomial dengan mean µ = np

dan variansi σ2 = npq, maka bentuk limit pada saat n � ∞ dari distribusi binomial tersebut adalah:

dengan z berdistribusi normal baku n(z; 0,1)

npq

npXZ

−=


Pendekatan Dist. Normal atas Dist. Binomial

(Contoh)

Probabilitas seorang pencandu narkoba terkena

virus hepatitis B dari sebuah suntikan adalah 0,6.

Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu,Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu,

tentukan probabilitas bahwa tidak kurang dari

100 orang pecandu tersebut mengidap virus

hepatitis B!


LATIHAN

1. Jika diketahui variabel random X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2,5 hitung nilai k sehingga P(X<k)=0,2578!

2. Sebanyak 1000 rim kertas koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa persen dari kertas rim itu yang berisi 455 lembar atau lebih?


LATIHAN (lanjutan)

3. Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 34 dan standar deviasi 4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada dibawah Xo?

4. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika diperoleh nilai rata-ratanya adalah 60 dan standar deviasinya adalah 10. Bila distribusinya menyebar secara normal, berapa :distribusinya menyebar secara normal, berapa :

a. persen yang mendapat nilai A jika nilai A>=80

b. persen yang mendapat nilai C jika nilai C terletak

pada interval 56<=C<=68

c. persen yang mendapat nilai E jika nilai E<45


LATIHAN (lanjutan)

5. Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metode Quickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67 byte.

a. Berapa persen dalam percobaan tersebut

ditemukan ruang memori yang melebihi 600 byte?

b. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyaib. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyai

ruang memori berkisar antara 500 sampai 550

byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan

oleh peneliti?

c. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10%

hasil terendah, berapakah ukuran memori tertinggi dari

kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori

terendah tersebut?


oleh: hanung n. prasetyo distribusi normal · pdf filepengantar:...

Documents