BAB II

PENYELESAIAN AKAR-AKAR KARAKTERISTIK

2.1. Pendahuluan

Pembaca, khususnya yang berkecimpung dengan masalah teknik, mungkin sering menjumpai persamaan karakteristik, dimana bentuk sederhana untuk persamaan karakteristik orde dua ditulis

(2.1)

untuk mencari akar karakteristik persamaan tersebut, digunakan rumus sebagai berikut:

(2.2)

Untuk persamaan karakteristik orde dua atau polinomial tingkat dua tidak dijumpai kesulitan. Tetapi, untuk menyelesaikan persamaan polinomial orde tiga, atau mencari penyelesaian dan persamaan nonlinear seperti dibawah ini:

(2.3)

tentu bagi pembaca yang kurang menguasai matematika, akan mengalami kesulitan, tetapi jika pembaca menguasai metode-metode yang akan diuraikan pada bab II ini, pembaca akan dapat menyelesaikan persamaan- persamaan tersebut dengan mudah.

Persamaan karakteristik ini bisa berupa persamaan poilnomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan logaritmik atau kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan ini, pada bab ini dibahas beberapa cara, dimana masing-masing cara tersebut mempunyai kelebihan dan kelemahan.

Beberapa cara tersebut diantaranya:

Metode Tabulasi

Metode Bagi Dua

Metode Regula Falsi

Metode Iterasi Bentuk x = g(x) Metode Newton-Raphson

Metode Faktorisasi P3(x) = 0

Metode Faktorisasi P4(x) = 0

Metode Faktorisasi P5(x) = 0

Metode Bairstow

2.2. Metode Tabulasi

Metode tabulasi adalah metode penyelesaian persamaan nonlinear (transendental) dengan cara membuat tabel-tabel persamaan atau fungsi nonlinear di sekitar titik penyelesaiannya.Metode tabulasi merupakan metode yang paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Tidak ada persaman khusus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Hal ini merupakan keuntungan dari metode tabulasi.

Selain mempunyai kelebihan di atas, metode tabulasi mempunyai beberapa keterbatasan, yaitu:

1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.

2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).

3. Proses iterasinya relatif lambat.Cara penyelesaian dari metode Tabulasi

Langkah pertama menyelesaikan persamaan nonlinear f (x) = 0 dengan metode tabulasi adalah menentukan dua titik awal fungsi f(x), misalnya x1\ dan x2 harus memenuhi persyaratan f(x1)*f(x2) < 0. jika syarat ini dipenuhi berarti titik penyelesaiannya berada di antara x1 dan x2.Langkah kedua adalah membuat tabel fungsi f (x), di antara f(x1) dan f(x2)Langkah ketiga adalah membuat tabel di sekitar dua titik x yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada fungsi f (x).Langkah keempat dan seterusnya adalah sama dengan langkah ketiga.Contoh :

Carilah akar penyelesaian dari persamaan non linear di bawah ini dengan metode tabulasi dari

Penyelesaian :

Langkah pertama

Menentukan dua nilai x awal yang memenuhi persyaratan di atas. Misalnya diambil

X1=0 f(0) = 2-5(0)+sin(0) = 2.00000

x2=1 f(1) = 2-5(1)+sin(1) = -2.15853

Karena f(x1).f(x2) < 0, maka titik penyelesaiannya berada diantara x = 0 dan x = 1. Langkah kedua

Membuat tabel fungsi f (x) di sekitar f (x1) dan f (x2).

xf(x)absolut error

0.02.000002.00000

0.11.599831.59983

0.21.198671.19867

0.30.795520.79552

0.40.389420.38942

0.5-0.020570.02057

0.6-0.435360.43536

0.7-0.855780.85578

0.8-1.282641.28264

0.9-1.716671.71667

1.0-2.158532.15853

Langkah ketiga

Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi f(x).

Pada tabel hasil langkah kedua, nilai error terkecil adalah 0,020575. Nilai ini masih cukup besar, sehingga perlu mencari penyelesaian yang lebih tepat.

Pada tabel tersebut terlihat adanya perubahan tanda pada f(x) di sekitar f(0,4) dan f(0,5). Hal ini menunjukkan bahwa akar penyelesaiannya berada di antara titik x = 0,4 dan x = 0,5.

Xf(x)absolut error

0.400.389420.38942

0.410.348610.34861

0.420.307760.30776

0.430.266870.26687

0.440.225940.22594

0.450.184970.18497

0.460.143950.14395

0.470.102890.10289

0.480.061780.06178

0.490.020630.02063

0.50-0.020570.02057

Langkah keempat dan seterusnya

mengulangi langkah ketiga, yaitu membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x). Proses pembuatan tabel dihentikan jika didapatkan error yang relatif kecil. 2.3. Metode Bisection

Metode Bisection disebut juga metode Pembagian Interval atau Metode Bolzano adalah metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan 2-4

(2.4)

dimana nilai dan nilai harus memenuhi persyaratan persamaan (2.5)

*