bab 2

Lukmanulhakim Almamalik II- 1

2 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

2.1 DEFINISI DAN NOTASI MATRIKS

Bentuk umum

Bentuk umum dari matriks Amxn adalah :

Contoh 2.1

Contoh matriks

−=

31

23A ,

=

2

1B , [ ]321C = ,

=

4132

1303

3513

2321

D ,

=

10

01E ,

=

00

00F

Matriks A, E dan F masing-masing berordo 2x2, matriks B berordo 2x1, matriks C

berordo 1x3, dan matriks D berordo 4x4.

Definisi Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang dibatasi

dengan tanda kurung.

Notasi Matriks Matrik diberi nama dengan huruf besar, secara lengkap ditulis matrik

A= (aij), artinya suatu matrik A yang elemen-elemennya adalah aij dimana indeks i

menunjukkan baris ke-i dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .

Jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom dikatakan matriks berukuran (ber-ordo)

m x n.

Bentuk Umum Matriks

=

mn2m1m

n22221

n11211

nm

aaa

aaa

aaa

Ax

L

MOMM

L

L

aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

Diagonal Utama


2.2 JENIS-JENIS MATRIKS

Contoh 2.2

a.

=

2221

1211

2x2aa

aaA b.

−=

31

23B

c.

=

44434241

34333231

24232221

14131211

4x4

aaaa

aa.aa

aaaa

aaaa

A d.

=

4132

1303

3513

2321

D

Contoh 2.3

=

30

02A ,

=

00

03B ,

=

00

00C ,

=

100

010

001

D

Contoh 2.4

=

00

00C , [ ]000D =

Matriks Bujur Sangkar Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya.

Matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks

bujur sangkar yang berukuran n x n, yaitu: a11, a22, …, ann.

Matriks Diagonal Matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini

tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

Matriks Nol Matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Matriks Segitiga matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah atau di atas

elemen diagonal bernilai nol.

Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen di bawah elemen diagonal maka disebut

matriks segitiga atas, jika sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini,

juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.


Contoh 2.5

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas

sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

, , ,

Contoh 2.6

,

2.3 OPERASI – OPERASI MATRIKS

Matriks Identitas matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.

Penjumlahan dan Selisih Matriks

• Operasi penjumlahan dan selisih matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks

yang memiliki ukuran yang sama.

• Jika A dan B adalah dua matriks yang sama ukurannya, maka jumlahnya (atau

selisihnya) merupakan matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan (atau

mengurangkan) elemen-elemen A dan B yang bersesuaian.

Penjumlahan dua matriks

+++

+++

+++

=

+

=+

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

Selisih dua matriks

−−−

−−−

−−−

=

−

=

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

mn2m1m

n22221

n11211

mn2m1m

n22221

n11211

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

B- A

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L


Contoh 2.7

a. Dua matriks A dan B berordo 2x2 dijumlahkan

Jika

=

dc

baA dan

=

hg

feB , maka

++

++=

+

=+

hdgc

fbea

hg

fe

dc

baBA

b.

=

+

94

63

52

32

42

31

c. Dikethui dua matriks

,

Contoh 2.8

Perkalian Matriks dengan Matriks

• Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks (A dan B) jika jumlah

kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan Perkalian

• Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen-elemen dari C(cij) merupakan

penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.

Perkalian Matriks dengan Skalar

• Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap–tiap elemen pada A

dikalikan dengan k.

=

=

mn2m1m

n22221

n11211

mn2m1m

n22221

n11211

kakaka

kakaka

kakaka

aaa

aaa

aaa

kkA

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L


Contoh 2.9

Contoh 2.10 Matriks umum A ber-ordo 5x3 dipartisi menjadi 4 sub matriks.

Contoh 2.11

Matriks umum A dipartisi menjadi matriks-matriks kolom.

Matriks umum A dipartisi menjadi matriks-matriks kolom.

Matriks Dipartisi Matriks dapat dipartisi atau dibagi menjadi beberapa matriks yang

lebih kecil dengan cara menyisipkan garis-garis horizontal dan vertical di antara baris

dan kolom yang diinginkan.

.


Contoh 2.12

Matriks Transpose Matriks

Contoh 2.13

Operasi-Operasi Matrik

Transpose Matriks Transpose matriks A (dinotasikan AT) didefinisikan sebagai matriks

yang baris-barisnya merupakan kolom dari A.


Contoh 2.14


Latihan 2

1. Jika diketahui matriks A, B, dan C berikut, tentukan 2A+B, 2B-A, A+C

2. Jika diketahui matriks A, B, dan C berikut, tentukan 3A + 2B – ½ C

3. Jika diketahui matriks

−−

−=

553

112

052

A ,

−−

−−

=

853

9311

314

B , dan

−=

112

077

430

C .

Hitung BA + , CB +3 , dan AC 32 − .

3. Tentukan berapa ab dan ba dari matriks di bawah ini.

4. Jika diketahui matriks A dan C berikut. Tentukan AC dan CA

5. Tentukan B+D, BD dan DB dari matriks berikut

,

6. Jika diketahui

=

02

31A ,

−=

623

105B ,

−=

20

44

31

C dan [ ]526 −=D .

a. Hitung AB , jika matriks ada.

b. Hitung CB , jika matriks ada.

c. Hitung DC , jika matriks ada.

d. Hitung BC , jika matriks ada.

e. Hitung CD , jika matriks ada.

bab 2

Documents