Sistem Bilangan

1

Bab I

SISTEM BILANGAN

1.1 Pengantar logika dan Himpunan

Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik,

penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan

berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan

dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan

masalah yang rumit. Matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan

masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan Matematika, suatu masalah nyata

dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya

kompak (singkat dan padat).

Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif dan

induktif. Penalaran deduktif bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan

pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan fakta dan

fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi

perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan

kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif. Proses induktif-deduktif dapat

digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelajari suatu konsep matematika.

1.1.1. Sistem Aksioma

Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah

dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu sistem

matematika merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika

atas sekelompok unsur, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang

dibuat konsisten akan menentukan suatu sistem secara utuh. Dalam proses

Sistem Bilangan

2

penalaran matematika, suatu rumus (Teorema) matematika terdiri dari beberapa

hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik sistem logika dapat dipahami

berdasarkan sifat sistem dan operasi yang dirancang didalamnya.

Sistem Aksioma terdiri dari empat bagian penting yaitu istilah tak terdefinisi,

terdefinisi, aksioma dan Teorema.

Istilah tak terdefinisi Istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun

istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada

suatu sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi, seperti titik,

garis, bidang, himpunan dan sebagainya.

Istilah terdefinisi Istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan

dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya

menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi, istilah jika - maka

berarti jika dan hanya jika.

Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut :

jelas, tepat dan mempunyai suatu makna;

hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya

konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama

jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin

objek dari sistem.

Aksioma atau Postulat Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar

pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah

dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya.

Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun

sistem tersebut dan tidak saling bertentangan.

Teorema Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara

logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi,

aksioma dan pernyataan benar lainnya.

Pernyataan Suatu pernyataan matematika (disingkat pernyataan) adalah

rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah.

Sistem Bilangan

3

Diantara benar dan salah hanya berlaku salah satu: benar saja atau salah saja dan

tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan

tidak didasarkan atas opini atau pendapat.

Contoh 1.1

(a) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B)

(b) Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B)

(c) Jika 3maka,92 xx (S)

(d) Pada sistem bilangan riil, persamaan 0432 xx tidak mempunyai

jawab (B)

(e) Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka, bukan pernyataan)

(f) 83x (kalimat terbuka, bukan pernyataan)

Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut bukan

pernyataan (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat tanya, kalimat perintah,

kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak

diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar

atau salahnya.

Hasil penting dalam Matematika disebut teorema, dan kita akan menemukan

banyak teorema dalam diktat ini. Teorema dapat dinyatakan dalam bentuk jika P

maka Q . Seringkali disingkat dengan QP . Kita namakan P sebagai hipotesis

dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut. Perhatikan kedua pernyataan QP

dan PQ , kedua pernyataan tersebut tidak setara. Sebagai contoh : Jika

Wahyu adalah orang Pinrang, maka Ia adalah orang Indonesia, merupakan

pernyataan yang benar, akan tetapi kebalikannya, Jika Wahyu adalah orang

Indonesia, maka ia adalah orang Pinrang, merupakan pernyataan yang salah.

1.1.2 Himpunan

Kemudian Salah satu dasar dalam Matematika yang harus dipahami adalah

konsep sebuah himpunan. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek

Sistem Bilangan

4

yang berbeda. Mahasiswa-mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika

dasar, buku-buku yang dijual dalam suatu toko, hewan-hewan yang ada di kebun

binatang, dan lain-lain adalah contoh suatu himpunan. Biasanya himpunan

dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, dan seterusnya. Objek dalam

himpunan disebut elemen/anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf

kecil, a, b, dan lainnya. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan

digunakan simbol yang dibaca anggota dari.

Contoh 1.2

menyatakan sebuah himpunan yang kita sebut dan mempunyai

empat anggota yaitu dan .

, ini berarti merupakan anggota dari .

1.2 Sistem Bilangan Riil

Kita sudah cukup mengenal jenis-jenis bilangan berikut :

1. Bilangan Asli, yakni 1, 2, 3, 4, 5, ... Dengan bilangan ini kita dapat

menghitung: buku-buku kita, uang kita. Himpunan bilangan asli

dinyatakan dengan notasi baku yakni N = ,3,2,1 . Penjumlahan dua

buah bilangan asli dan perkalian dua buah bilangan asli sembarang juga

sebuah bilangan asli. Hal ini seringkali dinyatakan dengan mengatakan

bahwa himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan dan

operasi perkalian.

2. Bilangan nol dan negatif, yakni 0 dan -1, -2, -3, ... , bilangan ini muncul

untuk mencari penyelesaian persamaan seperti abx , dimana a, b

sembarang bilangan asli. Dengan persamaan ini dimungkinkan adanya

operasi pengurangan yang merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan,

dimana kita dapat menuliskan .

Himpunan yang anggotanya bilangan asli, bilangan negatif dan nol

dinamakan himpunan Bilangan Bulat. Himpunan bilangan bulat

dinyatakan dengan notasi baku yakni .

Sistem Bilangan

5

3. Bilangan rasional yakni hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat

yaitu bilangan-bilangan seperti

Bilangan ini muncul untuk memecahkan persamaan seperti , dimana dan adalah bilangan bulat dan . Dengan persamaan ini dimungkinkan adanya operasi pembagian yang merupakan kebalikan dari

operasi perkalian, kita dapat menuliskan

disebut pembilang dan disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dinyatakan dengan notasi baku, yaitu

{

}

4. Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang?

Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani Kuno

beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun

merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi-

sisi tegak 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi

dari dua bilangan bulat. jadi adalah suatu bilangan tak rasional.

Demikian juga dan sekelompok bilangan lain.

Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut

Bilangan Riil. Himpunan bilangan riil dinyatakan dengan notasi .

Bilangan-bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik

sepanjang sebuah garis mendatar ataupun tegak (garis riil).

Dari pengenalan beberapa bilangan, maka diperoleh bahwa bilangan asli termuat

pada bilangan Bulat, kemudian bilangan bulat termuat dalam bilangan rasional,

dan bilangan riil memuat ketiga himpunan tersebut. Hal ini cukup dinyatakan

sebagai

disini adalah lambang himpunan bagian, dibaca adalah himpunan bagian dari.

Sistem Bilangan

6

Operasi Aritmetika

Diberikan dua bilangan real dan , kita dapat menambahkan atau mengalikan

keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni dan .

Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut (yang kita kenal dengan

sifat-sifat medan).

Sifat-sifat Medan

1. Sifat komutatif, dan .

2. Sifat asosiatif, dan .

3. Sifat distributif, .

4. Unsur identitas, hanya bilangan riil 0 dan 1 yang memenuhi dan

.

5. Balikan (invers), setiap bilangan mempunyai balikan penambahan, yaitu

. Juga untuk setiap bilangan . Setiap bilangan x mempunyai balikan

penambahan, yakni x , yang memenuhi .0)( xx Juga , setiap

bilangan mempunyai balikan perkalian, yang memenuhi

.

Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dari operasi tambah dan kali yang

dijabarkan dari sifat medan. Jadi yang dimaksud dengan adalah

dan

.

Urutan

Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah,

yakni bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita

memperkenalkan relasi urutan (dibaca kecil dariatau kurang dari).

Bilangan kecil dari menyatakan bahwa adalah sebuah bilangan positif.

Tafsiran geometri bahwa yx berarti bahwa x berada di sebelah kiri y pada

garis riil mendatar.

Sifat-sifat urutan dua buah bilangan dapat disebutkan antara lain:

Sistem Bilangan

7

1. Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti satu diantara

berikut berlaku: atau atau .

2. Transitif, jika dan , maka .

3. Mempertahankan urutan untuk operasi tambah. Jika , maka untuk

sembarang bilangan riil berlaku .

4. Mempertahankan urutan untuk operasi kali dengan sebuah bilangan

positif. Misalkan positif, jika , maka . Mengubah urutan

untuk perkalian dengan sebuah bilangan negatif. Jika , maka untuk

negatif berlaku .

Relasi urutan yang lain mengadopsi sifat urutan di atas. Misalkan relasi dibaca

kurang dari atau sama dengan didefinisikan jika dan hanya jika

positif atau nol.

Cara lain untuk menyatakan bilangan riil adalah dengan menggambarkan sebuah

garis bilangan. Himpunan bagian dari bilangan riil akan ditandai sebagai segmen

garis atau selang/interval. Ketidaksamaan bxa mendeskripsikan selang buka

yang terdiri dari semua bilangan antara dan , tidak termasuk titik-titik ujung

dan . Selang ini dilambangkan dengan notasi . Sebaliknya, ketaksamaan

mendeskripsikan sebuah selang tutup yang nilai-nilai yang mungkin

adalah semua bilangan di antara dan , termasuk titik ujung dan . Selang

tutup ini dilambangkan oleh .

Contoh 1.3

menyatakan sebuah himpunan semua bilangan riil yang

lebih besar dari 1 tapi lebih kecil dari 5, hal ini sama saja dinyatakan dengan

selang buka . Pada garis bilangan, maka selang itu adalah segmen garis yang

berada di antara titik 1 dan titik 5.

Himpunan semua nilai yang lebih besar atau sama dengan 1 dinyatakan oleh

atau dalam bentuk selang (notasi bukanlah merujuk ke

1 50

Sistem Bilangan

8

a b

sebuah bilangan tertentu). Bentuk selangnya di garis riil dapat dilihat sebagai

berikut:

Jika selangnya adalah selang buka, maka ditandai dengan bulatan putih pada

ujungnya. Sebaliknya jika selangnya adalah selang tutup, maka ujungnya diberi

bulatan hitam. Untuk beberapa referensi lain, yang dipakai adalah tanda kurung

biasa untuk selang buka dan tanda kurung siku untuk selang tutup. Tabel 1.1

memperlihatkan sejumlah besar kemungkinan selang dalam notasi himpunan,

interval ataupun grafiknya pada garis riil.

Tabel 1.1. Selang Berhingga

Notasi Himpunan Notasi Selang Grafik

[a,b]

Untuk menggambarkan selang dengan salah satu ujungnya mempunyai titik batas

dapat dilihat pada contoh 1.3 dan tabel 1.2 memberikan dua bentuk selang dengan

salah satu ujungnya tidak mempunyai batas.

1 0

a b

1

a b

1

a b

1

Sistem Bilangan

9

a

a

Tabel 1.2. Selang Berhingga

Notasi Himpunan Notasi Selang Grafik

Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, oleh karenanya perlu

terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan real , dinyatakan

dengan | |dan didefinisikan sebagai

| | {

Misalnya, 5)5(5,00,55 . Dari definisi terlihat bahwa, untuk

setiap bilangan real x , berlaku .0x

Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah jarak (tak

berarah). Khususnya, x adalah jarak antara x dengan titik asal, 0. Demikian

juga, ax adalah jarak antara x dengan a .

Sifat-sifat nilai mutlak

i. Nilai mutlak dari perkalian dua bilangan sama dengan perkalian nilai

mutlak masing-masing bilangan, | | | || |.

ii. Nilai mutlak dari pembagian dua bilangan sama dengan pembagian nilai

mutlak kedua bilangan,

|

|

| |

| |

Sistem Bilangan

10

iii. Penjumlahan dua bilangan yang dimutlakkan selalu kurang dari atau sama

dengan penjumlahan nilai mutlak kedua bilangan (dikenal dengan nama

ketaksamaan segitiga),

| | | | | |

iv. Nilai mutlak dari selisih dua bilangan sama dengan nilai mutlak dari

selisih nilai mutlak kedua bilangan,

| | || | | ||

Hal yang penting untuk diingat mengenai nilai mutlak adalah | | berarti

sebuah selang buka dari nilai-nilai yang titik-titik ujungnya adalah dan ,

. Sebaliknya, bentuk | | mengandung makna bahwa

atau . Kita dapat menggunakan fakta tersebut untuk menyelesaikan

ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.

Contoh 1.4

Selesaikan ketaksamaan | | .

Penyelesaian: | | berarti bahwa . Kemudian masing-

masing ruas ditambahkan 4 maka ketidaksamaan menjadi . Hal ini

berarti nilai-nilai yang memenuhi ketaksamaan adalah semua bilangan yang

terletak di selang buka . Himpunan penyelesaiannya adalah .

Contoh 1.5

Selesaikan ketaksamaan 153 x

Peyelesaian: Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai

atau

atau

Sistem Bilangan

11

atau .

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah berupa gabungan dua buah selang yaitu

(

]

Contoh 1.6

Misalkan suatu bilangan positif. Carilah bilangan positif sehingga | |

| | .

Penyelesaian: Kita akan mencari bilangan yang bergantung pada . Perhatikan

bahwa | | dapat dibuat sebagai perkalian dua bentuk bilangan dalam nilai

mutlak, yaitu | | atau | |.

Karena untuk positif berlaku | | maka | | . Sehingga

dengan memilih adalah semua bilangan yang lebih kecil dari dan positif

berarti pernyataan | | | | menjadi kalimat yang benar.

Akar kuadrat

Misalkan adalah bilangan riil tak negatif. Akar dari (ditulis: ) adalah

bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan . Karena hanya ada satu

bilangan tak negatif yang memenuhi ini, definisi ini dikatakan well-defined.

Jangan mendefinisikan dengan sebagai penyelesaian dari .

Karena penyelesaian persamaan ini bisa bernilai negatif, yaitu dan

. Tetapi kita bisa mendefinisikannya sebagai penyelesaian tak negatif

dari persamaan tersebut. Perhatikan pula bahwa setiap bilangan non negatif ,

berlaku dan .

Sifat-sifat Akar kudrat

i. Perkalian dua bilangan riil tak negatif dalam akar sama saja dengan

mengalikan akar-akar dari kedua bilangan, .

Sistem Bilangan

12

ii. jika dan hanya jika .

Contoh 1.7

Manakah bilangan yang terbesar dan terkecil dari ketiga bilangan real berikut?

Penyelesaian: Untuk menjawab pertanyaan ini, Perhatikan bentuk ketiga bilangan

di bawah

Urutan ketiga bilangan itu adalah

Setelah kita akarkan ketiga bilangan tersebut, mka urutan dari akar ketiga

bilangan tidak berubah (lihat sifat ii dari akar kuadrat),

Berikut kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat | |.

Kuadrat

Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa | | , hal ini berdasarkan sifat

bahwa senantiasa tak negatif dan | | | || |.

Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan? Secara umum

jawabannya adalah tidak. Misalnya tetapi . Sebaliknya 2 < 3

dan . Jadi untuk dan bilangan-bilangan tak negatif, berlaku

. Salah satu varian dari bentuk ini adalah | | | | .

Sistem Bilangan

13

LATIHAN

1. Bilangan

dan

yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi bilangan bulat

disebut bilangan?

2. Apa yang disebut bilangan riil?

3. Sederhanakan bentuk berikut:

a.

b.

(

)

4. Sederhanakan bentuk berikut:

(

)

(

)

5. Cari nilai dari 0/0, 0/15, dan 2/0, jika tidak ada katakan demikian.

6. Misalkan , perlihatkan bahwa tidak mempunyai arti (tak terdefinisi)

dan tidak tentu.

7. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat matematika berikut:

a.

b.

c.

8. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis riil.

a.

b.

c.

d.

Sistem Bilangan

14

9. Tuliskan dalam notasi selang, himpunan-himpunan berikut:

a.

b.

c.

10. Carilah himpunan penyelesaian

a. | |

b. | |

c. |

|

d. |

|