bil riil n fungsi grafik2
TRANSCRIPT
SISTEM BILANGAN RIIL FUNGSI DAN GRAFIK
NOVIAR BAGUS S.
Materi yang akan dibahas :
A. Pengantar
B. Operasi pada fungsi
C. Fungsi trigonometri
A. Pengantar
Definisi : Fungsi adalah suatu aturan padanan yg menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yg disebut daerah asal, dgn sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yg diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.
A. Pengantar (2)
xf
f(x)
A. Pengantar (3)
Notasi fungsi → huruf tunggal seperti f (atau g atau F)
f(x) → dibaca f dari x atau f pada x → menunjukkan nilai yg diberikan oleh f kepada x.
Contoh : f(x) = x3 – 4
f(-2) = (-2)3 – 4 = -12
f(a) = a3 - 4
A. Pengantar (4)
Daerah Asal : himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.
Daerah Hasil : himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
Daerah Asal Mula (Domain Natural) : Jika sebuah fungsi tidak dirinci daerah asalnya, maka daerah asal yg digunakan adl himp bil. Riil terbesar shg aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bil. Riil.
A. Pengantar (5)
Contoh : Carilah daerah asal mula utk f(x) = 1/ (x-3).
Peny. : daerah asal mula utk f adalah {x ε R : x ≠ 3}
A. Pengantar (6)
Grafik Fungsi Syarat : Jika daerah asal dan daerah hasil
sebuah fungsi adl bil. Riil Alat : Bidang koordinat Cartesius Grafik fungsi f adl grafik dari persamaan y =
f(x)
A. Pengantar (7)
x
y
01 2 3
1
2
-1-2-3
-1
-2
A. Pengantar (8)
Fungsi genap : jika f(-x) = f(x), maka grafik simetri thd sumbu y.
Fungsi ganjil : jika f(-x) = -f(x), grafik simetri thd titik asal.
Fungsi tidak ganjil dan genap : jika f(-x) ≠ f(x) dan f(-x) ≠ -f(x)
A. Pengantar (9)
Contoh : f(x) = x3 – 2x g(x) = x2 - 4
h(x) = 2 / (x - 1)
B. Operasi pada Fungsi
Jumlah
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Selisih
(f - g)(x) = f(x) - g(x) Hasil Kali
(f . g)(x) = f(x) . g(x) Hasil Bagi
)(
)()(
xg
xfx
g
f
Komposisi Fungsi
Jika f bekerja pada x → f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) → g(f(x)) berarti kita telah menyusun g dengan f
Fungsi yg dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan g ο f.
(g o f) = g(f(x))
Komposisi Fungsi (g o f)(x)
fg
x
f(x)
g(f(x))
Komposisi Fungsi (f o g)(x)
fg
x
g(x)
f(g(x))
Komposisi Fungsi (4)
Catatan :Susunan komposisi fungsi tidak komutatif
(g o f)(x) ≠ (f o g)(x)
Contoh
Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 cari :
a. (f + g)(2)
b. (f o g)(√8)
Penyelesaian :
a. (2/ 2-1) + (√1+22) = (2/1) + (√1+4)
= 2 + √5
Contoh (2)
Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 …
b. g(√8) = √1 + (√8)2
= √1+8
= √9
= 3
f(g(x)) = 3/ 3-1
= 3/2
C. Fungsi Trigonometri
Gambar segitiga Sin θ = hdp / mrg
Cos θ = dkt / mrg
Tan θ = hdp / dkt
θ
dekatan
miring
hadapan
C. Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus
sin2t + cos2t = 1
T Sin t Cos t
0 0 1
π/6 ½ √3/2
π/4 √2/2 √2/2
π/3 √3/2 ½
π/2 1 0
2 π/3 √3/2 -½
3 π/4 √2/2 -√2/2
5 π/6 ½ -√3/2
π 0 -1
Grafik sinus dan kosinus
Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1.
Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2π.
Grafik y = sin t simetri thd titik asal dan y = cos t thd sumbu y.
Grafik y = sin t sama spt y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan.
Fungsi trigonometri yg lainnya
Tan t = sin t / cos t Cot t = cos t / sin t Sec t = 1 / cos t Csc t = 1 / sin t
C. Fungsi Trigonometri (2)
Kesamaan Ganjil Genap
sin (-x) = - sin x
cos (-x) = cos x
tan (-x) = - tan x
Kesamaan ko fungsi
xx
xx
xx
cot2
tan
sin2
cos
cos2
sin
C. Fungsi Trigonometri (3)
Kesamaan Phytagoras
sin2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
Kesamaan Penambahan
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y
yx
yxyx
tantan1
tantan)tan(
C. Fungsi Trigonometri (4)
Kesamaan sudut ganda
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x – sin2x
= 2 cos2x – 1
= 1 – 2 sin2x
Kesamaan setengah sudut
2
2cos1cos
2
2cos1sin
2
2
xx
xx
C. Fungsi Trigonometri (5) Kesamaan Jumlah
Kesamaan Hasil kali
2cos
2cos2coscos
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
yxyxyx
)sin()sin(2
1cossin
)cos()cos(2
1coscos
)cos()cos(2
1sinsin
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
Hubungan dgn Trigonometri sudut
Sudut diukur dalam derajat atau dalam radian 180o = π rad ≈ 3,1415927 rad Hubungan antara panjar busur s dari
potongan busur sebuah lingkaran radius r dengan sudut pusat tradian
S = r . T Sin θ = sin t Cos θ = cos t
Contoh soal
Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil!
Peny. :
tan (-t) = sin (-t)/ cos (-t)
= - sin t / cos t
= - tan t
Contoh (2)
Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai radius 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran!
peny :
100 putaran = 100.(2π) radian
s = (30)(100)(2π)
= 6000π ≈ 18849,6 cm
Daftar Pustaka
Kalkulus dan Geometri Analitis, Edwin J. Purcell, Penerbit Erlangga, 1995