bil riil n fungsi grafik2

30
SISTEM BILANGAN RIIL FUNGSI DAN GRAFIK NOVIAR BAGUS S.

Upload: zyrenn

Post on 23-Oct-2015

49 views

Category:

Documents


17 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bil Riil n Fungsi Grafik2

SISTEM BILANGAN RIIL FUNGSI DAN GRAFIK

NOVIAR BAGUS S.

Page 2: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Materi yang akan dibahas :

A. Pengantar

B. Operasi pada fungsi

C. Fungsi trigonometri

Page 3: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar

Definisi : Fungsi adalah suatu aturan padanan yg menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yg disebut daerah asal, dgn sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yg diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.

Page 4: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (2)

xf

f(x)

Page 5: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (3)

Notasi fungsi → huruf tunggal seperti f (atau g atau F)

f(x) → dibaca f dari x atau f pada x → menunjukkan nilai yg diberikan oleh f kepada x.

Contoh : f(x) = x3 – 4

f(-2) = (-2)3 – 4 = -12

f(a) = a3 - 4

Page 6: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (4)

Daerah Asal : himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.

Daerah Hasil : himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

Daerah Asal Mula (Domain Natural) : Jika sebuah fungsi tidak dirinci daerah asalnya, maka daerah asal yg digunakan adl himp bil. Riil terbesar shg aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bil. Riil.

Page 7: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (5)

Contoh : Carilah daerah asal mula utk f(x) = 1/ (x-3).

Peny. : daerah asal mula utk f adalah {x ε R : x ≠ 3}

Page 8: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (6)

Grafik Fungsi Syarat : Jika daerah asal dan daerah hasil

sebuah fungsi adl bil. Riil Alat : Bidang koordinat Cartesius Grafik fungsi f adl grafik dari persamaan y =

f(x)

Page 9: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (7)

x

y

01 2 3

1

2

-1-2-3

-1

-2

Page 10: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (8)

Fungsi genap : jika f(-x) = f(x), maka grafik simetri thd sumbu y.

Fungsi ganjil : jika f(-x) = -f(x), grafik simetri thd titik asal.

Fungsi tidak ganjil dan genap : jika f(-x) ≠ f(x) dan f(-x) ≠ -f(x)

Page 11: Bil Riil n Fungsi Grafik2

A. Pengantar (9)

Contoh : f(x) = x3 – 2x g(x) = x2 - 4

h(x) = 2 / (x - 1)

Page 12: Bil Riil n Fungsi Grafik2

B. Operasi pada Fungsi

Jumlah

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Selisih

(f - g)(x) = f(x) - g(x) Hasil Kali

(f . g)(x) = f(x) . g(x) Hasil Bagi

)(

)()(

xg

xfx

g

f

Page 13: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Komposisi Fungsi

Jika f bekerja pada x → f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) → g(f(x)) berarti kita telah menyusun g dengan f

Fungsi yg dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan g ο f.

(g o f) = g(f(x))

Page 14: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Komposisi Fungsi (g o f)(x)

fg

x

f(x)

g(f(x))

Page 15: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Komposisi Fungsi (f o g)(x)

fg

x

g(x)

f(g(x))

Page 16: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Komposisi Fungsi (4)

Catatan :Susunan komposisi fungsi tidak komutatif

(g o f)(x) ≠ (f o g)(x)

Page 17: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Contoh

Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 cari :

a. (f + g)(2)

b. (f o g)(√8)

Penyelesaian :

a. (2/ 2-1) + (√1+22) = (2/1) + (√1+4)

= 2 + √5

Page 18: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Contoh (2)

Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 …

b. g(√8) = √1 + (√8)2

= √1+8

= √9

= 3

f(g(x)) = 3/ 3-1

= 3/2

Page 19: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri

Gambar segitiga Sin θ = hdp / mrg

Cos θ = dkt / mrg

Tan θ = hdp / dkt

θ

dekatan

miring

hadapan

Page 20: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus

sin2t + cos2t = 1

T Sin t Cos t

0 0 1

π/6 ½ √3/2

π/4 √2/2 √2/2

π/3 √3/2 ½

π/2 1 0

2 π/3 √3/2 -½

3 π/4 √2/2 -√2/2

5 π/6 ½ -√3/2

π 0 -1

Page 21: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Grafik sinus dan kosinus

Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1.

Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2π.

Grafik y = sin t simetri thd titik asal dan y = cos t thd sumbu y.

Grafik y = sin t sama spt y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan.

Page 22: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Fungsi trigonometri yg lainnya

Tan t = sin t / cos t Cot t = cos t / sin t Sec t = 1 / cos t Csc t = 1 / sin t

Page 23: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri (2)

Kesamaan Ganjil Genap

sin (-x) = - sin x

cos (-x) = cos x

tan (-x) = - tan x

Kesamaan ko fungsi

xx

xx

xx

cot2

tan

sin2

cos

cos2

sin

Page 24: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri (3)

Kesamaan Phytagoras

sin2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cot2x = csc2x

Kesamaan Penambahan

sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

Page 25: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri (4)

Kesamaan sudut ganda

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x

= 2 cos2x – 1

= 1 – 2 sin2x

Kesamaan setengah sudut

2

2cos1cos

2

2cos1sin

2

2

xx

xx

Page 26: Bil Riil n Fungsi Grafik2

C. Fungsi Trigonometri (5) Kesamaan Jumlah

Kesamaan Hasil kali

2cos

2cos2coscos

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

)sin()sin(2

1cossin

)cos()cos(2

1coscos

)cos()cos(2

1sinsin

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Page 27: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Hubungan dgn Trigonometri sudut

Sudut diukur dalam derajat atau dalam radian 180o = π rad ≈ 3,1415927 rad Hubungan antara panjar busur s dari

potongan busur sebuah lingkaran radius r dengan sudut pusat tradian

S = r . T Sin θ = sin t Cos θ = cos t

Page 28: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Contoh soal

Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil!

Peny. :

tan (-t) = sin (-t)/ cos (-t)

= - sin t / cos t

= - tan t

Page 29: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Contoh (2)

Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai radius 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran!

peny :

100 putaran = 100.(2π) radian

s = (30)(100)(2π)

= 6000π ≈ 18849,6 cm

Page 30: Bil Riil n Fungsi Grafik2

Daftar Pustaka

Kalkulus dan Geometri Analitis, Edwin J. Purcell, Penerbit Erlangga, 1995