BAB I

BAB IVSistem Bilangan Real

Bilangan RiilBilangan Riil dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik dalam dalam sebuah garis mendatar atau selanjutnya kita sebut sebagai garis bilangan. Pada garis bilangan letak kumpulan titik-titik bilangan itu mengukur jarak ke kanan atau kiri dari suatu titik tetap/titik asal yang diberi label O. Tiap bilangan hanya mempunyai satu titik dalam sebuah garis bilangan yang kita sebut sebagai koordinat titik tersebut (lihat Gambar 1).

Kita sudah mengenal macam-macam bilangan yang membentuk sistem bilangan Riil, kita awali dengan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu sistem bilangan asli (natural numbers) yang sering dilambangkan dengan (, bilangan itu:

1, 2, 3, 4, . . .

dengan bilangan ini kita dapat menghitung jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan pada jam-jam tertentu, jumlah karyawan pada suatu perusahaan konveksi dan lain-lain. Bilangan bulat (integers) sering dilambangkan dengan ( (berasal dari bahasa Jerman, Zahlen), terdiri dari bilangan asli bersama dengan negatifnya dan angka 0:

. . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

Ternyata bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup ketika kita harus mengukur berat, panjang dan yang lainnya. Kita dapat membuat suatu bilangan rasional (rational numbers) sering dilambangkan dengan (; yang merupakan hasil bagi antara dua bilangan bulat, sehingga kalau r melambangkan bilangan rasional maka:

, dimana a, b bilangan bulat dan b 0

Contoh bilangan rasional adalah:

1/2

-3/2

0,13 = 13/100

2 = 6/3

Semua bilangan-bilangan yang disebutkan di atas berpangkat satu, tetapi sebenarnya kita dapat membuat variasi pangkat dari bilangan-bilangan tersebut misalnya , disamping itu ada bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, misalkan (, e dan yang lainnya. Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b disebut bilangan tak rasional/irasional (irrational numbers). Sekumpulan bilangan rasional dan tak rasional kita sebut sebagai bilangan riil (real numbers) dan sering kita lambangkan dengan (. Bilangan masih dapat kita perluas lagi menjadi bilangan kompleks, hampir semua mahasiswa mengenal bentuk bilangan . Akhirnya kita dapat mengikhtisarkan sistem bilagan dalam gambari di bawah ini.

Gambar 2 Sistem Bilangan

Untuk selanjutnya dalam buku ini kalau disebutkan bilangan, maka yang dimaksud adalah bilangan riil kecuali kalau disebutkan secara khusus.

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil

Kombinasi dari bilangan riil x dan y. Kita dapat menambahkan atau mengkalikan bilangan-bilangan tersebut untuk mendapatkan suatu bilangan baru. Operasi penambahan diberi lambang + sehingga penambahan y dari x ditulis x + y, sedangkan operasi kali diberi lambang atau untuk memudahkan diberi lambang titik ., sehingga perkalian y terhadap x ditulis sebagai x x y atau x.y (atau cukup ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan riil dapat dilihat pada tabel di bawah ini.Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil

SifatContohDeskripsi

a. Sifat Komutatif

a + b = b + a 5 + 4 = 4 + 5Urutan pada operasi penjumlahan dua bilangan tidak berpengaruh

ab = ba7 8 = 8 7Urutan pada operasi perkalian dua bilangan tidak berpengaruh

b. Sifat Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c )(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Pada saat menjumlahkan tiga bilangan, kita dapt menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu

(ab)c = a(bc)(5 3) 8 = 5 (3 8)Pada saat mengkalikan tiga bilangan, kita dapt mengkalikan dua bilangan terlebih dahulu

c. Sifat Distributif

a(b + c) = ab + ac4(3 + 5) = 4 3 + 4 5Pada saat kita mengkalikan suatu bilangan dengan jumlah dari dua bilangan hasilnya akan sama dengan mengkalikan bilangan itu dengan masing-masing masing-masing bilangan tersebut dan kemudian menjumlahkannya

(b + c)a = ab + ac(4 + 7)5 = 5 4 + 5 7

Mungkin secara intuitif kita percaya persamaan di atas benar adanya, tapi akan lebih baik kita tidak percaya sebelum mencoba membuktikannya, misalkan kita ambil sifat asosiatif dari penjumlahan seperti terlihat dari contoh dalam tabel di atas.

(2 + 3) + 5 = 5 + 5 =10 dan 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

sifat distributif dapat diterapkan ketika kita mengkalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah dari bilangan. Hal ini dapat dilihat dari ilustrasi di bawah ini:

Sifat Bilangan Negatif

Angka nol mempunyai sifat khusus dalam penjumlahan, sering disebut identitas penjumlahan (additive identity), karena a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap bilangan riil a mempunyai negatif (ditulis a), sedemikian sehingga a + (-a) = 0, pengurangan adalah operasi penjumlahan dengan negatif. Sehingga operasi pengurangan bilangan dapat kita tuliskan sebagai berikut:

a b = a + (-b)

Kombinasi dari bilangan riil bersama dengan negatifnya, mempunyai sifat sebagaimana terlihat pada tabel di bawah ini:

Sifat Bilangan Negatif

SifatContoh

1. (-1)a = -a(-1)7 = -7

2. (-a) = a-(-8) = 8

3. (-a)b = a(-b) = -(ab)(-3)8 = 3(-8) = - (3 8)

4 (-a)(-b) = ab(-6)(-4) = 6 4

5 (a + b) = a b -(8 + 9) = -8 9

6 (a b) = a + b-(7 5) = -7 + 5

Berdasarkan sifat nomot 6, secara intuisi kita bisa mengambil kesimpulan bahwa antara a b dengan b a adalah saling negatif satu sama lainnya. Sedangkan sifat 5 dapat diperumum menjadi:

(a + b + c) = a b c Angka 1 sangat spesial pada operasi perkalian, sering disebut identitas perkalian (multiplicative identity) karena a.1 = 1. a = a untuk setiap bilangan riil a. Setiap bilangan tak nol a mempunyai balikan/invers 1/a, sehingga a.(1/a) = 1. pembagian adalah perkalian dengan balikan bilangan. Jika b 0, maka:

a ( b = a .

kita tulis a.(1/b) sebagai a/b. Berikutnya sifat-sifat dari operasi bagi bilangan riil.Sifat-Sifat Pembagian

SifatContohDeskripsi

Operasi kali antar dua pembagian sama dengan perkalian antar pembilang dibagi dengan perkalian antar penyebut

Operasi bagi antar dua pembagian sama dengan membalik pembagi kemudian mengkalikan

Penjumlahan dua pembagian yang mempunyai penyebut sama adalah dengan menjumlahkan pembilangnya

Untuk menjumlahkan dua pembagian yang mempunyai penyebut yang berbeda sama dengan membuat penyebut persekutuan. Kemudian jumlahkan kedua pembilangnya

Bilangan dapat dicoret jika pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan

Jika

maka

juga

Perkalian silang

Pangkat Bilangan Bulat

Sebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 3 3 = 33.

Notasi pangkat

Jika a suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:

Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen

Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan menjumlahkan eksponennya:

42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4atau dapat kita nyatakan sebagai

55 . 52 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5).(5 . 5) = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5)

= 57 = 55 + 2 = 78125dapat disimpulkan bahwa:

, dimana m dan n bilangan bulat positif. Hal itu akan berlaku untuk m dan n nol dan negatif seperti terlihat di bawah

30 x 33 = 30+3 = 33Hal ini dapat dilakukan karena 30 = 1, demikian juga untuk:

43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2dan ini benar jika 4-2 = 1/42.

Pangkat Nol dan Negatif

Jika a 0 suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka:

dan

Akar

Selama ini pangkat dari suatu bilangan selalu bernilai bulat. Tetapi pangkat dari suatu bilangan tidak selalu bernilai bulat misalkan 22/3, pangkat dari bilangan tersebut merupakan bilangan rasional. Simbul dibaca dengan akar positif dari. Sehingga: setara dengan b2 = a dan b 0

Karena a = b2 0, simbul hanya akan berlaku jika a 0. Misal

karena 32 = 9 dan 3 0.

Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu bilangan lain, yaitu:

Akar Pangkat n

Jika n bilangan bulat positif, akar pangkat n dari bilangan Riil a didefinisikan sebagai

= b setara dengan bn = aJika n genap maka a 0 dan b 0

Maka:

karena 23 = 8

karena (-2)3 = -8

akar tidak lain adalah akar pangkat n dimana n = 2 sehingga cukup ditulis , akan tetapi tidak terdefinisi, karena akar dari setiap bilangan riil adalah nonnegatif.

Pangkat Rasional

Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulatdan n > 0, maka

setara dengan

Jika n genap maka kita mensyaratkan a 0

Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga berlaku untuk pangkat rasional.

Sederhanakan pangkat rasional 641/3!

Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi di atas maka:

Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka kita dapat membuat beberapa aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial, beberapa aturan umum yang dimaksud dapat kita singkat dalam tabel yang ada di bawah ini:

Aturan Pangkat

AturanDeskripsi

Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan menjumlahkan pangkatnya

Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan mengurangkan eksponennya

Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya

Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat tersebut

Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian pembilang dan penyebut dengan pangkat sama

Hasil pangkat negatif dari pembagian sama dengan membalik pembagian dengan pangkat sama

Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai pangkat negatif maka kita dapat membalik posisinya

Sederhanakan persamaan !

Penyelesaian: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas kita dapat menyelesaikan, yaitu

EMBED Equation.3

Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan berikut!

Penyelesaian:

a. =

=

b.

Soal-Soal yang Berkaitan

1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di bawah ini

a. 4 6(8 9) 13

b.

c.

d.

3. Sederhanakan penulisan berikut:

a.

b.

c.

d.

e. (2x + 3)(5x+1)

4. Buktikan ketaksamaan bahwa:

a < b ( < bSifat-sifat Sistem Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komutatif

(i).

2. Sifat asosiatif

3. Sifat distibutif

4. (i).

(ii).

(iii).

5. (i).

(ii).

(iii).

6. (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7. Hukum kanselasi

(i). Jika dan maka .

(ii). Jika maka .

8. Sifat pembagi nol

Jika maka atau .

Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak kosong yang saling asing: (i). Himpunan semua bilangan real positif; (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negative.

Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis jika positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis ) jika . Sebagai contoh, . Mudah ditunjukkan bahwa:

a. Bilangan a positif jika dan hanya jika .

b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika .

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis . Sedangkan dimaksudkan sebagai dan . Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:

1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.

2. Jika maka .

3. a. Jika dan maka .

b. Jika dan maka .

4. a. Jika maka .

b. Jika maka .

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:

6. Jika maka: .

Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.1.3)

((( ((((

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak (7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi 1.1.6 Nilai mutlak , ditulis dengan notasi , didefinisikan sebagai:

.

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

Sebagai contoh, , , , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat 1.1.7 Jika maka:

a.

b.

c.

(Ketaksamaan segitiga)

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Jadi, penyelesaian adalah .

Dengan mengingat Sifat 1.1.7 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 1.1.8 Jika , maka: .

Sebagai contoh,

Secara sama,

Sifat 1.1.9 Jika , maka:

(a). .

(b). .

Contoh 1.1.10 Selesaikan .

Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:

Jadi, penyelesaian adalah .

Contoh 1.1.11 Tentukan semua nilai x sehingga .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .

Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga diperoleh: .

(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .

Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut didefinisikan:

Contoh 1.1.13 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.6 maka diperoleh:

Jadi, penyelesaian adalah .

Soal Latihan

Untuk soal 1 21 tentukan penyelesaiannya.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Untuk soal 22 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22.

23.

24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.

27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .

30. Jika dan , tunjukkan .Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, dinotasikan dengan : ( R , + , x ).

Pada system bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.

Aksioma Lapangan adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian. Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.

Aksioma Urutan adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif, sehingga setiap bilangan real dapat diurutkan dari sampai besar. Dari aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertidaksamaan. Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.

Aksioma Kelengkapan, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas atau dibawah. Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan titik pada garis, dan diantara dua bilangan real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.

Aksioma Lapangan

Pandang () adalah system bilangan real, dan misalkan , maka berlaku sifat-sifat berikut :

1. ( (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan

( (Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)

2.( (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan

( (Sifat komutatif terhadap perkalian)

3.( (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan

( (Sifat assosiatif terhadap perkalian).

4.

(Sifat distributif)

5.( Terdapat unsur , sehingga dan

( Terdapat unsur , sehingga .

Bilangan 0 disebut unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan

Bilangan 1 disebut unsur kesatuan terhadap perkalian

6.( Terdapat unsur invers sehingga dan

( Terdapat unsur invers, sehingga

EMBED Equation.3 .

Bilangan real dinamakan lawan atau negative dari, dan

Bilangan real dinamakan kebalikkan dari .

Aksioma Urutan

Sampai disini kita belum dapat menyatakan apakah suatu bilangan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan lainnya, sebab kita belum mendefenisikan istilah lebih besar atau lebih kecil. Aksioma lapangan yang sudah dibicarakan diatas belum dapat mengurutkan bilangan-bilangan real.

Pada himpunan bilangan real R terdapat suatu himpunan bagian yang unsur-unsurnya dinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma urutan berikut.

(i). Jika bilangan real, maka hanya satu dari pernyataan- pernyataan dibawah ini yang benar positif ; ; positif

(ii). Jumlah dua bilangan positif adalah positif dan hasil kali dua bilangan positif adalah positif.

Sekarang pada himpunan bilangan real, kita defenisikan istilah lebih besar dan lebih kecil dengan menggunakan istilah bilangan positif yang telah dideskripsikan pada aksioma urutan.

Defenisi 1.7 Misalkan dan bilangan real, maka :

a). lebih kecil dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. Positif.

b). lebih besar dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. negatif.

c). Lambang (lebih kecil atau sama dengan) dan (lebih besar atau sama dengan) menyatakan relasi :

jika atau

jika atau

d). Lambang-lambang < , > , dinamakan tanda pertidaksamaan dan pernyataan yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan disebut pertidaksamaan

e). Bilangan real dikatakan negatif bila adalah bilangan positif

Aksioma Kelengkapan

Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas bawah terbesar. Sifat ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah yang membedakan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan real.0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

2

7/2

-3/2

-(

Gambar 1 Garis Bilangan Riil

Bilangan

Riil

Bilangan

Irasional

Bilangan

Rasional

Bilangan

Bulat

Bilangan Bulat Positif/Asli

Nol

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan

Kompleks

Bilangan

Imaginer

Bilangan

Prima

4(3 + 5)

4.3 + 4.5

EMBED Equation.3

(2(1 0 1 2 3

Gambar 1.1.3

7 unit 7 unit

(4 3 10

Gambar 1.1.5

PAGE 5

_1085076379.unknown

_1272590984.unknown

_1282829081.unknown

_1283227329.unknown

_1283227656.unknown

_1284921517.unknown

_1284921683.unknown

_1284921899.unknown

_1284922065.unknown

_1284922366.unknown

_1284922035.unknown

_1284921808.unknown

_1284921573.unknown

_1283227815.unknown

_1283228021.unknown

_1283227743.unknown

_1283227490.unknown

_1283227538.unknown

_1283227393.unknown

_1283226589.unknown

_1283226923.unknown

_1283227060.unknown

_1283226716.unknown

_1282889228.unknown

_1283136307.unknown

_1282829118.unknown

_1282807358.unknown

_1282828231.unknown

_1282828791.unknown

_1282828842.unknown

_1282828915.unknown

_1282828349.unknown

_1282826317.unknown

_1282827811.unknown

_1282808001.unknown

_1272592728.unknown

_1273063480.unknown

_1273064590.unknown

_1282805933.unknown

_1273065698.unknown

_1273064204.unknown

_1272593281.unknown

_1272593421.unknown

_1272591302.unknown

_1272592076.unknown

_1272592425.unknown

_1272592230.unknown

_1272591870.unknown

_1272591133.unknown

_1272548953.unknown

_1272549516.unknown

_1272590376.unknown

_1272590701.unknown

_1272590855.unknown

_1272590644.unknown

_1272589755.unknown

_1272590210.unknown

_1272549615.unknown

_1272549231.unknown

_1272549339.unknown

_1272549455.unknown

_1272549292.unknown

_1272549055.unknown

_1272549109.unknown

_1272549180.unknown

_1272549002.unknown

_1085077692.unknown

_1085161377.unknown

_1085213141.unknown

_1089269816.unknown

_1272548779.unknown

_1272548849.unknown

_1272548731.unknown

_1085213204.unknown

_1085213247.unknown

_1085213481.unknown

_1085213567.unknown

_1085213304.unknown

_1085213227.unknown

_1085213169.unknown

_1085161500.unknown

_1085213047.unknown

_1085213116.unknown

_1085213001.unknown

_1085161439.unknown

_1085161461.unknown

_1085161411.unknown

_1085160795.unknown

_1085161186.unknown

_1085161329.unknown

_1085161348.unknown

_1085161313.unknown

_1085160871.unknown

_1085161174.unknown

_1085160854.unknown

_1085078381.unknown

_1085160664.unknown

_1085160762.unknown

_1085160555.unknown

_1085078343.unknown

_1085078364.unknown

_1085077770.unknown

_1085077144.unknown

_1085077453.unknown

_1085077563.unknown

_1085077628.unknown

_1085077483.unknown

_1085077266.unknown

_1085077311.unknown

_1085077170.unknown

_1085076729.unknown

_1085076956.unknown

_1085077036.unknown

_1085076795.unknown

_1085076586.unknown

_1085076673.unknown

_1085076529.unknown

_961976882.unknown

_962684245.unknown

_963193788.unknown

_963197767.unknown

_980063632.unknown

_980064262.unknown

_983363355.unknown

_980064024.unknown

_963198076.unknown

_963198697.unknown

_963199056.unknown

_963198567.unknown

_963197889.unknown

_963197130.unknown

_963197665.unknown

_963197697.unknown

_963197252.unknown

_963197290.unknown

_963196534.unknown

_963196758.unknown

_963196383.unknown

_963187486.unknown

_963188155.unknown

_963193500.unknown

_963193702.unknown

_963193393.unknown

_963187961.unknown

_963188105.unknown

_963187705.unknown

_963185969.unknown

_963187390.unknown

_963186966.unknown

_963187358.unknown

_962684415.unknown

_963185828.unknown

_962684330.unknown

_961978473.unknown

_962683654.unknown

_962683910.unknown

_962684131.unknown

_962684177.unknown

_962684090.unknown

_962683830.unknown

_962683877.unknown

_962683722.unknown

_961978767.unknown

_962024448.unknown

_962683620.unknown

_962025185.unknown

_962024291.unknown

_961978597.unknown

_961978641.unknown

_961978503.unknown

_961977603.unknown

_961978192.unknown

_961978221.unknown

_961978332.unknown

_961978371.unknown

_961978394.unknown

_961978344.unknown

_961978303.unknown

_961978193.unknown

_961977952.unknown

_961978179.unknown

_961978191.unknown

_961978047.unknown

_961977616.unknown

_961977428.unknown

_961977556.unknown

_961977579.unknown

_961977502.unknown

_961977104.unknown

_961977228.unknown

_961976908.unknown

_945128311.unknown

_945129900.unknown

_961975139.unknown

_961975722.unknown

_961975853.unknown

_961976768.unknown

_961976793.unknown

_961975865.unknown

_961975772.unknown

_961975839.unknown

_961975753.unknown

_961975514.unknown

_961975688.unknown

_961975705.unknown

_961975556.unknown

_961975242.unknown

_961975438.unknown

_961975470.unknown

_961975201.unknown

_961974698.unknown

_961974941.unknown

_961975046.unknown

_961974833.unknown

_945130180.unknown

_961974486.unknown

_961974523.unknown

_945130244.unknown

_945130282.unknown

_961974151.unknown

_945130263.unknown

_945130195.unknown

_945130093.unknown

_945130166.unknown

_945129943.unknown

_945129448.unknown

_945129744.unknown

_945129807.unknown

_945129875.unknown

_945129765.unknown

_945129655.unknown

_945129685.unknown

_945129623.unknown

_945128571.unknown

_945129283.unknown

_945129323.unknown

_945128797.unknown

_945128386.unknown

_945128430.unknown

_945128344.unknown

_945127370.unknown

_945128113.unknown

_945128206.unknown

_945128244.unknown

_945128166.unknown

_945127878.unknown

_945128029.unknown

_945127408.unknown

_945127051.unknown

_945127227.unknown

_945127335.unknown

_945127190.unknown

_945126967.unknown

_945127014.unknown

_945126938.unknown