• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsurdengan kriteria/syarat tertentu.

• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota(elemen) S.

• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

• Jika a merupakan anggota himpunan S, makadituliskan dan dibaca “a elemen S”.

• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan

dan dibaca “a bukan elemen S”.

a S

a S

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat

dinyatakan dengan 2 cara.

• Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagaicontoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

• Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki olehseluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimilikioleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunantersebut.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A

{ bilangan bulat positif kurangdari 10}A x x

• Bilangan asli adalah salah satu sistem bilanganyang paling sederhana, anggota-anggotanyaadalah: 1, 2, 3, 4, ……

Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi

N = ,1, 2, 3, 4, …………-

• Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulatdiberi lambang Z, jadi

Z = ,….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…-

• Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana adan b adalah bilangan bulat dan . Bilangan Rasional diberi lambang : Q

• Contoh

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai:

atau dan sebagainya

a

b

0b

12

2

30

5

• Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanyadesimal berulang

• Contoh

merupakan bilangan rasional3

7

Bukti

Misal x = 0,753753753753….

1000 x = 753,753753753…

1000 x – x = 753

999 x = 753

753

999x (terbukti)

• Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukanrasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapatdinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan badalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh

• = 3,141592653358…….. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)

• e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)

• 2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang

• Bilangan riil adalah gabungan dari himpunanbilangan rasional dan irrasional.

• Himpunan bilangan riil dilambangkan denganR

R

Q

Z

N

Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Bilangan

Asli

• Suatu garis bilangan adalah suatu penyajianbilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6

2 1,4142

2 1,4142 3,14159

2

1100

2,7182e

Gambar : Garis Bilangan

• Interval atau selang adalah suatu himpunanbagian tidak kosong dari himpunan bilanganriil R yang memenuhi suatu ketidaksamaantertentu

• Jika digambarkan pada garis bilangan (garisriil), maka interval akan berupa suatu segmengaris (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.

• Ada dua jenis interval, yaitu interval berhinggadan interval tak berhingga.

Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 |x a x b ,a b a b

2 |x a x b ,a b a b

3 |x a x b ,a b a b

4 |x a x b ,a b a b

Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 |x x a ,a a

2 |x x a [ , )a a

3 |x x b ( , )b b

4 |x x b ( , ]b b

1. 2 4x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

2. 1,5 4,7x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

3. 2x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

4. 3,5x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

5. 2 3 6x atau x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

• Peubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebaranganggota suatu himpunan.

• Jika himpunannya R maka peubahnya disebutpeubah real.

• Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataanmatematis yang memuat satu perubah ataulebih dan salah satu tanda ketidaksamaan

(<, >, , ).

• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memilikiarti mencari seluruh bilangan real yang dapatdicapai oleh peubah-peubah yang ada dalampertidaksamaan tersebut sehinggapertidaksamaan tersebut menjadi benar.

• Himpunan semua bilangan yang demikian inidisebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)

Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan berikut:

A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3

B. 3x - 2 ≤ 4x + 5

C. x2 – 7x + 10 < 0 G.

D. 2x2 + x – 15 0

E. -1 < 3x – 4 < 8 H.

30

2

x

x

34

2

x

x

A. 4x + 2 < 2x +10

4x – 2x < 10 – 2

2x < 8

x < 4

Hp = { x | x < 4 }

Hp = (-∞, 4)

B. 3x - 2 ≤ 4x + 5

3x – 4x ≤ 5 + 2

-x ≤ 7

x ≥ -7

Hp = { x | x ≥ -7 }

Hp = [-7, ∞)

4 -7

C. x2 – 7x + 10 < 0 (x – 2)(x – 5) < 0

• Tentukan pembuat nol ruas kiri

x = 2 atau x = 5

• Gambarkan pada garis bilangan, sehinggaterbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 <x < 5, dan x > 5)

2 5

• Tentukan tanda pada masing – masing interval (selang) dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6.

x = 0 (x – 2)(x – 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)

Maka pada selang x <2 beri tanda (+)

x = 3 (x – 2)(x – 5) = (1)(-2) = -2 < 0 (negatif)

Maka pada selang 2 < x < 5 beri tanda (-)

x = 6 (x – 2)(x – 5) = (4) (1) = 4 > 0 (positif)Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)

2 5

(+) (-) (+)

• Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaanyaitu < 0, atau negatif (-)

• Jadi himpunan penyelesaiannya adalahinterval yang bertanda (-) [negatif] yaitu

• HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)

2 5

D. 2x2 + x – 15 0 (2x – 5)(x + 3) 0

Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2

• HP = {x| x -3 atau x 5/2}

= (-∞, -3] U [5/2, ∞)

-3 5/2

(+) (-) (+)

E. -1 < 3x – 4 < 8

-1 + 4 < 3x < 8 + 4

3 < 3x < 12

1 < x < 4

Hp = {x | 1 < x < 4}

= (1,4)

F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3

(1) - 2x + 3 ≤ x – 6

- 2x – x ≤ - 6 – 3

-3x ≤ -9

-x ≤ 3

x ≥ -3

Hp1 = ,x | x ≥ -3}

= *3, ∞) 1 4

-3

(2) x – 6 ≤ 3

x ≤ 3 + 6

x ≤ 9

Hp2 = ,x | x ≤ 9-

= (-∞, 9+

Hp = Hp1 Hp2

Hp = { x |-3 ≤ x ≤ 9-

9

-3

9

-3 9

G. Penyelesaian

– Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebutruas-ruas kiri

– Uji tanda pada setiap selang

• Pembuat nol pembilang : x = - 3

• Pembuat nol penyebut : x = 2

• HP = {x| x 3 atau x > 2} = (-,3] U (2,)

02

3

x

x

-3

(+) (-) (+)

2

H. Penyelesaian

• Ruas kanan dijadikan nol

34

2

x

x

3 34 4 0

2 2

x x

x x

4 230

2 2

xx

x x

3 4 20

2

x x

x

3 50

2

x

x

• Tentukan pembuat nol dari pembilang danpenyebut ruas ruas kiri

• Pembuat nol pembilang : x = 5/3

• Pembuat nol penyebut : x = 2

• Uji tanda pada setiap selang

• HP: {x|5/3 ≤ x < 2} = [5/3, 2)

5/3

(-)(+)

2

(-)

Definisi

Nilai mutlak Rx , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:

2xx .

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

0,

0,

xx

xx

x

Sebagai contoh, 8)8(8 , 2

5

2

5 , 33 , dst

Jika Ryx , maka:

a. 0x 00 xx

b. . .x y x y 0, yasaly

x

y

x

c. , 0x a a x a a dan atau x a x a x a

d. 2 2x y x y

• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlakdapat dilakukan dengan:

• Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c

a.

b.

• Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d2 2x y x y

, 0x a a x a a

atau x a x a x a

1. | 2x – 3 | < 4 -4 < 2x – 3 < 4

-4 + 3 < 2x < 4 + 3

-1 < 2x < 7

-1/2 < x < 7/2

• HP = { x / -1/2 < x < 7/2 }

= ( - 1/2 , 7/2 )

-1/2 7/2

2. | 5x + 1 | 9 5x + 1 -9 atau 5x + 1 9

5x -10 atau 5x 8

x -2 atau x 8/5

• HP = { x / x -2 atau x 8/5 }

= (- ∞, -2]U[ 8/5, ∞)

-2 8/5

3. |2x – 1| > |x + 4|

(2x – 1)2 > (x + 4)2

4x2 – 4x + 1 > x2 + 8x + 16

(4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0

3x2 – 12x – 15 > 0

(3x + 3)(x – 5 )> 0

Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- ∞, -1) U (5, ∞)

-1

(+)

5

(-)(+)

Cara lain: a2 – b2 = (a + b)(a – b)

(2x – 1)2 > (x + 4)2

(2x – 1)2 - (x + 4)2 > 0

((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0

(3x + 3)(x – 5 )> 0

Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- ∞, -1) U (5, ∞)

-1

(+)

5

(-)(+)

• Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2 2 4 6x

2 1 5 3x

2 10

2

x

x

2 4 6 7 3 6x x x

2 13

2

x

x

2 2 3 0x x 2 3 4 0x x

2 5 3x

25 1

3

x

2 3 6x x