Kalkulus

Himpunan Bilangan RiilHimpunan bilangan riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan riil dibentuk dari himpunan-himpunan berikut:Himpunan bilangan asli, N = {1, 2, 3, ...}Himpunan bilangan bulat, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}Himpunan bilangan rasional, QHimpunan bilangan irasional, QCHubungan antara himpunan-himpunan bilanganR

Q

Z

N3Garis Bilangan RiilSalah satu sifat penting dari himpunan bilangan riil ialah: setiap bilangan riil berkorespondensi satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan yang disebut garis bilangan riil0-112-42-5235Sistem Bilangan RiilHimpunan bilangan riil yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan

Sifat sifat bilangan riil dibagi menjadi :Sifat-sifat aljabarSifat-sifat urutanSifat-sifat kelengkapanSifat AljabarDua bilangan riil dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan nol) untuk memperoleh bilangan riil yang baru.Terdapat bilangan identitas dan invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian (kecuali nol).Komutatif, asosiatif, distributif.Sifat UrutanDefinisi :

Bilangan riil lebih besar dari nol ditulis a > 0, dalam hal ini disebut a positif

Bilangan riil lebih kecil dari ditulis a < b jika b a positif

Sifat UrutanSifat TrikotomiJika a dan b bilangan-bilangan riil, maka memenuhi hanya salah satu dari hubungan berikut:a < b, a = b, a > b

Sifat TransitifJika a, b, dan c bilangan-bilangan riil yang memenuhi a < b dan b < c, maka a < c Sifat UrutanUntuk setiap bilangan-bilangan riil a, b, c, berlaku:a < b a + c < b + ca < b a c < b ca < b, c > 0 ac < bca < b, c < 0 ac > bca > 0 > 0Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, maka a < b

Sifat KelengkapanSifat kelengkapan dari himpunan bilangan riil secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan-bilangan riil untuk mengisi garis bilangan riil secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya.ContohApakah bentuk-bentuk berikut terdefinisi atau tidak? Jelaskan!

0 080 8/00/80/000Interval{ x R | a < x < b } = (a, b){ x R | a x b } = [a, b]{ x R | a x < b } = [a, b){ x R | a < x b } = (a, b]{ x R | x > a } = (a, ){ x R | x a } = [a, ){ x R | x < b } = (-, b){ x R | x b } = (-, b]R = (-, )PertidaksamaanSifat-sifat pertidaksamaan:Sifat-sifat urutanab > 0 a > 0, b > 0 atau a < 0, b < 0ab < 0 a > 0, b < 0 atau a < 0, b > 0a 0, b 0 dan n Na > b a2 > b2 a > b an > bn a > b, c > d a + c > b + da > b > 0, c > d > 0 ac > bd

Menyelesaikan PertidaksamaanMenambahkan setiap ruas dengan bilangan yang samaMengalikan setiap ruas dengan bilangan positifMengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif, namun tanda pertidaksamaannya harus berubah arahKuadratkan tiap ruas, namun kita harus pastikan bahwa nilainya positif semua di setiap ruasnyaFaktorkan dan tentukan titik pemecahnya dan uji beberapa titikContohTentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 7 < 4x 2

Penyelesaian

2x 7 < 4x 2 2x < 4x + 5(menambahkan 7) 2x < 5(menambahkan 4x) x > 5/2 (mengalikan 1/2)

Himpunan penyelesaian = {x R | x > 5/2} = (5/2, )ContohTentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 2x + 6 < 4

Penyelesaian

5 2x + 6 < 4 11 2x < 2(menambahkan 6) 11/2 x < 1 (mengalikan )

Himpunan penyelesaian = {x R | 11/2 x < 1 } = [11/2 , 1)SoalSelesaikan pertidaksamaan berikut:a. x + 5 1 9x b. 2x + 10 > x 5c. x + 7 < 2x 4 < 5d. 2x 4 < 3 + x 1 + x

e.f.

SoalSelesaikan pertidaksamaan berikut:

Nilai MutlakDefinisi

Nilai mutlak dari sebuah bilangan riil x dinotasikan dengan |x| dan didefinisikan dengan

Makna GeometrisSecara sederhana, makna dari |x| adalah jarak antara titik x dengan titik 0.

Secara umum, makna dari |x y| adalah jarak antara titik x dengan titik y.Bentuk Lain dari Nilai MutlakSelain dari definisi di atas, nilai mutlak mempunyai bentuk lain:

Sifat-sifat Nilai Mutlak|ab| = |a||b|

|a/b| = |a| / |b|

|a + b| |a| + |b|

|a b| ||a| |b||Persamaan Nilai MutlakMasalah umum:

Tentukan solusi dari|ax + b| = k ; k 0

Penyelesaian:

|ax + b| = k ax + b = k atau ax + b = kContohSelesaikan persamaan berikut:

a. |2x 5| = 7b. |3 x| = 1c. |9 x| = 4 d. |2x 1| = |2 3x|e. |5x + 1| = 2x 2 24SoalSelesaikan persamaan berikut:

a. |2x + 5| = |7 + 9x|b. |5x + 10| = |3x + 6|c. |x 7| + |2x 4| = 5d. |2x + 4| |3 x| = 1e. |x| + |x 2| + |x 4| = 6f. |x 3| + |x + 5| = 8g. |x + 3| |2x 5| = 5

25Pertidaksamaan nilai mutlakDasar dari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah:a. Jika a > 0, maka |x| < a a < x < a

b. Jika a > 0, maka |x| > a x < a atau x > a

26SoalSelesaikan pertidaksamaan berikut:

a. |3 2x| < 4b. | x + 6| 9c. 2 < |2 x| 3d. 1 < |4 5x| < 10e. |x2 1| < 3f. |x| < 3x 2 < 6 27SoalSelesaikan pertidaksamaan berikut:

a. |x + 5| |1 9x|b. |2x + 10| > |x 5|c. |x + 7| + |2x + 4| 5d. |2x 4| |3 + x| < 1e. 4 < |x + 2| + |x 1| < 5f. |x| |x 2| |x 4| 6

28Soal TambahanSelesaikan pertidaksamaan berikut:

29Bilangan RasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n 0.Contoh: , 79, -6/7

Dalam bentuk desimal, bilangan rasional mempunyai pola yang berulang secara teratur.

30