1.sistem bilangan riil-stt telkom

8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom

1/12

Sistem Bilangan Riil

MA 1114 Kalkulus 1 2

Pendahuluan

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan

riil dan sifat-sifatnya.

Sistem bilangan riil adalah himpunan

bilangan riil yang disertai operasi

penjumlahan dan perkalian sehingga

memenuhi aksioma tertentu.


Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai

berikut :


2/12


Pendahuluan

Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan

yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan

negatifnya dan nol. [ Purcell]

Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang

dapat dituliskan dalam bentuk

Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur

semua panjang ? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang

yunani kuno beberapa abad sebelum masehi.

m,n bilangan bulat, dengan n ≠ 0.n

m


Pendahuluan

Kita lihat sebuah segitiga siku-siku :

2 1

1

merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi

bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil

bagi 2 bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah

bialngan irrasional.

2


Pendahuluan

Contoh bilangan irrasional yang lain adalah , ,3 5 π

dan lain-lain.

Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada

suatu garis bilangan.

Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan

interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang

memenuhi pertidaksamaan tertentu.

Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai

berikut :


3/12


Pendahuluan

Definisi Notasi

{ }a x x < ( )a,∞−

{ }a x x ≤ ( ]a,∞−

{ }b xa x ( )∞,b{ }b x x ≥ [ )∞,b{ }ℜ∈ x x ( )∞∞,


Pendahuluan

• Sifat-sifat urutan :

Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku

salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,

sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz


Pertidaksamaan

Pertidaksamaan satu variabel adalahsuatu bentuk aljabar dengan satu variabelyang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah sukubanyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

( )( )

( )( ) x E x D

x B

x A


4/12


Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan

adalah mencari semua himpunanbilangan riil yang membuat

pertidaksamaan berlaku.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0

)(

)(<

xQ

xP


Pertidaksamaan

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan

Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk

pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan

penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan

menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada

garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)

pertidaksamaan di setiap selang bagian yang

muncul


Contoh : Menentukan Himpunan

Penyelesaian

53213 ≥−≥ x

352313 +≥≥+⇔ x

8216 ≥≥⇔ x48 ≥≥⇔ x

84 ≤≤⇔ x

[ ]8,4Hp =4 8

1


5/12



Penyelesaian

8462 ≤−


6/12



Penyelesaian

Hp = [ )∞∩⎥⎦

⎤⎜

⎝

⎛ ∞− ,0

9

10,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9

10,0



Penyelesaian

13

2

1

1

−<

+ x x

013

2

1

1<

−−

+⇔

x x

( ) ( )( )( )

0131

2213<

−++−−

⇔ x x

x x

5.

( )( ) 0

131

2213<

−+−−−

⇔ x x

x x

TP : -1, 3

1

− , 3

3

++ ++--

-1

--

31−

Hp = ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∪−∞− 3,3

11,



Penyelesaian

x

x

x

x

+≤

−+

32

1

032

1

≤+−−

+

⇔ x

x

x

x

( )( ) ( )( )( )

032

231≤

+−−−++

⇔ x x

x x x x

( )( ) 0

32

322 2≤

+−++

⇔ x x

x x

6.


7/12



Penyelesaian

Untuk pembilang 322 2 ++ x x mempunyai nilai

Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalupositif, Jadi TP : 2,-3

Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2

-- ++ --

( ) ( )∞∪−∞ ,23,Hp =


Pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutlak x (| x|) didefinisikan sebagai

jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,

sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

⎩⎨⎧


8/12



Penyelesaian

41


9/12



Penyelesaian

Hp = ( ]1,,3

4−∞−∩⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡ ∞−

Jika digambar pada garis bilangan :

-13

4−

++--++



Penyelesaian

272

≥+ x

272

≥+⇔ x

272

−≤+ x

52

−≥⇔ x

92

−≤ x

10−≥⇔ x 18−≤ x

[ ) ( ]18,,10 −∞−∪∞−

4.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10



Penyelesaian

⎩⎨

⎧


10/12



Penyelesaian

1−


11/12



Penyelesaian

21


12/12


Hp = 3Hp2Hp1Hp ∪∪

( ) ⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡ ∞∪⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∪−∞−= ,2

5

4

7,11,Hp

Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval

digambarkan dalam sebuah garis bilangan


Penyelesaian



Penyelesaian

Jadi Hp = ⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡ ∞∪⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞− ,2

5

4

7,

47

25-1

47 2

5-1

47

25-1


Soal Latihan

5432 +≥+ x x

22212

≥+++ x x

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 ≤−+− x x

1

2

3

x x

x−≥

−+

124

2

4

3

122 +

+

≤

− x

x

x

x

5

23 ≤+ x x6

1.sistem bilangan riil-stt telkom

Documents