II. SISTEM BILANGAN RIIL

Handout Analisis Riil I (PAM 351)

Bilangan Riil

Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil

Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil denganterlebih dahulu memberikan sifat-sifat dasar penjumlahan danperkalian.

(a, b) ∈ F × F dengan elemen tunggal B(a, b) dalam F . Kita akanmenggunakan notasi konvensional a + b dan a · b (atau ab) sebagaipengganti notasi B(a, b) ketika membicarakan sifat-sifat penjumlahandan perkalian.

Yang dimaksud dengan operasi biner pada himpunan F , adalah suatufungsi B dengan domain F × F dan range di dalam F . Sehingga,suatu operasi biner mengaitkan setiap pasangan terurut

Bilangan Riil

Sifat-sifat aljabar dari R (Aksioma Lapangan)Ada dua operasi biner pada himpunan bilangan riil R, yangdinyatakan dengan + (disebut penjumlahan) dan • (disebutperkalian), yang memenuhi sifat-sifat berikut:

A1. a + b = b + a, ∀a, b ∈ R (komutatif penjumlahan)A2. (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R (asosiatif penjumlahan)A3. ∃ 0 ∈ R 3 0 + a = a + 0 = a, ∀a ∈ R (eksistensi elemen 0)A4. ∀a ∈ R ∃ (−a) ∈ R 3 a + (−a) = (−a) + a = 0

(eksistensi elemen negatif)M1. a · b = b · a, ∀a, b ∈ R (komutatif perkalian)M2. (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ R (asosiatif perkalian)M3. ∃1 ∈ R dengan 1 6= 0 3 1 · a = a dan a · 1 = a, ∀a ∈ R

(eksistensi elemen unit)M4. ∀a ∈ R, a 6= 0,∃ (1/a) ∈ R 3 a · (1/a) = 1 dan (1/a) · a = 1D. a · (b + c) = (a · b) + (a · c) dan (b + c) · a = (b · a) + (c · a),

∀a, b, c ∈ R (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

Bilangan Riil

Teorema berikut menegaskan ketunggalan dari elemen 0 dan 1.

Teorema (1)

1 Jika z, a ∈ R sedemikian sehingga z + a = a, maka z = 0.

2 Jika u, b ∈ R, dengan b 6= 0 sedemikian sehingga u · b = b, maka u = 1.

Bukti.(1). z + a = a ⇒ (z + a) + (−a) = a + (−a)

(penjumlahan kedua sisi dengan (−a),eksistensinya dijamin oleh(A4))

⇔ z + (a + (−a)) = a + (−a) (sifat A2)⇔ z + 0 = 0 (sifat A4)⇔ z = 0 (sifat A3)

(2). Buktikan pernyataan (b)!. �

Bilangan Riil

Teorema berikut menegaskan ketunggalan dari elemen −a dan 1a (bila

a 6= 0) untuk suatu elemen a ∈ R.

Teorema (2)

1 Jika a, b ∈ R sedemikian sehingga a + b = 0, maka b = −a.

2 Jika a, b ∈ R, dengan a 6= 0 sedemikian sehingga a · b = 1, maka b =1a.

Bukti.(1). a + b = 0 ⇒ (−a) + (a + b) = (−a) + 0,

(tambahkan kedua sisi dengan (-a))⇒ ((−a) + a) + b = −a

(gunakan (A2) pada ruas kiridan (A3) pada ruas kanan)

⇒ b = −a(gunakan (A4) dan (A3) pada ruas kiri)

.

(2). Buktikan ! �

Bilangan Riil

Perhatikan bahwa pernyataan (A4) dan (M4) menjamin kemungkinanuntuk menyelesaikan persamaan

a + x = 0 dan a · x = 1 (bila a 6= 0)

untuk x, dan teorema 3 berakibat bahwa solusinya tunggal.

Teorema (3)

Jika a, b ∈ R, maka:

1 persamaan a + x = b mempunyai solusi tunggal x = (−a) + b

2 jika a 6= 0, persamaan a · x = b mempunyai solusi tunggal x = ( 1a ) · b.

Bukti(1). a + x = b ⇒ (−a) + (a + x) = (−a) + b

(menambahkan kedua sisi dengan (−a))⇒ ((−a) + (a)) + x = (−a) + b, (sifat A2)⇒ 0 + x = (−a) + b, (sifat A4)⇒ x = (−a) + b, (sifat A3)

Bilangan Riil

Untuk menunjukkan ketunggalan, anggaplah bahwa x1 adalah sebarangsolusi dari persamaan a + x = b, maka a + x1 = b. Tambahkan ke dua sisidengan (−a) maka diperoleh

(−a) + (a + x1) = (−a) + b.

Berdasarkan (A4) diperoleh x1 = (−a) + b. Sehingga disimpulkan bahwax = x1 yang menunjukkan ketunggalan solusi.(2). Buktikan !. �

Teorema (4)

Jika a, b ∈ R, maka

1 a · 0 = 02 −a = (−1) · a3 −(a + b) = (−a) + (−b)4 −(−a) = a

5 (−1) · (−1) = 1.

Bilangan Riil

Bukti.Dari (M3) diketahui bahwa a · 1 = a. Selanjutnya

a + a.0 = a · 1 + a.0= a(1 + 0)= a.1= a

Sehingga, dengan menggunakan teorema 1.(1) disimpulkan bahwa

a · 0 = 0.

Buktikan bagian (2), (3), (4) dan (5) ! �

Bilangan Riil

Teorema (5)

1 Jika a ∈ R dan a 6= 0, maka1a6= 0 dan

1(1/a)

= a

2 Jika a, b ∈ R dan .a · b = 0, maka a = 0 atau b = 0.

3 Jika a, b ∈ R, maka (−a).(−b) = a.b

4 Jika a ∈ R dan a 6= 0, maka1

−(a)= −

(1a

).

Bukti.

Misalkan a 6= 0, maka1a

ada (berdasarkan sifat (M4)). Jika1a

= 0

maka 1 = a.(1a) = a.0 = 0, yang berlawanan dengan (M3). Jadi

mestilah1a6= 0. Karena (

1a).a = 1, maka teorema 2(2)

mengakibatkan bahwa a =1

(1/a).

Buktikan bagian (2), (3) dan (4). �

Bilangan Riil

Bilangan Rasional dan Irrasional

Mulai sekarang, notasi · (dot) untuk menyatakan perkalian tidak akandigunakan lagi, tetapi hanya akan ditulis ab sebagai pengganti a · b.Akan digunakan juga notasi

a2 ≡ aa, a3 ≡ aaa ≡ (a2)a;

dan secara umum didefinisikan

an+1 = (an)a untuk n ∈ N.

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat dibuktikan pulabahwa jika m,n ∈ N, maka

am+n = aman, ∀ a ∈ R. (*)

Selain itu, secara umum (−a) + b = b + (−a) akan ditulis sebagai

b− a, dan jika a 6= 0 penulisan

(1a

).b = b.

(1a

)akan diganti

dengan b/a ataub

a.

Bilangan Riil

Selanjutnya1a

juga akan ditulis sebagai a−1 dan1an

akan ditulis

sebagai a−n.

Dapat ditunjukkan bahwa formula (*) diatas berlaku asalkandigunakan konvensi bahwa a0 = 1 dan a1 = a.

Kita menganggap himpunan bilangan asli sebagai subset dari R,dengan mengidentifikasi bilangan asli n ∈ N sebagai penjumlahan darin elemen satuan 1 ∈ R.

Dengan cara yang sama, kita identifikasi 0 ∈ Z sebagai elemen 0 ∈ R,dan mengidentifikasi n penjumlahan dari −1 sebagai bilangan bulat−n.

Akibatnya, kita dapat menganggap N dan Z sebagai subset dari R.

Elemen-elemen R yang dapat ditulis dalam bentukb

adimana a, b ∈ Z

dan a 6= 0 disebut bilangan rasional, dan dinyatakan dengan notasistandar Q.

Bilangan Riil

Jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional adalah suatu bilanganrasional (buktikan !).

Selain itu sifat-sifat lapangan yang ditunjukkan pada permulaanbagian ini juga berlaku untuk Q.

Perlu diperhatikan bahwa ada elemen-elemen R yang tidak berada didalam Q.

Semua elemen-elemen R yang tidak rasional disebut bilanganirrasional.

16 abad sebelum masehi, perhimpunan Yunani kuno yang dikenalsebagai Pythagorean, menemukan bahwa diagonal dari suatubujursangkar dengan panjang sisi 1 satuan tidak dapat dinyatakansebagai rasio dari bilangan bulat.

Dengan memperhatikan teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku,mengakibatkan bahwa kwadrat dari bilangan tidak rasional bisabernilai 2.

Bilangan Riil

Penemuan ini besar pengaruhnya terhadap perkembangan matematikaYunani.

Salah satu akibatnya adalah elemen-elemen dari R yang tidak didalam Q dikenal sebagai bilangan Irrasional, yang berarti bahwabilangan irrasional bukan merupakan rasio dari bilangan bulat.

Teorema (6)

Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r2 = 2.

Bukti.Andaikan bahwa p, q ∈ Z sedemikian sehingga(

p

q

)2

= 2.

Tanpa mengurangi keumuman, anggaplah bahwa p dan q positif dantidak mempunyai faktor persekutuan selain 1.

Bilangan Riil

Karena p2 = 2q2 maka p2 adalah genap. Akibatnya p juga genap(karena jika p = 2n + 1 ganjil maka kwadratnyap2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 juga ganjil).Oleh karena itu

p = 2m untuk suatu m ∈ N ⇒ 4m2 = 2q2

⇒ 2m2 = q2

⇒ q2 genap⇒ q genap

Oleh karena itu p dan q habis dibagi oleh 2 yang kontradiksi denganhipotesis bahwa p dan q tidak mempunyai faktor persekutuan selain1. �

Bilangan Riil

Latihan

1 Buktikan bahwa jika a, b ∈ R maka

1 −(a + b) = (−a) + (−b)2 (−a).(−b) = a.b3

1(−a)

= −( 1a) jika a 6= 0

4 −(ab) = (−a)

bjika b 6= 0.

2 Jika a ∈ R memenuhi a.a = a, buktikan bahwa a = 0 atau a = 1.3 Jika a 6= 0 dan b 6= 0, tunjukkan bahwa 1

(ab) = ( 1a ).( 1

b )4 Jika x dan y adalah bilangan bilangan rasional, tunjukkan bahwa x + y

dan xy adalah bilangan rasional.5 Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional s sedemikian sehingga

s2 = 6.

Bilangan Riil

Sifat (Aksioma) Urutan dari RAda suatu P ⊆ R dengan P 6= ∅ yang memenuhisifat berikut:

1 Jika a, b ∈ P ,maka a + b ∈ P2 Jika a, b ∈ P ,maka ab ∈ P3 Jika a ∈ R,maka tepat satu dari pernyataan berikut berlaku:

a ∈ P, a = 0, −a ∈ P.

P disebut himpunan bilangan riil positif (strictly positive).

Sifat (iii) biasanya disebut sifat Trichotomy, karena membagi R atas 3tipe elemen yang berbeda.

Akibatnya himpunan N = {−a : a ∈ P} kadang-kadang disebuthimpunan bilangan riil negatif (strictly negative), yang tidakmempunyai elemen bersekutu (beririsan) dengan P, dan perhatikanbahwa

R = P ∪ {0} ∪N.

Bilangan Riil

Definisi (1)

Jika a ∈ P, maka a dikatakan bilangan riil positif (strictly positive), danditulis a > 0. Jika a ∈ P ∪ {0} , maka a dikatakan bilangan riil nonnegatif, dan ditulis a ≥ 0. Jika −a ∈ P, maka a dikatakan bilangan riilnegatif (strictly negative), dan ditulis a < 0. Jika −a ∈ P ∪ {0} , makadikatakan bilangan riil non positif, dan ditulis a ≤ 0.

Perlu diperhatikan bahwa bilangan 0 adalah positif sekaligus negatif.

Definisi (2)

Misalkan a, b ∈ R.

1 Jika a− b ∈ P, maka ditulis a > b

2 Jika −(a− b) ∈ P, maka ditulis a < b

3 Jika a− b ∈ P ∪ {0} , maka kita tulis a ≥ b.

4 Jika −(a− b) ∈ P ∪ {0} , maka kita tulis a ≤ b.

Bilangan Riil

Notasi, a < b < c bermakna bahwa a < b dan b < c. Dengan carayang sama, jika a ≤ b dan b ≤ c, maka ditulis

a ≤ b ≤ c.

Jika a ≤ b dan b < d, maka ditulis sebagai

a ≤ b < d.

Teorema

Misalkan a, b, c ∈ R.

1 Jika a > b dan b > c, maka a > c

2 Tepat satu pernyataan berikut berlaku:

a > b, a = b, a < b.

3 Jika a ≥ b dan b ≥ a, maka a = b.

Bilangan Riil

Bukti.1 Jika a− b ∈ P dan b− c ∈ P , maka sifat urutan (1) mengakibatkan

bahwa (a− b) + (b− c) = a− c ∈ P . Sehingga, a > c.2 Bedasarkan sifat urutan (3), tepat satu dari yang berikut berlaku:

a− b ∈ P, a− b = 0, b− a = −(a− b) ∈ P

3 Buktikan ! �

Teorema

1 Jika a ∈ R dan a 6= 0, maka a2 > 0

2 1 > 0

3 Jika n ∈ N, maka n > 0.

Bukti.1 Berdasarkan sifat trichotomy, jika a 6= 0 maka a ∈ P atau −a ∈ P.

Jika a ∈ P, maka berdasarkan sifat urutan (ii) diperoleh a2 = a.a ∈ P.Dengan cara yang sama, jika −a ∈ P , maka berdasarkan sifat urutan(ii) diperoleh a2 = (−a)(−a) ∈ P. Sehingga dalam setiap kasusdiperoleh a2 ∈ P, yaitu a2 > 0.

Bilangan Riil

2 Karena 1 = (1)2, maka dari bagian (i) diperoleh 1 > 0.

3 Gunakan induksi matematika. Jelas bahwa pernyataan berlaku untukn = 1 (dari pernyataan (ii)). Anggaplah pernyataan benar untukn = k, maka k ∈ P. Karena 1 ∈ P , sifat urutan (i) berakibat bahwak + 1 ∈ P. Sehingga pernyataan benar untuk semua n ∈ N. �

Teorema

Misalkan a, b, c, d ∈ R.

1 Jika a > b, maka a + c > b + c

2 Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d

3 Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc.

4 Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc

5 Jika a > 0, maka1a

> 0.

6 Jika a < 0, maka 1a < 0.

Bilangan Riil

Bukti.(1). a > b ⇒ a− b > 0 ⇒ a− b ∈ P

⇒ (a + c)− (b + c) = a− b ∈ P⇒ (a + c)− (b + c) > 0⇒ (a + c) > (b + c)

(2).a > b ⇒ a− b > 0 ⇒ a− b ∈ Pc > d ⇒ c− d > 0 ⇒ c− d ∈ P

}⇒ (a− b) + (c− d) ∈ P

⇒ (a + c)− (b + d) ∈ P⇒ (a + c)− (b + d) > 0⇒ (a + c) > (b + d)

(3). a > 0 ⇒ a 6= 0 (sifat urutan (3))⇒ 1

a ada (sifat aljabar M4)

1a = 0 ⇒ 1 = a

(1a

)= 0 (kontradiksi)

1a < 0 ⇒ 1 = a

(1a

)< 0

berdasarkan teorema 9(d) (kontradiksi)Buktikan yang lainnya ! �

Bilangan Riil

Teorema

Jika a, b ∈ R dan jika a < b, maka a < 12(a + b) < b.

Akibat

Jika b ∈ R dan b > 0, maka 0 < 12b < b.

Buktikan keduanya!Dua teorema berikut merupakan alat untuk membuktikan beberapateorema lainnya.

Teorema

Jika a ∈ R sedemikian sehingga 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0, makaa = 0.

Bukti.Andaikan bahwa a > 0. Maka berdasarkan akibat di atas, berlaku0 < 1

2a < a. Jika diambil ε0 = 12a, maka kita peroleh 0 < ε0 < a.

Oleh karena itu pernyataan a < ε untuk setiap ε > 0 adalah salah.Jadi kita simpulkan a = 0. �

Bilangan Riil

Teorema

Misalkan a, b ∈ R dan anggaplah bahwa a− ε < b untuk setiap ε > 0,maka a ≤ b.

Bukti. Anggaplah a > b. Maka untuk ε0 =12(a− b) berlaku

a− ε0 = a− 12(a− b) =

12(a + b)

>12(b + b) = b,

yang merupakan negasi dari hipotesis. �

Teorema

Jika ab > 0, maka

1 a > 0 dan b > 0, atau

2 a < 0 dan b < 0.

Buktikan !

Bilangan Riil

Teorema

Jika ab < 0, maka

1 a < 0 dan b > 0, atau

2 a > 0 dan b < 0.

Buktikan !

Contoh (1)

Tentukan himpunan A ⊆ R sedemikian sehingga 2x + 3 ≤ 6.

Jawab

Perhatikan bahwa

x ∈ A ⇔ 2x + 3 ≤ 6 ⇔ 2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 32.

Jadi, kita mempunyai A ={x ∈ R: x ≤ 3

2

}.

Bilangan Riil

Contoh (2)

Misalkan a ≥ 0 dan b ≥ 0. Tunjukkan bahwa

a < b ⇔ a2 < b2 ⇔√

a <√

b.

Jawab

Akan dibuktikan untuk kasus a > 0 dan b > 0, dan kasus a = 0dibiarkan sebagai latihan.

Anggaplah a > 0 dan b > 0, maka dari sifat urutan (i) kitamempunyai a + b > 0.

Karena b2 − a2 = (b− a)(b + a), maka teorema 9(c) mengakibatkanbahwa: b− a > 0 ⇒ b2 − a2 > 0.

Selain itu, teorema 13 mengakibatkan bahwab2 − a2 > 0 ⇒ b− a > 0.

Bilangan Riil

Jika a > 0 dan b > 0, maka√

a > 0 dan√

b > 0.

Karena a = (√

a)2 dan b = (√

b)2 maka

(√

b)2 − (√

a)2 > 0 ⇒√

b−√

a > 0 ⇒√

a <√

b.

Kita tinggalkan pembuktian bahwa: jika a ≥ 0 dan b ≥ 0, maka

a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2 ⇔√

a ≤√

b

sebagai latihan.

Contoh (3)

Tuliskan himpunan C ={

x ∈ R:(2x + 1)(x + 2)

< 1}

dalam bentuk yang lebih

sederhana.

Jawab

x ∈ C ⇔ (2x + 1)(x + 2)

− 1 < 0 ⇔ (x− 1)(x + 2)

< 0.

Bilangan Riil

Oleh karena itu, diperoleh

1 x− 1 < 0 dan x + 2 > 0, atau2 x− 1 > 0 dan x + 2 < 0.

Dalam kasus (1), diperoleh x < 1 dan x > −2, yang dipenuhi jika danhanya jika −2 < x < 1.

3 Dalam kasus (2) kita haruslah mempunyai x > 1 dan x < −2, yangtidak pernah dipenuhi. Jadi kita menyimpulkan bahwaC = {x ∈ R: − 2 < x < 1} .

Contoh (Ketaksamaan Bernoully)

Jika x > −1, tunjukkan bahwa

(1 + x)n ≥ 1 + nx

untuk semua n ∈ N.

Bilangan Riil

Bukti.

Gunakan induksi matematika untuk pembuktian ini. Untuk n = 1menghasilkan kesamaan, sehingga penegasan benar.Asumsikan ketaksamaan benar untuk integer n = k, yakni

(1 + x)k ≥ 1 + kx, untuk suatu k.

Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1, yakni

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.

Karena 1 + x > 0, maka

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)≥ (1 + kx)(1 + x)= 1 + (k + 1)x + kx2

≥ 1 + (k + 1)x.

Karena pernyataan berlaku untuk n = k + 1, maka dapat disimpulkanbahwa ketaksamaan benar untuk semua n ∈ N.

Bilangan Riil

Latihan

1 Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, buktikan bahwa 0 < ac < bd.2 Jika 0 < a < b dan 0 ≤ c ≤ d, buktikan bahwa 0 ≤ ac ≤ bd.3 Jika a, b ∈ R, tunjukkan bahwa a2 + b2 = 0 ⇔ a = 0 dan b = 0.

4 Tunjukkan bahwa jika 0 < a < b maka a <√

ab < b dan 0 <1b

<1a.

Bilangan Riil

Nilai Mutlak

Sifat Trichotomy menjamin bahwa jika a ∈ R dan a 6= 0, maka hanyaada satu yang positif diantara 2 bilangan a dan −a.

Definisi (3)

Jika a ∈ R, nilai mutlak dari a, ditulis |a| , didefinisikan sebagai berikut:

|a| ={

a, jika a ≥ 0−a, jika a < 0

Sehingga domain dari fungsi nilai mutlak adalah R dan range nyaadalah P ∪ {0} .

Bilangan Riil

Teorema

1 |a| = 0 ⇔ a = 02 |−a| = |a| untuk semua a ∈ R3 |ab| = |a| |b| untuk semua a, b ∈ R4 Jika c ≥ 0, maka |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c

5

Bukti.1 Jika a = 0 maka |a| = 0. Jika a 6= 0 maka −a 6= 0, sehingga |a| 6= 0.

Oleh karena itu, jika |a| = 0, maka a = 0.2 Jika a = 0, maka |0| = 0 = |−0| . Jika a > 0, maka −a < 0 dan

akibatnya|a| = a = −(−a) = |−a| .

Jika a < 0, maka −a > 0 dan akibatnya

|a| = −a = |−a| .

Buktikan (3), (4) dan (5)! �

-|a| ≤ a ≤ |a| untuk semua a ∈ R.

Bilangan Riil

Teorema

Jika a, b ∈ R, maka

||a| − |b|| ≤ |a± b| ≤ |a|+ |b| .

Bukti.

Berdasarkan teorema 15(e) didapat |−a| ≤ a ≤ |a| dan −|b| ≤ ±b ≤ |b| . Dengan menggunakan teorema 9(b) diperoleh:

−(|a|+ |b|) ≤ a± b ≤ |a|+ |b| ,

dan dengan teorema 15(d) diperoleh

|a± b| ≤ |a|+ |b| . (**)

Selanjutnya, karena |a| = |(a− b) + b| ≤ |a− b|+ |b| (kenapa?),maka

|a| − |b| ≤ |a− b| . (#)

Bilangan Riil

Dengan cara yang sama, karena

|b| = |(b− a) + a| ≤ |b− a|+ |a| = |a− b|+ |a| ,

maka|b| − |a| ≤ |a− b| . (##)

Dengan menggabungkan (#) dan (##) diperoleh

||a| − |b|| ≤ |a− b| .

Untuk mendapatkan ketaksamaan dengan tanda positif, ganti bdengan −b. �Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, ketaksamaansegitiga dapat diperluas untuk sejumlah hingga elemen-elemen R.

Akibat

Jika a1, a2, ..., an ∈ R, maka

|a1 + a2 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ · · ·+ |an| .

Bilangan Riil

Garis Riil

Suatu interpretasi geometris dari sistem bilangan riil adalah garis riil.

Dalam interpretasi ini, nilai mutlak |a| dianggap sebagai jarak dari ake asal 0.

Secara umum, jarak antara elemen a dan b di dalam R adalah |a− b| .Dalam diskusi selanjutnya, kita memerlukan bahasa yang lebih tepattentang istilah suatu bilangan riil ”dekat” dengan bilangan riil lain.

Jika a ∈ R, maka perkataan bahwa suatu bilangan riil x dekat ke aberarti bahwa jarak |x− a| ”kecil”.

Ide ini didiskusikan dengan memperkenalkan terminologi lingkungan(neighborhoods) yang kita definisikan berikut ini.”Misalkan a ∈ R dan ε > 0. Maka lingkungan ε dari a, dinyatakandengan Vε(a), adalah himpunan

Vε(a) = {x ∈ R : |x− a| < ε} ”.

Bilangan Riil

Untuk a ∈ R, pernyataan bahwa x ∈ Vε(a) ekivalen denganpernyataan

−ε < x− a < ε ⇔ a− ε < x < a + ε.

Lihat gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1

Teorema

Misalkan a ∈ R. Jika x ∈ Vε(a) untuk setiap ε > 0, maka x = a.

Bukti. Untuk suatu x yang memenuhi |x− a| < ε, maka akibat dariteorema 11 adalah |x− a| = 0, dan sehingga x = a. �

Bilangan Riil

Latihan

1 Jika a, b ∈ R dan b 6= 0, tunjukkan bahwa∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

.

2 Jika a, b ∈ R, tunjukkan bahwa |a + b| = |a|+ |b| jika dan hanya jikaab ≥ 0.

3 Jika x, y, z ∈ R, x ≤ z, tunjukkan bahwa x < y < z jika dan hanya jika

|x− y|+ |y − z| = |x− z| .

4 Dapatkan semua x ∈ R yang memenuhi ketaksamaan

1∣∣x2 − 1

∣∣ ≤ 32 |x− 1| > |x + 1|3 |x|+ |x + 1| < 2.

5 Tunjukkan bahwa jika a, b ∈ R dan a 6= b, maka ada suatulingkungan Uε(a) dan Vε(b) sedemikian sehingga Uε(a) ∩ Vε(b) = ∅

Bilangan Riil

Sifat Kelengkapan Bilangan Riil

Bagian ini akan mendiskusikan sifat-sifat penting bilangan riil R yangsering disebut sebagai sifat Kelengkapan, karena sifat ini menjamineksistensi elemen-elemen R bila hipotesis-hipotesis tertentu dipenuhi.

Sistem bilangan rasional Q memenuhi sifat aljabar dan sifat urutan,tetapi telah diperlihatkan bahwa

√2 tidak dapat dinyatakan sebagai

bilangan rasional, oleh karena itu√

2 /∈ Q.

Observasi ini memperlihatkan bahwa perlunya sifat tambahan untukmengkarakteristikkan bilangan riil.

Sifat tambahan ini, sifat kelengkapan (sifat supremum), adalah suatusifat esensial dari R.

Ada beberapa versi sifat kelengkapan.

Disini, akan diberikan sifat yang paling efisien dengan mengasumsikanbahwa setiap himpunan terbatas tak kosong di R mempunyaisupremum.

Bilangan Riil

Supremum dan Infimum

Sekarang akan diperkenalkan gagasan batas atas dan batas bawah untuksuatu himpunan.

Definisi (4)

Misalkan S ⊆ R.

Suatu bilangan u ∈ R dikatakan batas atas untuk himpunan S jikas ≤ u untuk semua s ∈ S.

Suatu bilangan w ∈ R dikatakan batas bawah untuk himpunan S jikaw ≤ s untuk semua s ∈ S.

Pertanyaan.1 Tuliskan, apa yang dimaksud dengan suatu bilangan bukan batas atas

(batas bawah) dari himpunan S !2 Apakah semua himpunan mempunyai batas atas (bawah) ?3 Apakah ada himpunan yang mempunyai batas atas, tetapi tidak

mempunyai batas bawah (sebaliknya) ?

Bilangan Riil

Perlu dicatat bahwa jika kita menggunakan definisi 4 untuk himpunankosong ∅, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan riil adalahbatas atas untuk ∅.

Agar suatu bilangan u ∈ R bukan batas atas himpunan S, suatuelemen s′ ∈ S harus ada sedemikian sehingga u < s′.Jika S = ∅, maka elemen s′ ini tidak ada, sehingga setiap bilangan riiladalah batas atas dari ∅.Dengan cara yang sama, setiap bilangan riil adalah batas bawah dari ∅.

Kelihatannya, hal ini seperti mengada-ada, tetapi itu merupakankonsekwensi logis dari definisi 4

Suatu himpunan di dalam R dikatakan terbatas di atas jika iamempunyai batas atas.

Jika suatu himpunan dalam R mempunyai batas bawah, maka iadikatakan terbatas di bawah.

Bilangan Riil

Jika suatu himpunan dalam R mempunyai batas atas dan batasbawah maka dikatakan himpunan tersebut terbatas.Suatu himpunan dalam R dikatakan tak terbatas jika ia takmempunyai batas atas atau batas bawah.Umpamanya, himpunan {x ∈ R: x ≤ 2} tak terbatas (meskipun iaterbatas di atas) karena ia tak terbatas di bawah.

Definisi (5)

Misalkan S ⊆ R.

a. Bilangan u ∈ R dikatakan supremum (batas atas terkecil) untukhimpunan S jika:

i. u adalah batas atas Sii. u ≤ s untuk setiap s, dengan s adalah batas atas S.

b. Bilangan w ∈ R dikatakan infimum (batas bawah terbesar) untukhimpunan S jika:

i. w adalah batas bawah S.ii. w ≥ s untuk setiap s, dengan s adalah batas bawah S.

Bilangan Riil

Dengan ungkapan lain, definisi 5(a) dapat juga dinyatakan sebagaiberikut:Suatu bilangan u ∈ R adalah supremum dari S ⊆ R, jika memenuhi 2syarat:

i. s ≤ u ∀ s ∈ Sii. jika v adalah sebarang bilangan sedemikian sehingga s ≤ v ∀ s ∈ S,

maka u ≤ v.

Formulasikan ungkapan yang serupa untuk definisi 5(b).

Untuk suatu S ⊆ R yang mempunyai supremum maka supremumtersebut adalah tunggal.

Andaikan u1 dan u2 adalah supremum S, maka u1 dan u2 adalahbatas atas S.

Karena u1 adalah suremum S dan u2 adalah batas atas S makau1 ≤ u2.

Begitu juga, dengan argumen yang sama didapat u2 ≤ u1.

Akibatnya u1 = u2.

Bilangan Riil

Lema

Misalkan S ⊆ R, S 6= ∅. Suatu bilangan u adalah supremum untukhimpunan S jika dan hanya jika u memenuhi 2 syarat berikut:

i. tidak ada s ∈ S dengan u < s

ii. jika v < u, maka ada suatu sv ∈ S sedemikian sehingga v < sv.

Bukti.

Misalkan u memenuhi syarat i dan ii. Syarat ii mengakibatkan bahwa uadalah batas atas S. Jika v adalah bilangan sebarang dengan v < u,maka sifat ii menunjukkan bahwa v bukan batas atas S. Sehingga uadalah supremum dari S.Sebaliknya, misalkan u adalah supremum dari S, maka u adalah batasatas S. Akibatnya, syarat i berlaku. Jika v < u, maka v bukan batasatas S. Akibatnya ada s0 ∈ S sedemikian sehingga v < s0. �

Bilangan Riil

Soal: Rumuskan suatu lemma yang serupa dengan lemma 1 untukkasus infimum, dan buktikan. !

Bila supremum atau infimum dari suatu himpunan S ada, makasupremum S dinyatakan sebagai

sup S,

dan infimum S dinyatakan sebagai

inf S.

Dapat diperiksa bahwa jika u′ adalah batas atas sebarang dari S,maka sup S ≤ u′, yaitu jika s ≤ u′ untuk semua s ∈ S maka supS ≤ u′.

Ini mengatakan bahwa sup S adalah batas atas terkecil dari S.

Bilangan Riil

Lema

Misalkan S ⊆ R, S 6= ∅. Suatu batas atas u dari S adalah supremum dariS jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada suatu sε ∈ S sedemikiansehingga u− ε < sε.

Bukti.

Anggaplah u adalah batas atas S dan untuk setiap ε > 0 ada suatusε ∈ S sedemikian sehingga u− ε < sε.Akan dibuktikan bahwa supS = u.Jika v < u dan kita ambil ε = u− v, maka ε > 0.Akibatnya ada suatu bilangan sε ∈ S sedemikian sehinggav = u− ε < sε.Oleh karena itu, v bukan batas atas S.Karena v adalah sebarang bilangan yang lebih kecil dari u, kitamenyimpulkan bahwa u = sup S.Sebaliknya, anggaplah bahwa u = sup S dan misalkan ε > 0.Karena u− ε < u, maka u− ε bukan batas atas dari S.Oleh karena itu, suatu elemen sε ∈ S haruslah lebih besar dari u− ε;yaitu u− ε < sε. �

Bilangan Riil

Supremum dari suatu himpunan boleh termuat dalam himpunantersebut dan boleh juga tidak, tergantung dari himpunan yangdiberikan. Demikian juga halnya dengan infimum.

Contoh (4)

Misalkan S ⊆ R. Jika S memuat salah satu batas atasnya, tunjukkanbahwa batas atas tersebut adalah supremumnya.

Bukti. Misalkan u ∈ S adalah suatu batas atas S. Jika v adalahbatas atas lain dari S, maka u ≤ v. Sehingga u = supS. �

Aksioma Kelengkapan dari R1 Setiap himpunan bilangan riil R yang tak kosong dan terbatas di atas

mempunyai supremum dalam R (Sifat Supremum)2 Setiap himpunan bilangan riil R yang tak kosong dan ter-

batas dibawah mempunyai infimum dalam R (SifatInfimum)

Bilangan Riil

Bukti (2).

Ambil himpunan tak kosong sebarang A ⊆ R, dan misalkan Aterbatas di bawah. Akan dibuktikan inf A ada.

Misalkan B = {b ∈ R|b batas bawah A} .

Karena A terbatas di bawah, maka B 6= ∅.

Untuk menunjukkan bahwa A mempunyai infimum, perlu ditunjukkanbahwa B mempunyai elemen terbesar, dengan memperlihatkan bahwaB terbatas di atas dan supB ∈ B.

Misalkan y ∈ A, maka x ≤ y ∀ x ∈ B. Ini menunjukkan bahwa setiapy ∈ A adalah batas atas himpunan B. Karena A 6= ∅, maka Bterbatas di atas. Akibatnya supB ada (berdasarkan sifat supremum).Definisikan α = supB.

Dr. Muhafzan (Dept. of Math. UNAND) 3 SKS JULI 2011 46 / 60

Bilangan Riil

Bukti (2).

Ambil himpunan tak kosong sebarang A ⊆ R, dan misalkan Aterbatas di bawah. Akan dibuktikan inf A ada.

Misalkan B = {b ∈ R|b batas bawah A} .

Karena A terbatas di bawah, maka B 6= ∅.

Untuk menunjukkan bahwa A mempunyai infimum, perlu ditunjukkanbahwa B mempunyai elemen terbesar, dengan memperlihatkan bahwaB terbatas di atas dan supB ∈ B.

Misalkan y ∈ A, maka x ≤ y ∀ x ∈ B. Ini menunjukkan bahwa setiapy ∈ A adalah batas atas himpunan B. Karena A 6= ∅, maka Bterbatas di atas. Akibatnya supB ada (berdasarkan sifat supremum).Definisikan α = supB.

Dr. Muhafzan (Dept. of Math. UNAND) 3 SKS JULI 2011 46 / 60

Bilangan Riil

Bukti (2).

Ambil himpunan tak kosong sebarang A ⊆ R, dan misalkan Aterbatas di bawah. Akan dibuktikan inf A ada.

Misalkan B = {b ∈ R|b batas bawah A} .

Karena A terbatas di bawah, maka B 6= ∅.

Untuk menunjukkan bahwa A mempunyai infimum, perlu ditunjukkanbahwa B mempunyai elemen terbesar, dengan memperlihatkan bahwaB terbatas di atas dan supB ∈ B.

Misalkan y ∈ A, maka x ≤ y ∀ x ∈ B. Ini menunjukkan bahwa setiapy ∈ A adalah batas atas himpunan B. Karena A 6= ∅, maka Bterbatas di atas. Akibatnya supB ada (berdasarkan sifat supremum).Definisikan α = supB.

Dr. Muhafzan (Dept. of Math. UNAND) 3 SKS JULI 2011 46 / 60

Bilangan Riil

Bukti (2).

Ambil himpunan tak kosong sebarang A ⊆ R, dan misalkan Aterbatas di bawah. Akan dibuktikan inf A ada.

Misalkan B = {b ∈ R|b batas bawah A} .

Karena A terbatas di bawah, maka B 6= ∅.

Untuk menunjukkan bahwa A mempunyai infimum, perlu ditunjukkanbahwa B mempunyai elemen terbesar, dengan memperlihatkan bahwaB terbatas di atas dan supB ∈ B.

Misalkan y ∈ A, maka x ≤ y ∀ x ∈ B. Ini menunjukkan bahwa setiapy ∈ A adalah batas atas himpunan B. Karena A 6= ∅, maka Bterbatas di atas. Akibatnya supB ada (berdasarkan sifat supremum).Definisikan α = supB.

Bilangan Riil

Untuk menunjukkan bahwa α ∈ B, perlu ditunjukkan bahwa α adalahbatas bawah himpunan A.

Misalkan y ∈ A sebarang, maka y ∈ A adalah batas atas himpunanB, tetapi α adalah batas atas terkecil himpunan B, yaitu α ≤ y.

Sehingga α adalah batas bawah himpunan A, atau α ∈ B. �

Sifat-sifat ini sering disebut sebagai sifat kelengkapan dari R.

Selanjutnya, karena R memiliki 3 sifat diatas, yakni: sifat lapangan,terurut, dan sifat kelengkapan, maka R disebut lapangan terurutlengkap.

Bilangan Riil

Contoh (5)

Misalkan S1 = {x ∈ R: x ≥ 0}. Tunjukkan bahwa himpunan S1

mempunyai batas bawah, tetapi tidak mempunyai batas atas dan bahwainf S1 = 0.

Bukti.

i. Akan ditunjukkan bahwa himpunan S1 mempunyai batas bawah.Karena x ≥ 0, maka semua y ∈ R dengan y ≤ 0 adalah batas bawahhimpunan S1.

ii. Akan ditunjukkan bahwa himpunan S1 tidak mempunyai batas atas.Andaikan S1 mempunyai batas atas, dan sebutlah u adalah batas atasS1.Maka u ≥ 0. Karena u + 1 > u ≥ 0, maka u bukan batas atas S1.Oleh karena itu S1 tidak mempunyai batas atas.

iii. Akan ditunjukkan bahwa inf S1 = 0.Karena x ≥ 0, maka 0 adalah batas bawah himpunan S1. Jika v > 0,

maka adav

2∈ S1 dengan

v

2< v. Oleh karena itu inf S1 = 0.

Bilangan Riil

Soal 4. Misalkan S2 = {x ∈ R: x > 0}. Apakah S2 mempunyai batas

bawah? Apakah S2 mempunyai batas atas? Apakah inf S2 ada?Buktikan pernyataan anda!

Contoh (6)

Misalkan S3 ={

1n

: n ∈ N}

.

a. Tunjukkan bahwa sup S3 = 1.

b. Tunjukkan bahwa inf S3 = 0.

Bukti.

a. Akan ditunjukkan bahwa sup S3 = 1.

Karena1n≤ 1 untuk semua n ∈ N, maka 1 adalah batas atas S3.

Karena 1 ∈ S3 maka sup S3 = 1 berdasarkan contoh 2.

Bilangan Riil

b. Akan ditunjukkan bahwa inf S3 = 0.

Karena 0 <1n

untuk setiap n ∈ N, maka 0 adalah batas bawah S3.

Misalkan v =1m∈ S3 untuk suatu m ∈ N, maka ada s′ =

12m

∈ S

sedemikian sehingga 0 <1

2m<

1m

. Oleh karena itu inf S3 = 0.

Contoh (7)

Misalkan S adalah himpunan terbatas tak kosong dalam R. Misalkan pulaa > 0 dan definisikan himpunan

aS = {as : s ∈ S} .

Tunjukkan bahwa sup (aS) = a supS.

Bilangan Riil

Bukti. Misalkan u = supS, maka s ≤ u ∀ s ∈ S.

a > 0 ⇒ as ≤ au ∀ s ∈ S ⇒ au adalah batas atas himpunan aS

⇒ sup (aS) ≤ au = a supS (1)

Jika v adalah batas atas sebarang aS, maka as ≤ v ∀ s ∈ S. Karena

a > 0, maka s ≤ v

a∀ s ∈ S. Akibatnya

v

aadalah batas atas

himpunan S. Sehingga

supS ≤ v

a∀ s ∈ S ⇒ a supS ≤ v ∀ s ∈ S (karena a > 0)

⇒ a supS ≤ sup(aS)(karena v adalah batas atas sebarang aS)

(2)Dari (1) dan (2) diperoleh sup (aS) = a supS.

Bilangan Riil

Suatu akibat dari sifat supremum adalah bahwa himpunan bilanganasli N tidak terbatas di atas dalam R.

Artinya, untuk setiap x ∈ R, terdapat bilangan asli nx, dengannx > x.

Bukti pernyataan ini tidak dapat dideduksi dari sifat aljabar dan sifaturutan.

Pembuktiannya haruslah menggunakan sifat supremum.

Teorema (Sifat Archimedean)

Jika x ∈ R, maka terdapat nx ∈ N, dengan nx > x.

Bukti.

Anggaplah kesimpulan bahwa ada nx ∈ N 3 nx > x salah.

Maka x adalah batas atas untuk N.

Oleh karena itu, berdasarkan sifat supremum, maka N mempunyaisupremum u ∈ R.

Bilangan Riil

Karena x adalah suatu batas atas untuk N, maka u ≤ x.

Karena u− 1 < u, maka ada n1 ∈ N 3 u− 1 < n1, (berdasarkanlemma 1).

Akibatnya u < n1 + 1. Tetapi n1 + 1 ∈ N, jadi kontradiksi denganasumsi bahwa u adalah batas atas N. �

Akibat

Misalkan y, z > 0. Maka

i. Ada n ∈ N 3 ny > z

ii. Ada n ∈ N 3 0 <1n

< z

iii. Ada n ∈ N 3 n− 1 ≤ y < n.

Buktikan !

Bilangan Riil

Sifat supremum menjamin eksistensi dari bilangan-bilangan riiltertentu. Salah satunya, berikut ini akan ditunjukkan eksistensibilangan riil positf x sedemikian sehingga x2 = 2.

Teorema (Eksistensi√

2)

Ada suatu bilangan positif x ∈ R sedemikian sehingga x2 = 2.

Bukti.

MisalkanS =

{y ∈ R|0 ≤ y, y2 ≤ 2

}.

S 6= ∅ karena 1 ∈ S.

Akan dibuktikan bahwa himpunan S terbatas diatas oleh 2.

Andaikan 2 bukan batas atas, maka ada s ∈ S sedemikian sehingga2 < s.

Bilangan Riil

Akibatnya 4 < s2 ≤ 2, yang adalah suatu kontradiksi.

Jadi mestilah S terbatas diatas oleh 2.

Berdasarkan sifat supremum, himpunan S mempunyai supremum danmisalkan x = supS. Jelas bahwa x > 0.

Akan dibuktikan bahwa x2 = 2.

Andaikan x2 6= 2. Maka ada 2 kasus, yakni x2 < 2 atau x2 > 2.

Kasus 1: Misalkan x2 < 2.

Akan ditunjukkan bahwa asumsi ini kontradiksi dengan fakta bahwa

x = supS

dengan mendapatkan suatu bilangan n ∈ N sedemikian sehingga

x +1n∈ S,

yang berimplikasi bahwa x bukan batas atas S.

Bilangan Riil

Untuk memilih n, perhatikan analisis berikut ini:

Karena1n2

≤ 1n

, maka(x +

1n

)2

= x2 +2x

n+

1n2

≤ x2 +1n

(2x + 1) .

Sehingga, jika n dapat dipilih sedemikian sehingga

1n

(2x + 1) < 2− x2,

maka akan didapat(x +

1n

)2

< x2 +(2− x2

)= 2

Karena x2 < 2, maka 2− x2 > 0. Sehingga

2− x2

2x + 1> 0.

Bilangan Riil

Berdasarkan sifat Archimedean (corollary 3(ii)), maka ada n ∈ Nsedemikian sehingga

1n

<2− x2

2x + 1Akibatnya(

x +1n

)2

= x2 +2x

n+

1n2

≤ x2 +1n

(2x + 1) < x2 +(2− x2

)= 2,

yang menunjukkan bahwa x +1n∈ S dan kontradiksi dengan

x = supS.Kasus 2: Misalkan x2 > 2.Akan ditunjukkan bahwa asumsi ini kontradiksi dengan fakta bahwax = supS dengan mendapatkan suatu bilangan m ∈ N sedemikian

sehingga x− 1m

juga batas atas S.Untuk memilih m, perhatikan

analisis berikut ini:(x− 1

m

)2

= x2 − 2x

m+

1m2

> x2 − 2x

mDr. Muhafzan (Dept. of Math. UNAND) 3 SKS JULI 2011 57 / 60

Bilangan Riil

Berdasarkan sifat Archimedean (corollary 3(ii)), maka ada n ∈ Nsedemikian sehingga

1n

<2− x2

2x + 1Akibatnya(

x +1n

)2

= x2 +2x

n+

1n2

≤ x2 +1n

(2x + 1) < x2 +(2− x2

)= 2,

yang menunjukkan bahwa x +1n∈ S dan kontradiksi dengan

x = supS.Kasus 2: Misalkan x2 > 2.Akan ditunjukkan bahwa asumsi ini kontradiksi dengan fakta bahwax = supS dengan mendapatkan suatu bilangan m ∈ N sedemikian

sehingga x− 1m

juga batas atas S.Untuk memilih m, perhatikan

analisis berikut ini:(x− 1

m

)2

= x2 − 2x

m+

1m2

> x2 − 2x

m

Bilangan Riil

Sehingga, jika m dapat dipilih sedemikian sehingga

2x

m< x2 − 2,

maka akan didapat(x− 1

m

)2

= x2 − 2x

m+

1m2

> x2 − 2x

m> x2 + (2− x2) = 2

Karena x2 > 2, maka x2 − 2 > 0. Sehingga

x2 − 22x

> 0.

Berdasarkan sifat Archimedean (corollary 3(ii)), maka ada m ∈ Nsedemikian sehingga

1m

<x2 − 2

2xAkibatnya(

x− 1m

)2

= x2 − 2x

m+

1m2

> x2 − 2x

m> x2 + (2− x2) = 2.

Bilangan Riil

Perhatikan pula bahwa

s ∈ S ⇒ s2 < 2 <

(x− 1

m

)2

⇒ s <

(x− 1

m

). (3)

Hubungan (3) memperlihatkan bahwa

(x− 1

m

)adalah batas atas

untuk S, yang kontradiksi dengan x = supS.Karena kemungkinan x2 < 2 atau x2 > 2 adalah salah, makamestilah x2 = 2. �Teorema 19 mengatakan bahwa terdapat sekurang-kurangnya satubilangan irrasional, yakni

√2 (akar kwadrat positif dari 2).

Akibat

Misalkan ξ > 0 adalah suatu bilangan irrasional dan z > 0. Maka ada

m ∈ N sedemikian sehingga bilangan irrasionalξ

mmemenuhi

0 <ξ

m< z.

Bilangan Riil

Teorema

Misalkan x, y ∈ R dengan x < y.

a. Maka ada r ∈ Q 3 x < r < y

b. Jika ξ > 0 adalah sebarang bilangan irrasional, maka ada r ∈ Qsedemikian sehingga bilangan irrasional rξ memenuhi

x < rξ < y.