AUTOMORFISMA ALJABAR LIE

SKRIPSI

oleh:

RAMBU MAYA I. MAHARANI

125090407111001

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

AUTOMORFISMA ALJABAR LIE

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

oleh:

RAMBU MAYA I. MAHARANI

125090407111001

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

i

ii

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

AUTOMORFISMA ALJABAR LIE

oleh:

RAMBU MAYA I. MAHARANI

125090407111001

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

pada tanggal 09 Agustus 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

Pembimbing

Drs. Bambang Sugandi, M.Si

NIP. 195905151992031002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si., Ph.D.

NIP. 197509082000031003

iv

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Rambu Maya I. Maharani

NIM : 125090407111001

Jurusan : Matematika

Penulis Skripsi berjudul : AUTOMORFISMA ALJABAR

LIE

dengan ini menyatakan bahwa:

1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya

sendiri dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama-

nama yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar pustaka

dalam Skripsi ini.

2. Apabila dikemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis

terbukti hasil jiplakan, maka saya akan bersedia

menanggung segala resiko yang akan saya terima.

Demikian pernyatan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 09 Agustus 2017

Yang menyatakan,

Rambu Maya I. Maharani

NIM 125090407111001

vi

vii

AUTOMORFISMA ALJABAR LIE

ABSTRAK

Aljabar Lie atas suatu field adalah suatu ruang vektor yang

dilengkapi dengan Lie bracket yang memenuhi aksioma tertentu.

Pada skripsi ini membahas himpunan semua automorfisma aljabar

Lie adalah aljabar Lie dan himpunan semua automorfisma aljabar

Lie yang isomorfik dengan aljabar Lie yang lain.

Kata Kunci: Lie bracket, Aljabar Lie, Automorfisma aljabar

Lie.

viii

ix

AUTOMORPHISMS OF LIE ALGEBRA

ABSTRACT

The Lie Algebra of a field is a vector space with a Lie bracket and

satisfies certain axioms. In this final project, we discuss about the set

of all automorphisms of Lie algebra is Lie algebra dan the set of all

automorphisms of Lie algebra isomorphic with other lie algebra.

Keywords: Lie bracket, Lie algebra, automorphism of Lie algebra

x

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus

atas tuntunan dan rahmat-Nya sehingga penulis diberi kesempatan

untuk menyelesaikan Skripsi yang berjudul “Automorfisma Aljabar

Lie” ini dengan baik.

Atas terselesaikannya Skripsi ini, penulis mengucapkan rasa

hormat dan terima kasih kepada:

1. Drs. Bambang Sugandi M.Si. selaku Dosen Pembimbing atas

arahan, saran, motivasi , nasehat dan kesabaran yang telah

diberikan kepada penulis selama pengerjaan dan penyusunan

Skripsi ini.

2. Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc.,Ph.D dan Dra. Ari Andari,

M.Si. selaku dosen penguji atas segala kritik dan saran yang

diberikan untuk perbaikan Skripsi ini.

3. Dr. Sobri Abusini selaku Dosen Penasehat Akademik penulis

atas saran dan arahan selama kuliah.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua

Jurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, M.Si. selaku Ketua

Program Studi Matematika.

5. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan

ilmunya kepada penulis, serta segenap staf dan karyawan TU

Jurusan Matematika atas segala bantuannya.

6. Drs.ec. Yohanis Ngg. Nday (papa) dan Korlina Rambu Tamar,

S.Pd (mama) yang selalu mendoakan dan mendukung penulis

serta adik ku tercinta Manuel Umbu Madiaha dan Juan Umbu

Ngunju serta seluruh keluarga yang selalu mendukung,

mendoakan, memotivasi saat penulis berada dalam kesulitan

maupun kebahagiaan.

7. Para sahabat, PMK Philadelphia, teman-teman kos

(Bendungan Tangga 08) dan teman-teman Matematika 2012

atas doa, semua motivasi, semangat, keceriaan dan bantuannya

selama ini.

8. Semua pihak yang tak dapat disebutkan satu per satu.

Semoga Tuhan YME senantiasa memberikan anugerah dan

rahmat kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan

Skripsi ini.

xii

Penulis menyadari pada Skripsi ini masih terdapat kekurangan

atau kesalahan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari

pembaca dan dapat disampaikan melalui email penulis

rambu.maya@gmail.com.

Malang, 09 Agustus 2017

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................. i

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ................................ iii

LEMBAR PERNYATAAN ...................................................... v

ABSTRAK ................................................................................. vii

ABSTRACT ................................................................................ ix

KATA PENGANTAR .............................................................. xi

DAFTAR ISI ............................................................................. xiii

DAFTAR NOTASI ................................................................... xv

DAFTAR TABEL ..................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................ 1

1.3 Tujuan ................................................................. 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Hasil kali Cartesian dan Relasi ........................... 3

2.2 Pemetaan,Operasi biner dan Struktur Aljabar .... 3

2.3 Matrik .................................................................. 5

2.4 Ruang vektor ....................................................... 13

2.5 Pemetaan linear dan Pemetaan Bilinear .............. 20

2.6 Aljabar Lie .......................................................... 24

2.7 Homomorfisma Aljabar Lie ................................ 44

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Himpunan Automorfisma Aljabar Lie ................. 55

3.2 Sifat-sifat Himpunan Automorfisma Aljabar Lie . 67

BAB IV KESIMPULAN

4.1 Kesimpulan ......................................................... 79

4.2 Saran ................................................................... 79

DAFTAR PUSTAKA ............................................................... 81

xiv

xv

DAFTAR NOTASI

Simbol Keterangan

Elemen atau anggota

Hasil kali kartesius dari ke

Pemetaan dari ke

Maka

Isomorfik

ℝ Himpunan semua bilangan real

Himpunan semua bilangan bulat [ ] Lie Bracket

determinan sari matriks

ℝ Himpunan matrik berukuran yang semua

elemennya adalah bilangan rill

Himpunan matrik berukuran yang semua

elemennya adalah bilangan rill dan untuk setiap

Himpunan matrik skew-simetri berukuran

yang semua elemennya adalah bilangan rill

Himpunan automorfisma dari aljabar Lie

Akhir dari pembuktian

xvi

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Operasi penjumlahan dan pergandaan pada ............ 14

xviii