aproksimasi terbaik ; kuadrat terkecil
DESCRIPTION
Aljabar LinierTRANSCRIPT
TEOREMAUntuk sistem linear sebarang Ax=b, sistem
normal yang terkait ATAx=ATb
bersifat konsisten, dan semua solusi dari sistem normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax=b. Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax=b, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah
projwb = Ax
TEOREMAJika A adalah sebuah matriks m x n yang
memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, maka untuk setiap matriks b, m x 1, sistem linear Ax=b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh sistem normal yang terkait
x = (ATA)-1 ATb
Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah
projwb = Ax = A (ATA)-1 ATb
Contoh 1 : Solusi kuadrat terkecilTentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem
linear Ax=b yang diberikan oleh
dan tentukan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A.
Penyelesaian :
A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, sehingga terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini.
342
123
4
21
21
21
xx
xx
xx
314
dan 4 2-2 3 1-1
A b
Sehingga sistem normal ATAx = ATb adalah
Proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah
213314
4 2-2 3 1-1
4 21231 AAT
101
314
4 21231 ATb
101 213
314 2
1
xx
579428543928592
2851439517
w
4 2-2 3 1-1
Axbproj
285
143 ,
95
1721 xx
Contoh 2 Proyeksi ortogonal pada sebuah Subruang
Tentukan proyeksi ortogonal dari vektor u=(-3, -3, 8, 9) pada subruang dari R4 yang direntang oleh vektor-vektor
u1=(3, 1, 0, 1), u2=(1, 2, 1, 1), u3=(-1, 0, 2, -1),
Penyelesaian : Subruang W dari R4 yang direntang u1, u2,u3 adalah ruang
kolom dari matriks
Dengan demikian, jika u dinyatakan sebagai sebuah vektor kolom, kita dapat menentukan proyeksi ortogonal u pada W dengan cara menentukan sebuah solusi kuadrat tekecil dari sistem Ax=u dan kemudian menghitung projwu = Ax dari solusi kuadrat tekecil yang telah didapatkan
1-112100211-13
A
sehingga
Sistem normal ATAx = ATu adalah
Proyeksi ortogonal u pada ruang kolom dari A adalah
6 040 76 4611
1112 100 21113
1201-1 121 1 013
AAT
10 8 3
6 040 76 4611
1
1
1
xxx
0 4 3 2
1 2 1-
1112 100 21113
Axuprojw
1 ,2 ,1 321 xxx
10 8 3
9 8 3-3-
1201-1 121 1 013
uAT