filter kalman skripsi · 2017-12-18 · halaman judul dalam bahasa inggris ... filter kalman...

i

FILTER KALMAN

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu

Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Auxilia Maria Aroran

NIM: 123114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

A KALMAN FILTER

THESIS

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:


Student ID: 123114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii

SKRIPSI

FILTER KALMAN

Disusun oleh:


NIM: 123114004

Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing Skripsi

(Hartono, Ph.D) Tanggal: 31 Januari 2017


iv

SKRIPSI

FILTER KALMAN

Dipersiapkan dan ditulis oleh:


NIM: 123114004

Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji

Pada tanggal 31 Januari 2017

Dan dinyatakan telah memenuhi syarat

SUSUNAN PANITIA

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. ............................

Sekretaris : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ............................

Anggota : Hartono, Ph.D. ............................

Yogyakarta, 31 Januari 2017

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk

Tuhan Yesus dan Bunda Maria

Kedua Orang Tua, Nixon Aroran dan Maryke Pontoan

Adik Lafio Aroran & Adik ipar Cyprianus Warouw

Keponakan Karlen Junno Aquinas Warouw

Kakek, Nenek, Keluarga Besar dan Sanak Saudara

Pastor Yong Ohoitimur dan keluarga besar Yayasan Pendidikan Lokon

Almamater tercinta, Universitas Sanata Dharma


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.




vii

ABSTRAK

Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan

pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Pendugaan ini bersifat

rekursif, sehingga memudahkan peneliti ataupun teknisi dalam menangani data

yang terus bertambah dalam periode waktu tertentu.

Tujuan dari tulisan ini yaitu menurunkan algoritma filter Kalman, yaitu

algoritma untuk menduga keadaan optimal dari suatu sistem dinamis, baik diskret

maupun kontinu. Simulasi algoritma filter Kalman dilakukan dengan menggunakan

software MATLAB R2010a. Hasilnya menunjukkan bahwa filter Kalman dapat

menghasilkan penduga yang memiliki sifat kovariansi eror minimum.

Kata kunci: filter Kalman, derau, error, kovariansi, sistem dinamis, penduga

kuadrat terkecil rekursif, algoritma.


viii

ABSTRACT

Kalman filter is an estimation process of optimal state, which applied to a

dynamic system that involves noise. This estimation is recursive so that it is easily

applied by scientist or engineer in handling data which grows continuously within

a certain period of time.

The purpose of this thesis is to derive the Kalman filter algorithm, which is

used to estimate the optimal state of a dynamic system, including discrete and

continuous models. The simulation is done using MATLAB R2010a. The result shows

that Kalman filter gives a good estimator, which has minimum error covariance.

Keywords: Kalman filter, noise, error, covariance, dynamic system, recursive

least square estimation, algorithm.


ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Auxilia Maria Aroran

NIM : 123114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

“Filter Kalman”

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 31 Januari 2017

Yang menyatakan



x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan atas berkat dan penyertaannya sampai pada

saat penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Skripsi yang berjudul “Filter

Kalman” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. Selama proses

penyusunan, tentu saja penulis menemui berbagai macam hambatan sampai

akhirnya bisa selesai berkat penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak.

Ucapan terima kasih atas berbagai dukungan yang diterima ingin disampaikan

oleh penulis kepada:

1. Bapak Hartono, Ph.D., selaku dosen pembimbing skripsi, sekaligus Ketua

Program Studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademis atas semua

bentuk bimbingan dan saran yang diberikan baik selama proses penyusunan

skripsi, maupun sejak penulis berada di Program Studi Matematika ini.

2. Bapak/Ibu/Romo dosen yang telah membagikan ilmu pengetahuannya selama

penulis menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

3. Keluarga dan sanak saudara di Manado atas segala bentuk doa, dukungan,

dan dorongan sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

4. Yayasan Pendidikan Lokon yang telah memberikan kesempatan kepada

penulis untuk menempuh pendidikan di USD, serta dorongan dan semangat

yang telah diberikan sampai penulis bisa menyelesaikan skripsi.

5. Teman-teman Matematika USD angkatan 2012 (Ajeng, Anggun, Arum, Boby,

Budi, Dewi, Ega, Fherny, Hepi, Ilga, July, Lia, Manda, Noni, Putri, Risma,


xi

Ryan, Sila, Tika) atas semangat dan dorongan selama penulisan, juga selama

berdinamika bersama sebagai bagian dari keluarga Prodi Matematika USD.

6. Keluarga Besar Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma,

kakak-kakak dan adik-adik angkatan, juga keluarga besar FST USD,

karyawan dan staff yang baik secara langsung maupun secara tidak langsung

memberikan bantuan kepada penulis.

7. Zilvi, Tri, dan juga teman-teman befi yang memberikan semangat dan

menjadi teman diskusi selama penulis mengerjakan skripsi, serta BF dan

semua pihak yang tidak sempat disebutkan, yang secara tidak langsung telah

menyemangati penulis sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari, bahkan dengan bantuan dan keterlibatan dari berbagai

pihak, tulisan ini adalah karya dari penulis, manusia biasa yang tak luput dari

kesalahan. Oleh karena itu, penulis dengan tangan terbuka menerima segala

bentuk kritik dan saran dari pembaca sekalian. Semoga kiranya tulisan ini dapat

bermanfaat bagi para pembaca.


Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................. x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL .................................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah.................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................. 5

C. Pembatasan Masalah ......................................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan ............................................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ............................................................................................. 6

F. Metoda Penelitian ............................................................................................. 6

G. Sistematika Penulisan ....................................................................................... 6


xiii

BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL ......................................................... 9

A. Matriks .............................................................................................................. 9

B. Variabel Acak dan Proses Stokastik ............................................................... 21

C. Penduga Kuadrat Terkecil ............................................................................... 27

BAB III FILTER KALMAN ................................................................................. 45

A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret ............................................................. 45

B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah ......................................................... 52

C. Derau Proses Pendugaan ................................................................................. 58

D. Derau Pengukuran ........................................................................................... 60

E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu ............................................................ 61

F. Linearisasi Filter Kalman ................................................................................ 67

G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu ........................................... 70

H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret ............................................. 72

BAB IV SIMULASI FILTER KALMAN ............................................................. 76

A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan ................................. 76

B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan ...................... 80

C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang .......................................... 86

BAB V PENUTUP ................................................................................................. 89

A. Kesimpulan ..................................................................................................... 89

B. Saran ............................................................................................................... 91

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 93

LAMPIRAN ........................................................................................................... 95


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Bagan Penerapan Filter Kalman ......................................................... 3

Gambar 1.2 Algoritma Filter Kalman..................................................................... 4

Gambar 2.1 Pendugaan kuadrat terkecil & nya .................................................... 31

Gambar 2.2 Pendugaan kuadrat terkecil berbobot & nya ..................................... 32

Gambar 2.3 Pendugaan kuadrat terkecil rekursif & nya ...................................... 38

Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan

kovariansi pendugaannya ........................................................................ 47

Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman ............... 56

Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman ............. 57

Gambar 3.4 pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2 ................................ 57

Gambar 4.1 Pendugaan konstan ........................................................................... 76

Gambar 4.2 pendugaan konstan........................................................................... 77

Gambar 4.3 Variansi pendugaan konstan ............................................................ 77

Gambar 4.4 Posisi kendaraan & nya .................................................................... 80

Gambar 4.5 Kecepatan kendaraan & nya ............................................................. 81


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat

terkecil dan filter Kalman ........................................................................ 51

Tabel 4.1 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga suatu konstan ......... 78

Tabel 4.2 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga posisi dan

kecepatan.................................................................................................. 81

Tabel 4.3 Tujuan dan metode filter Kalman yang berkaitan ................................. 87

Tabel 5.1 Filter Kalman dengan waktu diskret ..................................................... 89

Tabel 5.2 Filter Kalman dengan waktu kontinu .................................................... 90

Tabel 5.3 Perluasan Filter Kalman dengan waktu kontinu ................................... 90

Tabel 5.4 Perluasan Filter Kalman dengan waktu diskret ..................................... 90


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pada tahun 1960, R.E. Kalman menerbitkan paper yang mendeskripsikan

suatu solusi rekursif terhadap masalah filter data diskret linear, yang

kemudian dikenal dengan nama Filter Kalman. Filter yang dimaksud adalah

sebuah algoritma pemrosesan data. Pada umumnya, filter bertujuan untuk

memperoleh pendugaan optimal atas suatu susunan data. Sama seperti filter-

filter lainnya, filter Kalman juga bertujuan untuk memperoleh pendugaan

optimal atas data yang diberikan oleh sumber berderau.

Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan

pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Optimal di sini berarti

meminimalkan error. Filter Kalman disebut juga sebagai penduga kuadrat

terkecil linear karena meminimalkan rata-rata kuadrat pendugaan suatu sistem

linear stokastik. Terdapat tiga alasan dasar mengapa sistem deterministik dan

teori kontrol tidak cukup akurat dalam analisis, antara lain:

Tidak ada model sistem matematis yang sempurna.

Sistem dinamis dipengaruhi bukan hanya oleh kontrol input awal, tetapi

juga oleh gangguan-gangguan yang tak terkontrol atau tak bisa dimodel-

kan secara deterministik.

Sensor tidak memberikan data yang sempurna dan lengkap dari sebuah

sistem


2

Filter Kalman menggabungkan semua pengukuran yang tersedia, tanpa

memperhatikan ketepatannya, untuk menduga nilai terbaru dari variabel yang

diteliti dengan menggunakan (1) pengetahuan tentang sistem dan alat

pengukuran, (2) deskripsi statistis dari derau sistem, pengukuran, dan

ketidakpastian dalam model dinamis, dan (3) informasi yang tersedia tentang

keadaan awal dari variabel yang diteliti.

Salah satu yang membedakan filter Kalman dengan konsep pemrosesan

data tertentu adalah konsep rekursif. Dengan sifat rekursif ini, filter Kalman

tidak perlu menyimpan semua data yang sebelumnya telah diperoleh

kemudian memroses kembali semua data tersebut setiap diperoleh data

pengukuran yang baru.

Tujuan utama dari filter kalman yaitu untuk menduga keadaan dari

sistem dinamis. Keadaan yang akan diduga yaitu pada sistem dinamis

dari pengetahuan tentang hasil pengukuran

dengan , , dan adalah matriks transisi keadaan, matriks input, dan

matriks output. Vektor- vektor , , dan masing-masing menyatakan

vektor keadaan, vektor kontrol, dan vektor output, sedangkan dan

merupakan proses derau yang terlibat. Untuk lebih jelasnya lihat gambar 1.1.

Filter Kalman telah digunakan secara luas dalam berbagai bidang industri

dan pemerintahan, seperti sistem tracking pada video dan laser, navigasi

satelit, pendugaan trayektori rudal balistik, radar, dan pengontrol tembakan.


3

Dengan berkembangnya komputer berkecepatan tinggi, filter Kalman menjadi

lebih berguna dalam aplikasi masa kini.

Secara sederhana, penerapan filter Kalman pada suatu sistem dapat

dilihat seperti pada gambar.

Gambar 1.1 Bagan penerapan filter Kalman

Meskipun Filter Kalman sering digunakan, teori matematika dibalik

proses Filter Kalman tidak begitu dimengerti oleh penggunanya, karena

sebagian besar hanya menggunakan algoritmanya saja tanpa mengetahui

bagaimana asal-usul algoritma tersebut. Oleh karena itu, penulis akan

berusaha untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana algoritma filter

Kalman ini diperoleh. Algoritma filter Kalman bermula dari pedugaan

kuadrat terkecil dengan mengikuti langkah-langkah penurunan sebagai

berikut:

1. Mulai dengan deskripsi matematis dari suatu sistem dinamis yang akan

diduga.


4

2. Menerapkan persamaan yang mendeskripsikan bagaimana rata-rata dari

keadaan yang diteliti dan kovariansinya merambat bersesuaian dengan

waktu.

3. Pilih sistem dinamis yang menggambarkan perambatan rata-rata dan

kovariansi keadaan tersebut kemudian menerapkan persamaan yang

diperoleh. Persamaan ini merupakan dasar dari penurunan Filter Kalman

sebab rata-rata dari keadaan tersebut merupakan pendugaan Filter

Kalman atas keadaan tersebut.

4. Setiap kali hasil pengukuran diperoleh, maka rata-rata dan kovariansinya

akan diperbaharui secara rekursif.

Algoritma filter Kalman dapat dicantumkan dalam bagan sebagai berikut.

Gambar 1.2 Algoritma filter Kalman

Penjelasan mengenai bagaimana memperoleh persamaan-persamaan

seperti pada gambar akan dijelaskan pada bab ketiga dari tulisan ini.


5

Sebelumnya, pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu tentang teori-teori

dasar yang dibutuhkan, khususnya pendugaan kuadrat terkecil.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, masalah-masalah

yang akan dibahas dalam tulisan ini antara lain:

1. Bagaimana proses untuk memperoleh algoritma filter Kalman?

2. Bagaimana contoh simulasi filter Kalman dalam kehidupan sehari-hari?

C. Pembatasan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini dibatasi sebagai berikut:

1. Filter Kalman yang dibahas dalam tulisan ini adalah filter Kalman

dengan waktu diskret dan waktu kontinu, sampai pada perluasannya.

2. Jenis-jenis filter Kalman seperti Ensemble Kalman Filter (EnKF),

Adaptive Kalman Filter (AKF) dan lainnya tidak akan dibahas dalam

tulisan ini.

3. Sifat tak bias dari penduga pada filter Kalman tidak dibahas dalam

tulisan ini.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai oleh penulis selain untuk memenuhi syarat

tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma,

yaitu sebagai berikut:


6

1. Menjelaskan bagaimana proses memperoleh algoritma filter Kalman.

2. Memberi contoh simulasi filter Kalman dan penerapan filter Kalman

dalam berbagai bidang.

3. Memperluas wawasan pembaca tentang aplikasi ilmu matematika

khususnya mengenai filter Kalman.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.

2. Pembaca mendapat gambaran tentang aplikasi ilmu matematika dalam

kehidupan sehari-hari, yaitu penerapan filter Kalman.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu

studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku dan/atau jurnal yang

membahas tentang Filter Kalman maupun aplikasinya.

G. Sistematika Penulisan

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan


7

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Pemulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II. LANDASAN TEORI

A. Matriks

B. Derau Putih

C. Penduga Kuadrat Terkecil

BAB III. FILTER KALMAN

A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret

B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah

C. Derau Proses Pendugaan

D. Derau Pengukuran

E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu

F. Linearisasi Filter Kalman

G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu

H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret

BAB IV. SIMULASI FILTER KALMAN

A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan

B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan

C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang

BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


8

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


9

BAB II

PENDUGA KUADRAT TERKECIL

Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk

mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan

bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu,

pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain

itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih

dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum

dalam subbab-subbab berikut.

A. Matriks

Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah

lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks

definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi

bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti

sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang

kolom, serta ruang hasilkali dalam.

1. Lemma Invers Matriks

Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang

nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks

juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal.


10

Misalkan terdapat matriks gabungan dengan matriks ,

matriks , keduanya tak singular, sedangkan matriks dan

matriks . Definisikan matriks dan dengan

maka:

a. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa

merupakan invers dari

b. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa

juga merupakan invers dari

c.

Bukti

a.

b.


11

c. Dari a dan b, matriks dan matriks

keduanya merupakan invers dari matriks

sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks

tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh

. ■

Selanjutnya, karena dan , maka

Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen

yaitu

Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan

lemma invers di atas.

Contoh 2.1

Misalkan terdapat matriks

Invers dari matriks adalah


12

Akan dicari invers dari matriks .

Tanpa menghitung invers matriks dari awal, dapat diperoleh

dengan menggunakan hasil invers dari matriks . Perhatikan bahwa

, dengan , , dan

Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh

2. Matriks Pseudo Invers

Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan

pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk

pseudo invers dari matriks merupakan perumuman dari matriks invers

yang biasanya, dimana matriks tidak harus memenuhi semua sifat-sifat

matriks yang bisa dibalik.

Misalkan matriks . Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa

ruang baris dari paling banyak berdimensi dan ruang kolomnya paling

banyak berdimensi . Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi

yang sama (rank dari ), jika , maka rank dari paling besar adalah

nilai yang lebih kecil antara nilai-nilai dan , yaitu


13

Singularitas matriks dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo

invers dari . Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks .

Teorema 2.1

Jika merupakan matriks dengan rank penuh, maka tak singular.

Bukti

Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika untuk

sebarang , maka . Jika maka dengan mengalikan kedua ruas

dengan , diperoleh ,

sehingga . Karena mempunyai rank penuh, diperoleh .

Dengan demikian, terbukti tak singular. ■

Jika merupakan matriks dengan rank kolom penuh, yaitu

, maka tidak singular, jadi punya invers. Bentuk

disebut pseudo invers kiri dari , dimana . Rank dari

dan adalah .

Jika merupakan matriks dengan rank baris penuh, yaitu

, maka tidak singular, jadi punya invers. Selanjutnya, bentuk

disebut pseudo invers kanan dari . Rank dari dan

adalah . Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks

.


14

Contoh 2.2

Misalkan terdapat matriks . adalah matriks

dengan dan . Diperoleh , dan . Matriks

adalah matriks singular, sedangkan

mempunyai invers, yaitu . Pseudo invers

kirinya tidak terdefinisi karena bukan matriks dengan rank kolom penuh,

sedangkan pseudo invers kanannya adalah

dengan .

3. Kalkulus Matriks

Bagian selanjutnya adalah kalkulus matriks. Bagian ini akan membahas

definisi-definisi tentang turunan matriks, serta persamaan-persamaan yang

dihasilkannya. Bagian ini penting dikuasai untuk digunakan dalam mencari

nilai minimum suatu fungsi objektif dalam bentuk matriks.


15

Definisi 2.1

Misalkan matriks , dimana elemen-elemennya berupa fungsi

terhadap waktu. Didefinisikan turunan matriks sebagai berikut

menyebabkan merupakan matriks konstan sehingga

turunannya sama dengan nol. Penurunan dapat juga dihitung dengan

Karena turunannya sama dengan nol, maka dapat diperoleh turunan dari

yaitu

Definisi 2.2 (Turunan parsial fungsi terhadap vektor)

Misalkan vektor dan fungsi skalar dari elemen-elemen ,

maka turunan parsial fungsi terhadap vektor adalah

Definisi 2.3 (Turunan parsial fungsi terhadap matriks)

Misalkan matriks dan fungsi skalar. Turunan parsial

terhadap matriks adalah


16

Dengan definisi-definisi tersebut, dapat dihitung turunan parsial dari hasil

perkalian antara dua vektor. Misalkan dan vektor kolom dengan elemen.

Dengan cara yang sama, diperoleh

Untuk bentuk kuadratik

turunan parsialnya adalah


17

Jika matriks simetri, maka sehingga diperoleh

Definisi 2.4 (Turunan parsial vektor terhadap vektor lain)

Misalkan dan . Maka

Jika salah satu dari maupun ditranspos, maka turunan parsialnya

juga ditranspos, yaitu

Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh persamaan-persamaan

berikut.

Misalkan matriks dan vektor . Maka


18

Definisi 2.5 (Turunan parsial trace matriks terhadap matriks )

Misalkan matriks dan matriks .

Turunan parsial terhadap adalah

Jika matriks simetri, maka diperoleh


19

4. Matriks Definit Positif

Bagian selanjutnya akan membahas tentang matriks definit positif.

Matriks definit positif berperan penting dalam menentukan nilai minimum

suatu fungsi objektif. Berikut merupakan beberapa hal yang perlu diingat

tentang matriks definit positif.

Definisi 2.6

Matriks simetri disebut definit positif jika untuk semua

vektor yang tak nol.

Teorema 2.2

Jka mempunyai rank penuh, maka merupakan matriks definit

positif

Bukti

Karena , maka matriks simetri.

Selanjutnya, mempunyai rank penuh, tidak nol untuk sebarang taknol.

Jadi perkalian titik . Dan untuk sebarang vektor ,

diperoleh , jadi berdasarkan definisi, adalah

matriks definit positif. ■

Definisi 2.7

Matriks Hessian adalah matriks simetri yang elemen-elemennya

merupakan turunan parsial kedua dari suatu fungsi skalar terhadap suatu


20

vektor. Misalkan terdapat suatu fungsi dan vektor , matriks Hessian

dari fungsi adalah matriks , dimana , yaitu

Teorema 2.3

Titik stasioner meminimumkan jika matriks Hessian dari yang

dievaluasi pada adalah definit positif.

Bukti

Ekspansi Taylor sampai orde kedua di sekitar adalah

Karena titik stasioner, maka

jadi

minimumkan fungsi ketika ruas kanan pada persamaan


21

bernilai positif. Padahal jika ruas kanan tersebut ditulis dalam bentuk matriks

diperoleh

Sedangkan

merupakan matriks Hessian dari . Jadi adalah matriks definit positif,

sehingga meminimumkan ketika matriks Hessian dari yang dievaluasi

pada definit positif. ■

B. Variabel Acak dan Proses Stokastik

Sub-bab ini akan membahas mengenai variabel acak dan proses stokastik.

Namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu beberapa teori dasar

peluang.

Peluang kejadian didefinisikan dengan

dengan merupakan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian ,

dan merupakan banyaknya semua anggota ruang sampel, dengan .

Misalnya dalam pelemparan dadu, , maka .

Peluang kejadian munculnya mata dadu 4 pada permukaan dadu adalah

. Sedangkan dalam pelemparan 2 dadu berbeda secara bersamaan,


22

terdapat 36 anggota ruang sampel , yaitu , dan peluang kejadian

munculnya mata dadu 2 dan 3 dalam sekali pelemparan adalah , sebab

, dan .

Peluang suatu kejadian juga bisa berkaitan dengan peluang kejadian yang

lainnya. Peluang terjadinya kejadian setelah terjadi disebut peluang

bersyarat. Secara matematis, peluang bersyarat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.8

Peluang terjadinya kejadian terjadi setelah kejadian adalah

dengan adalah peluang kejadian dan keduanya terjadi.

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya suatu kejadian tidak

mempengaruhi kejadian lainnya. Secara matematis, terdapat beberapa cara

untuk menyatakan kejadian dan saling bebas, yaitu

Variabel acak didefinisikan sebagai suatu pemetaan fungsional dari

himpunan hasil percobaan ke himpunan bilangan real. Sebagai contoh, hasil

pelemparan dadu dapat dilihat sebagai variabel acak jika munculnya mata

dadu 1 pada permukaan dadu dipetakan ke bilangan satu, mata dadu 2

dipetakan ke bilangan dua, dan seterusnya.


23

Sebuah variabel acak bisa kontinu atau diskret. pelemparan dadu

merupakan variabel acak diskret, sebab hasil realisasinya merupakan

himpunan nilai-nilai yang diskret. Pengukuran temperatur merupakan

variabel acak kontinu karena hasil realisasinya merupakan himpunan nilai-

nilai yang kontinu. Baik variabel acak diskret maupun kontinu, keduanya

memiliki fungsi densitas peluang dan fungsi distribusi kumulatif. Fungsi-

fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.9

merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak diskret

jika untuk setiap berlaku

Definisi 2.10

merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak kontinu

jika berlaku

untuk semua


24

Definisi 2.11

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskret dengan fungsi

densitas peluang adalah , dimana

Definisi 2.12

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu dengan fungsi

densitas peluang adalah , dimana

Masing-masing variabel acak mempunyai karakteristik, seperti rata-rata

atau nilai harapan dan variansi. Definisi rata-rata atau nilai harapan dari

variabel acak didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.13

Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang . Rata-

rata atau nilai harapan dari adalah


25

Variansi dari variabel acak menunjukkan seberapa besar variabel acak

akan bervariasi dari rata-ratanya. Dalam kasus-kasus tertentu, misalnya jika

variabel acak hanya memiliki satu nilai (misalnya jika pada saat melempar

dadu selalu muncul mata dadu 4), maka disebut bahwa variansi dari sama

dengan 0. Kasus lainnya adalah jika nilai dari berada di antara dengan

peluang yang sama, maka disebut bahwa variansi dari sama dengan .

Variansi dari variabel acak didefinisikan secara formal sebagai berikut.

Definisi 2.14

Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang dan rata-

rata . Variansi dari adalah

Standar deviasi dari variabel acak dinotasikan dengan , merupakan akar

kuadrat dari variansi. Perhatikan bahwa variansi bisa ditulis

Notasi digunakan untuk menyatakan bahwa merupakan

variabel acak dengan rata-rata dan variansi .


26

Sebuah variabel acak kontinu disebut Gaussian atau normal jika fungsi

densitas peluangnya yaitu

Selanjutnya misalkan terdapat dua variabel acak yaitu dan . Sama

halnya dengan kejadian saling bebas, Variabel acak dan dikatakan saling

bebas jika memenuhi

Akibatnya,

Kovariansi dari variabel acak skalar dan adalah

Proses stokastik merupakan variabel random yang berubah-ubah

menurut waktu, sehingga fungsi distribusi dan fungsi densitasnya merupakan

fungsi terhadap waktu. Fungsi distribusi kumulatif dari adalah

Rata-rata dan kovariansi dari juga merupakan fungsi dari waktu,

yaitu


27

Perhatikan bahwa pada waktu dan merupakan dua variabel

acak yang berbeda, yaitu dan . Jika kedua variabel acak

dan saling bebas, untuk semua , maka disebut derau putih

(white noise). Jika tidak, maka disebut derau berwarna.

C. Penduga Kuadrat Terkecil

Penduga kuadrat terkecil adalah dasar dari penurunan algoritma filter

Kalman. Sub-bab ini akan membahas mengenai penduga kuadrat terkecil

berbobot dan penduga kuadrat terkecil rekursif.

1. Penduga Kuadrat Terkecil Berbobot

Misalkan adalah vektor konstan dengan -elemen yang tidak diketahui,

dan adalah vektor hasil pengukuran yang mengandung komponen derau

dengan elemen. Untuk mencari penduga terbaik dari , dimisalkan setiap

elemen pengukuran pada vektor sebagai kombinasi linear dari elemen-

elemen dalam vektor dengan ditambah derau pengukuran, yaitu

Dalam bentuk matriks,


28

dengan adalah vektor dengan elemen, vektor pengukuran dengan

elemen, , matriks observasi berukuran , dan vektor derau

yang memiliki elemen. Selisih antara dan didefinisikan dengan ,

yaitu

dan disebut sebagai sisa pengukuran. Menurut Karl Gauss, nilai yang paling

mungkin untuk vektor adalah vektor yang meminimumkan jumlah

kuadrat dari selisih antara nilai yang diamati dengan vektor . Jadi akan

dicari yang meminimumkan fungsi objektif , dimana

Substitusi , diperoleh

mencapai minimum saat turunan parsial pertamanya terhadap sama

dengan nol, yaitu

Vektor kemudian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut,

yaitu


29

Dengan , pseudo invers kiri dari matriks ada jika

dan matriks dengan rank penuh.

Dalam setiap pengukuran, terdapat derau yang variansinya bisa berbeda.

Dengan variansi yang berbeda-beda, dimisalkan

Penduga kuadrat terkecil berbobot bisa diperoleh dengan menurunkan

fungsi objektif yang sisa pengukurannya berdistribusi normal. Dengan asumsi

bahwa derau dari setiap pengukuran mempunyai rata-rata 0 dan saling bebas,

matriks kovariansinya adalah

Pendugaan yang melibatkan variansi derau pengukuran inilah disebut

pendugaan kuadrat terkecil berbobot. Dalam pendugaan ini, fungsi objektif

yang akan diminimumkan adalah

Fungsi objektif tersebut dapat juga ditulis


30

mencapai minimum ketika

sehingga diperoleh

Perhatikan bahwa adalah matriks Hessian yang definit positif

ketika mempunyai rank , sehingga bisa dipastikan bahwa

meminimumkan fungsi objektif .

Berikut diberikan contoh pendugaan kuadrat terkecil sebelum dan

sesudah diboboti.

Contoh 2.3

Misalkan diperoleh data hasil pengukuran ( ) berturut-turut 0.98, 0.37,

0.88, 0.91, 0.79, 0.67, 0.72, 0.65, 0.49, dan 0.77. Akan dicari garis yang

bisa mewakili hasil pengukuran tersebut. Dalam bentuk matriks bisa ditulis


31

Dengan metode kuadrat terkecil, diduga dengan ,

diperoleh persamaan hasil pendugaan yaitu , dengan

jumlah kuadrat nya Plot hasil perhitungan dan perhitungannya

adalah sebagai berikut.

Gambar 2.1 (a) Pendugaan kuadrat terkecil (b) error pendugaan

Setelah diboboti, diduga dengan , sehingga

diperoleh persamaan hasil pendugaan , dengan

. Plot hasil pendugaan dan pendugaan setelah diberi bobot

adalah sebagai berikut


32

Gambar 2.2 (a) Pendugaan kuadrat terkecil berbobot

(b) error pendugaan

Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar

menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan

asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada

gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian

yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar.

Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga

perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar.

2. Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif

Setiap diperoleh pengukuran yang baru, diperoleh juga matriks baru

yang ukurannya bersesuaian dengan banyaknya pengukuran. Jika pengukuran

diperoleh secara berturut-turut, pendugaan dilakukan setiap kali didapat


33

hasil pengukuran yang baru. Dengan demikian, pada setiap pengukuran akan

diperoleh juga matriks baru. Selanjutnya ketika pendugaan dilakukan

kembali dengan matriks yang baru, pendugaan berikutnya akan

menmberikan hasil yang berbeda. Ketika banyaknya hasil pengukuran

meningkat, proses penghitungan akan menjadi lebih sulit. Contohnya

pengukuran terhadap ketinggian satelit setiap 1 detik. Setelah satu jam, akan

terdapat 3600 data hasil pengukuran, dan bahkan pengukurannya masih

berlanjut. Dengan menggunakan penduga kuadrat terkecil, setiap detik

pendugaan dilakukan dengan matriks baru yang ukurannya semakin

membesar. Di sini, masalah pertama yang muncul adalah pengukuran masih

terus berlanjut, sedangkan yang diinginkan adalah menduga ketinggian satelit

setiap detik. Masalah berikutnya adalah apakah penghitungan bisa tetap

dilanjutkan setiap detik. Untuk meminimumkan masalah-masalah tersebut,

muncul penduga kuadrat terkecil rekursif yang menghitung hasil pendugaan

setiap kali pengukuran dilakukan tanpa mengabaikan hasil pendugaan

sebelumnya. Penjelasan mengenai proses pendugaan kuadrat terkecil rekursif

adalah sebagai berikut.

Misalkan setelah pengukuran ke , diperoleh , kemudian

pengukuran selanjutnya menghasilkan suatu nilai hasil pengukuran baru .

Penduga rekursif linearnya adalah


34

Hal ini menunjukkan bahwa diperoleh berdasarkan dan hasil

pengukuran baru . merupakan matriks perolehan (matriks gain) yang

nantinya akan ditentukan. Suku disebut suku koreksi. Jika

suku ini bernilai nol, atau adalah matriks nol, maka pendugaan tidak

mengalami perubahan dari langkah ke langkah .

Rata-rata dari pendugaan dapat dihitung sebagai berikut

Selanjutnya kriteria optimal untuk menentukan adalah meminimalkan

jumlah variansi dari error pendugaan pada saat , yaitu

Dengan . Untuk memperoleh perhitungan rekursif ,

dapat digunakan proses yang mirip dengan proses rekursif sebelumnya, yaitu


35

tidak bergantung pada , maka bisa ditulis

karena nilai harapan keduanya sama dengan nol, sehingga diperoleh

dengan adalah kovariansi . Rumus ini merupakan bentuk rekursif untuk

kovariansi dari error pendugaan kuadrat terkecil. Hal ini sesuai dengan intuisi

bahwa pada saat derau pengukuran meningkat, ketidak-pastian dalam

pendugaan juga meningkat. Perhatikan bahwa harus berupa matriks definit

positif, dan rumus di atas menjamin bahwa definit positif dengan asumsi

bahwa dan adalah matriks definit positif.

Selanjutnya akan dicari nilai sehingga fungsi objektif menjadi

seminimal mungkin. Rata-rata error pendugaan adalah 0 untuk setiap nilai

dari . Sehingga jika kita memilih untuk membuat fungsi objektifnya

lebih kecil, maka error pendugaan tidak akan hanya mempunyai rata-rata 0,

tetapi juga akan semakin mendekati nol. Untuk mencari nilai terbaik untuk ,

ingat kembali bahwa


36

jika simetri. Selanjutnya dengan menerapkan aturan rantai pada dan ,

diperoleh

Agar diperoleh nilai yang meminimumkan , maka haruslah

sehingga

, , dan membentuk penduga kuadrat terkecil rekursif. Secara

ringkas, langkah-langkah pendugaan kuadrat terkecil rekursif dapat dituliskan

sebagai berikut

1. Tetapkan penduga yaitu

Jika tidak diketahui sebelum dilakukan pengukuran, maka

ditentukan dengan sebuah matriks identitas dimana komponennya berupa

sebarang bilangan yang nilainya besar pada diagonalnya. Jika keadaan

awalnya telah diketahui sebelum pengukuran, maka .


37

2. Untuk , langkah-langkah yang dilakukan adalah

a. Catat hasil pengukuran , dengan asumsi bahwa ditentukan

dengan , dimana adalah vektor random yang

mempunyai rata-rata 0 dengan kovariansi . Selanjutnya,

asumsikan bahwa derau pengukuran setiap langkah ke- saling

bebas, yaitu ketika dan ketika .

akibatnya, derau pengukuran merupakan derau putih (white noise).

b. Perbaharui nilai pendugaan dan kovariansi error pendugaan

sebagai berikut:

Contoh 2.4

Dari data pengukuran pada Contoh 2.3, bisa juga diperoleh melalui

pendugaan kuadrat terkecil rekursif, yakni dengan

sesuai dengan langkah-langkah yang baru saja diperoleh. Pendugaan ini

menghasilkan plot seperti pada gambar 2.3.

Dibandingkan dengan pendugaan sebelumnya, pendugaan secara rekursif

ini memperhitungkan hasil dugaan sebelumnya, sehingga diperoleh yang

bergantung pada sebelumnya. Hasilnya, untuk setiap hasil pengukuran

berbeda-beda.


38

Gambar 2.3 (a) Pendugaan kuadrat terkecil rekursif (b) pendugaan

Dari segi komputasi, bentuk alternatif terkadang lebih menguntungkan.

Dengan mempertimbangkan hal ini, maka penting juga untuk mencari bentuk

alternatif dari penduga. Untuk memperoleh bentuk alternatif dari penduga

yang telah diperoleh sebelumya, langkah pertama adalah mencari bentuk lain

dari kovariansi error pendugaan. Sebelumnya telah diperoleh

Substitusi diperoleh

Dimisalkan suatu variabel bantu . Persamaan di

atas menjadi


39

Dalam persamaan tersebut, muncul secara implisit, sehingga dengan

menuliskan kembali, diperoleh

Persamaan ini lebih sederhana dari bentuk sebelumnya, namun masalah

komputasi numeris dapat menyebabkan tidak definit positif meskipun

dan definit positif.


40

Dengan menerapkan lemma invers matriks, bisa dicari bentuk yang lain

dari yaitu

Dari persamaan ini, gunakan lemma invers matriks dengan

Menurut lemma invers matriks, maka

diperoleh

Sehingga diperoleh

Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari bentuk ekuivalen dari

persamaan sebagai berikut

Mengalikan ruas kanan dengan (matriks identitas) di sebelah kiri,

diperoleh


41

Substitusi , diperoleh

Secara umum, algoritma kuadrat terkecil rekursif dapat dirangkum

dengan persamaan-persamaan di bawah ini.

Hasil pengukuran dituliskan:

dengan

Dugaan awal dari vektor konstan yaitu

Algoritma kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut


42

Untuk

Pada contoh-contoh berikut, akan ditunjukkan bagaimana menerapkan

algoritma pendugaan kuadrat terkecil. Contoh 2.5 akan menunjukkan bahwa

yang diperoleh tidak akan pernah negatif.

Contoh 2.5

Misalkan terdapat parameter observasi skalar dengan pengukuran yang

sempurna, yaitu dan . Pemisalan selanjutnya yaitu kovariansi

pendugaan awal , dan komputer yang digunakan memberikan skala

ketepatan 3 digit desimal untuk setiap perhitungan yang dilakukan.

Perhitungan penduga yaitu


43

Selanjutnya untuk mencari , digunakan persamaan yang telah

diperbaharui, yaitu

Perhatikan bahwa dihitung

sebagai 0 karena komputer yang digunakan memiliki ketelitian tiga angka

desimal. Bentuk yang diperoleh dari ini menjamin bahwa tidak pernah

negatif, meskipun terdapat perhitungan numeris pada , , dan .

Contoh 2.6

Penduga kuadrat terkecil rekursif juga bisa diterapkan pada masalah

curve fitting. Misalkan akan dicari suatu garis lurus yang cocok dengan

himpunan data. Masalah pencocokkan data linear dapat ditulis


44

dimana adalah variabel bebas (contohnya variabel waktu), data dengan

derau, dan akan dicari relasi linear antara dan . Dengan kata lain, akan

dicari nilai dan yang konstan. Matriks pengukurannya yaitu

Penduga rekursifnya diawali dengan

Dugaan rekursif dari vektor dengan dua anggota kemudian diperoleh

sebagai berikut

Untuk ,


45

BAB III

FILTER KALMAN

A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret

Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman

dengan waktu diskret.

Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut

Proses derau dan merupakan derau putih, dengan rata-rata nol,

tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut dan , yaitu

Karena dan tidak berkorelasi, maka untuk semua .

Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan ,

berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan

pengukuran dengan derau . Ketika data pengukuran yang akan digunakan

untuk menduga tersedia sampai pada saat , dapat dibentuk suatu

pendugaan posteriori, yang dilambangkan dengan . Salah satu cara

membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai


46

harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan

pengukuran pada saat , yaitu

Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia

sebelum waktu (data pada saat tidak tersedia), maka bisa dibentuk

pendugaan priori. Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung

nilai harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum

waktu , tidak termasuk pengukuran pada saat , yaitu

Perhatikan bahwa baik maupun keduanya digunakan untuk

menduga hal yang sama, yaitu . Meskipun demikian, merupakan

pendugaan untuk sebelum diperhitungkan, sedangkan menduga

setelah diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan adalah

pendugaan yang lebih baik dari karena informasi yang digunakan pada

saat mencari lebih banyak.

melambangkan pendugaan awal , sebelum hasil pengukuran

tersedia. Pengukuran pertama dilakukan pada waktu . Karena tidak ada

hasil pengukuran untuk menduga , maka dibentuk sebagai nilai harapan

dari keadaan awal , yaitu

melambangkan kovariansi dari pendugaan , dan

melambangkan kovariansi dari pendugaan , yaitu


47

Untuk memahami lebih jelas hubungan antara penduga keadaan priori,

posteriori, dan kovariansi pendugaannya, perhatikan gambar 3.1.

Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori,

dan kovariansi pendugaan

Dari gambar terlihat hasil pendugaan priori pada waktu yaitu

dan kovariansi error penduganya diperoleh sebelum dilakukan

pengukuran pada waktu . Setelah pengukuran dilakukan, diperoleh hasil

pengukuran posteriori dan . Keduanya kemudian digunakan untuk

mencari penduga priori pada waktu yaitu dan . Setelah pengukuran

pada waktu tersedia, diperoleh hasil pendugaan posteriori pada waktu ,

yaitu dengan kovariansi error pendugaannya .

Proses pendugaan dimulai dari , yaitu dugaan paling baik untuk

kondisi awal . Setelah diketahui, langkah selanjutnya adalah meng-

hitung . Tetapkan . Lihat kembali bahwa dan rata-

rata merambat terhadap waktu, yaitu , maka

diperoleh


48

Persamaan tersebut menunjukkan bagaimana memperoleh dari .

Secara umum dapat dituliskan

Persamaan ini disebut persamaan pembaharuan waktu untuk .

Selanjutnya akan dihitung persamaan pembaharuan waktu untuk . Jelas

bahwa . Jika nilai tidak diketahui, maka dimisalkan dengan

sebuah matriks identitas dengan komponennya berupa sebarang bilangan

besar pada diagonal utamannya. Umumnya mewakili ketidakpastian dari

dugaan awal , dimana

Sama halnya dengan , juga dapat diperoleh dari . Kovariansi

merambat terhadap waktu dengan , sehingga

diperoleh

Secara umum dapat ditulis

yang disebut persamaan update waktu untuk .

Selanjutnya yang akan dicari adalah persamaan update pengukuran untuk

dan , yakni diketahui kemudiah dihitung . Diingat kembali bahwa

ketersediaan hasil pengukuran mempengaruhi pendugaan yaitu


49

dimana dan adalah penduga dan kovariansi pendugaan sebelum

hasil pengukuran diperoleh, dan dan adalah penduga dan kovariansi

pendugaan setelah diperoleh. Jadi, untuk memperoleh persamaan dalam

bentuk penduga priori, diganti dan diganti . Sedangkan

untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga posteriori, diganti

dan diganti , sehingga diperoleh

yang merupakan persamaan pembaharuan pengukuran untuk dan .

Matriks di atas disebut Kalman filter gain.

Setelah diturunkan, persamaan-persamaan yang telah dibahas dapat

dirangkum dalam suatu algoritma yaitu sebagai berikut.

1. Terdapat sistem dinamis berbentuk


50

2. Filter Kalman diawali dengan

3. Filter Kalman dihitung untuk setiap waktu ke-

Bentuk pertama dari akan menjamin bahwa akan selalu berupa

matriks simetri yang definit positif, selama juga merupakan matriks

simetri yang definit positif. Bentuk ketiga dari lebih sederhana

penghitungannya dibandingan dengan bentuk pertama, tetapi tidak menjamin

apakah matriks yang diperoleh merupakan matriks simetri atau definit positif.

Jika dalam perhitungan digunakan bentuk kedua dari , maka perhitungan

harus menggunakan bentuk kedua, karena bergantung pada jadi


51

untuk menghitung digunakan bentuk kedua yang tidak bergantung pada

. Adapun bentuk-bentuk ini mirip dengan yang telah dibahas pada

pendugaan kuadrat terkecil. Tabel 3.1 berisi hubungan antara pendugaan dan

kovariansi errornya pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman.

Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat

terkecil dan filter Kalman

Pendugaan kuadrat terkecil Filter Kalman

= pendugaan sebelum diketahui = penduga priori

= kovariansi sebelum diketahui = kovariansi priori

= pendugaan setelah diketahui = penduga posteriori

= kovariansi setelah diketahui = kovariansi posteriori

Contoh 3.1

Contoh ini akan menunjukkan penerapan persamaan filter Kalman

dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sebuah sistem pengukuran dimana

diketahui , , , , dan ,

dengan , , dan , perhitungan filter Kalman pada saat

adalah sebagai berikut


52

Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk

memperoleh penduga .

B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah

Persamaan filter Kalman priori dan posteriori dapat digabungkan dalam

satu persamaan. Persamaan penduga keadaan priori dengan indeks dinaikkan

menjadi

Sedangkan persamaan posteriori untuk adalah

Dengan substiusi ke persamaan sebelumnya, diperoleh


53

Langkah yang sama diterapkan untuk memperoleh kovariansi

pendugaannya. Persamaan priori kovariansi dengan indeks dinaikkan menjadi



Dengan cara demikian pula, dapat diperoleh persamaan posteriori satu

langkah untuk penduga keadaan dan kovariansi penduga. Bentuk awal

persamaan penduga keadaan posteriori adalah

Substitusi persamaan priori , diperoleh

Bentuk awal persamaan posteriori dari kovariansi penduga adalah


54

Dengan substitusi , diperoleh

Contoh 3.2

Misalkan terdapat sistem Newton yang bebas derau dengan vektor posisi

, kecepatan , dan percepatan . Dengan kecepatan merupakan turunan dari

posisi dan percepatan merupakan turunan dari kecepatan, yaitu dan

.

Sistem tersebut dapat dituliskan

Dengan memisalkan

sistem tersebut menjadi

Diskretisasi dari sistem ini dengan sampel waktu dapat ditulis

dimana

yaitu pada waktu sampel ke , dan


55

Filter Kalman untuk sistem tersebut adalah

karena . Diperoleh Kalman gain yaitu

kemudian kovariansi posteriorinya yauitu


56

Terlihat bahwa trace dari kurang dari . Dari sini bisa disimpulkan

bahwa kovariansi penduga semakin mengecil, dan pendugaan menjadi lebih

terpercaya.

Simulasi pertama sistem ini dilakukan dengan 5 unit sampel waktu

atau , dan standar deviasi 30 unit. Gambar 3.2 menunjukkan variansi

dari penduga posisi ( dan ) untuk 5 langkah pertama filter Kalman.

Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman


57

Bisa dilihat bahwa variansinya membesar di setiap langkah, tetapi

berkurang setiap diperoleh hasil pengukuran yang baru. Hal yang sama juga

terlihat pada Gambar 3.3 yang menunjukkan variansi dari penduga posisi

( dan ) untuk 60 langkah pertama.

Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman

Gambar 3.4 Eror pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2


58

Selanjutnya Gambar 3.4 menunjukkan eror pengukuran posisi (dengan

standar deviasi dan hasil pendugaannya. Simulasi ini menunjukkan bahwa

filter Kalman efektif untuk menduga keadaan.

C. Derau Proses Pendugaan

Perhatikan sistem waktu diskret di bawah ini dengan matriks identitas

keadaan transisi dan sampel waktu :

dengan adalah proses derau putih dengan waktu diskret.

meyatakan bahwa merupakan variabel acak Gaussian dengan rata-rata 0

dan variansi . Akan dilihat bagaimana pengaruh derau putih terhadap

kovariansi dari keadaan tersebut. Sistem waktu diskret dapat diselesaikan

sebagai berikut:

Kovariansi dari keadaan tersebut menjadi:

Nilai dari parameter waktu kontinu sama dengan banyaknya langkah

waktu diskret kali sampel waktu , yaitu . Bisa dilihat bahwa


59

Kovariansi dari keadaan meningkat secara linear sebanding dengan

waktu untuk sampel waktu yang diberikan. Selanjutnya perhatikan sistem

waktu kontinu dengan matriks identitas keadaan transisi:

dimana adalah derau putih dengan waktu kontinu. Definisi untuk

derau putih dengan waktu kontinu yaitu

dimana dan memiliki arti yang sama dengan dan pada sistem waktu

diskret. merupakan fungsi impuls-respon waktu diskret, yaitu fungsi

dengan nilai saat , dan 0 selainnya, dengan luas 1. Kovariansi dari

adalah

Substitusi ke persamaan di atas diperoleh

Karena , maka persamaan di atas bisa ditulis


60

Dibandingkan dengan kovariansi keadaan untuk waktu diskret,

kovariansi keadaan untuk waktu kontinu juga meningkat secara linear dengan

perbandingan yang sama. Dengan kata lain, derau putih waktu diskret dengan

kovariansi pada sistem dengan sampel waktu ekuivalen dengan derau

putih waktu kontinu dengan kovariansi , dengan . Derau

putih waktu kontinu dengan rata-rata nol ditulis

yang sama artinya dengan

D. Derau Pengukuran

Misalkan terdapat pengukuran dengan waktu diskret untuk konstan

setiap detik. Waktu pengukuran adalah ,

Dari persamaan filter Kalman, diperoleh kovariansi error pendugaan

posteriori yaitu


61

Kovariansi pada waktu independen terhadap sampel waktu jika

dengan suatu konstan. Hal ini mengimplikasikan

dimana adalah fungsi impuls waktu kontinu. Hal ini memperlihatkan

ekuivalensi antara derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret dan

waktu kontinu. Pengaruh derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret

akan sama dengan pengaruhnya pada sistem waktu kontinu jika

Menulis sama artinya dengan mengatakan bahwa

E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu

Misalkan terdapat sistem waktu kontinu yaitu


62

Selanjutnya misalkan terdapat sistem hasil diskretisasi dengan sampel

waktu . Diperoleh

Matriks-matriks pada sistem waktu diskret dihitung sebagai berikut:

Maktriks gain filter Kalman untuk sistem ini adalah

Kovariansi error pendugaan menjadi

Untuk nilai yang kecil, persamaan tersebut menjadi


63


Kemudian dengan mengurangkan dan kedua ruas dibagi , diperoleh

Dengan mengambil limit ketika dan mengingat kembali bahwa

diperoleh

Persamaan ini disebut Persamaan diferensial Riccati dan dapat digunakan

untuk menghitung kovariansi pendugaan untuk filter Kalman waktu kontinu.

Pada bagian sebelumnya, telah diperoleh persamaan filter Kalman untuk

yaitu


64

Dengan asumsi bahwa kecil, persamaan pembaruan pengukuran dapat

ditulis

Selanjutnya substitusi dari diperoleh

Dengan mengurangkan di kedua ruas dan dibagi , lalu diambil

limit ketika , diperoleh

Atau dapat juga ditulis

Filter Kalman waktu kontinu dapat diringkas sebagai berikut

1. Sistem dinamis dengan waktu kontinu dan persamaan pengukuran adalah

dimana dan adalah proses derau putih waktu kontinu.

2. Persamaan filter Kalman waktu kontinu adalah


65

Contoh 3.3

Misalkan akan dicari suatu konstan dengan derau pengukuran waktu

kontinu sebagai berikut:

Jelas bahwa , , dan . Persamaan diferensial untuk

kovariansi error penduganya adalah

dengan . Dari sini diperoleh


66

Selanjutnya diperoleh Kalman gain yaitu

Persamaan pembaruan keadaan yaitu

Hal ini menunjukkan bahwa setelah diperoleh pengukuran yang tak

hingga banyaknya atas suatu konstan, pendugaan terhadap nilai konstan

tersebut menjadi sempurna, dan pengukuran tambahan tidak bisa lagi

membuat pendugaan menjadi lebih baik. Kalman gain juga menuju nol ketika

waktunya semakin membesar, yang artinya pengukuran tambahan diabaikan

karena pendugaan telah sempurna. Selanjutnya kovariansi juga menuju nol,

menunjukkan tingkat ketidakpercayaan atas pendugaan sama dengan nol,

sama saja dengan mengatakan bahwa hasil pendugaan sempurna pada waktu

tak hingga.


67

F. Linearisasi Filter Kalman

Filter Kalman pada bagian sebelumnya diterapkan langsung hanya untuk

sistem linear. Agar metode tersebut bisa digunakan dalam sistem nonlinear,

maka terlebih dahulu dilakukan linearisasi terhadap sistem tersebut.

Misalnya terdapat sistem nonlinear:

dengan dan fungsi nonlinear. Dengan menggunakan deret Taylor,

fungsi-fungsi tersebut akan dilinearisasi untuk memperoleh dan yang

linear sebagai berikut

Asumsikan bahwa derau dan keduanya selalu nol, maka

diperoleh dan . Lebih jauh lagi, diasumsikan

pula bahwa diketahui sebab ditentukan oleh kontrol sistem

sehingga tidak terdapat ketidak-pastian pada nilainya. Artinya

dan . Tetapi nyatanya bisa juga terdapat ketidakpastian pada

kontrol sistem karena terhubung dengan aktuator yang bias dan berderau. Jika


68

terjadi kasus seperti ini, maka kontrol untuk bisa ditulis sebagai

, dengan diketahui merupakan variabel random

dengan rata-rata nol, sehingga sistem bisa ditulis kembali dengan kontrol

signal yang diketahui, dan termasuk bagian dari derau proses.

Selanjutnya didefinisikan nominal sistem trajektori yaitu

Definisikan

Dengan definisi tersebut, diperoleh

Persamaan tersebut merupakan sistem linear dengan keadaan dan

pengukuran , sehingga dapat digunakan filter Kalman untuk menduga .

Dari sini diperoleh persamaan filter Kalman untuk linearisasi filter Kalman

yaitu


69

Linearisasi filter Kalman waktu kontinu dapat dirangkum sebagai berikut:

1. Sistem persamaannya yaitu

dengan nominal trajektori

2. Hitung turunan parsial:


70

3. Hitung matriks-matriks

4. Definisikan sebagai selisih antara pengukuran yang sebenarnya

dengan pengukuran nominal :

5. Kerjakan persamaan filter Kalman berikut:

6. Keadaan diduga dengan:

G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu

Dengan menggabungkan dan

, diperoleh

Selanjutnya dipilih sehingga dan .

menjadi , dan diperoleh


71

Persamaan ini menjadi ekuivalen dengan linearisasi filter Kalman kecuali

bahwa , dan bahwa bisa diperoleh secara langsung dari persamaan.

Kalman gain tetap sama dengan yang diperoleh pada linearisasi filter

Kalman.

Perluasan Filter Kalman waktu kontinu bisa diringkas sebagai berikut:

1. Sistem persamaannya yaitu:

2. Hitung turunan parsial:

3. Hitung matriks-matriks:

4. Kerjakan persamaan filter Kalman berikut:


72

dengan nilai nominal derau dan .

H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret

Misalkan terdapat model sistem

Dengan menerapkan ekspansi deret Taylor pada persamaan keadaan di

sekitar dan , diperoleh:

dan didefinisikan:


73

Persamaan pengukuran dilinearkan di sekitar dan ,

diperoleh

dan didefinisikan:

Dengan menggunakan persamaan filter Kalman biasa yang telah

diperoleh di bagian sebelumnya, berikut adalah persamaan-persamaan

perluasan filter Kalman waktu diskret:

Perluasan filter Kalman dengan waktu diskret dapat dirangkum sebagai

berikut:

1. Persamaan sistem dan pengukuran yaitu:


74

2. Awali filter dengan

3. Untuk , lakukan:

a. Hitung turunan diferensial

b. Perbarui waktu dari penduga keadaan dan kovariansi error

pendugaan:

c. Hitung turunan diferensial

d. Perbarui pengukuran dari penduga keadaan dan kovariasi error

pendugaan:


75


76

BAB IV

SIMULASI FILTER KALMAN

Materi pada bab sebelumnya telah menjabarkan bagaimana memperoleh

algoritma dari beberapa jenis filter Kalman. Bab ini berisi simulasi filter Kalman

dalam beberapa masalah, serta beberapa penerapan filter Kalman dalam

kehidupan sehari-hari.

A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan

Simulasi dimulai dengan memilih suatu skalar konstan secara acak.

Misalkan . Setelah itu tetapkan 50 sampel pengukuran yang

errornya berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan standar deviasi 0,1.

Dengan kovariansi awal , dan dugaan awal , hasil simulasi

filter Kalman untuk menduga nilai dari sampel yang tersedia bisa dilihat

seperti pada gambar-gambar berikut.

Gambar 4.1 Pendugaan konstan


77

Gambar 4.1 memperlihatkan bagaimana hasil dugaan yang diperoleh

semakin mendekati nilai sebenarnya. Bisa dilihat pula bagaimana eror

pendugaan semakin mendekati nol, yang artinya pendugaan semakin baik.

Begitu juga dengan variansi yang semakin mendekati nol, menandakan

tingkat kepercayaan akan pendugaan semakin tinggi.

Gambar 4.2 Pendugaan konstan

Gambar 4.3 Variansi pendugaan konstan


78

Data-data sampel pengukuran, hasil pengukuran, pendugaan dan variansi

nya pada setiap langkah pengukuran dalam simulasi pertama ini dapat dilihat

pada tabel berikut.

Tabel 4.1 Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan

Langkah

ke- Pengukuran Pendugaan

Error

pendugaan Kovariansi

0 0.53385 0.00000 0.52611 1.00000

1 0.40470 0.40069 0.12542 0.00990

2 0.41476 0.40769 0.11842 0.00498

3 0.52543 0.44681 0.07930 0.00332

4 0.67937 0.50480 0.02131 0.00249

5 0.44914 0.49369 0.03242 0.00200

6 0.56325 0.50527 0.02084 0.00166

7 0.50355 0.50502 0.02109 0.00143

8 0.63785 0.52160 0.00451 0.00125

9 0.41720 0.51002 0.01609 0.00111

10 0.52937 0.51195 0.01416 0.00100

11 0.58136 0.51825 0.00786 0.00091

12 0.63617 0.52807 -0.00196 0.00083

13 0.68053 0.53979 -0.01368 0.00077

14 0.53470 0.53943 -0.01332 0.00071

15 0.37695 0.52860 -0.00249 0.00067

16 0.45188 0.52381 0.00230 0.00062

17 0.41995 0.51771 0.00840 0.00059

18 0.76116 0.53122 -0.00511 0.00056

19 0.46455 0.52772 -0.00161 0.00053

20 0.60092 0.53137 -0.00526 0.00050


79

21 0.50687 0.53021 -0.00410 0.00048

22 0.61497 0.53406 -0.00795 0.00045

23 0.44963 0.53039 -0.00428 0.00043

24 0.38588 0.52437 0.00174 0.00042

25 0.38387 0.51875 0.00736 0.00040

26 0.57493 0.52091 0.00520 0.00038

27 0.50837 0.52045 0.00566 0.00037

28 0.50650 0.51995 0.00616 0.00036

29 0.66804 0.52506 0.00105 0.00034

30 0.55527 0.52606 0.00005 0.00033

31 0.54589 0.52670 -0.00059 0.00032

32 0.68488 0.53164 -0.00553 0.00031

33 0.44566 0.52904 -0.00293 0.00030

34 0.59577 0.53100 -0.00489 0.00029

35 0.60962 0.53325 -0.00714 0.00029

36 0.50174 0.53237 -0.00626 0.00028

37 0.54768 0.53278 -0.00667 0.00027

38 0.40953 0.52954 -0.00343 0.00026

39 0.41131 0.52651 -0.00040 0.00026

40 0.53660 0.52676 -0.00065 0.00025

41 0.59834 0.52851 -0.00240 0.00024

42 0.78466 0.53461 -0.00850 0.00024

43 0.45942 0.53286 -0.00675 0.00023

44 0.54484 0.53313 -0.00702 0.00023

45 0.51786 0.53279 -0.00668 0.00022

46 0.33281 0.52844 -0.00233 0.00022

47 0.48221 0.52746 -0.00135 0.00021

48 0.34664 0.52369 0.00242 0.00021

49 0.61015 0.52546 0.00065 0.00020

50 0.43731 0.52370 0.00241 0.00020


80

B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan

Masalah untuk simulasi selanjutnya adalah untuk menduga posisi dan

kecepatan dari sebuah kendaraan. Simulasi dilakukan 1 menit dengan

pengukuran sebanyak satu kali per detik ( pada sistem dinamis

berikut

Diperoleh matriks transisi , matriks input , dan

matriks pengukuran .

Hasil simulasi bisa dilihat pada gambar-gambar berikut.

Gambar 4.4 (a) Posisi kendaraan (b) error Posisi

Gambar 4.4 (a) menunjukkan posisi sebenarnya, posisi hasil pengukuran

dan posisi hasil pendugaan. Meskipun ketiganya terlihat berhimpitan, gambar

4.4 (b) menunjukkan hasil pengukuran dan hasil pendugaan terhadap posisi

yang sebenarnya.


81

Gambar 4.5 (a) Kecepatan kendaraan (b) error kecepatan

Hasil yang mirip terlihat pada gambar 4.5. Kecepatan hasil dugaan

hampir berhimpitan dengan kecepatan sebenarnya, dengan berada di sekitar

nol. Data untuk simulasi kedua ini dapat dilihat pada tabel-tabel berikut.

Tabel 4.2 (a) Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi

Langkah

ke-

Posisi Error

Sebenar-

nya

Hasil

pengukuran

Hasil

dugaan Pengukuran Pendugaan

0 0.0994 -9.113 0.0972 9.2124 0.0021

1 0.2883 18.1366 0.4273 -17.848 -0.139

2 0.5577 4.0492 0.956 -3.4916 -0.3984

3 1.4211 -10.849 1.5305 12.2696 -0.1094

4 2.4512 5.3331 2.4699 -2.8819 -0.0187

5 4.1189 -11.4 3.0548 15.5186 1.0641

6 5.795 6.2893 4.348 -0.4943 1.447

7 7.5521 10.5484 6.0898 -2.9964 1.4623


82

8 9.4432 8.4125 7.8112 1.0307 1.632

9 11.245 21.1474 10.9565 -9.9025 0.2884

10 13.4755 19.6856 14.0457 -6.2101 -0.5702

11 15.5806 23.4704 17.6094 -7.8898 -2.0288

12 17.6352 4.7125 17.9174 12.9226 -0.2822

13 20.1427 25.6362 21.5556 -5.4935 -1.4129

14 23.0068 20.7088 23.9173 2.298 -0.9105

15 26.0045 22.1362 26.1861 3.8683 -0.1816

16 29.3984 6.905 25.1826 22.4933 4.2157

17 33.3481 46.5126 31.8078 -13.165 1.5402

18 37.3461 39.1154 36.1528 -1.7694 1.1933

19 41.4417 46.3046 41.2698 -4.8628 0.1719

20 45.381 56.2861 47.5908 -10.905 -2.2099

21 49.646 53.0782 52.3608 -3.4322 -2.7148

22 54.1122 58.4986 57.4316 -4.3865 -3.3194

23 59.3349 46.2599 59.2923 13.075 0.0427

24 64.6258 71.1174 65.5893 -6.4915 -0.9634

25 69.9147 51.7798 67.1216 18.1349 2.7931

26 75.8226 76.9241 73.1727 -1.1015 2.6499

27 81.827 84.3699 79.7253 -2.5429 2.1017

28 88.1888 101.14 88.5301 -12.952 -0.3414

29 94.6999 99.3875 95.6453 -4.6877 -0.9455

30 100.969 115.675 104.797 -14.705 -3.8274

31 107.231 108.365 111.057 -1.1339 -3.8265

32 113.497 84.6739 111.509 28.8234 1.9888

33 119.69 113.923 117.331 5.7665 2.3591

34 125.91 120.693 123.439 5.2173 2.4711

35 132.068 136.573 131.596 -4.5049 0.4717

36 138.17 123.878 135.864 14.2911 2.3059

37 144.402 136.503 141.734 7.8993 2.6683


83

38 151.009 158.961 150.967 -7.9527 0.0414

39 158.299 170.053 160.876 -11.754 -2.5776

40 166.197 157.151 166.572 9.0466 -0.3749

41 174.578 179.121 175.497 -4.5434 -0.9195

42 183.626 180.984 183.242 2.6414 0.384

43 192.94 187.401 190.841 5.5399 2.0996

44 202.313 196.566 198.85 5.7468 3.4628

45 212.111 222.325 210.514 -10.214 1.597

46 221.999 234.582 222.671 -12.583 -0.6719

47 232.232 249.156 235.685 -16.925 -3.454

48 242.571 264.491 249.566 -21.92 -6.9952

49 253.29 257.313 259.681 -4.0226 -6.3902

50 264.184 282.404 272.897 -18.22 -8.7131

51 275.106 273.218 281.981 1.888 -6.875

52 286.317 291.608 292.921 -5.2907 -6.6035

53 297.43 294.837 302.461 2.5929 -5.0304

54 308.361 312.096 313.561 -3.7351 -5.2001

55 319.913 320.899 324.337 -0.9866 -4.4245

56 331.673 335.206 335.915 -3.5329 -4.2419

57 343.4 351.161 348.512 -7.7616 -5.1126

58 355.341 379.996 364.554 -24.654 -9.2122

59 367.691 366.965 375.241 0.726 -7.5495

60 380.06 378.475 386.102 1.5847 -6.0427

Tabel 4.2 (b) Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Kecepatan

Langkah

ke-

Kecepatan

sebenarnya

Kecepatan

hasil dugaan

Error

pendugaan

0 0.1816 0.1982 -0.0165

1 0.1894 0.4123 -0.223


84

2 0.5775 0.6179 -0.0404

3 0.9629 0.7783 0.1846

4 1.3412 0.9926 0.3487

5 1.5316 1.0902 0.4414

6 1.5493 1.3085 0.2407

7 1.8109 1.5618 0.2491

8 1.9816 1.7704 0.2112

9 2.2603 2.1406 0.1197

10 2.1559 2.4458 -0.2899

11 2.02 2.7641 -0.7441

12 2.469 2.6832 -0.2142

13 2.7173 2.9728 -0.2554

14 2.9556 3.1012 -0.1456

15 3.2517 3.2104 0.0413

16 3.6692 3.0011 0.6681

17 3.7428 3.5287 0.2142

18 3.6491 3.7943 -0.1452

19 3.8061 4.105 -0.2989

20 4.2597 4.4953 -0.2356

21 4.372 4.7109 -0.3389

22 5.079 4.9342 0.1448

23 5.1115 4.8506 0.2609

24 5.272 5.171 0.101

25 5.6512 5.0361 0.6151

26 6.0205 5.3182 0.7023

27 6.141 5.6202 0.5208

28 6.1343 6.0983 0.036

29 6.2352 6.3811 -0.1458

30 6.0918 6.8226 -0.7307

31 6.1897 6.9626 -0.7729


85

32 6.0973 6.5632 -0.4659

33 6.2049 6.6869 -0.4821

34 6.0414 6.8253 -0.7839

35 6.029 7.1372 -1.1081

36 6.2088 7.0674 -0.8586

37 6.4908 7.1495 -0.6587

38 7.0864 7.5298 -0.4434

39 7.7584 7.9369 -0.1785

40 8.3487 7.9242 0.4245

41 8.9523 8.206 0.7463

42 9.244 8.355 0.889

43 9.3666 8.4773 0.8893

44 9.5546 8.6256 0.929

45 9.8017 9.0926 0.7092

46 9.9854 9.5618 0.4236

47 10.192 10.0662 0.1258

48 10.4657 10.6036 -0.1378

49 10.8472 10.7501 0.0971

50 11.0241 11.1649 -0.1408

51 11.0967 11.1669 -0.0701

52 10.94 11.3372 -0.3972

53 10.9519 11.3649 -0.413

54 11.4768 11.5318 -0.055

55 11.4918 11.6541 -0.1624

56 11.7468 11.8381 -0.0913

57 11.98 12.098 -0.1179

58 12.4057 12.647 -0.2413

59 12.1924 12.6599 -0.4676

60 12.376 12.6875 -0.3115


86

C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang

Filter Kalman sering digunakan dalam sistem robotik. Dari berbagai

faktor yang mempengaruhi performa sistem robotik, filter Kalman memiliki

kontribusi yang besar terhadap persepsi visi robot. Dalam hal ini, filter

Kalman menyelesaikan masalah ketidakpastian dalam lokalisasi robot,

navigasi, tracking, kontrol gerak, dan lain-lain. Lokalisasi oleh visi artifisial

merupakan kunci bagi robot bergerak, khususnya pada lingkungan dimana

GPS tidak akurat dan sensor inertial tidak tersedia.

Peranan filter Kalman dalam berbagai persepsi visi robot yang paling

signifikan antara lain:

1. Kontrol robot

2. Tracking objek

3. Mengikuti jalur

4. Pendugaan dan prediksi data

5. Lokalisasi robot

6. Manipulasi robotik

7. Navigasi visual

Sedangkan metode-metode untuk menyelesaikan masalah visi robot

antara lain:

1. Filter Kalman

2. Filter Kalman keadaan seimbang

3. Ensemble Kalman Filter (EnKF)

4. Adaptive Kalman Filter (AKF)


87

5. Switching Kalman Filter (SKF)

6. Fuzzy Kalman Filter

7. Extended Kalman Filter (EKF)

8. Augmented State EKF

Beberapa tujuan dengan metode yang cocok untuk dijalankan dapat

dilihat pada tabel 4.3.

Tabel 4.3 Tujuan dan Metode Filter Kalman yang Berkaitan

Tujuan Metode

Lokalisasi robot

bergerak

EKF untuk robot bergerak dalam lingkungan

Navigasi berdasarkan

visi

EKF untuk pendugaan posisi dan orientasi

Deteksi objek

Filter Kalman untuk integrasi informasi dan

adapsi parameter

Stabilisasi gambar EKF untuk prediksi sudut

Kendaraan

Autonomous

EKF untuk deteksi cepat dan tracking pembatas

jalan

Estimasi pose EKF untuk kompensasi dan fusi informasi

Selain untuk visi robot, aplikasi filter Kalman juga bisa digunakan dalam

berbagai bidang, khususnya yang mempunyai dua tujuan utama yaitu

menduga keadaan dari suatu sistem dinamis dan menganalisis kelangsungan

pendugaan sistem.


88

Salah satu contohnya yaitu prediksi banjir. Sistem dinamis yang diamati

yaitu sistem sungai, dengan hasil pengukuran ketinggian air, curah hujan dan

radar cuaca.

Contoh lainnya yaitu dalam bidang navigasi. Sistem dinamis yang

diamati yaitu kapal, dengan keterangan dari sekstan, catatan harian kapal,

giroskop, pengukur percepatan, dan penerima .


89

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Filter Kalman disebut sebagai penduga kuadrat terkecil linear karena

meminimalkan rata-rata kuadrat pendugaan suatu sistem linear stokastik.

Filter Kalman diawali dengan pengamatan mengenai sistem dan alat

pengukuran yang digunakan. Pokok dari filter Kalman adalah mencari

matriks , penduga , dan kovariansi .

Tabel-tabel berikut meringkas langkah-langkah filter Kalman.

Tabel 5.1 Filter Kalman dengan waktu diskret

Model sistem dinamis

Asumsi

Kondisi awal

Perhitungan


90

Tabel 5.2 Filter Kalman dengan waktu kontinu


Kondisi awal

Perhitungan

Tabel 5.3 Perluasan Filter Kalman dengan waktu kontinu


Kondisi awal

Perhitungan

Tabel 5.4 Perluasan Filter Kalman dengan waktu diskret



91

Kondisi awal

Perhitungan

Dari simulasi yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, diperoleh

bahwa dengan filter Kalman, error hasil pendugaan lebih kecil dari hasil

pengukurannya. Dengan demikian bisa ditarik kesimpulan bahwa filter

Kalman merupakan penduga keadaan yang baik. Oleh karena itulah filter

kalman digunakan secara luas dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan

sistem dinamis.

B. SARAN

Banyak hal mengenai filter Kalman yang belum sempat dibahas dalam

tulisan ini. Oleh karena itu, bagi pembaca yang ingin menulis kajian lebih

lanjut tentang filter Kalman, berikut beberapa saran yang bisa diberikan

penulis:

1. Membuktikan bahwa penduga pada filter Kalman merupakan penduga

yang baik secara statistik.

2. Memperjelas bagaimana variansi hasil pendugaan lebih kecil dari

variansi hasil pengukuran dengan teori statistika.

3. Menjelaskan perambatan keadaan dan kovariansi pada filter Kalman

4. Menjelaskan kestabilan dari penduga-penduga yang diperoleh


92

5. Membahas jenis-jenis filter Kalman yang lain, seperti Unscented Kalman

Filter, Ensemble Kalman Filter, Adaptive Kalman Filter, dan lain-lain.

6. Membahas lebih lanjut mengenai salah satu atau beberapa penerapan

filter Kalman dalam masalah pendugaan, berkaitan dengan prediksi

banjir, tracking, dan navigasi.


93

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., & Rorres, C. (2000). Elementary Linear Algebra. Application Version

8th

Ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Bertein, J.C., & Ceschi, R. (2009). Discrete Stochastic Processes and Optimal

Filtering 2nd

Ed. London: John Wiley & Sons, Inc.

Chen, S.Y., “Kalman Filter for Robot Vision”, IEEE Transactions on Industrial

Electronics, voll 59, no.11, November 2012

Chui, C.K., & Chen, G. (2009). Kalman Filtering with Real-Time Applications, 4th

Ed. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

Crassidis, J.L., & Junkins, J.L. (2012). Optimal Estimation of Dynamic Systems

2nd

Ed. Boca Raton: Taylor & Francis Group.

Grewal, M.S., & Andrews, A.P. (2015). Kalman Filtering. Theory and Practice

Using MATLAB®

4th

Ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Hasan, K. (2002). Nonlinear Systems 3rd

Ed. New Jersey: Prentice Hall.

Maybeck, P.S. (1979). Stochastic Models, Estimation, and Control Volume 1.

New York: Academic Press, Inc.

Simon, D. (2006). Optimal State Estimation. Kalman, , and Nonlinear

Approaches. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.


94

Stengel, R.F. (1994). Optimal Control and Estimation. New York: Dover

Publications, Inc.

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientist, 9th

Ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Welch, G., & Bishop, G. (2001). An Introduction to the Kalman Filter. Chapel

Hill: ACM, Inc.

Zarchan, P., & Musoff, H. (2009). Fundamentals of Kalman Filtering: A

Practical Approach, 3rd

Ed. Reston, Virginia: American Institute of

Aeronautics and Astronautics, Inc.


95

LAMPIRAN

Bagian ini berisi matlab source code untuk contoh-contoh & gambar-gambar

Contoh 2.3

Gambar 2.1

clear

close all

clc

h=[1:10]; %langkah pengukuran

y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil

pengukuran

H=[ones(length(y),1) h']; %matriks koefisien

xe=inv(H'*H)*H'*y %x hasil pendugaan

subplot(1,2,1)

plot(h,y,'-o')

hold on

ye=xe(1)+xe(2)*H(:,2); %y hasil pendugaan

plot(h,ye,'g');

title('pendugaan kuadrat terkecil')

xlabel('pengukuran ke-')

ylabel('hasil pengukuran')

legend('pengukuran','estimasi',4)

err=abs(y-ye); %error pendugaan

subplot(1,2,2)

plot(h,err,'-r')

title('error pendugaan kuadrat terkecil')


96


ylabel('error')

for i=1:10

j(i)=err(i)^2;

end

J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye

Gambar 2.2

clear

close all

clc


y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil

pengukuran


%v=rand(10,1) %variansi

v=[0.3786, 0.8116, 0.5328, 0.3507, 0.9390, 0.8759, 0.5502, 0.6225,

0.5870, 0.2077]'; %variansi yang digunakan dalam contoh

r=zeros(length(v));

d=diag(cov(v*v'));

for i=1:10;

r(i,i)=d(i);

end

R=r; %matriks kovariansi

xe=inv(H'*inv(R)*H)*H'*inv(R)*y %x hasil pendugaan

subplot(1,2,1)

plot(h,y,'-o')

hold on


97

ye=xe(1)+xe(2)*H(:,2); %y hasil pendugaan

plot(h,ye,'g');

title('pendugaan kuadrat terkecil berbobot')




err=abs(y-ye); %error pendugaan

subplot(1,2,2)

plot(h,err,'-r')

title('error pendugaan kuadrat terkecil berbobot')


ylabel('error')

for i=1:10

j(i)=err(i)^2;

end

J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye

Contoh 2.4

clear

close all

clc


y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil

pengukuran


%v=rand(10,1) %variansi

v=[0.3786, 0.8116, 0.5328, 0.3507, 0.9390, 0.8759, 0.5502, 0.6225,

0.5870, 0.2077]'; %variansi yang digunakan dalam contoh


98

r=zeros(length(v));

d=diag(cov(v*v'));

I=eye(2);

for i=1:length(h);

r(i,i)=d(i);

end

R=r; %matriks kovariansi

P0=0.02*eye(2); %kovariansi error pendugaan awal

x0=[0;0]; %dugaan awal

K=P0*H'*inv(R+H*P0*H'); %Kalman gain

x=x0+K*(y-H*x0);

P=(I-K*H)*P0*(I-K*H)'+K*R*K';

xe(1:2,1)=x;

%%update

for k=2:length(h)

K=P*H'*inv(R+H*P*H');

x=x+K*(y-H*x);

P=(I-K*H)*P*(I-K*H)'+K*R*K';

xe(1:2,k)=x;

end

xe %hasil pendugaan

subplot(1,2,1)

plot(h,y,'-o')

hold on

ye=xe(1,:)+xe(2,:).*H(:,2)'; %y hasil pendugaan

plot(h,ye,'g');

title('pendugaan kuadrat terkecil rekursif')



99



err=abs(y-ye'); %error pendugaan

subplot(1,2,2)

plot(h,err,'-r')

title('error pendugaan kuadrat terkecil rekursif')


ylabel('error')

for a=1:10

j(a)=err(a)^2/v(a);

end

J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye dibagi

variansi

Contoh 3.2

clear

clc

load Contoh_3_2

N=6; %banyaknya langkah

T=5;

sigma=30; %standar deviasi pengukuran posisi /pemisalan

R=sigma^2; %variansi

P0=[100 0 0; 0 10 0; 0 0 1];

A=[0 1 0; 0 0 1; 0 0 0];

H=[1 0 0];

F=[1 T T*T/2; 0 1 T; 0 0 1];

x=[1; 1; 1];

xt=x; %awal pendugaan


100

%menyiapkan matriks

posm=[];

xtm=[];

ym=[];

Pplus=P0;

Varminus=[];

Varplus=[P0(1,1)];

Km=[];

for k=1:N

%simulasi sistem dan pengukuran

v=vv(k);

x=F*x;

y=H*x+sigma*v;

%estimasi keadaan

Pminus=F*Pplus*F';

K=Pminus*H'*inv(H*Pminus*H'+R);

xt=F*xt;

xt=xt+K*(y-H*xt);

Pplus=(eye(3)-K*H)*Pminus*(eye(3)-K*H)'+K*R*K';

%menyimpan data

posm=[posm x(1)];

xtm=[xtm xt];

ym=[ym y];

Varminus=[Varminus Pminus(1,1)];

Varplus=[Varplus Pplus(1,1)];

Km=[Km K];

end

%plot hasil


101

figure;

k=1:N;

plot(k,ym-posm,'r:');

hold on;

plot(k,xtm(1,:)-posm,'b-');

xlim([0 60]);

xlabel('langkah ke-');

ylabel('posisi');

legend('error pengukuran','error pendugaan');

figure;

hold on;

for k=1:N-1

plot([k-1 k],[Varplus(k) Varminus(k+1)]);

plot([k k],[Varminus(k+1) Varplus(k+1)]);

end

xlabel('langkah ke-');

ylabel('error variansi penduga posisi');

Simulasi A

clear

close all

clc

load Simulasi_A

t=0:50;

z=0.52611; %konstan yang akan diduga

R0=0.1;

%n1=randn(size(t)); %variabel random berdistribusi normal standar

n1;


102

y=z+R0.*n1; %variabel random berdistribusi normal dengan rata-rata

y dan standar deviasi R0

P=[];

x=[];

err=[];

R=0.01; %variansi derau pengukuran

P(1)=1; %variansi error pendugaan awal

x(1)=0; %dugaan

for i=2:length(t)

K=P(i-1)*inv(P(i-1)+R);

x(i)=x(i-1)+K*(y(:,i)-x(i-1));

P(i)=P(i-1)-K*P(i-1);

end

err=z-x;

figure

plot(t,y,'o')

hold on

plot(t,x,'k')

plot(t,z,'g.')

title('pendugaan konstan')

xlabel('langkah ke-')

ylabel('konstan')

legend('sampel pengukuran','hasil dugaan','nilai konstan

sebenarnya')

figure

plot(t,err,t,0)

title('error pendugaan')



103

ylabel('error')

figure

plot(t,P)


ylabel('konstan')

title('variansi error pendugaan')

Simulasi B

clear

close all

clc

load Simulasi_B

t=60; %waktu simulasi

dt=1; %waktu untuk satu langkah update

dem=10; %derau pengukuran

dea=0.2; %derau percepatan

a=[1 dt; 0 1]; %matriks transisi (F)

b=[dt^2/2; dt]; %matriks input (G)

c=[1 0]; %matriks pengukuran (H)

x=[0; 0]; %vektor keadaan awal

xt=x; %vektor dugaan awal

Sz=dem^2; %kovariansi error pengukuran

Sw=dea^2*[dt^4/4 dt^3/2; dt^3/2 dt^2]; %kovariansi error proses

pendugaan

P=Sw; %kovariansi error estimasi awal

%menyiapkan matriks

pos=[]; %matriks posisi sebenarnya

post=[]; %matriks posisi dugaan


104

posm=[]; %matriks posisi hasil pengukuran

vel=[]; %matriks kecepatan sebenarnya

velt=[]; %matriks kecepatan dugaan

for k=0:dt:t

u=0.2; %misalkan percepatannya 0.2m/s^2

ue=due(k+1);

we=dwe(k+1);

deP=dea*[(dt^2/2)*ue; dt*we]; %derau proses pendugaan

x=a*x+b*u+deP;

ve=dve(k+1);

deM=dem*ve;

y=c*x+deM;

xt=a*xt+b*u;

Inn=y-c*xt;

s=c*P*c'+Sz;

K=a*P*c'*inv(s);

xt=xt+K*Inn;

P=a*P*a'-a*P*c'*inv(s)*c*P*a'+Sw;

pos=[pos; x(1)];

posm=[posm; y];

post=[post; xt(1)];

vel=[vel; x(2)];

velt=[velt; xt(2)];

end

%plot hasil

k=0:dt:t;

%Posisi

figure


105

subplot(1,2,1)

plot(k,pos,'b-',k,posm,'g--',k,post,'r-.');

xlabel('Waktu (s)');

ylabel('Posisi (m)');

title('Posisi');

legend('posisi sebenarnya','posisi hasil pengukuran','posisi hasil

dugaan',2);

%Error posisi

subplot(1,2,2)

plot(k,pos-posm,'b-',k,pos-post,'g--');


ylabel('Error Posisi (m)');

title('Error Pengukuran dan Error Pendugaan');

legend('error pengukuran','error pendugaan');

%Kecepatan

figure

subplot(1,2,1)

plot(k,vel,'b-',k,velt,'r-.')


ylabel('Kecepatan (m/s)');

title('Kecepatan');

legend('kecepatan sebenarnya','kecepatan hasil dugaan',2);

%Error kecepatan

subplot(1,2,2)

plot(k,vel-velt)


ylabel('Error Kecepatan (m/s)');

title('Error Kecepatan');


filter kalman skripsi · 2017-12-18 · halaman judul dalam bahasa inggris ... filter kalman...

Documents