1 distribusi waktu tunggu pada antrian dengan ... channel, single phase 4. multi channel, multi...

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

1

Abstrak— Disiplin antrian yang sering diterapkan adalah disiplin pelayanan FCFS, namun tidak semua sistem antrian menerapkan disiplin antrian tersebut. Disiplin pelayanan yang juga sering diterapkan adalah disiplin pelayanan prioritas, yaitu pelanggan dilayani sesuai dengan tingkat prioritas dari pelanggan tersebut. Disiplin prioritas sering diterapkan di rumah sakit, salah satu contohnya adalah di IRD RSUD Dr. Soetomo.Penelitian yang dilakukan adalah menghitung rata-rata waktu antar kedatangan, waktu pelayanan, dan waktu tunggu pasien dalam antrian prioritas di IRD RSUD dr. Soetomo Surabaya. Data yang diperlukan adalah waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan, sehingga dari data tersebut diperoleh hasil analisis sistem antrian prioritas. Hasil analisis sistem antrian prioritas adalah rata-rata waktu kedatangan pasien kategori gawat yang terpendek yaitu sekitar 12,233 menit per pasien, sedangkan untuk rata-rata waktu pelayanannya yaitu sekitar 2,91 menit per pasien. Waktu tunggu terlama pasien kategori stabil dalam antrian prioritas yaitu sekitar 14,57937337 menit per pasien sedangkan waktu yang dihabiskan pasien kategori stabil dalam sistem yang terlama yaitu sekitar 34,70006939 menit per pasien.

Kata Kunci— Antrian Prioritas, Rumah Sakit , Sistem Antrian,

Waktu Tunggu.

I. PENDAHULUAN engantri bagi sebagian besar masyarakat adalah suatu pekerjaan yang membosankan dan sesuatu yang tidak

menyenangkan. Bahkan sebagian orang tidak mau atau enggan untuk mengantri, sehingga mereka keluar dari antrian sebelum mereka mendapat pelayanan. Antrian sendiri terjadi karena waktu antar kedatangan pasien lebih cepat daripada waktu pelayanan. Selain itu, disiplin antrian yang digunakan dalam pelayanan juga dapat menjadi salah satu faktor penyebab terjadinya antrian. Disiplin antrian yang umum diterapkan dalam kehidupan sehari-hari adalah FCFS (First Come First Served), namun dalam beberapa kejadian, disiplin antrian tersebut tidak selalu diterapkan, karena alasan kebutuhan pasien yang harus segera dilayani. Salah satu contoh yang tidak selalu menerapkan disiplin antrian FCFS adalah pelayanan di rumah sakit. Disiplin yang diterapkan adalah disiplin pelayanan PS (Priority Service), yaitu pasien yang keadaannya lebih kritis akan dilayani lebih dulu tanpa harus memperhatikan siapa yang datang lebih dulu. Semakin banyaknya rumah sakit dan penawaran jasa kesehatan maka orang akan semakin selektif dalam menentukan tempat berobat, sehingga untuk dapat menang dalam berkompetisi maka pihak rumah sakit hendaknya memperbaiki sistem pelayanan yang ada. Sistem

pelayanan yang dimaksud adalah meliputi jumlah tenaga medis, waktu pelayanan terhadap pasien [1]. Pasien yang akan memasuki antrian harus melalui beberapa tahap. Tahap pertama pasien menuju loket untuk memperoleh nomer antrian, setelah itu pasien akan dipanggil sesuai nomor urut untuk dilayani[2]. Namun, jika ada pasien yang keadaannya lebih kritis maka akan dilayani terlebih dahulu. Hal ini sangat berpengaruh bagi pasien yang sebelumnya sudah mengantri karena harus rela menunggu lebih lama lagi untuk mendapatkan pelayanan. Jika hal ini berlangsung terus menerus maka akan mengakibatkan dampak negatif bagi pihak pasien dan rumah sakit. Dampak negatif yang dapat terjadi bagi pihak rumah sakit dan pihak pasien adalah terjadinya protes dari pihak pasien, pasien keluar dari antrian sebelum mendapatkan pelayanan, pihak rumah sakit akan kalah berkompetisi, dan yang lebih fatal adalah kematian[3].

Dampak negatif tersebut harus segera diatasi, agar dapat memberikan pelayanan yang optimal untuk pasien. Sehingga perlu solusi untuk dapat menghindari dampak-dampak negatif. Berdasarkan dampak dan masalah yang terjadi di rumah sakit, maka dalam Tugas Akhir ini penulis mengajukan judul “Analisa Distribusi Waktu Tunggu Pada Antrian Dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya)”.

II. URAIAN PENELITIAN

A. Teori Antrian Antrian adalah orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani. Hal ini terjadi karena orang-orang atau barang yang datang ke dalam sebuah fungsi pelayanan lebih cepat daripada pelayanan itu sendiri. Dalam sistem antrian terdapat komponen-komponen dasar, yaitu[4]: 1. Input 2. Output 3. Waktu antar kedatangan 4. Tingkat kedatangan 5. Waktu pelayanan 6. Tingkat pelayanan

B. Disiplin Antrian Disiplin antrian adalah cara server memilih pelanggan untuk dilayani. Beberapa jenis disiplin antrian antara lain: 1. FCFS (First Come First Served) berarti pelanggan yang

datang lebih dulu akan dilayani terlebih dahulu.

Distribusi Waktu Tunggu Pada Antrian Dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas

(Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya)

Tommy Yoga Aditama, Laksmi Prita Wardhani

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

Email: [email protected]

M

mailto:[email protected]


2

2. LIFO (Latest In First Out) berarti pelanggan yang datang paling terakhir maka akan dilayani terlebih dahulu.

3. SIRO (Service In Random Order) berarti semua pelanggan memiliki kesempatan yang sama untuk dilayani lebih dulu, tidak peduli siapa yang datang lebih dulu.

4. PS (Priority Service) berarti pasien yang memiliki prioritas lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu, tidak peduli siapa yang datang lebih dulu.

C. Jenis Sistem Antrian 1. Single Channel, Single Phase 2. Single Channel, Multi Phase 3. Multi Channel, Single Phase 4. Multi Channel, Multi Phase D. Model Antrian Prioritas Preemptive M/G/S Model antrian M/G/s, tanda pertama (M) menunjukkan bahwa tingkat kedatangan berdistribusi poisson, waktu pelayanan berdistribusi umum, dengan jumlah server lebih dari satu (s>1). sistem antrian akan mencapai kondisi steady-statte jika[6]: 𝜌 = λ

𝑠𝜇< 1 (1)

Sedangkan persamaan untuk 𝑃0, 𝐿𝑞 , 𝐿,𝑊𝑞, 𝑊 yaitu sebagai berikut: Probabilitas tidak ada pasien[6]: 𝑃0 = 1 − 𝜌 (2) Rumus yang digunakan untuk menghitung ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian pada model antrian prioritas preemptive M/G/s adalah sebagai berikut[7]: 𝑊𝑞 =

λ2𝜇−2�λ𝜇�𝑠−1

2(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇�

2�∑

�λ𝜇�𝑛

𝑛! + 𝑠−1𝑛=0

�λ𝜇�𝑠

(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇��

,𝑛 = 0,1,2.. (3)

Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem (𝑊) adalah[6]: 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1

𝜇 (4)

Ekspektasi banyak pelanggan dalam antrian (𝐿𝑞) adalah[6]: 𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 (5) Ekspektasi banyak pelanggan dalam sistem (𝐿) adalah[6]: 𝐿 = λ 𝑊 (6) E. Uji Distribusi Data Data yang dikumpulkan baik tingkat kedatangan maupun waktu pelayanan diuji terlebih dahulu distribusinya agar dapat dipakai sesuai dengan teori antrian yang digunakan. Metode yang digunakan adalah metode uji Chi Square, dimana pada metode ini adalah menguji hasil dari frekuensi observasi memang konsisten dengan frekuensi yang diharapkan. Apabila konsisten, maka tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara frekuensi observasi dengan frekuensi yang diharapkan, atau dengan kata lain hipotesis nolnya dapat diterima. Sebaliknya apabila tidak ada konsistensi, maka hipotesis nolnya ditolak[10]. Dalam model antrian, pada umumnya tingkat kedatangan pelanggan diasumsikan berdistribusi poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi eksponensial, jika salah satu dari asumsi tersebut tidak terpenuhi maka model antrian diasumsikan berdistribusi general (umum)[11].

Langkah-langkah pengujian hipotesis kesesuaian (goodness of fit) dengan menggunakan metode uji chi square adalah sebagai berikut: 1. Menentukan hipotesis

Hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut: Hipotesis: H0 : tingkat kedatangan pelanggan berdistribusi poisson

atau waktu pelayanan pelanggan berdistribusi eksponensial

H1 : tingkat kedatangan pelanggan tidak berdistribusi poisson atau waktu pelayanan pelanggan tidak berdistribusi eksponensial.

2. Menentukan taraf nyata atau tingkat signifikansi. Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dilambangkan dengan alpha (α). Jika alpha yang digunakan 5% maka tingkat kepercayaan sebesar 95% atau dengan kata lain kesempatan untuk salah adalah sebesar 5% dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%. Nilai χ𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙2 (χ𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙2 =χ1−α ; 𝑑.𝑓2 ) ditentukan besarnya nilai taraf nyata dan nilai

derajat kebebasan (degree of freedom atau d.f). d.f. = k – m – 1 Dengan: k : jumlah kategori, m : jumlah parameter yang diestimasi.

3. Menentukan kriteria pengujian atau wilayah kritis Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H0) dengan cara membandingkan nilai χ𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙2 (χ𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙2 = χ1−α ; 𝑑.𝑓

2 ) dengan nilai χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 . Sehingga kriteria pengujiannya adalah: H0 diterima apabila χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 ≤ χ1−α ; 𝑑.𝑓

2 H0 ditolak apabila χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 ≥ χ1−α ; 𝑑.𝑓

2 4. Menentukan statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalah metode chi square, yaitu: χℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = ∑ (𝑜𝑖−𝑒𝑖)2

𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2, …𝑛𝑛

𝑖=1 Dengan : 𝑒𝑖 R = 𝑝(𝑥𝑖)∑ 𝑜𝑖𝑛

𝑖=1 𝑜𝑖 : frekuensi observasi, 𝑒𝑖 R : frekuensi yang diharapkan, 𝑝(𝑥𝑖) : probabilitas terdapat 𝑥, 𝑥 berdistribusi sesuai

dengan distribusi probabilitas yang di hopetesiskan (H0).

5. Membuat kesimpulan Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H0) berdasarkan nilai statistik uji yang diperoleh.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Statistika Deskriptif Beberapa variabel-variabel yang berkaitan dengan analisis sistem antrian prioritas adalah lama waktu antar kedatangan pasien dan lama waktu pelayanan pasien. Statistika deskriptif untuk variabel waktu antar kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) ditampilkan pada Tabel 1 sedangkan waktu antar kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) ditampilkan pada Tabel 2.


3

Tabel 1. Waktu Antar Kedatangan (WAK) Pasien Kategori Gawat (1 Agustus 2013-7 Agustus 2013)

Hari n (pasien)

Min (menit)

Maks (menit)

Mean (menit/pasien)

Std. Deviasi (menit)

Kamis 14 2 27 13 8,106 Jumat 13 6 22 12,231 5,352 Sabtu 11 12 32 17,857 7,598

Minggu 11 2 41 16,364 10,823 Senin 9 6 52 22,556 14,675 Selasa 5 20 34 25,6 5,463 Rabu 5 1 40 30,8 11,089

Tabel 2. Waktu Antar Kedatangan (WAK) Pasien Kategori Stabil

(1 Agustus 2013-7 Agustus 2013) Hari n

(pasien) Min

(menit) Maks (menit)

Mean (menit/pasien)


Kamis 12 2 41 12,917 13,048 Jumat 12 8 30 15,417 6,776 Sabtu 7 5 32 14,091 7,366

Minggu 10 5 34 16,3 8,223 Senin 10 11 32 18,5 7,338 Selasa 11 5 34 15,909 9,238 Rabu 8 11 33 18,125 8,894

Statistika deskriptif untuk variabel waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) ditampilkan pada Tabel 3, sedangkan waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 3. Waktu Pelayanan (WP) Pasien Kategori Gawat (1

Agustus 2013-7 Agustus 2013)

Hari n (pasien)

Min (menit)

Maks (menit)

Mean (menit/pasien)


Kamis 16 1 8 3,25 2,078

Jumat 15 2 5 3,133 1,097

Sabtu 13 2 6 2,889 1,328

Minggu 13 2 9 3,231 1,889

Senin 11 2 5 2,909 1,032

Selasa 7 2 6 3,143 1,355

Rabu 7 2 5 3 1,069

Tabel 4. Waktu Pelayanan (WP) Pasien Kategori Stabil (1 Agustus

2013-7 Agustus 2013)

Hari n (pasien)

Min (menit)

Maks (menit)

Mean (menit/pasien)


Kamis 14 11 27 18,143 5,257

Jumat 14 11 30 20,643 4,935

Sabtu 13 11 29 17,308 5,857

Minggu 12 11 30 16,333 6,27

Senin 12 12 30 18,25 5,035

Selasa 13 11 28 17,769 5,76

Rabu 10 15 26 19,2 3,695

B. Uji Distribusi Tingkat Kedatangan

Syarat untuk melakukan analisis antrian prioritas lebih lanjut dengan model antrian prioritas M/M/S adalah tingkat kedatangan berdistribusi Poisson. Maka dari itu dilakukan pengujian terhadap tingkat kedatangan. Pengujian dilakukan dengan metode Chi Square. Frekuensi observasi dan harapan tingkat kedatangan pasien kategori stabil ditunjukkan pada Tabel 5 sedangkan frekuensi observasi dan harapan tingkat kedatangan pasien kategori gawat ditunjukkan pada Tabel 6. Tabel 5. Frekuensi Observasi Dan Harapan Tingkat Kedatangan Pasien

Kategori Stabil x

(jumlah kedatangan pasien) 1 2 3 4 5

oi (frekeunsi observasi) 2 5 10 9 2

ei (frekuensi yang diharapkan) 3,798 5,968 6,253 4,913 3,088

Dari Tabel 5 didapat nilai χ2hitung= 7,038285506,

sedangkan nilai χ0,95;32 P= 7,8174. Maka dapat disimpulkan

bahwa χ2hitung < χ0,95;3

2 , sehingga H0 gagal ditolak yang berarti tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) berdistribusi Poisson. Tabel 6. Frekuensi Observasi Dan Harapan Tingkat Kedatangan Pasien

Kategori Gawat x

(jumlah kedatangan pasien) 1 2 3 4 5

oi (frekeunsi observasi) 2 5 10 9 2

ei (frekuensi yang diharapkan) 3,798 5,968 6,253 4,913 3,088



bahwa χ2hitung < χ0,95;3

2 , sehingga H0 gagal ditolak yang berarti tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) berdistribusi Poisson. C. Uji Distribusi Waktu Pelayanan Syarat untuk melakukan analisis antrian prioritas lebih lanjut dengan model antrian prioritas M/M/S adalah waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Maka dari itu dilakukan pengujian terhadap waktu pelayanan. Pengujian dilakukan dengan metode Chi Square. Frekuensi observasi dan harapan waktu pelayanan pasien kategori stabil ditunjukkan pada Tabel 7 sedangkan frekuensi observasi dan harapan waktu pelayanan pasien kategori gawat ditunjukkan pada Tabel 8. Tabel 7 Frekuensi Observasi Dan Harapan Waktu Pelayanan Pasien

Kategori Stabil Batas Kelas Interval

(menit) 𝑜𝑖

(frekuensi observasi) 𝑒𝑖

(frekuensi harapan) 11-13,56175 20 6,308

13,56175-16,12351 17 5,482

16,12351-18,68526 16 4,764

18,68526-21,24702 8 4,14

21,24702-23,80877 11 3,597

23,80877-26,37052 10 3,127

26,37052-28,93228 2 2,717

28,93228-31,49403 4 2,361

>31,8872 55,505

Total 88 88


4



bahwa χ2hitung > χ0,95;3

2 , sehingga H0 ditolak yang berarti waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) tidak berdistribusi eksponensial. Tabel 8 Frekuensi Observasi Dan Harapan Waktu Pelayanan Pasien

Kategori Gawat Batas Kelas Interval

(menit) 𝑜𝑖

(frekuensi observasi) 𝑒𝑖

(frekuensi harapan) 1-2,104376 36 16,924

2,104376-3,208752 19 11,855

3,208752-4,313128 11 8,3048

4,313128-5,417504 6 5,818

5,417504-6,52188 3 4,075

6,52188-7,626256 1 2,855

7,626256-8,730632 1 1,999

8,730632-9,835008 1 1,4

>9,835008 24,768

Total 78 78



bahwa χ2hitung > χ0,95;3

2 , sehingga H0 ditolak yang berarti waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) tidak berdistribusi eksponensial. D. Analisis Sistem Antrian Prioritas Saat Ini (2 Server) Berikut ini merupakan analisis sistem antrian yang ada pada proses pemeriksaan awal pasien di IRD RSUD Dr. Soetomo saat ini. Berdasarkan pada lampiran 3, diketahui tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) untuk hari Kamis adalah 5,275 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) pada hari Kamis adalah 18,462 pasien per jam. Tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) untuk hari Kamis adalah 5,419 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) pada hari Kamis adalah 3,307 pasien per jam. Maka selanjutnya akan dihitung analisis sistem untuk pasien kategori gawat dan stabil pada hari Kamis: 1. Utilitas Sistem

Utilitas sistem atau tingkat kesibukan server pada hari Kamis akan dicari dengan menggunakan persamaan (1). Jika nilai yang dihasilkan ρ>1 maka server tidak dapat melayani atau menampung pasien yang ada. Namun jika ρ ≤ 1 maka server dapat melayani pasien. ρgawat =

λs.µ

= 5,274725275 (2)(18,46153846)

= 0,143011918

ρstabil = λs.µ

= 5,419354839(2)(3,307086614)

= 0,628770302

2. Probabilitas Tidak Ada Pasien Dalam Sistem (P0) Selanjutnya akan dicari probabilitas tidak ada pasien

kategori gawat dan stabil dalam sistem. Jika nilai yang diperoleh semakin tinggi maka probabilitas tidak ada pasien dalam sistem juga tinggi, dan berlaku sebaliknya yang akan dihitung dengan persamaan (2). Perhitungan probabilitas tidak ada pasien kategori gawat pada hari Kamis adalah sebagai berikut 𝑃0 = 1 − ρ 𝑃0 R Kamis Gawat = 1 − ρ

= 1 − 0,143011918 = 0,857142857

𝑃0 R Kamis Stabil = 1 − ρ = 1 − 0,628770302 = 0,180645161R

3. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Antrian (𝑊𝑞)

Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian adalah waktu yang dihabiskan pasien dalam menunggu proses untuk dilayani, dalam hal ini hanya waktu menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian dihitung dengan persamaan (3). 𝑊𝑞 =


2(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇�

2�∑

�λ𝜇�𝑛

𝑛! + 𝑠−1𝑛=0

�λ𝜇�𝑠

(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇��

𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡

= (5,274725275)2 � 1

(18,46153846)2� �5,27472527518,46153846�

2−1

2(2 − 1)! �2 − 5,27472527518,46153846�

2�∑

�5,27472527518,46153846�

𝑛

𝑛! + 2−1𝑛=0

�5,27472527518,46153846�

𝑠

(2 − 1)! �2 − 5,27472527518,46153846�

�

= 0,008746356 𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙

= (5,419354839)2 � 1

(3,307086614)2� �5,4193548393,307086614�

2−1

2(2 − 1)! �2 − 5,4193548393,307086614�

2�∑

�5,4193548393,307086614�

𝑛

𝑛! + 2−1𝑛=0

�5,4193548393,307086614�

𝑠

(2 − 1)! �2 − 5,4193548393,307086614�

�

= 0,218466566

4. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Sistem (𝑊)

Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah waktu total yang dihabiskan oleh pasien, dari proses menunggu dilayani sampai proses pelayanan selesai. Perhitungan waktu tunggu dalam sistem menggunakan persamaan (4). 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1

µ

𝑊 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = 0,008746356 + 118,46153846

= 0,062913022 jam

𝑊 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = 0,218466566 + 13,307086614

= 0,520847519 jam

5. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Antrian (𝐿𝑞)

Ekspektasi banyak pasien dalam antrian adalah jumlah pasien yang menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi banyak pasien dalam antrian akan dihitung dengan menggunakan persamaan (5). 𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,008746356)

= 0,046134623 pasien 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839) (0,218466566)

= 1,183947843 pasien

6. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Sistem (𝐿)

Ekspektasi banyak pasien dalam sistem berbeda halnya dengan ekspektasi banyak pasien dalam antrian. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem adalah total pasien yang berada


5

dalam sistem antrian, termasuk pasien yang sedang mengantri dan pasien yang sedang dilayani. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6). 𝐿 = λ 𝑊 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,062913022)

= 0,331848909 pasien 𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839)(0,520847519)

= 2,82265752 pasien

Tabel 9. Hasil Perhitungan Sistem Antrian Prioritas Dua Server

Hari

Kategor

i

Kam

is

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

ρ (%)

Gawat 0,143 0,148 0,104 0,117 0,079 0,086 0,068

Stabil 0,819 0,781 0,726 0,601 0,592 0,66 0,662

P0 Gawat 0,857 0,852 0,896 0,883 0,921 0,914 0,932

Stabil 0,181 0,219 0,274 0,399 0,408 0,34 0,338

Wq (jam)

Gawat 0,009 0,01 0,004 0,005 0,002 0,002 0,001

Stabil 0,219 0,234 0,243 0,217 0,213 0,236 0,236

W (jam)

Gawat 0,063 0,062 0,052 0,059 0,052 0,055 0,051

Stabil 0,521 0,578 0,532 0,489 0,517 0,532 0,556

Lq (pasien)

Gawat 0,046 0,054 0,016 0,022 0,005 0,007 0,003

Stabil 1,184 1,064 1,223 0,956 0,828 1,05 0,977

L (pasien)

Gawat 0,332 0,35 0,224 0,255 0,163 0,179 0,14

Stabil 2,823 2,63 2,674 2,159 2,011 2,37 2,301

E. Analisis Sistem Antrian Prioritas 3 Server Berikut ini merupakan analisis sistem antrian prioritas yang ada pada proses pemeriksaan awal pasien di IRD RSUD Dr. Soetomo jika menggunakan tiga server. Berdasarkan pada lampiran 3, diketahui tingkat kedatangan pasien kategori gawat (merah dan biru) untuk hari Kamis adalah 5,275 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori gawat (merah dan biru) pada hari Kamis adalah 18,462 pasien per jam. Tingkat kedatangan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) untuk hari Kamis adalah 5,419 pasien per jam, sedangkan untuk waktu pelayanan pasien kategori stabil (kuning dan hijau) pada hari Kamis adalah 3,307 pasien per jam. Maka selanjutnya akan dihitung analisis sistem untuk pasien kategori gawat dan stabil pada hari Kamis: 1. Utilitas Sistem

Utilitas sistem atau tingkat kesibukan server pada hari Kamis akan dicari dengan menggunakan persamaan (1). Jika nilai yang dihasilkan ρ>1 maka server tidak dapat melayani atau menampung pasien yang ada. Namun jika ρ ≤ 1 maka server dapat melayani pasien. ρgawat =

λs.µ

= 5,274725275 (3)(18,46153846)

= 0,095238095 ρstabil =

λs.µ

= 5,419354839(3)(3,307086614)

= 0,546236559

2. Probabilitas Tidak Ada Pasien Dalam Sistem (P0) Selanjutnya akan dicari probabilitas tidak ada pasien

kategori gawat dan stabil dalam sistem. Jika nilai yang diperoleh semakin tinggi maka probabilitas tidak ada pasien dalam sistem juga tinggi, dan berlaku sebaliknya yang akan

dihitung dengan persamaan (2). Perhitungan probabilitas tidak ada pasien kategori gawat pada hari Kamis adalah sebagai berikut 𝑃0 = 1 − ρ 𝑃0 R Kamis Gawat = 1 − ρ

= 1 − 0,095238095 = 0,904761905

𝑃0 R Kamis Stabil = 1 − ρ = 1 − 0,546236559 = 0,453763441R

3. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Antrian (𝑊𝑞)

Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian adalah waktu yang dihabiskan pasien dalam menunggu proses untuk dilayani, dalam hal ini hanya waktu menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian dihitung dengan persamaan (3). 𝑊𝑞 =


2(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇�

2�∑

�λ𝜇�𝑛

𝑛! + 𝑠−1𝑛=0

�λ𝜇�𝑠

(𝑠−1)!�𝑠−λ𝜇��

𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡

= (5,274725275)3 � 1

(18,46153846)2� �5,27472527518,46153846�

3−1

2(3 − 1)! �3 − 5,27472527518,46153846�

2�∑

�5,27472527518,46153846�

𝑛

𝑛! + 3−1𝑛=0

�5,27472527518,46153846�

3

(3 − 1)! �3 − 5,27472527518,46153846�

�

= 0,001251832

𝑊𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙

= (5,419354839)3 � 1

(3,307086614)2� �5,4193548393,307086614�

3−1

2(3 − 1)! �3 − 5,4193548393,307086614�

2�∑

�5,4193548393,307086614�

𝑛

𝑛! + 3−1𝑛=0

�5,4193548393,307086614�

3

(3 − 1)! �3 − 5,4193548393,307086614�

�

= 0,107353617

4. Ekspektasi Waktu Tunggu Dalam Sistem (𝑊)

Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah waktu total yang dihabiskan oleh pasien, dari proses menunggu dilayani sampai proses pelayanan selesai. Perhitungan waktu tunggu dalam sistem menggunakan persamaan (4). 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1

µ

𝑊 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = 0,001251832 +1

18,46153846

= 0,055418499 jam 𝑊 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = 0,107353617 + 1

3,307086614

= 0,40973457 jam

5. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Antrian (𝐿𝑞)

Ekspektasi banyak pasien dalam antrian adalah jumlah pasien yang menunggu untuk dilayani saja. Ekspektasi banyak pasien dalam antrian akan dihitung dengan menggunakan persamaan (5). 𝐿𝑞 = λ 𝑊𝑞 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,001251832)

= 0,006603072 pasien 𝐿𝑞 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839) (0,107353617)

= 0,581787346 pasien

6. Ekspektasi Banyak Pasien Dalam Sistem (𝐿)

Ekspektasi banyak pasien dalam sistem berbeda halnya dengan ekspektasi banyak pasien dalam antrian. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem adalah total pasien yang berada dalam sistem antrian, termasuk pasien yang sedang mengantri dan pasien yang sedang dilayani. Ekspektasi banyak pasien dalam sistem akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6). 𝐿 = λ 𝑊


6

𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝐺𝑎𝑤𝑎𝑡 = (5,274725275)(0,055418499) = 0,292317358 pasien

𝐿 𝐾𝑎𝑚𝑖𝑠 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 = (5,419354839)(0,40973457) = 2,220497023 pasien

Tabel 10. Hasil Perhitungan Sistem Antrian Prioritas Tiga Server

Hari

Kategori

Kam

is

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

ρ (%)

Gawat 0,095 0,099 0,069 0,078 0,053 0,057 0,046

Stabil 0,546 0,521 0,484 0,401 0,395 0,44 0,441

P0 Gawat 0,905 0,902 0,931 0,922 0,948 0,943 0,955

Stabil 0,454 0,479 0,516 0,599 0,605 0,56 0,559

Wq (jam)

Gawat 0,001 0,003 0,0008 0,001 0,0003 0,0004 0,0002

Stabil 0,107 0,097 0,082 0,051 0,049 0,065 0,066

W (jam)

Gawat 0,055 0,055 0,049 0,055 0,049 0,053 0,05

Stabil 0,41 0,441 0,371 0,323 0,353 0,361 0,386

Lq (pasien)

Gawat 0,007 0,016 0,003 0,005 0,0009 0,001 0,0004

Stabil 0,582 0,441 0,414 0,226 0,191 0,291 0,272

L (pasien)

Gawat 0,292 0,312 0,211 0,238 0,159 0,173 0,137

Stabil 2,221 2,003 1,866 1,428 1,374 1,611 1,596

F. Perbandingan Sistem Antrian Prioritas Tiga Server,

Empat Server dan Lima Server Ada empat hal yang menjadi tolok ukur untuk mendapatkan sistem terbaik dan yang dapat mengurangi waktu tunggu pasien. Tolok ukur tersebut adalah membandingkan nilai utilitas atau kegunaan sistem, panjang antrian, lama waktu tunggu dalam antrian dan lama waktu tunggu yang dihabiskan pasien dalam sistem. Hasil perbandingan sistem antrian dua server dan tiga server akan ditunjukkan pada Tabel 11. Tabel 11 Perbandingan Sistem Antrian Dua Server dan Tiga Server

Hari K

ategori

Kam

is

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

ρ (%)

Gawat (2S)

0,143

0,148 0,104 0,11

7 0,079 0,086 0,068

Gawat (3S)

0,095

0,099 0,069 0,07

8 0,053 0,057 0,046

Stabil (2S) 0,819

0,781 0,726 0,60

1 0,592 0,66 0,662

Stabil (3S) 0,546

0,521 0,484 0,40

1 0,395 0,44 0,441

Lq (pasien

)

Gawat (2S)

0,046

0,054 0,016 0,02

2 0,005 0,007 0,003

Gawat (3S)

0,007

0,016 0,003 0,00

5 0,000

9 0,001 0,0004

Stabil (2S) 1,184

1,064 1,223 0,95

6 0,828 1,05 0,977

Stabil (3S) 0,582

0,441 0,414 0,22

6 0,191 0,291 0,272

Wq (jam)

Gawat (2S)

0,009 0,01 0,004 0,00

5 0,002 0,002 0,001

Gawat (3S)

0,001

0,003

0,0008

0,001

0,0003

0,0004

0,0002

Stabil (2S) 0,219

0,234 0,243 0,21

7 0,213 0,236 0,236

Stabil (3S) 0,107

0,097 0,082 0,05

1 0,049 0,065 0,066

W (jam)

Gawat (2S)

0,063

0,062 0,052 0,05

9 0,052 0,055 0,051

Gawat (3S)

0,055

0,055 0,049 0,05

5 0,049 0,053 0,05

Stabil (2S) 0,521

0,578 0,532 0,48

9 0,517 0,532 0,556

Stabil (3S) 0,41 0,441 0,371 0,32

3 0,353 0,361 0,386

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 1. Rata-rata waktu kedatangan pasien kategori gawat yang

terpendek terjadi pada hari Jumat yaitu sektiar 12,23 menit per pasien, sedangkan pasien kategori stabil yang terpendek terjadi pada hari Kamis yaitu sektiar 12,92 menit per pasien. Rata-rata waktu pelayanan pasien kategori gawat dengan menggunakan dua server pada hari Jumat yaitu sekitar 3,13 menit per pasien, sedangkan untuk pasien kategori stabil dengan menggunakan dua server pada hari Kamis yaitu sekitar 18,14 menit per pasien.

2. Waktu tunggu dalam antrian untuk pasien kategori stabil pada hari Sabtu merupakan yang terlama yaitu sekitar 14,57937337 menit per pasien.

3. Jika dilakukan penambahan satu server sehingga menjadi tiga server, waktu tunggu pasien dalam antrian prioritas berkurang. Waktu tunggu dalam antrian paling lama dalam prioritas dua server untuk pasien kategori stabil sebesar 14,57937337 menit per pasien, jika menggunakan tiga server waktu tunggu berkurang sehingga menjadi 6,441217041 menit per pasien.

5.2 Saran Sistem antrian yang disarankan untuk IRD RSUD Dr. Soetomo Surabaya adalah dengan menggunakan penambahan server (dokter), karena dengan semakin banyaknya server yang beroperasi maka waktu tunggu dan panjang antrian pasien dapat dikurangi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Khasanah, Heksa Uswatun. 2010. “Simulasi Sistem Pelayanan Pasien Pada Poli Mata Di RSU Kabupaten Gresik”. Tugas Akhir, Jurusan S1 Matematika, ITS.

[2] Annisa, Zarah Ayu. 2011. “Analisis Sistem Antrian Pada Pelayanan Poli Kandungan Dan Ibu Ham il Di Rumah Sakit X”. Tugas Akhir, Jurusan D3 Statistik, ITS.

[3] Setiawan, Agus. 2003. “Analisis Antrian Di Hero Supermarket Plaza Tunjungan 1 Surabaya”.Tugas Akhir, Jurusan D3 Statistik, ITS.

[4] Heizer, J. Dan Render, B. 2005. “Manajemen Operasi”. Buku 2. Salemba Empat. Jakarta.

[5] Lasono, Eka S. 2009. “Model Antrian Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit”. Jurusan S1 Matematika, ITS.

[6] Lieberman, H. “Introduction to Operation Reseach”. Hal 834-891. Edisi ketujuh.

[7] Bondi, A. B., & Buzen J. P. 1981. “The Response Times of Priority Classes under Preemptive Resume in M/G/m Queues”. Purdue University

[8] Djauhari, M. 1997. “Statistika Matematika”. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB. Bandung.

[9] Dimyati, A. & Tarliyah, T. 1999. Operation Research “Model-Model Pengambilan Keputusan”. PT Sinar Baru Algesindo. Bandung.

[10] Fauzy, Akhmad. 2008. “Statistik Industri”. Erlangga. Jakarta. [11] Ikhirimah, A., Supriyono, & Kharisudin, I. 2012. “Analisis Antrian

Single Channel Single Phase Pada Loket Penjualan Tiket Kereta Api Kaligung Di Stasiun Poncol”. UNNES Journal of Mathematics. Semarang

1 distribusi waktu tunggu pada antrian dengan ... channel, single phase 4. multi channel, multi...

Documents