1

METODE BIDANG PHASE ( Phase Plane Method )

Difinisi :

Bidang-phase atau phase-plane adalah :o Suatu bidang , yang mana dibidang tersebut terlukis kurva yang

menggam-barkan hubungan antara : turunan pertama dari suatu fungsi waktu, yaitu , sebagai

fungsi daripada fungsi waktunya itu sendiri, yaitu Jadi pada bidang phase tersebut terdapat kurva Metode bidang phase adalah salah :

o suatu metode yang dapat digunakan untuk menyelidiki kinerja (performance) sistem linier maupun nonlinier, yang order persamaan diferensialnya tidak lebih dari dua , misalkan sistem linier daripada persamaan sistem massa-pegas-redaman berikut ini :

…( II . 1 )

Untuk order persamaan diferensial yang lebih tinggi dari dua , metode bidang phase jarang digunakan karena penyelesaiannya jauh lebih sulit

Untuk sistem-sistem yang persamaan geraknya dinyatakan dengan persa-maan diferensial yang ordernya lebih dari dua , maka untuk menyelidiki kinerjanya dapat digunakan misalnya dengan metode DF, metode Liapunov , metode Popov

Pada sistem mekanik massa-pegas-redaman , yang menjadi fungsi waktu tersebut simpangan gerak suatu benda, yaitu , yang disingkat dengan , ma- ka :o yang menjadi turunan pertama dari fungsi waktu tersebut adalah

kecepatan, atau Dengan demikian kurva yang tergambar dibidang phase , untuk sistem

mekanik massa-pegas-redaman tersebut adalah Setiap kurva yang terlukis dibidang phase tersebut dinamakan dengan :

o lintasan phase (phase-trajectory) Kumpulan dari beberapa lintasan phase disebut dengan :

o potret phase (phase portrait) Sebagai contoh yang dapat memberi penggambaran tentang konsep

bidang phase adalah :o persamaan diferensial gerakan daripada suatu massa benda

apabila mendapatkan suatu gaya. adalah :

M

(Massa) fK

Dmping)redaman(da

)(frickness gesekanD

pegas konstantaK

(force) gayaf

2

dimana ;

……………….( II . 2 )Jadi :

Dengan demikian persamaan gerak sistem massa pegas redamandapat diubah menjadi :

……………………..( II . 3 )

Persamaan komplementer (complementary = pelengkap) atau persamaan ge-jala peralihan (transient equation) , yaitu persamaan gerak sistem massa-pegas-reda-man sewaktu keadaan mantabnya masih belum tercapai , maka persamaan :

, adalah sama dengan persamaan :

………….…..….……………( II . 4 )

Sebelum membahas lebih lanjut tentang teori yang terkait dengan metode bidang phasa , terlebih dahulu akan dilihat bentuk gelombang dari persamaan gerak yang sesuai dengan persamaan (II.1) , yaitu jika nilai-nilai :

Contoh 1 :

Agar dapat mengerti dengan mudah tentang konsep metode bidang - phase terlebut , maka lebih dahulu akan diselidiki kinerja sistem linier , yaitu :

3

- dengan cara melukis sebuah lintasan phase pada suatu bidang phase terhadap suatu sistem linier , yang digambarkan dengan persamaan diferensial linier order-2 sebagai berikut :

-Dari persamaan

Persamaan komplementer

………………..…………………..( II . 5 )

Berdasarkan difinisi sebelumnya , yaitu :o Isoklin adalah tempat kedudukan titik-titik yang

mempunyai slope atau kemiringan garis singgung yang sama

Dalam bidang , yang dimaksud dengan kemiringan garis singgung (= slope) adalah .

Untuk membuat garis-garis isoklin , yang sesuai dengan persamaan ( II . 5 ) terlebih dahuku dibuat tabel berikut :

Lukisan lintasan phase pada bidang phase dapat dilukis berdasarkan nilai yang ada pada tabel diatas , yang mana salah satunya adalah dengan menggunakan metode isoklin Lintasan phasenya terlihat sebagai gambar garis lengkung yang melewati titik-titik merah , pada bidang-phase berikut ini :

0y

514y2

y312

1y

211

y320.5y0

1dyydy

dyd yy

y

dyyd

2dyyd

21

dy

yd

0dyyd

y

2dy

yd 1

dyyd0

dyyd

A

4

Gbr. Lintasan phase daripada keluaran sistem linier yang dinyayakan dengan Persamaan diferensial linier order-2

Kurva bidang phase , yaitu kurva dapat dilukis dengan menggunakan metode bidang-phase , yang terdiri atas :

o metode isoklin, o metode Linard o Program Matlab

Cara melukis lintasan phase dibidang phase secara mannual yang relatip mudah , adalah dengan metode isoklin

Adapun yang dimaksudkan dengan isoklin adalah :o tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai garis singgung

dengan ke-miringan yang sama

MELUKIS LINTASAN BIDANG PHASE DENGAN METODE ISOKLIN

Metode isoklin adalah metode analitis , dimana metode pendekatan terhadap sistem, adalah dengan menggambarkannya memakai :o pendekatan persamaan diferensial linier sederhana (simple linear

differen-tial equations)o pendekatan sedikit demi sedikit (piercewise linear differential

equations) Berdasarkan pendekatan tersebut , bilamana persamaan diferensial

tersebut dapat diselesaikan sehingga menghasilkan fungsi waktu untuk persamaan gerak sistem , maka lukisan bidang phase, yaitu peta

akan dapat diperoleh Peta bidang phase itu sendiri merupakan cara kualitatip (= cara penetuan

penen-tuan kinerja sistem yang tidak terukur dengan angka yang pasti ) , yang berarti bahwa :

5

o didalam menyelidiki kinerja sistem serta didalam mendisain parameter-parameter sistem untuk mendapatkan : tanggapan atau keluaran sistem yang diinginkan adalah ti-

dak benar-benar exact Lawan daripada pendekatan kualitatip adalah pendekatan kuantitatip (=

yang mak-sudnya setiap besaran yang diamati adalah terukur dengan angka-angka yang pasti )

Selain daripada apa yang telah disebutkan diatas itu, ada lagi sifat daripada sistem nonlinier , yaitu yang disebut dengan limit-cycles , yang mana adalah :o peristiwa osilasi (= getaran) yang terjadi pada sistem nonlinier :

yaitu peristiwa yang terjadi dimana : dengan lintasan phase yang disebut dengan limit-cycles

ini maka lintasan phase tersebut akan berulang terus-menerus dengan amplitudo yang tetap besarnya

tanggapan waktu sistem atau gelombang keluaran sistem setelah waktu mantabnya tercapai , masih terdapat gelombang osilasi tertentu (meskipun amplitudo gelombang osilasi tersebut pada umumnya relatip sangat kecil)

Selanjutnya terdapat apa yang dinamakan potret-phase , yang mana adalah peta dari banyak lintasan phase (phase trajectories ) dibidang phase

Selanjutnya diberikan beberapa buah contoh yang terkait dengan masalah metode bidang phase tersebut

Melukis Bidang Phase (Phase-Plane) dengan Program Matlab terhadap Sistem Kontrol Linier

Pada contoh 1 sudah dijelaskan penggunaan metode isoklin untuk melukis lintasan phase dari pada persamaan komplementer suatu persamaan diferensial linier order-2 yang :o menggambarkan persamaan gerak sistem

Persamaan komplementer keluaran sistem (persamaan gejala peralihan keluaran sistem = transient equation of system output) pada contoh sebelumnya adalah sebagai berikut :

Program Matlab untuk memetakan tanggapan waktu keluaran sistem (y), kecepatan gerak sistem sebagai fungsi waktu (dy/dt) dan sebuahlintasan phase (phase-trajectory) daripada sistem dinamis yang persamaan geraknya dinyatakan dengan persamaan diferensial diatas adalah sebagai berikut :

>> % mencari persamaan y (= persamaan simpangan diodalam mekanika) sebagai fungsi waktu>> y = dsolve(‘D2y+Dy+y=0,y(0)=5,y(1)=3’) % dsolve = diff. solvingy =

6

-(-3+5*cos(1/2*3^(1/2))*cosh(1/2)-5*cos(1/2*3^(1/2))*sinh(1/2))/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)+5*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)>> % mencari persamaan gerak sistem sebagai fungsi waktu >> x = diff(y) % x = turunan waktu pertama daripada fungsi daripada y x = 1/2*(-3+5*cos(1/2*3^(1/2))*cosh(1/2)-5*cos(1/2*3^(1/2))*sinh(1/2))/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)-1/2*(-3+5*cos(1/2*3^(1/2))*cosh(1/2)-5*cos(1/2*3^(1/2))*sinh(1/2))/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2)-5/2*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)-5/2*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2) >> ezplot(y,[0 10]) % peta simpangan gerak sistem sebagai fungsi waktu

Gbr. Tanggpan Waktu daripada sistem kontrol linier dimana tidak signal masukan referensi

Program Matlabnya untuk membuat peta x= diff(y) sebagai fungsi waktu adalah sebagai beri-kut :

>> ezplot(x,[0 10]) % membuat peta x v,s. t , dengan t = 0 s.d. 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

t

y = Solusi P.D. D2y+Dy+y = 0 , dengan y(0) = 5 dan y(1) = 3

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

t

x = Solusi dari P.D. diff(D2y+Dy+y = 0) ,dengan y(0) =5 dan y(1) =3

x

7

Gbr. Turunan pertama terhadap waktu daripada persamaan komplementer tanggapan waktu keluaran sistem

Gbr. Lintasan phase pada bidang phase

Jika gerakan dimulai dari y(0) = 0 ; y(1) =3

>> y = dsolve('D2y+Dy+y=0,y(0)=0,y(1)=3') y = 3/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t) >> x=diff(y) x = -3/2/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)+3/2/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2) >> pretty(y) 1/2 exp(- 1/2 t) sin(1/2 3 t) 3 ------------------------------------- 1/2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-4

-3

-2

-1

0

1

y

x

Kurva x = diff(y) v.s. y , y(0) = 5 dan x(0) =0

8

sin(1/2 3 ) (cosh(1/2) - sinh(1/2))

y = dsolve('D2y+Dy+y=0,y(0)=0,y(1)=3')

y =

3/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)

>> x=diff(y)

x =

-3/2/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)+3/2/sin(1/2*3^(1/2))/(cosh(1/2)-sinh(1/2))*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2)

>> pretty(y)

1/2 exp(- 1/2 t) sin(1/2 3 t) 3 -------------------------------------

1/2 sin(1/2 3 ) (cosh(1/2) - sinh(1/2))

>> ezplot(y,[0 10])

>> ezplot(x,[0 10])

9

>> ezplot(y,x) % didalam mekanika y=simpangan dan x = kecepatan

Untuk membuat potret phase (phase potrait) dengan program Matlab jika

persamaan gerak sistem adalah : 5

maka program Matlabnya adalah sebagai berikut :1. >> y = dsolve('5*D2y+Dy+3*y=0,y(0)=0,y(1)=3') y = 3/sin(1/10*59^(1/2))/(cosh(1/10)-sinh(1/10))*exp(-1/10*t)*sin(1/10*59^(1/2)*t) >> ezplot(y,[0 20])

10

>> x=diff(y) x = -3/10/sin(1/10*59^(1/2))/(cosh(1/10)-sinh(1/10))*exp(-1/10*t)*sin(1/10*59^(1/2)*t)+3/10/sin(1/10*59^(1/2))/(cosh(1/10)-sinh(1/10))*exp(-1/10*t)*cos(1/10*59^(1/2)*t)*59^(1/2) >> pretty(x) 1/2 exp(- 1/10 t) sin(1/10 59 t) - 3/10 ----------------------------------------- 1/2 sin(1/10 59 ) (cosh(1/10) - sinh(1/10))

1/2 1/2 exp(- 1/10 t) cos(1/10 59 t) 59 + 3/10 ----------------------------------------- 1/2 sin(1/10 59 ) (cosh(1/10) - sinh(1/10))>> ezplot(x,[0 20])

11

2. >> y = dsolve('5*D2y+Dy+3*y=0,y(0)=0,y(1)=3')

Contoh 2 :

Suatu sistem dengan persamaan keadaan :

2 persamaan diatas dapat diubah menjadi

pada titik kesetimbangan , maka :

masukkan (4) ke (2) , maka didapatkan :

Pada sumbu vertikal (ordinat) , yang juga dapat ditulis dengan persamaan , maka pada sumbu tersebut , persamaan (1) berlaku pada sumbu vertikal ini;

dengan demikian sumbu vertikal , yaitu sumbu adalah tidak ada yang berubah (invariant)

12

Persamaan garis singgung (=slope) daripada lintasan phase pada bidang phase adalah :

Karena isokline = tempat kedudukan garis-garis yang slope-nya (kemiringan-nya) adalah sama , maka jika diambil slope :

Kurva potret phase dapat dilukis dengan menggunakan program Matlab sebagai berikut :

>>x1=-2:0.001:2 ;x2a=x1.^2;x2b=x1.^2./(2-x1);x2c=x1.^2./(2-x1);x2d=2*x1.^2./(2.*x1-1); x2d=x1;

>> a=plot(x1,x2a,'b',x1,x2b,'r',x1,x2c,'g',x1,x2d,'c',x2e=x1)

13

Phase Plane Untuk Sistem Kontrol Nonlinier

Untuk sistem kontrol nonlier , maka pada sistem tersebut terdapat elemen nonlinier

Sebagai contoh jika elemen nonlinier tersebut termasuk yang memang sudah ada pada sistem , yaitu nonlinieritas daerah mati (dead-zone nonlinearity) sebagai berikut ini :

Blok diagram sistem kontrol nonliniernya adalah sebagai berikut :

1

1k

11k

e

u

11

kdan1

e

R(s) C(s) k =1 -1 1

11ss

E(s) U(s)

14

Dari blok diagram dapat dilihat bahwa Didalam hal ini metode bidang phase ini diambil , sehingga ; maka

Hasil diatas dapat ditulis juga menjadi :, sehingga dari hasil perhitungan sebelumnya , yaitu ,

karena berdasarkan blok diagram , pada daerah , maka dapat dilihat

bahwa untuk

Jadi pada daerah tersebut berlaku hubungan :

(hubungan terakhir di halaman 5 hanya pada daerah saja )

Selanjutnya dibuat tabel untuk daerah sebagai berikut ini :

Soal :

Suatu sistem control nonlinier, dengan blok diagram sebagai berikut :

11

kdan

1e

1/dccdc-c

/dccd

00.5

0.5-32cc

2cc

cc

R(s) C(s) k =1 -1 1

11ss

E(s) U(s)

15

Dapat dilihat bahwa untuk

Selanjutnya dibuat sebuah lintasan phase , dengan metode isoklin sebagai berikut :

Berdasarkan atas prinsip pertambahan waktu tersebut , maka untuk mendapatkan tang-gapan waktu keluarannya , yaitu fungsi , yang berdasarkan peta lintasan phase yang telah dibuat sebelumya , dilakukanlah langkah-langkah sebagai berikut :o Mula-mula ditentukan lokasi titik awal daripada lintasan phase , yaitu

titik : (titik A ini tidak berulang)o Selanjutnya ditentukani waktu yang diperlukan untuk menjalani

lintasan phase dari A ke B , berdasarkan data dari peta sebagai berikut :

dari peta lintasan fase tadi dapat dilihat bahwa untuk berjalan dari A ke B , harus menjalani sepanjang – 2.7 skala pada sumbu mendatar

B

AAH

F

E

D CB

G

I

1 2 31-

1

2

1-2-

2-

16

Pada sumbu tegak harus menjalani -5 skala Karena setiap 1 satuan skala = 3 kolom skala , maka untuk

perhitungan berikutnya dikerjakan sebagai berikut :

Dengan demikian maka untuk titik B , lokasinya adalah :

(Titik B ini tidak berulang)

Untuk lintasan dari B ke C :

Lokasi titik C adalah :

(titik ini tidak berulang)

Untuk lintasan dari C ke D yang pertama :

Lokasi titik D

yang pertama adalah :

(Titik D ini akan berulang-ulang terjadini , karena termasuk bagian dari limit cycle )

Lintasan dari D ke E yang pertama :

Lokasi titik E yang pertama adalah :

(Titik E ini akan berulang-ulang terjadi karena termasuk bagian dari limit cycle)

17

Untuk lintasan dari E ke F yang pertama :

Untuk lintasan langsung Dari E ke G yang prtama :

Lokasi titik G yang pertama adalah :

(Titik G ini akan terus-menerus terjadi karena ternasuk bagian dari limit cycle)

Untuk lintasan dari G ke H yang pertama :

Lokasi titik H yang pertama dalah :

Untuk lintasan dari H ke I :

B

AAH

F

E

D CB

G

I

1 2 31-

1

2

1-2-

2-

18

Untuk lintasan dari H ke D yang kedua :

Lokasi titik C yang kedua adalah :

Titik D yang pertama adalah :

Maka perulangan akan terjadi terhadap titik-titik D , E , F, G setiap :10.042-1.751 = 9.291 detik

Berikut ini adalah program Matlab untuk merata-ratakan peta :

>> x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];>> y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.39 11.2 ]; >> n=2;>> p=polyfit(x,y,n) % polyfit = polynomial fittingp = -9.7479 20.0991 -0.0304>> xi=linspace(0,1,100);>> z=polyval(p,xi); % polyval = polynomial value>> plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':')

Tabel

19

>>t=[0 1.08 1.374 1.751 6.042 6.042 10.042 11.042 15.333 15.333 19.711 20.333 24.624 24.624 29.002 33.915];>> x=[3 2.133 1.630 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1];>> n=2;>> p=polyfit(t,x,n)p = 0.0028 -0.1659 1.6804

>> ti=linspace(0,1,100); % data t untuk pembuatan peta>> z=polyval(p,ti);>> plot(t,x,'o',t,x,ti,z,':')

>> pp=polyfit(t,x,2);>> format short e % merubah format tampilan>> pp.' %menampilkan koefisien deret sebagai sebuah kolom

20

ans = 2.8063e-003 -1.6587e-001 1.6804e+000>> zz=polyval(pp,ti) % menelaah order deret keduazz = Columns 1 through 7 1.6804e+000 1.6770e+000 1.6736e+000 1.6702e+000 1.6668e+000 1.6635e+000 1.6601e+000 Columns 8 through 14 1.6567e+000 1.6533e+000 1.6500e+000 1.6466e+000 1.6433e+000 1.6399e+000 1.6365e+000 Columns 15 through 21 1.6332e+000 1.6298e+000 1.6265e+000 1.6231e+000 1.6198e+000 1.6165e+000 1.6131e+000 Columns 22 through 28 1.6098e+000 1.6065e+000 1.6031e+000 1.5998e+000 1.5965e+000 1.5931e+000 1.5898e+000 Columns 29 through 35 1.5865e+000 1.5832e+000 1.5799e+000 1.5765e+000 1.5732e+000 1.5699e+000 1.5666e+000 Columns 36 through 42 1.5633e+000 1.5600e+000 1.5567e+000 1.5534e+000 1.5501e+000 1.5468e+000 1.5435e+000 Columns 43 through 49 1.5402e+000 1.5370e+000 1.5337e+000 1.5304e+000 1.5271e+000 1.5238e+000 1.5206e+000 Column 50 1.5173e+000>> plot(t,x,'o',ti,z,':',ti,zz) % memetakan data>> pp=polyfit(t,x,2);

Jika soal sebelumnya diselesaikan dengan Program Matlab Simulink , untuk sistem kontrol nonliner dengan komponen dead-zone blok diagramnya sebagai berikut :

21

maka penyelesaiannya adalah dengan program Matlab simulink , dengan perintah sebagai berikut :

>> simulink

Jika dikerjakan dengan Matlab Simulink Programm

Soa

R(s) C(s) -1 1 1ss

1

E(s) U(s)2k

2

1s

sR sC sE sUM

M-

tasNonlinieri

R(s) C(s) k =1 -1 1

11ss

E(s) U(s)

22

Persamaan keadaan dibuat dengan cara berikut :

Karena :

Phase-plane adalah peta , sedangkan . Untuk dan untuk .

Dengan demikian phase-planenya ada 2 daerah, yaitu untukUntuk

Untuk daerah-I, maka : Untuk daerah-II, maka :

Masing-masing lintasan parabola tersebut simetri terhadap sumbu - , yang mana parabola tersebut harus lewat titik awal, yaitu .

Pada daerah – I : Pada daerah-II :

Untuk melukis parabola secara tepat, diambil misal : dan . Terlihat bahwa titik awal berada didaerah-II, yaitu untuk

Maka pada daerah–II , .

23

Pada Pada

Gambar parabola didaerah-I simetri dengan parabola didaerah-II.

Jadi pada daerah-I , pada saat dan pada saat Pada , terjadi switching atau perubahan keadaan, yaitu dari dari:

Untuk

Menggambar Fungsi Waktu Dari Lintasan Fase

Dari hubungan ; dapat ditulis ;

432112 0

A

BC

F

D

E

G

H

I

J

C

C

Daerah-I r = 0 Daerah-II

2x

1x

11 MumenjadiMu0e

24

Lokasi titik awal adalah : Dari A ke B :

Lokasi titik Dari B ke C:

Lokasi titik Dari C ke D:

Lokasi titik

Dari D ke E:

Lokasi titik Dari E ke F :

Lokasi titik ]Dari F ke G :

Lokasi titik

Dari G ke H :

Lokasi titik

Dari H ke I :

Lokasi titik Dari I ke J :

Lokasi titik Dari J ke K :

25

Lokasi titik Dari K ke L :

Lokasi titik Untuk memetakan tanggapan waktu , paling mudah dilakukan dengan

program EXCEL sebagai berikut :

Program Matlab Simulink

Contoh :

Soal :

Suatu sistem kontol nonlinier digambarkan dengan blok diagram sebagai berikut :

Program untuk mememetaan medan vektor dan 10 lintasan phase lainnya , dengan titik awal adalah :

2

1s

sR sC sE sU5

5-

tasNonlinieri

t

c

ABC

DE

F

G I

J

K L

26

(0,0), (0,0.3), (0.6)..., (0,2.7) dalam bidang fase adalah sebagai

berikut:>>vectfield (f, -2: .5:8, -2.5: .25:2.5) % vectfield = medan vektor>>hold onfor Y20 = 0:0.3:2.7 [Ts, ys] = ode45 (f, [0,10], [0; Y20]); plot (ys (:, 1), ys (:, 2))endhold on

Contoh soal :

Jika suatu sistem , sifatnya dinyatakan dengan persamaan keadaan sebagai berikut :……………………………………………(1)

………………………..………….……….(2)Titik kesetimbangan sistem terjadi jika ; dengan demikian disekitar titik kesetimbangan berlaku hubungan sebagai berikut :

……………..……;………………………….(3)

…………..…………….……………..………(4)

Dari (3) didapatkan bahwa :

Dari (4) didapatkan bahwa :

Selesaikan dengan menggunakan program Matlab simulink !Jawab :1. Hidupkan Matlab ; timbul gambar sebagai berikut :2. Pilih icon “Simulink” , maka akan muncul tampilan “Simulink Library Browser” sebagai berikut

27

3. Untuk menggambarkan transfer function kontinyu yang ada pada soal , maka ikon transfer fcn yang ditawarkan di “Simulnk Library Browser” , yaitu , harus diubah menjadi “transfer fcn” yang sesuai dengan yang di ada soal , yaitu sebesar

, agar dapat digunakan pada program simulink a. Caranya sebagai berikut :- Dari Trancfer fcn yang terdapat pada “Simulink Library Browser” , klik kanan 1x terhadap” parameter Transfer fcn” , selanjutnya klik kanan “Add to the current model” yang selanjutnya akan tampil “there aren’t any unloaded window model open” . Create a new one ? Enter ”oke”- Setelah tampil “Untitled” , maka akan muncul di file “untitled” tsb

- Untuk mengubah menjadi , maka dilakukan sbb : klik kanan 1x icon ; selanjutnya rubahlah [1]/[11] menjadi [1]/[1 0 0] ; maka di file “Untitled” akan muncul transfer function 2. Untuk menggambarkan kharateristik komponen nonlinier yang digunakan , dari “Simulink Library Browser” , pilih “discontinuity”a. Caranya sama dengan langkah yang dilakukan pada “transfer fcn kontinyu , klik kanan 1X pramer tampilan”discotinuites” ; muncul tampilan “Simulink Library Browser”

28

b. Karena komponen nonlinier yang digunakan adalah “relay” , maka klik kanan1X terhadap kurva kharateristik relay yang terdapat dibagian kanan tanpilan Simulink Library Browser , kemudian tekan kalimat “ Add to unti-tled’. Maka akan muncul tampilan sebagai berikut.

c. Tekanlah “Add to the current model” ; maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

29

Contoh 2 :

Suatu sistem kontrol nonlinier dengan komponen nonlinieritas dead-zone , digambarkan sebagai blok diagram dihalaman berikutnya .

a. Buatlah lintasan bidang phasenya!b. Lakukan penentuan tanggapan waktu keluaran dengan memakai

program Matlab simulink !

30

Persamaan Keadaan

Bux Ax

uxxxx

22

21

u10

xx

1010

xx

2

1

2

1

31

T I T I K – T I T I K S I N G U L I R

Jika keluaran suatu sistem adalah = y ; turunannya terhadap waktu =

= percepatan, maka jika :

dan , titik singulir akan terjadi pada dan

atau dan Titik singulir disebut juga dengan titik kesimbangan atau equilibrium point karena

pada titik singulir tersebut, kecepatan maupun percepatan = 0 ; jadi pada titik singulir tersebut benda yang bergerak sedang dalam keadaan diam

Jika :

Maka Pada titik singulir ; dengan demikian pada titik singulir

tersebut tak menentu. Uraian deret Taylor untuk dan disekitar titik singulir adalah :

Jika titik singulirnya terletak pada , maka persamaan diatas akan menjadi lebih sederhana, yaitu :

Titik singulir dapat dipindah lokasinya ke titik pusat koordinat dengan jalan merubah variabel menjadi dan ; maka .

Pada titik singulir Dengan memindah titik singulir ke titik pusat, sifat umum yang ada tidak

mengalami peru-bahan .

32

Analisa :

Pada pembahasan sebelumnya : .Dengan memindah titik singulir ke titik pusat, maka ;

Uraian deret Taylor disekitar dan adalah :

Dari rumus diatas, turunan-turunan partial adalah konstan disekitar titik singulir , sehingga :

serta Disekitar titik pusat , yang juga merupakan titik singulir tersebut, suku-suku

order tinggi dapat diabaikan. Maka :

Dari hubungan yang telah didapat sebelumnya, yaitu :

Maka :

Penyelesaian persamaan diferensial ini dapat dipermudah jika ditranformasi lebih dahulu kebentuk kanonik, yaitu bentuk yang mempunyai persaman kedaan

sebagai berikut :

Dari hubungan , jika diambil

Maka bentuk kanoniknya menjadi Nilai yang memenuhi syarat harus dicari. Untuk mencarinya

perhatikanlah persa-maan keadaannya berikut ini :misalkan :

33

Persamaan matrixnya adalah :

Agar yang memenuhi syarat pada hubungan matrix diatas dapat dicari, ambilah matrix transformasi yang akan menyesuaikan berlakunya kesamaan

antara persamaan matrix dalam bentuk kanonik dengan persaman matrix biasa tersebut.

Matrix transformasi yang dimaksud adalah , sehingga berlaku :

atau x = B y

Karena , maka

Maka Jadi :

Persamaan diatas dapat diubah bentuknya menjadi sebagai berikut :

dan Agar tidak terjadi jawab trivial, yaitu , maka :

dan

(i). Jika K1 dan K2 riil dan atau

Dari persamaan sebelumnya, yaitu :

34

Titik singulir untuk keadaan ( i ) disebut dengan nodes Kurva sebagai fungsi untuk persamaan dapat dilihat pada gambar-

gam-bar lintasan fase berikut :

Lintasan fase untuk nodes (titik pertemuan) yang stabilUntuk menentukan arah panah pada lintasan fase diatas, perhatikan persamaan

yang telah ditulis sebelimnya, yaitu :

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk Laplace-transform sebagai berikut :

Dari kedua persamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut :

Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut :

Persamaan karateristik . = Akar-akar persamaan kharateristik atau eigenvalues adalah , sesuai

dengan rumus Eigenvalues tersebut biasanya ditulis dengan

*Sistem akan stabil jika bagian riil dari atau adalah negatip.

; sistem stabil jika ** Sistem tidak stabil jika bagian riil dari atau adalah positip

Jadi sistem tak stabil jika

35

Lintasaan fase untuk nodes tak stabil

( ii ). Jika riil dan

Dari hubungan , maka agar riil :

Agar , atau , maka

Maka untuk ( ii ) berlaku hubungan sebagai brikut :

Persamaan lintasan fasenya sama dengan pada keadaan ( i ), yaitu :

namun nilai Titik singulir seperti gambar diatas disebut dengan titik pelana ( saddle point )

( iii ) Jika K1 dan K2 komplex sekawan atau complex conjungate.Maka .

Jika , maka

Dari persamaan , akan didapatkan :

dapat ditulis dalam bentuk polar, sebagai berikut ini :

Maka Dengan melakukan perkalian silang didapatkan :

2x

1x

36

Dari hasil sebelumnya, yaitu , maka jika a < 0, maka titik singulir adalah sebu-ah focus stabil (stable focus) ; jika a > 0, maka titik singulir adalah sebuah focus tak stabil ( unsta-ble focus ) ; jika a = 0, maka titik singulir adalah

sebuah vortex atau center.Gambar lintasan fase yang menyatakan sifat titik singulir tersebut adalah sebagai

berikut :

Singkatan :(i). Jika eigen values komplex sekawan , dengan bagian riilnya negatip,

maka titik singulirnya adalah focus stabil (stable-focus)(ii). Jika eigen values komplex sekawan , dengan bagian riilnya positip,

maka titik singulirnya adalah fokus tak stabil (unstable focus)(iii). Jika eigen values keduanya bernilai komplex (bagian riilnya adalah

nol), maka titik singulinya adalah centre atau vortex.(iv). Jika eigen values keduanya bernilai riil, dan keduanya bertanda sama,

maka titik singulirnya adalah nodes.(v). Jika eigen values keduanya bernilai riil, dengan tanda yang

berlawanan, maka titik singulirnya adalah titik pelana (saddle-point).

Contoh : 1. Suatu sistim dinamis mempunyai persamaan diferensial sebagai berikut :

Titik-titik singulir per difinisi adalah jika ; dengan demikian 3 x + x2 = 0 ;x (3 + x ) = 0 ; titik singulirnya adalah dan

Disekitar titik singulir pertama, yaitu titik (0.0) atau titikpusat koordinat bidang phase, persamaan diferensialnya dapat dianggap linier.

Jadi ; persamaan kharateristiknya =

Akar-akar persamaan kharateristik adalah : ;

Karena akar-akar persamaan kharateristiknya kompleks sekawan dengan bagian riil negatip, maka titik singulirnya adalah stable focus disekitar titik pusat

koordinat.Disekitar titik singulir kedua, yaitu (0,-3) dapat ditulis sebagai berikut:

Ambillah y = x – (-3) = x + 3 ; maka dan . Dari persamaan aslinya, yaitu selanjutnya dapat diubah menjadi

2x 2x2x

1x1x1x

stabil tak Focus .a stabil Focus .b Vortex Center c.

37

Disekitar titik singulir kedua ini, persamaan diferensialnya dapat dianggap linier. Jadi :

Persamaan kharateristiknya adalah Karena akar-akar persamaan kharateristiknya adalah riil, dengan ,

maka titik singulirnya adalah nodes.

Contoh 2 :Dari persamaan diferensial Van der Pol berikut :

Tentukan jenis titik singulirnya !Jawab :

perdifinisi titik singulir terjadi jika ; dengan memasukan hasil ini ke persamaan diferensial Van der Pol, maka diperoleh hasil .

Karena itu titik singulirnya adalah : Disekitar titik singulir yang mana kebetulan terletak di titik pusat koordinat

tersebut, persamaan diferensial Van der Pol dapat didekati secara linier, sehingga menjadi :

Persamaan kharateristiknya adalah : Akar-akar persamaan kharateristik adalah :

Jadi jenis titik singulirnya adalah unstable focus.

Limit cycles Limit cycles sering terjadi dalam sistem fisik seperti osilator elektronik Limit cycles ini mempunyai bentuk (konfigurasi) geometrik yang berbeda pada potrait bidang phase, dimana limit cycle tersebut lintasan phasenya adalah terisolasi dan tertutup Portrait bidang fase untuk sistem konservatip ( sistem yang tidak mengalami kehilangan daya atau yang tak mengandung redaman ) akan berupa :o kelompok kurva-kurva tertutup yang kontinyu, namun : kelompok kurva-kurva ini bukanlah limit cycle, sebab : tidak satupun dari kurva-kurva ini yang terisolasi satu dari yang lainnya Lintasan-lintasan phase yang equivalen dengan kelompok kurva-kurva tersebut selalu berbentuk kelompok yang kontinyu, sehingga :o tidak terdapat kurva tertutup disekitar kurva tertutup tertentu manapun Dalam pada itu limit-limit cycle adalah gerakan periodik yang mana :o sifat ini hanya diperlihatkan oleh sistem yang nonkonservatip (sistem dimana ada kehilangan daya) yang nonlinier ( Jika sistem mengalami kehilangan daya berupa panas karena adanya redaman di sistem tersebut atau disipatip, maka :

38

total kerugian energi disepanjang lintasan dibidang phase adalah : positip dan tidak dapat terjadi limit cycle apapun Jadi jika sistemnya adalah nonkonservatip nonlinier memperlihatkan kelakuan limit cycle, maka :o redaman ekuivalennya adalah nol o Limit-limit cycle tersebut terisolasi satu sama lain, sehingga tidak dapat terjadi limit-limit cycle dise-kitar limit cycle manapun

Contoh persamaan dalam bentuk kanonik

Misalkan suatu persamaan diferensial dengan bentuk persamaan keadaan sebagai berikut :

Dalam bentuk persamaan matrik menjadi sebagai berikut:

Dari persamaan yang telah diperoleh sebelumnya, yaitu :

Maka dapat diperoleh hasil :

39

Jika pada suatu sistem , kecepan ; percepatan ,dimana mempunyai sifat :

dimana adalah fungsi analitis dari variabel disekitar titik pusat koordinat .

Titik singulir terjadi jika Jika titik pusat koordinat tersebut adalah titik singulir, maka :

Uraian deret Taylor terhadap disekitar titik pusat koordinat adalah :

dimana menggambarkan suku-suku dengan pangkat – 3 atau lebih.

Disekitar titik pusat, adalah kecil , sehingga hasil uraian deret Taylor tersebut dapat didekati secara linier, menjadi sebagai berikut :

Jika dinyatakan dalam Laplace-transform, didapat hasil sebagai berikut :

Selanjutnya dapat dihitung

Maka Persamaan kharateristiknya adalah :

Titik-titik singulirnya tergantung pada nilai-nilai

40

Contoh 3 :Untuk suatu sistem yang dinyatakan dengan persamaan diferensial :

dalam bentuk Laplace-transform : Persamaan kharateristiknya adalah ; jika dibandingkan dengan hasil

persama-an kharateristik yang didapat sebelumnya, yaitu : , maka :

Ambil

Persamaan kharateristik :

Maka akar-akar persamaan kharateristiknya adalah : Contoh 4 :

Suatu sistem digambarkan dengan persamaan sebagai berikut :

Disekitar titik pusat koordinat, baik adalh kecil, sehingga dapat dilakukan pendekatan linier sebagai berikut :

Selanjutnya dapat dihitung :

Maka

Persamaan komplementernya adalah : Persamaan kharateristik dari persamaan komplenter tersebut adalah :

Akar-akar persamaan kharateristiknya adalah :

Jadi titik singulirnya adalah unstable-focus

Contoh 5 : Persamaan gerak suatu sistem digambarkan dengan persamaan diferensial

nonlinier berikut ini :

41

Per difinisi Titik singulir terjadi jika ; karena itu :

Dengan demikian pada bidang phase titik singulirnya adalah :

Disekitar titik pusat koordinat, persamaan dapat dianggap linier, sehingga dapat didekati secara linier dengan persamaan .Persamaan kharateristiknya adalah : ; akar-akar persamaan

kharateristiknya adalah :

dan Dengan demikian jenis titik singulir di adalah stable focus.

Pada titik singulir dapat dipindah ke pusat koordinat dengan jalan mengambil variabel baru : ; pada

Persamaan sistem dapat diubah menjadi .

Disekitar titik singulir , persamaan didekati secara linier dengan persamaan .

Persamaan kharateristiknya adalah :

Karena titik singulir di (-2,0) adalah suatu titik pelana atau saddle point.

Program Matlab

>> A = [0 1 ; 0 1];>> B = [0 ; 1];>> C = [1 0];>> x = [-2 ; 1];>> H = 0.1;>> tf = 8; >> iter = ceil (tf/H)

iter =

80

LINIERISASI

Fungsi nonlinier disamping : dapat dilinierkan disekitar tiik kesetimbang- an , atau titik

Misalnya keadaan-keadaan yang mengalami gangguan dan masukan-masukan pengontrol dapat dinyatakan dengan :

42

Dengan demikian pendekatan order pertama = turunan partial daripada , yang mana d.h.i. menggunakan uraian deret Taylor , maka :o persamaan yang dilinierkan tersebut diberikan dengan persamaan

berikut ini :