TUGAS FISIKA MATEMATIKA

“BILANGAN KOMPLEKS”

Dosen Pengajar : Dra.Imas Ratna Ermawati M.pd

DI SUSUN OLEH :

1. Fadhilatul Ulya 110113505(****)

2. Hexa Husna Khumairohaz 110113507(****)

3. Nila Kurniati 1101135013(****)

4. Tanti Salmah 1101135021(****)

PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2013

Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan

kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian

dari himpunan bilangan kompleks ini.

Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian real dan bagian

imajiner (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan

sebagai

Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu

dari persamaan kuadrat :

dimana cara penyelesaiannya sudah teramat populer, yaitu rumus abc, yang menghasilkan

dua akar sekaligus :

dimana diskriminan :

Untuk nilai diskriminan D 0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya bersifat

real menurut persamaan (1.3). Nah, untuk kasus D < 0, di dalam matematika dasar dikatakan

bahwa persamaan kuadrat (1.2) tidak memiliki akar real. Implikasi selanjutnya adalah

bahwa akar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bila diskriminan negatif itu

dituliskan

D = d2, maka akar kompleksnya adalah :

Dalam himpunan bilangan kompleks, x1 dan x2 dikatakan sebagai konjugat (sekawan)

satu terhadap yang lain, karena perkalian antar mereka akan menghasilkan bilangan real.

Sifat - Sifat

yang dimiliki bilangan kompleks akan dibahas lebih lanjut di bagian-bagian berikutnya.

Penyajian bilangan kompleks :

1. Bentuk rectangular

x = Re(z) - bagian real

y = Im(z) - bagian imajiner

bilangan kompleks dapat digambarkan

pada bidang Argand seperti tampak

pada gambar di atas.

Semua titik yang berada pada sumbu

Re(z) mewakili garis bilangan real.

2. Bentuk Polar

r = |z| - modulus bilangan kompleks

= arg(z) - argumen bilangan kompleks

Range utama argumen : 0 Arg(z) < 2

sehingga : arg(z) = Arg(z) + k.2

Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang Argand :

3. bentuk eksponen

bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar (1.7) dengan mengingat hubungan fungsi

trigonometri dengan eksponensial kompleks :

Bentuk yang sering dipakai adalah bentuk rectangular (1.6) dan eksponensial (1.9). Bentuk

eksponensial banyak dipakai dalam operasi pemangkatan dan perkalian, juga pada kasus-

kasus yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang,

getaran, dan lain-lain.

Perlu ditambahkan bahwa di antara dua bilangan kompleks z1 dan z2 hanya dikenal hubungan

dengan pengertian :

Pengertian lebih besar (>) atau lebih kecil (<) tidak ada dalam perbendaharaan kata himpunan

bilangan kompleks.

Operasi Bilangan Kompleks

Operasi aljabar

1. Penjumlahan :

operasi penjumlahan dilakukan pada masing-masing bagian. Bagian real dijumlahkan

dengan bagian real, bagian imajiner dengan bagian imajiner. Pengurangan adalah

penjumlahan dengan nilai negatifnya.

2. Perkalian :

Tampak bahwa perkalian antara 2 bilangan kompleks lebih sederhana apabila

dilakukan dalam bentuk polar eksponensial (1.13b). Modulus hasilnya adalah perkalian

antara modulus kedua bilangan itu, sedangkan argumen hasil tersebut merupakan

jumlahan dari argumen-argumennya.Pembagian adalah proses perkalian dengan

kebalikan bilangan. Dalam bentuk eksponensial kebalikan bilangan kompleks memiliki

argumen yang negatif.

3. Pemangkatan :

Operasi pemangkatan juga memanfaatkan kemudahan yang dimiliki oleh bentuk

eksponensial

dimana n adalah sembarang bilangan real

Persamaan (1.15) biasa dikenal dengan dalil de Moivre. Contoh pemanfaatan dalil ini

adalah perhitungan akar persamaan :

Tampak bahwa penyelesaian realnya adalah1, bagaimana dengan penyelesaian

kompleksnya?

Ternyata mudah sekali untuk dikerjakan :

Penyelesaian ini sudah lengkap, yaitu 5 buah akar persamaan untuk nilai k = 0 sampai

dengan 4. Penyelesaian z = +1 adalah untuk k = 0.

4. logaritma :

Sekali lagi bentuk eksponensial menampakkan keunggulannya di dalam operasi logaritma

ini. Sebuah hal penting yang perlu dicatat adalah fungsi logaritma di dalam himpunan

bilangan kompleks sebenarnya adalah fungsi bernilai jamak (multi-valued), artinya

untuk sebuah bilangan z, nilai logaritmanya lebih dari sebuah (dalam hal ini tak

hingga banyaknya). Hal ini tampak pada persamaan (1.16) yang seharusnya memakai

arg(z) di ruas kanan, bukan nilai utama Arg(z). Tetapi untuk membatasi agar fungsi ini

bernilai tunggal (single-valued), range argumen dibatasi pada range utamanya saja (0

< 2).

Operasi konjugasi

Istilah konjugat sudah disinggung di bagian depan. Jika dua bilangan kompleks dikalikan

menghasilkan bilangan real, kedua bilangan itu lantas disebut konjugat satu terhadap

yang lain. Suatu bilangan kompleks z memiliki sekawan (konjugat) z* yang didefinisikan

dan ditulis sebagai :

sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan real :

Sifat ini dimanfaatkan untuk me-real-kan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks,

karena menurut persamaan (1.18) :

Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distributif terhadap penjumlahan maupun perkalian :

Hal lain yang menyangkut konjugat adalah bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks

z :

Dalam matematik, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai

sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan

real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka

bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun

bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap

persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan

riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol

untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau . Bilangan real, R,

dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real

sebagai bilangan kompleks: .

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar

seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan

bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real,

berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar

teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks,

polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

Definisi

NOTASI DAN OPERASI

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi

sebagai berikut:

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan

bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang

bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan

titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini,

himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)

identitas perkalian ("satu"): (1, 0)

invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)

invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b):

Notasi

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku

pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

dan

maka

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk juga sering ditulis sebagai

.

Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem

koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan

koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga

argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan

Rumus Euler, dapat diperoleh:

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua

nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua

argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

dan

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan

perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan

secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam ( radian).

Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan

rotasi 180 derajat ( radian).

Contoh Soal:

1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ).

Jika z = , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.

z =

z =

z = z = z = Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = .Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

2. Jika z1 = z2 = z3.z1 = c + a .z2 = b + 2c .z3 = a+2 - d .Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

Jawab:Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^z1 = z2 = z3

c + a = b + 2c = a+2 - d .c = b = a+2 ... (i)a = 2c = -d ... (ii)

c= a+2Substitusikan nilai c ke persamaan 2a = 2(a+2)a = 2a + 4a = -4Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4 .

3. = ....Jawab:Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).

=

====-=

====-=

====-=

====-=

Bilangan kompleks

Dari persamaan kuadrat

a x2+bx+c=0

Bisa dibentuk rumus ABC jika A lebih dari Satu

x1.2=−b±√b2−4 ac

2 a

Jika B2−4 ac lebih besar tidak sama dengan 0 maka; √b2−4 ac >≠ 0 berarti harga x yang

didapat riel

Jika B2−4 ac ¿0 maka √b2−4 ac menjadi suatu bilangan (-), harganya bukan jelas suatu

real.

Bilangan kompleks adalah besaran yang bentuknya

z=x+i . y

Dimana :

x dan y=bilangan real

i=imajiner

i=√−1 atau

i2=−1

Hukum bilangan kompleks

1. z=x+iy=0 , bila x=0dan y=0

2. z1± z2=( x1+ i y1 ) ± ( x2+i y2 )=( x1± x2) ± ( y1 ± y2 ) i

3. z1. z2=( x1+i y1 ) . ( x2+i y2 )=( x1 x2− y1 y2 )+i ( x1 y2−x2 y1 )

4.z1

z2=

x1+i y1

x2+i y2=

x1+i y1

x2+i y2.

x2−i y2

x2−i y2=

x1 x2+ y1 y2

x12+ y1

2 +ix2 y1−x1 y2

x22+ y2

2

Asal x1+ i y2≠ 0

5. z=x+iy → mempunyaikonjugate imajiner x−iy atau diberi notsi z

Contoh Soal :

1. x2+2x+2=0Penyelesaian

x12=−b ±√b2−4 ac

2 a

x12=−2±√22−4.1 .2

2.1

x12=−2±√4−8

2

x12=−2±√−4

2

x12=−2±√4√−1

2

x12=−2± 2i

2

x1=−2+2i

2

¿−22

+ 22

i=−1+i

x2=−2−2 i

2

¿ −22

−22

i=−1−i

Untuk gambar diagram agrand

y

p

r

θ

x

x=r cosθ

y=rsin θ

z=x+i y=r cosθ+i r sinθ

Bilangan komplek dalam kutub magnet

z=r (cosθ+i sin θ)

Contoh soal

1. Z = 3 + 4z

Penyelesaian

Z = r = √ x2+ y2

¿√32+42

¿√9+16

¿√25=5

2. ( 3 + 2 ί ) (5 - 2ί ) bentuk dalam bilangn polar !

Penyelesaian :

( 3 + 2 ί ) (5 - 2ί )= 15 - 9ί + 10ί – 6 i2

= 15 + ί +6

= 21 + ί

Buktikan

Tan θ = yx=4

3

θ=arc tan1,33=53,1

Z = r ( cosθ+ ί sinθ)

= 5 ( cos 53,1 + ί sin 53,1)

= 5 ( 0,60 +ί 0,79)

= 3 + ί 3,95 → terbukti

3.1−i1+i bentuk kedalam billangan kompleks !

Penyelesain :

1−i1+i

=1−i1+i

x 1−i1−i

=1−i−i+ i2

1−i+i−i2 =−2 i

2=−i

4. Cos x dan sin x, bentuk kedalam max laurentz !

Penyelesaian :

a. Cos x , n = 5 , b = 0

y = cos x f (b) = cos 0 = 1

y '= -sin x f’(b) = -sin 0 = 0

y ' '= - cos x f’’(b) = -cos 0 = -1

y ' ' '= sin x f’’’(b)= sin 0 = 0

y ' v = cos x f ' v(b)= cos 0 = 1

yv= - sin x f v(b) = - sin 0 = 0

Deret max laurentz

f (x)=f (b )+ f '(b)1 !

(x¿¿1−b)+f 2 (b )2!

( x2−b )+ f 3 ( b )3 !

( x3−b )+¿¿

f 4 (b )4 !

( x¿¿ 4−b)+f 5 (b )5 !

(x5−b)¿

¿1+ 01 !

x1+−12 !

x2+ 03 !

x3+ 14 !

x4+ 05 !

x5

¿1− 12 !

x2+ 14 !

x4− 16 !

x6……………….

b. Sin x , n = 5 , b = 0

y = sin x f (b) = sin 0 = 0

y '= cos x f’(b) = cos 0 = 1

y ' '= - sin x f’’(b) = -sin 0 = 0

y ' ' '= -cosx f’’’(b)= -cos0 = -1

y ' v = sinx f ' v(b)= sin 0 = 0

yv= cos x f v(b) = cos 0 = -1

Deret max laurentz

f (x)=f (b )+ f '(b)1 !

x1+f 2 (b )

2!x2+

f 3 (b )3!

x3+f 4 (b )4 !

x4+f 5 (b )5 !

x5

¿0+ 11!

x1+ 02 !

x2+−13 !

x3+ 04 !

x4+ 15 !

x5

¿0+x+−16

x3+0+ 1120

x5

¿ x−16

x3+ 1120

x5

z=x+i y

¿cos x+i sin y

¿ [1−x2

2 !+

x4

4 !−

x6

6+….]+i [ x1

1 !−

x3

3!+

x5

5 !+… ..]

¿1− x2

2 !+ x4

4 !− x6

6 !+i x1

x !− i x3

3!+i x5

5+… ..

X ln

z=cos x+i sin y=e iθ → euler

e iθ=cosθ+i sinθ

e iθ=cosθ+i sinθ

z=x+i y

z=r (cosθ+i sinθ )

z=r . e iθ

z=r ¿

z=r . e−iθ

Dari rumus diatas

cosθ= eiθ+e−iθ

2

sin θ= eiθ−e−iθ

2i

Contoh soal :

1. Hitung sin (π−i ln 3¿→ 43

i¿

Penyelesaian ;

sinθ= eiθ−e−iθ

2 i

¿ ei (π−i ln3 )−e−i(π−i ln 3)

2i

¿ 12i

[e i (π−i ln 3)−e−i(π−i ln3 )]

¿ 12i

[ eiπ−i2 ln 3−e−iπ +i2 ln 3 ]

¿ 12i

[ eiπ−i2 ln 3−e−iπ +i2 ln 3 ]

¿ 12i

[e iπ . e ln3−e−iπ . e−1 ln 3 ]

¿ 12i [ (cosθ+i sinθ )−( cosθ−i sinθ ) ]

¿ 12i [3 ( cosθ+i sinθ )−1

3(cosθ−i sinθ )]

¿ 12i [3 (1+i .0 )−1

3(1−i .0 )]

¿ 12i (3−1

3 )¿ 1

2i ( 93−1

3 )¿ 1

2ix 8

3

¿ 86 i

¿ 43i

Teorema 2

A. Jika Z bilangan kompleks, maka berlaku :

1. |Z|2 = (ℜ(Z ))2 + (Lm (Z))2

2. |Z| = |Z|

3. |Z2| = Z . Z

4. |Z|≥|ℜ (2 )| ≥ℜ (Z )

5. |Z| ≥ |Lm ( Z )| ≥ Lm (Z )

B. Jika Z1 . Z2 Bilangan Kompleks maka berlaku :

1. |Z1. Z2|=|Z1|.|Z2|

2. |Z1

Z2|=|Z1|

|Z2|3. ¿ ≤|Z1.| + |Z2|4. ¿ - |Z2|5. ¿ - ‖Z2‖

Tugas : Buatkanlah teorema A diatas dengan memisalkan Z = X+iy, kemudian Berdasarkan

Hasil A Berikan juga teorema B !

1. Bukti : |Z1. Z2|=|Z1|.|Z2||Z1. Z2| = ¿

= |( x1 x2− y1 y2 )+i(x1 y2+x2 y1)|= √ ( x1 x2− y1 y2) 2+( x1 y2+ x2 y1)

2

= √ x12 x2

2+ y12 y2

2−2 x1 x2 y1 y2+x12 y2

2+x22 y1

2+2 x1 x2 y1 y2

= √ (x12+ y1

2 ) (x22+ y2

2)

= √¿¿. √(x22 y1

2)

= |z1|.|z2|∴ |z1 . z2| = |z1|.|z2|

2. Buktikan

|Z1

Z2|=|x1+ i y1

x2+ i y2.

x2−i y2

x2−i y2|

¿|x1 x2+ y1 y2

x22+ y2

2 +ix2 y1−x1 y2

x22+ y2

2 | = √( x1 x2+ y1 y2

x22+ y2

2 )2+(x2 y1−x1 y2

x22 y2

2 )2

= √ x12+x2

2+ y12 y2

2+2 x1 x2 y1 y2+x22 y1

2+x12 y2

2−2 x1 x2 y1 y2

( x22+ y2

2) 2

= √ (x12+ y1

2 ) .¿¿¿

= √x1

2 y12

√x22 y2

2 = |z1|

|z2| Terbukti

3. |z1−z2|≥|z1|−|z2|0≤ ¿

0≤ x12 y2

2+x22 y1

2−2 x1 x2 y1 y2

2x1 x2 y1 y2≤ x12 y2

2+ x12 y2

2

x12 x2

2+ y12 y2

2+2x1 x2 y1 y2 ≤ x12 x2

2+ y12 y2

2+ x12 y2

2+x22 y1

2

(x1 x2+ y1 y2 ¿2≤ (x1

2 y12 ) (x2

1 y22 )

2(x1 x2+ y1 y2)≤ 2√( x12 y1

2) ( x22 y2

2)

x12+2x1 x2+x2

2 y12+2 y1 y2+ y2

2≤ x12+ y1

2+2√ (x12+ y1

2 ) (x22+ y2

2) + x22+ y2

2

(x1+ x2 ¿2+¿

√¿¿ ≤√x12+ y1

2 +√ x22+ y2

2

|z1+z2|≤|z1|+|z2| Terbukti

4. Bukti |z1−z2|≥|z1|−|z2| |z1|=|z1−z2+z2| ≤|z1−z2|+|z1−z2|

∴|z1−z1|≥|z1|−|z2|