ardiansyahmatc.files.wordpress.com€¦ · web viewinvers. setiap bilangan x mempunyai balikan...
TRANSCRIPT
1
A. Sistem bilangan real
1. Himpunan bilangan asli
N = {1,2,..., }
2. Himpunan bilangan bulat
Z = { ..., 1, 0, 1,...,}
3. Himpunan bilangan rasional
Q = { 12
, 14
, 18
,…,}
Bilangan yang dapat di tulis dengan nm dengan n dan m adalah bilangan bulat
dan n ≠ 0. Bilangan rasional adalah bilangan yang desimalnya berulang-ulang.
Contoh : 125999
=0,125125 …
4. Himpunan bilangan irasional
I = { √2 ,√3 ,…, }
Bilangan yang tidak dapat di tulis dalam bentuk nm . dengan n dan m adalah
bilangan bulat. Bilangan irasional adalah bilangan yang desimalnya tidak
berulang-ulang.
Contoh : √2=1,41421356
Disimpulkan bahwa: N⊆Z⊆Q⊆R
SIFAT-SIFAT MEDAN:
1. Komutatif : a+b=b+adana× b=b× a
2. Asosiatif :a+ (b+c )= (a+b )+cdana (b . c )= (a .b ) c
3. Distributif: x ( y+z )=xy+ xz
2
4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1
yang memenuhi x+0=x dan x .1=x untuk setiap bilangan real x.
5. Invers. Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan ( disebut juga
negatif ) –x, yang memenuhi x+(−x )=0.juga setiap bilangan x kecuali 0
mempunyai balikan perkalian ( disebut juga kebalikan), x-1 yang mempunyai
x . x−1=0
SIFAT-SIFAT URUTAN
1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan maka pasti salah satu diantara
yang berikut ini berlaku : x< y atau x> y atau x= y
2. Ketransitifan. x< y dan y>z⟹ x<z
3. Penambahan. x< y⇔ x+z< y+z
4. Perkalian. Bilangan z fositif , x< y⇔ xz< yz .bilamana z negatif x< y⇔ xz> yz.
B. KETAKSAMAAN
Simbol < dan > dinamakan simbol ketaksamaan yang memiliki sifat-sifat sebagai
berikut:
1. a≠ b⇒a<batau a>b
2. a<cdanb<c⇒ a<c
3. a<bdanc adalahbilangan realmaka a+b<b+c
4. a<bdanc<d⇒ a+c<b+d
5. a<bdanc>0⇒a . c<b . c
6. a<bdanc<0⇒a . c>b . c
7. a<b⇒dana .bbertanda sama⇒ 1a> 1
b
3
8. a>0 , b>0⇒a<b⟷a2<b2
9. a<0 , b<0⇒a<b⟷a2>b2
C. INTERVAL
Interval adalah himpunan semua bilangan real diantara dua bilangan real tertentu.
a. Interval terbuka (a,b)
Adalah himpunan bilangan real X yang memenuhi a< x<b
Contoh:
b. Interval tertutup [a,b]
Interval tertutup adalah himpunan bilangan real x yang memenuhi a≤ x≤b
c. Interval setengah terbuka [a,b)
a b
d. Interval tak hingga terbuka setengah (-~,a)
4
e. Interval tak hingga tertutup sebelah [a,~)
NILAI MUTLAK, AKAR KUADRAT, KUADRAT
5
Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan anda diharapkan dapat
menggunakannya dengan terampil.
NILAI MUTLAK
Nilai mutlak suatu bilangan x dinyatakan dengan|x|, di definisikan sebagai:
|x|= x jika x ≥0dan|x|=−x jika x<0
Sifat-sifat nilai mutlak adalah sebagai berikut:
1. |ab|=|a||b|
2. |ab|=|a||b|
3. |a+b|≤|a|+|b| ( ketaksamaan segitiga)
4. |a−b|≥||a|−|b||
Ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak jika|x|<3 ,maka jarak antara x dan titik asal harus
lebih kecil dari 3. Dengan kata lain x harus secara simultan lebih kecil dari 3 dan lebih besar
dari -3; yaitu −3<x<3. Berlawanan jika |x|>3 , maka jarak antara x dan titik asal harus lebih
kecil dari 3. Ini bisa terjadi ketika x>3atau x←3. Ini adalah kasus-kasus dari pernyataan
berikut:
1. |x|a⇔−a<x<a
2. |x|>a⇔ x←aatau x>a
Kita dapat menggunakan fakta-fakta ini untuk menyelesaikan ketaksamaan yang melibatkan
nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangkan tanda nilai mutlak.
6
Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan |3 x−5|≥ 1 dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya
pada garis real.
Penyelesaian: ketaksamaan ini dapat ditulis secara beruntun sebagai berikut:
3 x−5≤−1atau3 x−5≥ 1
3 x≤ 4 atau3 x≥ 6
x≤ 43
atau x ≥2
Himpunan penyelesaiannya berupa gabungan dua selang yaitu himpunan ¿∪¿
AKAR KUADARAT
Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadarat. Misalnya dua akar kuadrat dari 9
adalah -3 dan 3. Kadang-kadang kita menyatakan dua buah bilangan ini sebagai ± 3.
Untuk a≥ 0 , lambang√a, disebut akar kuadrat utama dari a. Yang menyatkan akar
kuadrat tak negatif dari a, jadi √9=3 dan√121=11 . tidak benar jika kita menuliskannya
seperti √16=± 4 karena √16 berarti akar kuadrat tak negatif 16 adalah 4. Bilangan real
7 bmempunyai dua akar kuadrat, yang dituliskan sebagai ±√7, tapi √7 menyatkan
bilangan real tunggal. Berikut ini adalah fakta penting yang harus di ingat. √ x2=|x|
Rumus kuadrat untuk a2+bx+c=0 adalah x=−b±√b2−4ac2a
Bilangan d=b2−4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat. Persamaan ini
mempunyai dua jawaban real jika d > 0 , satu jawaban real jika d = 0 dan tidak memiliki
jawaban real jika d < 0.
7
Contoh: selesaikanlah x2−2 x−4≤ 0
Penyelesaian:
x1=−(−1 )−√4+6
2=1−√5=−1,24
x2=−(−1 )+√4+6
2=1+√5=3,24
Sehingga x2−2 x−4=( x− x1 ) ( x−x2 )=( x−1+√5 )√(¿x−1−√5)¿
Titik-titik pemecah 1−√5 dan 1+√5 mempunyai garis real menjadi tiga selang.
Bilamana kita mengujinya dengan titik uji -2, 0, dan 4 disimpulkan bahwa himpunan
penyelesaiannya untukx2−2 x−4≤ 0 adalah [1−√5 ,1+√5]
KUADRAT
Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa |x|2=x2
Ini berasal dari sifat |ab|=|a||b|
Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan ? secara umum tidak. Misalnya
−3<2 , tetapi (−3)2>2. sebaliknya 2<3dan 22<32 . jika kita bekerja denga bilangan-bilangan
tak negatif, maka a<b⇔a2<b2. Salah satu varian dari bentuk ini adalah |x|<|y|⇔ x2< y2
Contoh: selesaikan ketaksamaan |3 x+1|<2|x−6|
Penyelesaian:
|3 x+1|<2|x−6|⇔|3 x+1|<|2 x−12|
(3 x+1)2<(2x−12)2
9 x2+6 x+1<4 x2−48 x+144
8
5 x2+54 x−143<0
( x+13 ) (5x−11 )<0
Titik pemecah untuk ketaksamaan ini adalah -13 dan −11
5 .
FUNGSI DAN LIMIT
Definisi: fungsi adalah suatu aturan koresfondensi ( padanan ) yang menghubungkan setiap
elemen x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai f(x) dari
himpunan ke dua. A B
f ( x )=4 x2−3
f (1 )=…
f (−1 )=…
f ( a+b )=…
f (2−a )=…
1.
2.
3.
4.
a.
b.
c.
d.
R = {a,b,c}
9
Daerah asal dan daerah hasil
Contoh: f ( x )= 1x−1
=f (1 )= 11−1
=10
Kerena nilai 10tidak ada, maka fungsi f (x) dikatakan tidak terdefinisi pada x=1
1. .f ( x )=x4+5x−3
.Df ={ x|x∈R }
.Df ={− , }
.Rf ={ y|y∈R }
2. f ( x )= 53x−3
.Df ={x|x∈R , x≠ 3 }
.Df ={− ,3 )∪ (3 , )
3. f ( x )=√x+7
.x+7≥ 0→ x≥−7
.Df ={x|x≥−7 , x∈R }
.Df =[−7 , )
.Rf ={ y|y ≥ 0 , y∈R
.Rf =¿
4. f ( x )=√x2+4
.x2+4 ≥ 0
.Df ={x|x , x∈ R }
.Df =(− , )
.Rf ={ y|y , y∈R }
.Rf =¿
5. f ( x )=√25−x2
.25−x2 ≥ 0
Fungsi genap dan ganjil
misalf (x) suatu fungsi maka dikatakan genap jika f ( x )=f ( x ) . Dan dikatakan ganjil jika
f (−x )=−f ( x ) .
Contoh :
10
1. f ( x )=5 x
.f (−x )=5 (− x )=−(5 x )=−f ( x ) bearti ganjil
2. f ( x )=10 x2
.f (−x )=10¿
3. f ( x )=x3+10 x
f (−x )=¿
Kontraposisi
.( f ∘ g ) (x )=f ( g ( x ) )
.f ( x )=4+3x2 , g ( x )=x−4
Contoh:
1. ( f ∘ g)( x )=f (g (1 ))
¿4+3¿
¿4+3(x2−8x+16)
¿4+3 x2−24 x+48
¿3 x2−24 x+52
2. ( g∘ f ) (x )=g ( f (x ))
¿ ( 4+3 x2 )−4
¿3 x2
Contoh lagi:
11
f ( x )=x3+2 , g ( x )= 2(x−7)
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari
1. ( f ∘ g ) (x )
2. ( g∘ f ) (x )
Penyelesaiannya:
1. ( f ∘ g ) (x )=f ( g(x ))
¿¿
Df ={x|x∈R , x≠ 7
Rf ={|y∈R , x≠ ≠ 0 }
Limit fingsi
lim f ( x )=l ,jika untuk sembarang x→abilangan kec il ε ,terdapat bilangan positif S
sedemikian sehingga untuk x yang memenuhi |x−a|<S yaitu |f (x )−l|<ε
limit fungsi aljabar
contoh :
1. limx →2
2 x2+4 x+43 x−2
=2 (2 )2+2 (2 )+4
3 (2 )−2
¿8+8+4
6−2
limh →c
f (x )
12
¿204
=5
2. limx →1
x2+4 x−5x−1
tidak dapat disubsitusikan
limx →1
x2+4 x−5x−1
=limx→ 1
( x+5 )(x−1)(x−1)
limx →1
x+5=1+5=6
Limit fungsi trigonometri
Contoh:
limx →0
sin 3 x3x
=sin 3 x3x
=32
¿23
. limx→ 0
. sin 3x3 x
¿23
×1=23
Turunan
Definisi: f ( x )=x
f ( x )= limh→0
f(a+h )−f (x)
h
Contoh : f ( x )=5 x2−3
f ' ( x )=limh→ 0
( 5(x+h)2−3 )−(5 x2−3 )
h
13
f ' ( x )=limh→ 0
5 ( x2+2xh+h2 )−3−5 x2+3
h
f ' ( x )=limh→ 0
10 xh+5h2
h
f ' ( x )=limh→ 0
h (10x+5h)
h
f' ( x )=lim
h→010x+5h
¿10 x
Teorema turunan
Konstanta: f ( x )=c→f ' ( x )=0
Fungsi identitas: f ( x )=x →f ' ( x )=1
Pangkat : f ( x )=xn →f ' ( x )=nxn−1
Kelipatan konstanta: f ( x )=c . g ( x) →f ' (x )=c . g' (x )
Aturan jumlah: f ( x )=g ( x )+h ( x )→f ' ( x )=g' ( x )+h' (x)
Aturan selisih: f ( x )=g ( x )−h ( x ) →f ' ( x )=g' ( x )−h' (x)
Hasil kali: f ( x )=g ( x ) . h ( x ) →f ' ( x )=g' ( x ) . h ( x )+g ( x ) . h' (x)
Hasil bagi: f ( x )= g(x )h(x)
→f ' (x )= g' ( x ) . H ( x )−g ( x ) . h'(x )(h ( x ))2
Turunan rumus dan cosinus
∂ x ( sinus x )=limh→ 0
sin ( x+h )−sinx
14
¿limh → 0
sin x .cos h+cos x . sin h−sinx
h
¿ limh→ 0
sin x (1−coshh )+cos x ( sin h
h )
¿−sin x limh→ 0
( 1−cosh
+cos xlimh→ 0
sin h
h ) ¿−sin x (0 )+cos x (1 )=cos x
Aturan rantai
f ( x )= (g (x))n →f ' ( g ( x ) )n−1 . g' (x )
Turunan tingkat tinggi
Contoh:
1. Turunan ketiga dari f ( x )=(3 x−5)7
y '=7 (3x−5)6 (3 )=21(3 x−5)6
y ' '=6.21(3 x−5)5 (3 )=378(3 x−5)5
y ' ' '=5.378 (3x−5)4 (3 )=5670(3 x−5)4
2. Turunan ketiga dari f ( x )=sin (4 x)
y '=cos (4 x ) .4=4 cos (4 x )
y ' '=4−sin ( 4 x ) .4=−16 sin (4 x )
y ' ' '=−16 cos (4 x ) .4=−64 cos (4 x)
15
Diferensiasi implisit
Dalam persamaan y3+7 y=x3
Kita tidak dapat menyelesaikan y dalam x. Mungkin masih berupa kasus bahwa hanya terdapat
satu y yang berpadanan dengan x. Contohnya, kita dapat menanyakan beberapa nilai yang
berpadanan dengan x=2 . untuk menjawab perasamaan ini kita harus menyelesaikan
x3+7 y=8.
Tentu saja y=1adalah solusinya, dan hanya y=1adalah satu-satunya solusi real. Di berikan
x=2, persamaan y3+7 y=x3 menentukan nilai yang berpadanan. Kita mengatkan bahwa
persamaan itu mendefinisikan y sebagai fungsi imflisit dari x. Grafik persamaan ini di kerjakan
dalam gambar 1. Tentu saja terlihat seperti grafik fungsi yang terdiferensiasiakan. Elemen baru
ini tidak dalam bentuk y=f (x ). Berdasarkan grafik kita menganggap bahwa y adalah fungsi x
yang tidak di ketahui. Kita menyatakan fungsi ini y (x ), kita dapat menuliskan persamaan ini
sebagai ¿
Meskipun kita tidak memiliki rumus untuk y (x ),kita tidak akan memperoleh hubungan antara
x , y ( x ) dan y ' (x ). Dengan mendeferensiasikan kedua sisi persamaan terhadap x. Dengan
menggunakan aturan rantai kita peroleh:
ddx
( y3 )+ ddx
(7 y )= ddx
x3
3 y2 dydx
+7 dydx
=3 x2
dydx
(3 x2+7 )=3 x2
16
dydx
= 3x2
3 y2+7
Perhatikan bahwa turunan dydx
melibatkan x dan y , sebuah fakta yang cukup mengganggu.
Tapi, jika kita hanya ingin mengetahui kemiringannya pada titik dimana kita mengetahui
koordinatnya, tidak ada yang sukar, yaiut:
dydx
=3 (2)2
3 (1)2 =1210
=65
jadi kemiringannya adalah 65
Metode yang baru saja di ilustrasikan untuk menjcari dydx tanpa terlebih dahulu
menyelesaikan secara gamblang persamaan yang di berikan untuk
y dalam xdi sebut diferensiasi implisit .
Sebuah contoh yang dapat diperiksa untuk memberikan bukti untuk menguji
kebenaran metode tersebut, perhatikan contoh berikut yang dapat di kerjakan dalam
dua cara.
Contoh 1. Carilah dydx
jika 4 x2 y−3 y=x3−1!!!!!!!!!!!
Penyelesaian:
Metode 1. Kita dapat menyelsaikan persamaan yang di berikan secara implisit untuk y sebagai berikut:
y (4 x2−3 )=x3−1
y= x3−14 x2−3
jadi dydx
=(4 x2−3 ) ( 3x2 )−(x3−1 ) (8 x )
( 4 x2−3 )2=4 x2−9 x2+8 x
(4 x2−3 )2
17
Metode 2. Diferensiasi implisit kita menyatakan turunan-turuna kedua ruas dari:
dydx
( 4 x2 y−3 y )=dydx
( x2−1 )
Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama, kita peroleh:
4 x2 . dydx
+ y .8x−3 dydx
=3 x2
dydx
( 4 x2−3 )=3x2−8xy
dydx
=3 x2−8 xy4 x2−3
Kedua jawaban ini terlihat berbeda. Untuk satu hal, jawaban di peroleh dari metode 1 hanya
melibatkan x, sedangkan dari metode 2 melibatkan x dan y. Ingatlah meskipun demikian,
( 4 x2−3 ). Ketikan mensubsitusikan y=( x3−1 )
( 4 x2−3 ) kedalam persamaan untuk mendapatkan
dydx
kita memperoleh hasil berikut:
dydx
=3 x2−8 xy4 x2−3
=3x2−8x x2−1
4 x2−34 x2−3
¿12x4−9 x2−8 x2+8 x
(4 x2−3 )2=4 x4−9 x2+8 x
(4 x2−3 )2