kelas x bab 1 bilangan real

operasi bilangan real

A

h

B C

DISUSUN OLEH :

Febriantoni, dkk

NAMA SISWA : ……………………

KELAS : ……………………

SEKOLAH : ……………………

S TANDAR KOMPETENS I 1

MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL

A. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan riilIndikator 1 :

1. Dua atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur

2. Bilangan pecahan dikonversi ke bentuk persen, atau pecahan desimal, sesuai prosedur3. Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam pe-

nyelesaian masalah program keahlian

I. Macam-Macam Himpunan Bilangan

Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula. Misalnya 1, 2, 3, ... dan seterusnya dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, ...}.

Himpunan bilangan-bilangan secara skematis dapat ditunjukkan pada bagan berikut.

Himpunan Bilangan Riil

Himpunan Bilangan Rasional Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan Bilangan CacahHimpunan Bilangan Bulat Negatif

Himpunan Bilangan Asli {0}

Himpunan Bilangan Prima Himpunan Bilangan Komposit {1}

1. Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.A = {1, 2, 3, 4, ...}.

2. Himpunan Bilangan Cacah

Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:C = {0, 1, 2, 3, 4,...}.

3. Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

4. Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentukp

, dengan p, q B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut.q

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:

pQ

qp , q B , dan

q 0

5. Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p

qdengan p, q B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2, π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

II. Operasi Hitung pada Bilangan Riil

A. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Latihan 1:

a. 5 + 3 = ………… b. 5 – 3 = ……………

c. 2 – 6 = ………….. d. 3 – 9 = ………….

e. 6 – 7 = ………….. f. – 3 + 8 = …………

g. – 2 + 5 = ………… h. – 10 + 3 = ………….

i. – 4 – 5 = ………… j. - 7 – 3 = ……………

k. – 2 – 8 = ………. l. – 11 – 3 = …………

m. 4 – ( - 6 ) = ………. n. 7 – ( - 4 ) = ……..

o. – 3 + 4 – 7 = …………. p. 3 – 7 – 6 = ………….

q. 1 + 8 – ( - 5 ) = ……….. r. -4 – ( -2 ) – 8 = ……..

2. Perkalian dan Pembagian

Latihan 2 :

a. 4 x 5 = ……………….. b. 4 x (-5 )= …………….

c. – 4 x (-5 ) = ………… d. – 4 x 5 = …………….

100e. = ……………..

5

60f. = ………………

4 81

g. = ………………. 9

120h. = ………………….

12

i.20

........ …….5

j. 18

.........2

k. 200

......... 40

l.120

.......... 3

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

aJika

b

cdan

dmasing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi penjumlahan dan

pengurangan sebagai berikut:

a

c b d

a

c b d

ad bc

bd

ad bc

bd

Atau dengan Mencari KPK dari penyebut bilangan pecahan yamg akan dijumlah atau dikurangi

Latihan 3 :

3 2a. = ……………………

4 5

2 6b. = ………………………..

9 52 7

c. = …………….7 5

1 4d. = …………………………..

8 95

e. 2 = …………….13

3f. 8 = …………………..

42

g. 6 = …………..7

5h. 4 = ……………………

31 2 5

i. = …………………3 5 6

1 1j. 5 2 3 = …………………..

2 4

11 6 1k. = …………………

5 7 10

2 1l. 4 3 1 = …………………..

5 4

4 2m. 2 1 = ……………………….

5 3

3 4n. 7 4 2 = …………………….

5 3

2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan

aJika

b

cdan

dmasing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi perkalian dan

pembagian sebagai berikut:

a x

c

b d ac

bd

a :

c b d

a x

d b c

Latihan 4 :

5 4a. = ………………………

7 15

2 4b. : = ……………………

10 7

3

6 ......................

c. 2 8

4 :

5 .....................

d. 3 2

2e. 6 = ……………………

5

5f. 7 :

3

2 7

....................g. 3

3 : 7

........................h. 4

i.4

x4 ...............3

j.4

x4 ...............3

2 x9 ...............

k. 5

3 x6 ...............

l. 7

III. Perbandingan

Perbandingan dua buah nilai dari besaran yang sejenis dapat dinyatakan sebagai perbandingan atau6

pecahan biasa . Misal 6 : 7 atau .7

Ada dua jenis perbandingan , Yaitu

1. Perbandingan senilai

Perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua perbandingan harganya sama

Contoh soal :

Pendapatan ayah dan ibu dalam satu bulan adalah Rp. 3.500.000,00 jika perbandingan antara pendapatan ayah dan ibu 4 : 3 berapa pendapatan masing – masing ?

Jawab:

Jumlah perbandingan 4 + 3 = 7

Ayah =

3

4x Rp. 3.500.000,00 = Rp. 2.000.000,00

7

ibu = x Rp 3.500.000,00 = Rp.1.500.000,007

2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan disebut perbandingan sberbalik nilai jika dua perbandingan hasilnya saling berbalik.

Contoh

Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam waktu 60 hari. Jika pekerjaan tersebut harus selesai dalam waktu 45 hari , berapa orang yang harus ditambah ?

Jawab :

Perbandingan Berbalik nilai

x1 y2

x2 y1

12

45 x

12x60 16

x2 60 2 45

Untuk selesai dalam waktu 45 hari dibutuhkan 16 orang pekerja.

sehingga tambah pekerjanya adalah 4 orang

Latihan 5.

1. Setengah kilogram tawas harganya Rp.2.000,00 . berapakah harga 4 kilogram tawas?

2. Rata-rata perbandingan kemampuan kerjaseorang pekerja laki-laki dan perempuan dalam merakit alat eektronika adalah 4 :5.Dalam suatu pabrik elektronika yangmemproduksi pesawat televisi dalam sebulan menghasilkan 8.000 pesawat televisi .Berapa pesawat televisi yang dibuat oleh pekerjalaki-laki dan berapa yang dibuat oleh pekerja perempuan

3. Suatu pekerjaan diselesaikan 10 orang dalamwaktu 30 hari apabia pekerjaan tersebut akan diselesaikan dalam waktu 15 hari berapapekerja yang harus ditambah ?

4. Bus Way Trans Jakarta Jurusan Kota – BlokM Melaju dari Kota Jam 08.00 dan sampai di terminal Blok M setengah jam kemudiandengan kecepatan rata-rata 30 Km/jam . Jikaperusahaan ingin mengubah agar waktu tempuh tersebut menjadi 20 menit berapa kecepatan Bus sekarang ?

5. Untuk Lebaran, Ibu akan membuatkan bajuLevi dan Dhani. Untuk membuat baju Levi diperlukan kain sepanjang 91 cm.Jika perbandingan ukuran baju Levi dan

Dhani adalah 7: 4 berapa panjang kain yangdiperlukan untuk Dhani?

6. Untuk keperluan warungnya, Bu Wati memerlukan beras 1 kuintal selama 3 hari. Berapa kuintal beras yang diperlukan BuWati selama bulan Juni?

7. Sawah Pak Imam selesai dicangkul oleh 15orang pekerja dalam waktu 6 hari. Jika hanya terdapat 9 orang pekerja berapa hari sawahPak Imam selesai dicangkul?

8. Sebuah rak buku dapat memuat 36 buah bukuyang tebalnya 8 milimeter. Berapa buah buku yang dapat ditaruh di rak tersebut jika tiapbuku tebalnya 12 milimeter?

9. Sebuah kapal dapat dibuat oleh 45 orang selama 24 hari. Jika ada pesanan kapal harus selesai dalam waktu 18 hari berapa orangpekerja yang diperlukan?

10. Suatu persegi panjang berukuran panjang24 cm dan lebar 18 cm. Jika ukuran panjangnya dibuat 20 cm berapa ukuranlebar seharusnya supaya luas persegipanjang tersebut tetap.

IV. Skala

Skala adalah perbandingan senilai ukuran gambar dengan besar benda sebenarnya.

skala = Jarak pada peta : jarak sebenarnya

Jarak sebenarnya = Jarak pada peta x skala

Jarak pada peta = jarak sebenarnya : skala

Latihan 6

1. Jarak antara Jakarta dengan Bandung pada peta 10 cm . Jika skala gambar 1 : 5.000.000Berapa Km jarak Jakarta – Bandung sebenarnya ?

2. Gambar teknik dibuat dengan skala 1 : 10 .Jika Panjang sebenarnya 1,2 m berapakah panjang yang harus dibuat pada gambar ?

3. Sebuah mobil panjangnya 3,5 m Jika pada gambar panjangnya 7 cm berapa skala gambar tersebut ?

4. Denah rumah digambar dengan skala 1 : 200. Ternyata pada gambar tersebut panjang rumah 10 cm sedangkan lebarnya 6 cm .Tentukan panjang sebenarnya dan lebarsebenarnya ?

5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang berukuran 16 cm x 12 cm pada denah jika denah tanah tersebut mempunyai skala 1 : 5 , berapa luas tanah sesungguhnya ?

v. Persen

Persen adalah bentuk lain dari pecahan dengan penyebut seratus

Persentase Keuntungan =h arg a

jual h arg a belix 100%

h arg a beli

Persentase kerugian =h arg a

beli h arg a jual100%

h arg a beli

Untung =persentase untung

X harga jual100% persentase untung

Rugi =persentase rugi

X harga jual100% persentase rugi

Latihan 7

1. Untuk membuat speker aktif diperlukanmodal sebesar Rp. 150.000,00. Jika speker aktif tersebut dijual dengan harga Rp.200.000,00 berapa keuntungan danpersentase keuntungan dari hasil penjualan tersebut ?

2. Paramita mendapatkanuntung 6 % dari hargapembelian sebuah mobil. Jika besarnya keuntungan tersebut Rp. 750.000,00 berapa harga penjualan mobil tersebut ?

3. Toko buku “Mawar” menjual satu set alatmenggambar seharga Rp.315.000,00 dimana harga jual tersebut termasuk rugi 10%,berapa harga beli alat menggambar ?

4. Sebuah rumah dijual dengan harga Rp.200.000.000,00. Jika keuntungan penjualan rumah tersebut 25 % Tentukan besarkeuntungannya ?

5. Pedagang elektronik menjual televisi 14 inciseharga Rp1.500.000,00 dan memperoleh keuntungan 20% dari penjualan tersebut maka tentukan harga pembelian televisi itu ?

=

=

B. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan ber-pangkatIndikator :

1. Bilangan berpangkat dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.2. Bilangan berpangkat disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat

bilangan berpangkat3. Konsep bilangan berpangkat diterapkan dalam penyelesaian masalah.

a. Pengertian Pangkat Bulat PositifJika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umumdinyatakan dalam bentuk

a n

axaxax ... xa

sebanyak n faktor

Sifat–Sifat Pangkat:

a) ap× aq = ap+q

b) ap: aq = ap–q

c) a p q = apq

d) a bn = an×bn

e) a n a n

b

f) a–n =

g) a0 = 1

Latihan

b n

1 atau an =

a n1

a n

1. 3x 2 y 2

a 1b 22. Bentuk dapat dinyatakan dengan

c 3

pangkat positif menjadi …

a 7 b 5 2

3. 5 2 a b

4. Bentuk sederhana dari .


=

= …

= …

= …



8. Bentuk sederhana dari


10. Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari1 1

a 5 b 3 adalah …

1 2

3 2 2 3 2

11. Nilai dari = …12

1

36 2

12. Nilai dari2

adalah …27 3 1 22

2 113. Nilai dari 2435 64 2 = ….

12a5b3 23 a3b5 14.

4 7 3 32ab a b

x2 2 2x4

1

15. 2

y y

Persamaan Bentuk a f ( x ) a g ( x )

f ( x) g ( x)

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pangkat biangan pokoknya harus sama.

Latihan :

1. 4x 32

2. 26 x 3 25 x 7

3. 32 x1 93x2

4. 16x = 23x+5

5. 52x-1 = 125

6. 35x-1 = 243

7. 162x = 85x+2

8. 35 x1 1 24327

C. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan irasionalIndikator :

1. Bilangan bentuk akar dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.2. Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-

sifat bentuk akar3. Konsep bilangan irasional diterapkan dalam penyelesaian masalah.

Definisi bentuk Akar

Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

1

a) a n n a

m

b) a n n

a m

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c

b) a c – b c = (a – b) c

c) a b = a b

d) a b = (a b) 2 ab

e) a b = (a b) 2 ab

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:

a a b a b

a)b b b b

b) c c a

b

c(a b )

a b a b a b a 2 b

c) c c a

b c( a b )

Latihan :

a b a b a b a b

1. 3 2 2 2 ............... 2. 10. 2 ..................

3. 4 2 x 3 5 ................ 454. ..................

5

5. Sederhanakanlah 54 ......................

6. 72 .......................

7. Hasil dari 75 12 = …

8. 2 18 – 8 + 2 adalah …

9. Hasil dari 3 8 50 2 18 = …

10. Hasil dari 3 27 2 48 6 75 = …

11. Hasil dari 50 108 2 12 32 adalah…

12. Bentuk sederhana dari√242 − √200 − √50 − √8 = …

13. √32 + √18 − √242 + √72 adalah …

14. 4√200 − 2√242 − 5√50 + 10√2 = …

15. Nilai dari 3√32 − 6√8 + 4√50 + √2 = …

516. Hasil dari adalah …

2 3

417. Bentuk sederhana dari adalah …

3 5

18. Bentuk sederhana dari7

adalah …3 2

219. Bentuk sederhana adalah …

3 7

420. Bentuk sederhana dari adalah …

3 5

21. Bentuk sederhana dari5 3

adalah ….5 3

22. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk6 5

rasional dari 6 5 adalah ….


adalah ….6 2


adalah ….15 5

b

n

D. Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep logaritmaIndikator

1. Operasi logaritma diselesaikan sesuai dengan sifat-sifatnya.2. Soal-soal logaritma diselesaikan dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel3. Permasalahan program keahlian diselesaikan dengan menggunakan logaritma

Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a

> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g >0, g≠ 1), maka:glog a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :

(1) untuk glog a = x a = gx

(2) untuk gx = a x = glog a

b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:

(1) glog g = 1

(2) glog (a × b) = glog a + glog b

(3) glog a = glog a – glog b

(4) glog an = n × glog a

p(5) glog a =

(6) glog a =

log ap log g

1a log g

(7) glog a × alog b = glog b

(8) g log a m

=

m glog an

Latihan

(9) g g log a a

1. Nilai dari 2log 6 + 2log 8 – 2log 12 = …

2. Nilai dari 2log 32 + 2log 12 – 2log 6 adalah

3. Bentuk sederhana dari3log 81 + 3log 9 – 3log 27 adalah …

4. 3log 54 + 3log 6 – 3log 4 adalah …

5. 4log 256 + 4log 16 – 4log 64 adalah …

6. Nilai dari 5log 25 + 5log 3 – 5log 15 = …

7. Nilai dari 5log 75 – 5log3 + 1 = …

8. Nilai dari 2log 3 – 2log 9 + 2log 12 = …

9. Nilai dari 2log 8 – 2log 18 + 2log 36 = …

10. Nilai dari 2log 12 – 2log 24 + 2log 16 =

11. Nilai dari 5 log 1 2log8 3log 9 adalah25

12. Nilai dari 9log 25 5log 2 – 3log 54 = …

13. Jika diketahui log 3 = p dan log 5 = q tentukannilai dari log 45

14. Jika diketahui log 3 = p dan log 5 = q tentukannilai dari log 225

15. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 hitungnilai log 54

16. Dari soal no 15 tentukan nilai log 36

17. Jika 3log 2 = p, maka 8log 81 adalah ….

18. Diketahui 2log 3 = p Nilai dari 9log 16 adalah ….

19. Diketahui 3log 4 = p. Nilai dari 16log 81 samadengan ….

20. Diketahui 3log 2 =p. Nilai dari 8log 12 samadengan ….

kelas x bab 1 bilangan real

Documents