bilangan real kalkulus

8/18/2019 Bilangan Real Kalkulus

1/35

1


2/35

SISTEM BIL NG N

9/24/15

N : bilangan asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1, 2, 3, ...

Z : …,-2,-1,0,1,2,..

0,,, !"= b Z bab

aqQ :

R Q Irasional = !

! ,3,2

Contoh bilangan irasional:


3/35

G RIS BIL NG N

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut

dengan garis bilangan

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang/Interval


4/35

INTERV L

Notasi himpunan Notasi interval

{ } a x x


5/35

SIF T–SIF T BIL NG N RE L

! Trikotomi

Dalam sifat trikotomi, hanya terdapat satu pernyataan

yang benar diantara hal-hal berikut:

Contoh: Andi lebih tua daripada Bayu

Dapat diekspresikan menjadi: a > b

Maka:

Andi tidak lebih muda daripada Bayu (bukan a < b)

Andi tidak sama umurnya dengan Bayu (bukan a = b)


6/35


! Transitif

Jika a < b dan b < c, maka a < c

Jika a > b dan b > c, maka a > c

Contoh:

Jika Andi lebih tua daripada Bayu

Bayu lebih tua daripada Cindy

Maka, Andi pasti lebih tua daripada Cindy


7/35


! Perkalian

Jika a < b dan c positif, maka ac < bc

Jika a < b dan c negative, maka ac > bc


8/35

PERTID KS M N

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A x), B x), C x), D x) adalah suku banyak polinom) dan

B x) 0, D x) 0

8

( )

( )

( )

( )

A x C x

B x D x<


9/35

PERTID KS M N

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah

mencari solusi semua himpunan bilangan real

yang membuat pertidaksamaan berlaku.

Himpunan solusi bilangan real ini disebut juga

Himpunan Penyelesaian Hp)

9


10/35

C R MENENTUK N HP

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

2. Faktorkan P x) dan Q x) menjadi faktor-faktor linier dan/

atau kuadrat

3.

Tentukan titik pemecah pembuat nol faktor linear).

4. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis

bilangan, kemudian tentukan tanda +, -)

pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

10

0)(

)(<

xQ

x P


11/35

CONTOH

TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI

PERTIDAKSAMAAN BERIKUT

9/24/15 11

53213 !"! x

352313 +!!+ x

8216 !! x

48 !! x

84 !! x

[ ]8,4Hp = 4 8

1.


12/35

8462 !" x

842

!"

#$%

&'= 2,2

1

22

1!

Hp2.

12


13/35

0352 2

( )( ) 0312

Titik pemecah :2

1!= x and 3= x

3

++ ++--

21

!

3.

Hp = !

"

#$

%

&' 3,

2

1

13


14/35

637642 +!"!" x x x

x x 7642 !"! 6376 +!" x xdan

4672 +!+ x x dan 6637 +!"!! x x

4.

109 ! x 010 !" xdan

9

10! x 010 ! xdan

9

10! x dan 0! x

14


15/35

HP = [ )!"#$%

&'

(!) ,0

9

10,

15

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp = !"

#$%

&

9

10,0

21


16/35

13

2

1

1

!

<

+ x x

0

13

2

1

1<

!

!

+ x x

( ) ( )( )( )

0131

2213<

!+

+!!

x x

x x

5.

( )( ) 0

131

3<

!+

!

x x

x

16

Titik pemecah : -1,1

3

, 3

3

++ ++--

-1

--

13

Hp = ( ) 1

, 1 , 33

! "#$ # % & '

( )


17/35

17

x

x

x

x

+

!

"

+

32

1

032

1!

+

"

"

+

x

x

x

x

( )( ) ( )

( )( ) 0

32

231!

+"

""++

x x

x x x x

( )( ) 0

32

322 2

!

+"

++

x x

x x

6.


18/35

Untuk pembilang mempunyai nilai diskriminan

(D) < 0 sehingga nilainya selalu positif, maka pembilang

tidak menghasilkan titik pemecah.

Maka, titik pemecahnya adalah -3 dan 2 (dari penyebut)

18

322 2

++ x x

-3 2

-- ++ --

( ) ( ), 3 2,!" ! # "Hp =


19/35

SO L L TIH N

19

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2

2

2

2

2 5

7. 12

58. 1

2

9. 2 4 0

10. 1 0

2 111.

3

x

x

x x

x x

x

x x

x x

!

"

!

+ > !

! ! "

+ #

! +

"

+

2

2

3 2

1. 3 5 2 1

2. 4 3 1 4

3. 6

4. 3 2 0

5. 5 4 0

16. 0

2

x x

x

x x

x x

x x x

x

x

! < +

! " + "

+ <

! ! >

! + "

!

#

+


20/35

PERTID KS M N NIL I MUTL K

Definisi

:

Nilai absolut pada bilangan real didefinisikan sebagai

20

!"#


21/35

PERTID KS M N NIL I MUTL K

Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x=

21

2 x x =

a xaaa x !!"#$! 0,

a xaa x !"!! 0, or a x !"

!" y x 22

y x !

1.

2.

3.

4.

5.


22/35

41 ( )4,1

22

CONTOH

TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI PERTIDAKSAMAAN BERIKUT

352

# Gunakan sifat kedua

3523

822 Hp =1 4

1.


23/35

( )( ) 0422

2


24/35

5432 +!+ x x2.

# Gunakan sifat keempat

( ) ( )22 5432 +!+" x x2540169124

22++!++" x x x x

0162812 2

!"""# x x

23 7 4 0 x x! + + "

3

4!

Titik pemecah : , -1

24

(3 4)( 1) 0 x x! + + "


25/35

Hp =4

[ , 1]3

! !

Jika digambar pada garis bilangan :

-13

4!

++--++

25

x


26/35

26

272

!+

x

272

!+"

x

272

!"+

x

52

!"#

x

92

!"

x

10!"# x 18!" x

[ ) ( ]18,,10 !"!#"!

3.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10

# Gunakan sifat ketiga


27/35

!"#


28/35

1!


29/35

( )1,2

9, !"!#

$%

&'(

)"!

29-1

Hp1 =

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan

bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp1 = ( )1,!"!

29

( )1,!"!


30/35

21

( ) ( ) 2123 !"+!!# x x2136 !"!!!# x x

245 !"!# x

74 !"!# x

74 !" x

4

7!" x

!"

#$%

&'(

4

7,atau

30


31/35

Hp2 = [ )2,14

7, !"#$

%&'

()!

-1 24

7



Sehingga Hp2 = !"

#$%

&'

4

7,1

31

!"

#$%

&'

4

7,1


32/35

32

2! x

2123 !"+!! x x

( ) ( ) 2123 !"+!!# x x

2163 !"!!!# x x

272 !"!# x

52 !" x

III. Untuk

2

5!" x !

"

#$%

&',

2

5 atau


33/35

Hp3 = [ )!"#$

%&'

(! ,2,

2

5

22

5



Sehingga Hp3 = !

"

#$

%

&',

2

5

33

5,

2

! "# $%& '


34/35

Hp

7 5, ,

4 2

! " # $%& ' &( )* +, - . /

34

Jadi Hp =

47

25-1

47

25-1

47

25-1

( )

1 2 3

7 5, 1 1, ,

4 2

7 5, ,

4 2

Hp Hp Hp= ! !

" # " $=

%& % ! % ! & '( ) (* + * ,

- # " $= %& ! &. ') (/ + * ,


35/35

SO L L TIH N

35

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

8. 2 3 2 3

9. 2 3 4 5

410. 1 1

2 111. 3

5

12. 3 2

213.

1 1

x x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

! + ! "

+ # +

+ <

!

"

+

+ "

!

"

! +

1. 2 7 3

2. 2 63

3. 1 2 2

4. 1 2( 2)

5. 2 2 3

26. 1

7. 2

x

x

x x

x x

x x x

x

x

x x

! >

! "

! < !

! < !

+ < +

! "

+ "

bilangan real kalkulus

Documents