rangkuman materi kelas x smkrangkuman kelas x 1 materi 1 operasi bilangan real bilangan adalah suatu...

RANGKUMAN MATERI

KELAS X SMK

Tahun Ajaran 2010 / 2011

Rangkuman Kelas X 1

MATERI 1

OPERASI BILANGAN REAL

Bilangan adalah suatu gagasan, ide, bersifat abstrak yang dapat memberi

keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan.

Macam-Macam Bilangan

1. Bilangan Asli : Himpunan semua bilangan asli A={1,2,3,...}

2. Bilangan Cacah : Himpunan semua bilangan cacah C={0,1,2,3,...}

3. Bilangan Bulat : Himpunan semua bilangan bulat B={...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...}

4. Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

, dengan

a & b bulat dan b 0. Himpunan bilangan rasional

Q={x=

, a, b B, b 0}. Maka, bilangan rasional meliputi semua bilangan

bulat, pecahan sejati, dan pecahan tidak sejati (campuran).

Jika a > b :

,

,

, ... (pecahan tak sebenarnya)

= 2

,

= 1

,

= -2

(pecahan campuran)

Jika a < b :

,

,

, ... (pecahan murni)

Jika a = b :

,

, ... (bilangan bulat)

5. Bilangan Irasional : Bilangan yang lambangnya tidak dapat dinyatakan

sebagai bilangan pecahan atau bukan bilangan rasional dengan notasi I = {x|x

bilangan irasional} , misalnya √ , √ , √ , ... ; √

, √

, ... ; log 2, log 3, log 12,

e =2,7128...,

6. Bilangan Real (nyata) : Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional

yang dilambangkan dengan huruf R. Dapat dinyatakan bahwa bilangan real

meliputi semua bilangan bulat, pecahan, dan semua bilangan irasional dengan

notasi R = {x|x Q I }

7. Bilangan Imaginer (khayal) : Bilangan dari hasil penaksiran akar yang

kemungkinan menghasilkan bilangan yang tidak nyata (imaginasi), misal √ ,

√ , √ , ...dst. dengan notasi i = √ , maka

i2 = (√ )2 = -1

i3 = i2 x i = -1 x i = -i

i4 = (√ 4) = 1 ...dst.

8. Bilangan Kompleks : Gabungan bilangan nyata dan bilangan khayal atau

semesta dari dari semua bilangan yang dinyatakan dengan x + yi

x = bilangan nyata dan y = bilangan khayal. Notasi bilangan kompleks yaitu

K={ x + yi | x, y R, i = √ }. Contoh bilangan kompleks :

-3 + 2i dengan -3 sebagai bilangan bulat dan 5i sebagai bilangan khayal

9. Himpunan bilangan lainnya :

Himpunan bilangan ganjil (bilangan yang tidak habis dibagi dengan 2) =

{1,3,5,...}

Himpunan bilangan genap (bilangan yang habis dibagi dengan 2) =

{2,4,6,...}

Himpunan bilangan prima (bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu

angka 1 dan bilangan itu sendiri) = {2,3,5,7,...}

Himpunan bilangan tersusun (bilangan asli yang bukan bilangan prima) =

{1,4,6,8,9,...}

Rangkuman Kelas X 2

Himpunan bilangan komposit (bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor) =

{4,6,8,9,...}

Himpunan bilangan kuadrat (bilangan hasil dari penguadratan suatu

bilangan) = {1,4,9,16,25,...}

Ikhtiar Bilangan

Operasi hitung bilangan bulat

1. Penjumlahan

Jika a dan b bilangan asli, maka :

(-a)+(-b) = -(a+b)

(-225.136)+(-751.661) = -(225.136+751.661)

= -976.797

Kompleks (K)

Khayal (IM)

Nyata (R)

Irasional (I)

Rasional (Q)

Pecah (P)

Murni Campuran

Bulat (B)

Negatif (B - )

Cacah (C)

Nol Asli (A)

Ganjil Prima

Genap Komposit

Asli

Cacah

Bulat dan Pecahan

Rasional dan Irasional

Real

Kompleks

Gambar Diagran Venn Ikhtiar Bilangan

Rangkuman Kelas X 3

a+(-b) = a-b, dengan a>b

756.220+(-136.112) = 756.220-136.112

= 620.108

(-a)+b = -(a-b), dengan a>b

(-556.785)+57.461 = -(556.785-57.461)

= -499.324

a+(-b) = -(b-a), dengan a<b

76.105+(-89.157) = -(89.157-76.105)

= -13.052

(-a)+b = b-a, dengan a<b

(-796.884)+901.844 = 901.844-796.884

= 104.960

Sifat penjumlahan bilangan bulat :

Komutatif : a+b = b+a

275.116+(-546.113) = (-546.113)+ 275.116

= -270.997

Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)

(116.176+717.221)+(-93.110) = 116.176+[717.221+(-93.110)]

= 740.287

Unsur Identitas : a+(-a) = 0

54.329+(-54.329) =0

2. Pengurangan


a-b = a+(-b)

795.012-656.773 = 795.012+(-656.773)

= 138.239

a-b = (a+c)-(b+c)

931.765-87.164 = (931.765+11.074)-( 87.164+11.074)

= 844.601

a-(b+c) = (a-b)-c

385.714-(10.213+54.168) = (385.714-10.213)- 54.168

= 321.333

(a+b)-c = a+(b-c)

[856.771+(-31.249)]-21.200 = 856.771+[(-31.249)-21.200]

= 804.322

Sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan tidak bisa diterapkan pada

pengurangan. Contoh :

Komutatif : a-b b-a

56.738-79.150 79.150-56.738

-22.142 22.142

Asosiatif : (a-b)-c a- (b-c)

(99.109-10.001)-35.765 99.109-(10.001-35.765)

-53.343 53.343

3. Perkalian

Perkalian merupakan penjumlahan yang berganda, dapat dinyatakan

sebagai berikut : axb = b+b+b+... contoh :5x3 = 3+3+3+3+3 = 15. Pada

bentuk axb = c ,notasi perkalian (x) atau ( ) dengan a : pengali, b : bilangan

yang dikalikan, dan c : hasil kali.


Rangkuman Kelas X 4

axb = bxa

561x957 = 957x561

= 486.877

ax(-b) = -(axb)

732x(-915) = -(732x915)

= -669.780

-axb = - (axb)

-583x736 = -(583x736)

= -429.088

-ax(-b) = +(axb)

-287x(-117)= +(287x117)

= 33.579

Sifat perkalian bilangan bulat :

Komutatif : axb = bxa

(-751)x516 = 516x(-751)

= -337.516

Asosiatif : ax(bxc) = (axb)xc

-115x(731x289) = [(-115)x731]x289

= -24.294.785

Distributif : ax(b+c) = (axb)+(axc)

237x(516+714) = (237x516)+( 237x714)

= 291.510

Tertutup (anggota perkalian masih dalam satu jenis bilangan) : axb B ,

contoh : (137)x571 = -78.227

Unsur Identitas : 1xa = ax1 = a dan ax

= 1(kebalikan atau invers a

terhadap perkalian)

Bentuk perkalian yang perlu diketahui :

1. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2

2. (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2

3. (a-b)(a+b) = a2-b2

4. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

5. a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

6. a4-b4 = (a2+b2)(a2-b2)

7. (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

8. (a-b-c)2 = a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc

4. Pembagian

Jika a dan b bilangan bulat dengan b 0, maka :

a:b = m dapat ditulis dalam bentuk pecahan

= m , maka a = mxb

Sifat pembagian bilangan bulat :

ax(b:c) = (axb):c

ax

=

(axb):(pxq) = (a:p)x(b:q)

=

x

a:(b:c) = ax(c:b)

= ax

a:b = (axp):(bxp)

=

, p 0

a:b = (a:p):(b:p)

=

, p 0

(a:b):p = (a:b)x(1:p) =

x

Rangkuman Kelas X 5

(a+b):p = (a:p)+(b:p)

=

+

(a-b):p = (a:p)-(b:p)

=

-

ap:aq = ap-q

= ap-q

(a:b)p = ap:bp

(

)p =

Operasi Hitung Bilangan Pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan

=

+

=

=

=

=

=

=

sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan sama dengan

penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.

2. Perkalian dan Pembagian

x

=

x

=

=

:

=

x

=

:

=

x

=

=

= 1

sifat perkalian dan pembagian bilangan pecahan sama dengan penjumlahan

dan pengurangan bilangan bulat.

Terdapat 3 cara penulisan pecahan, yaitu :

1. Pecahan Biasa (pecahan murni),

dengan a>b

2. Pecahan Desimal, dibagi menjadi 3 bentuk :

Terbatas : 0,5

Tidak Terbatas : 0,5876564...

Berulang (Repeten) : 0,555... atau 0,5

Operasi bilangan pecahan desimal :

1. Penjumalahan

0,8945+0,0835+ 0,65 = 1,628

0,8945

0,0835

0,65 +

1,628 lebih baik memakai cara bersusun, karena lebih cermat, jangan lupa

disejajarkan pada tanda koma.

2. Pengurangan

1-0,09824-0,524 = 0,37776

1

0,09824 -

Rangkuman Kelas X 6

0,90176

0,524 -

0,37776 pada operasi pengurangan bersusun harus dikerjakan per

langkah tidak dianjurkan langsung semua untuk memperkecil kesalahan hitung.

3. Perkalian

6,894x7,03 = 48,46482

6,894

7,03 x

20682

0000

48258 +

48,46482 pada operasi perkalian bersusun, tanda koma hasil

perkalian diletakan sesuai dengan jumlah bilangan dibelakang koma pada

pengali dan bilangan yang dikalikan.

4. Pembagian

86,35 : 0,025 = 3.454

3454

25 86350

75 -

113

100 -

135

125 -

100

100 -

0 pada operasi pembagian bersusun, pembagi harus

dalam bentuk bulat, tidak boleh terdapat koma.

Pemfaktoran aljabar

Contoh :

1.

=

= (x-2)

x-2

x-3 x2-5x+6

x2-3x -

-2x+6

-2x+6 –

0

2.

= x2–7x+28

x2–7x+28

X+4 x3-3x2+0x+112

x3+4x2 -

-7x2+0x

-7x2-28x -

28x+112

28x+112-

0

Harus ditambah 0x

untuk melengkapi

urutan pangkat

Rangkuman Kelas X 7

3. Pecahan Prosen adalah bilangan rasional yang berpenyebut 100.

Lambang dari prosen adalah % . Contoh :

=

x 100%= 45% ;

=

x100% =

% =14

% diusahakan dalam membuat bilangan prosen

menggunakan bentuk pecahan.

Konversi pecahan biasa ke desimal ke prosen

= 0,125 = 0,125 x 100% =12,5 %

0,125

8 10

8 –

20

16 –

40

40 –

0

Konversi pecahan biasa ke prosen ke desimal

=

x 100% = 60% =

= 0,6

Konversi desimal ke pecahan biasa

0,24 =

0,333... =

x = 0,333...

10x = 3,333...

x = 0,333...-

9x = 3

x =

=

2,3181818...

x = 2,3181818...

1000x = 2318,1818...

10x = 23,1818...-

990x = 2295

x =

=

= 2

Konversi prosen ke pecahan biasa

78% =

Perbandingan dan Skala

1. Perbandingan (Rasio)

Adalah membandingkan 2 besaran sejenis pada umumnya dinyatakan dengan

bilangan. Misalnya membandingkan ukuran pensil yang masing-masing 20 cm

dan 15 cm. Perbandingannya dapat dinyatakan sebagai berikut :

1. 20 cm : 15 cm

2. 20 cm lawan 15 cm

3. 20 cm / 15 cm atau

=

(baca: 4 banding 3, perbandingan pada

umumnya dinyatakan dalam nilai yang terkecil)

Perbandingan ada 2 macam :

a. Perbandingan Senilai : 2 perbandingan yang nilainya sama.

Berulang pada

bilangan ke-I ,

jadi dikali 10

Berulang pada

bilangan ke-III , jadi

dikali 1000

Rangkuman Kelas X 8

Misal : 3 / 7 senilai dengan 24 / 56

Contoh : perbandingan jarak dan waktu. Semakin jauh jarak, semakin lama

pula waktunya.

Jika mobil A dapat menempuh jarak 200 km dengan waktu 120 menit.

Berapa waktu yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak 100 km?

Jawab :

=

=

Waktu B x 200 km = 100 km x 120 menit

Waktu B =

Waktu B = 60 menit

Berarti rumus perbandingan senilai :

=

b. Perbandingan Berbalik Nilai : 2 perbandingan yang nilainnya saling

berbalikan.

Misal : 2/5 dengan 5/2

Contoh : kecepatan dengan waktu. Semakin tinggi kecepatan, maka semakin

singkat waktu.

Jika mobil A dapat menempuh jarak tertentu dengan kecepatan 60km/jam

dengan waktu 120 menit. Berapa kecepatan yang mobil B yang butuhkan

untuk menempuh jarak yang sama dalam waktu 180 menit ?

Jawab :

=

=

Kecepatan B x 180 menit = 120 menit x 60 km/jam

Kecepatan B =

Kecepatan B = 40 km/jam

Berarti rumus perbandingan berbalik nilai :

=

Contoh variable perbandingan :

Senilai : banyaknya barang yang dibeli & harganya; lama menabung &

jumlah tabungan; jarak & waktu; gas, kenaikan temperatur (volume

tetap) & tekanannya.

Berbalik Nilai : gerak beraturan, kecepatan, & waktunya; jumlah seluruh

cicilan, & sisa hutang; kecepatan & waktu; jumlah pekerja & lama selesai

proyek; gas, kenaikan tekanan (suhu tetap) & volumenya.

2. Skala

Adalah perbandingan jarak/panjang pada peta dengan jarak/panjang

sebenarnya.

Ada 2 macam skala, yaitu :

1. Skala Diperbesar (biasanya untuk menggambarkan komponen

mesin/alat-alat elektronika yang berukuran kecil atau sangat kecil.

Misalnya, 20 : 1 artinya 20 satuan mewakili 1 satuan pada ukuran

sebenarnya, atau 1 satuan mewakili

mewakili ukuran sebenarnya)

Contoh soal :

Pada gambar sarang semut yang berskala 100:1 memiliki diameter 50cm

pada gambar. Berapa mm diameter sarang semut sesungguhnya!

Jawab :

Rangkuman Kelas X 9

Skala 100:1 artinya 100cm mewakili 1cm ukuran sebenarnya.

Diameter sarang semut sesungguhnya :

=0,5cm=5mm

2. Skala Diperkecil (biasanya untuk menggambarkan peta, luas lahan atau

rumah yang berukuran luas. Misalnya, 1 : 1000 artinya 1 cm pada peta

mewakili 1000 cm pada ukuran sebenarnya)

Contoh soal :

Pada gambar yang berskala 1:500 akan dibangun sebuah rumah dengan

ukuran pada gambar panjang 24cm dan lebar 20cm. Berapa meterkah

luas rumah sesungguhnya ?

Jawab :

Skala 1:500 artinya 1cm mewakili 500cm ukuran sebenarnya.

Panjang rumah sesungguhnya : 24cmx500 = 12.000cm

Lebar rumah sesungguhnya : 20cmx500 = 10.000cm

Luas rumah sesungguhnya : 12.000cmx10.000cm

: 120mx100m

: 12.000m2

Operasi bilangan berpangkat

Operasi bilangan berpangkat berdasarkan perkalian berganda.

Misalnya, 43 = 4x4x4. Secara umum : ap =a x a x a x a x ... dengan a=bilangan

pokok, p=pangkat (eksponen), dan ap=bilangan berpangkat.

Sifat-sifat bilangan berpangkat :

1. ap x aq = ap+q

22 x 25 = 2x2x2x2x2x2x2

= 22+5

= 27

= 128

2. ap:aq = ap-q

=

= 37-4 = 33 = 27

3. (ap)q = apq

3(2p5q4r3)5 = 3(25p25q20r15)

= 3(32p25q20r15)

= 96p25q20r15

= 210 = 1024

4. (axb)n = an x bn

(2x5)3 = 23 x 53

= 8 x 125

= 1000

Pangkat 0

a0 = 1 dengan a 0 dan 0p=0 dengan p 0

contoh soal :

30 = 1 , 10000 =1

Pangkat Negatif

a-n =

contoh soal :

Jika pangkatnya berpangkat, maka pangkatnya

dipangkatkan terlebih dahulu

Rangkuman Kelas X 10

(5c-4d5)3 = 53c-12d15 =

=

a4b6 x

x a3b2 x a-5b x 4b-4 = a4xb6xa-2xb-5xa3xb2xa-5bx4xb-4

= (a4xa-2xa3xa-5)(b6xb-5xb2bxb-4)4

= a4-2+3-5 x b6-5+2+1-4 x4

= a0 x b0 x4

= 1 x 1 x4

= 4

Akar dan pangkat pecahan

Akar adalah kebalikan dari pangkat.

Mencari akar suatu bilangan

Cara yang lebih cermat adalah menjandikan tiap kelompok 2 angka dibelakang

koma, maupun di depan koma.

Contoh soal :

√ = 4,39

√ = 4,39

4x4 = 16 -

327

83x3 = 249 -

7821

869x9 = 7821-

0

√ = 0,0456

√ = 0,0456 0x0 = 0 - 00

00x0 = 00 -

20

04x4 = 16 -

479

85x5 = 425 -

5436

906x6 = 5436 –

0

Sifat-sifat akar pangkat :

1. √

=

Contoh soal :

1. √

=

2. √

=

4+

4

83+

3

0+

0

00+

0

4+

4

85+

5


2. √ =

dengan m, n B dan n 0

Contoh soal :

1. (√ )3 = √

=

=

2.

√ =

= 7.

.

3. √

= √

x √

Contoh soal :

1. √

x √

x √

= √

= √

= √

x √

= 2√

2. √

x √

= √

= √

= √ = 3

4. √

=

√

√

Contoh soal :

√

√ = √

= √

= √

= 3

5. √ = √

Contoh soal :

√ = √

= ab2c √

6.

=

=

√

Contoh soal :

=

=

√

7. √ = a

Contoh soal :

√ =

= 31 = 3

8. √√

= √

=

Contoh soal :

1. √√

= √

= √

= √ = 2

2. √ √ √ √ = x

X2 = 3√ √ √ √

X

X2 = 3x

X2-3x = 0

X(x-3) = 0

x1 = 0 V x-3= 0

X2 = 3

3. √ √ √ √ = p

Jadi yang berlaku x=3 karena x 0


p2 = 6+√ √ √ √

p

p2 = 6+p

p2-p-6 = 0

(p-3)(p+2) = 0

(p-3) (p+2)

p-3=0 V p+2=0

p1 =3 p2 = -2

Menyederhanakan Bentuk Akar

Menggunakan sifat : √

= √

x √

atau √ = √ x √ dengan a dan b harus

dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Contoh soal :

1. √

= √

x √

= 4√

2. √ = √

x √

x √

x √

= 4a√

Operasi Aljabar Dalam Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Berlaku aturan :

a√ + b√ = (a+b) √

a√ - b√ = (a-b) √ , dengan a,b, c R dan

Contoh soal :

1. 3√ +5√ -2√ =

(3+5-2)√ = 6√

2. √ + √ - √ - √ + √ = √ + √ - √ - √ + √

= 3√ + 6√ - 2√ - 5√ + 3√

= 3√ + 6√ - 5√ - 2√ + 3√

= 4√ + √

2. Perkalian Bentuk Akar

Berlaku aturan :

√ x √ = a

√ x √ = √

c x d√ = cd√

Perlu diingat !

1. (a+b)(a-b) = a2 – b2

2. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

3. (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Contoh soal :

1. 2√ x 4√ = 8√

Jadi yang berlaku p = 3 karena termasuk

bilang positif bukan negatif

Perkalian sekawan


= 8√

= 8x3√

= 24√

2. (3√ -4√ )2 = (3√ )2 – 2(3√ )(4√ ) + (4√ )2

= 9x2 - 24√ + 16x5

= 18 - 24√ + 80

= 62 - 24√

Merarasionalkan Penyebut Pecahan

a. Pecahan berbentuk

√ , jika a dan b B dan b 0 , maka berlaku

√ =

√ x

√

√ =

√

, jadi

√ =

√

√ =

√ x

√

√ =

√

=

√ , jadi

√ =

√

Contoh soal :

√ =

√ x

√

√ =

√

√ =

√ x

√

√ =

√

=

√

b. Pecahan berbentuk

√

Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan

dari penyebut.

√ =

√ x

√

√ =

√

√ =

√ x

√

√ =

√

Contoh soal :

√ =

√ x

√

√ =

√

=

√

c. Pecahan berbentuk

√ √

Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan

dari penyebut.

√ √ =

√ √ x

√ √

√ √ =

√ √

√ √ =

√ √ x

√ √

√ √ =

√ √

Contoh soal : √ √

√ √ =

√ √

√ √ x

√ √

√ √ sekawan dari penyebut soal

= ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ )

√ √

= √ √

= √ √

= √

= 2√ - 5

Menarik akar kuadrat

Berlaku aturan :

1. √ √ = √ + √

Contoh soal :


√ √ = √ √

= √ √

= √ + √ lebih baik didahulukan akar yang besar

dalam penulisan hasil.

2. √ √ = √ - √

Contoh soal :

√ √ = √ √

= √ √

= √ – √

Persamaan Pangkat (Persamaan Eksponen) dan Persamaan Penarikan Akar

Untuk membentuk nilai x yang memenuhi persamaan pangkat (eksponen) dengan

bilangan pokok yang sama menggunakan sifat :

Jika a R (a 0) dan berlaku =ap ,maka f(x)=p

Contoh soal :

2x-1 = 1

2x-1 = 20

x-1 = 0

x = 1

(x-3)5 = 32

(x-3)5 = 25

x-3 = 2

x = 5

(-5)20 x

= (-5)(20-30)

= (-5)-10

=

√ = 2√

= 21

=

=

=

X = 8

√ = (

)2-x

= (

)2-x

= 2-5(2-x)

= 2-10+5x

x+2 = -10+5x

-4x = -12

x = 3

Logaritma (Logaritma Biasa = Logaritma Briggs)

Jika mencari nilai x pada pangkat, maka disamakan

bilangan pokoknya

Jika mencari nilai x pada bilangan pokok , maka

disamakan pangkatnya

Karena pangkatnya genap,

negatifnya (-) hilang


Penarikan Logaritma

Operasi logaritma adalah operasi mencari pangkat eksponen.

a... = c dapat ditulis alog c

2... = 8 operasi penarikan logaritma, ditulis 2log8 = 3

Apabila nilai alog c = b ,didapat nilai ekivalen yaitu :

alog c=b <=> ab=c

Keterangan :

a : bilangan pokok logaritma a>1 dan a>0, untuk bilangan pokok 10 (a=10)

tidak perlu ditulis.

c : hasil numerus (bilangan yang dilogaritmakan, dengan c>0)

b : hasil logaritma dengan b R

Perlu diingat !

alog 1=0 (karena a0=1)

alog a=1 (karena a1=a)

log 1 = 0

log 10=1

Sifat-sifat Logaritma :

1. untuk ekuivalensi ab=ab <=> alog ab=b

2. untuk ekuivalensi alog b= alog b <=> = b

3. alog pn = n x alog p

4. alog (pxq) = alog p + alog q

5. alog (

) = alog p - alog q

6. =

alog p

7. = alog p

8. alog p x plog q = alog q

9. alog p =

10. =

Contoh soal :

43 = 64 <=> 4log 64 = 3

2-5 =

<=> 2log

= -5

log 0,0001 = 10log 10-4 sifat ke-1

= -4

8log 16 = sifat ke-10

=

√ = 2√ sifat ke-2

√ = √ sifat ke-3

= (2√ )2

= 4x3

= 12


2log4+2log8 = 2log(4x8) sifat ke-4

= 2log 32

= 2log 25

= 5

2log80-2log10 = 2log(

) sifat ke-5

= 2log8

= 2log23

= 3

4log5x5log64 = 4log64 sifat ke-8

= 4log43

= 3

9log64 = sifat ke-6

=

3log2

= 3 3log2

= 3log23

= 3log8

x

=

x

sifat ke-9

=

x

= 15

4log81 = sifat ke-7

= 2log9

Jika log a=p, log b=q, maka :

o log a3 + log b2 = 3 log a + 2 log b

= 3p + 3 q

o log b x a3 = log b + log a3

= log b + 3 log a

= q + 3p

o log √

= log √ – log √

= log

– log

=

log a -

log b

=

o log a2 x b2 = log a2 + log b2

= 2 log a + 2 log b

= 2p+2q

o alog b2 =

=

Penggunaan Daftar Logaritma

Dengan bilangan pokok 10 (logaritma biasa / logaritma briggs). Dalam buku daftar

logaritma memuat 5 daftar yaitu :

1. Daftar I = Daftar Logaritma Biasa (logaritma bil.)

2. Daftar II = Daftar Logaritma Sinus

3. Daftar III = Daftar Sinus

4. Daftar IV = Daftar Bunga

5. Daftar V = Daftar Akar dan Pangkat


Di dalam logaritma biasa, terdapat istilah yaitu :

o Karakteristik = Banyaknya angka bulat di depan koma dikurangi 1

o Mantise = Bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma

Log 5 = 0,6990

Karakteristik Mantise

Mencari Hasil Logaritma

Contoh soal :

Log 50 = 1,6990

Log 0,5 = 0,6990 – 1

= -0,3010

Log 2,345 = 0,3701

Log 23,45 = 1,3701

5

234 3701

Log 0,00564 = 0,7513 – 3

= -2,2487

Mencari Hasil Anti Logaritma

Contoh soal :

Log x = 0,3786

X = antilog 0,3786

X = 2,391

1

239 3786

Log x = 3,5912

X = antilog 3,5912 = 3901

Log x = 4,3707

X = antilog 4,3707

X = 23.480 jika lebih dari 4 digit ditambah 0

Log x = 0,2391 – 1

X = antilog 0,2390 – 1 dibulatkan ke yang terdekat

X = 0,1734 bilangan negatif merupakan banyaknya 0 di depan bilangan asli

Log x = 0,4792 – 2

X = antilog 0,4793 – 2 dibulatkan ke yang terbesar

X = 0,03015

Log x = -3,1037

X = 0,8963 – 4

X = 0,0007875

Cara mencari log pada daftar log

Jika numerus 0,00... maka hasil log

dikurangi banyaknya 0 di depan bilangan

asli

Cara mencari antilog pada daftar log


Penggunaan Daftar Log Untuk Mencari Nilai x

X =

Log x = log 8,476 + log 25,43 – log 124,6

log 8,476 = 0,9282

log 25,43 = 1,4053 +

2,3335

Log 124,6 = 2,0955 +

Log x = 0,2380

X = antilog 0,2380

= 1,730

X = √

Log x =

Log x =

x log 3745

=

x 3,8290

= 1,2763

X = antilog 1,2763

= antilog 1,2762 dibulat ke yang terdekat

= 18,89

P = √

P =

Log p =

(log 47,32 – log 0,00156)

log 47,32 = = 1,6750

log 0,00156 = 0,1913 – 3 = -2,8069 –

4, 4819

Log p =

x 4,4819

= 2,24095

= 2,240 dibulatkan ke 3 desimal agar menjadi 4 digit

P = antilog 2,240

= 174,2

Logaritma Napier (Logaritma Alam/Logaritma Naturalis)

adalah logaritma dengan bilangan pokok /basis e (epsilon) dengan e=2,7182...

elog x = 2,7182 log x = ln x


Sifat-sifat Logaritma Napier

1. ln axb = ln a + ln b

2. ln

= ln a – ln b

3. ln ap = p x ln

4. ln a =

5. ln e = 1, sebab elog e = 1

6. ln √

= ln

= =

x ln a

Hubungan Antara Log Biasa Dan Log Napier

ln x = elog x

= 2,7182log x

=

=

log x

=

log x

ln x = 2,303 log x

Contoh soal :

ln 89,75 = 2,303 x log 89,75

x = 2,303 x 1,9530

log x = log 2,303 + log 1,9630

log 2,303 = 0,3623

log 1,9530 = 0,2907 +

log x = 0,6530

x = antilog 0,6530

= 4,498

ln 4 – ln 9 = 2,303 log 4 – 2,303 log 9

= 2,303(log 4 – log 9)

= 2,303(0,6021-0,9542)

= 2,303(-0,3521)

-x = 2,303 x 0,3521

-log x = log 2,303 + log 0,3521

log 2,303 = 0,3623

log 0,3521 = 0,5467 -1 = -0,4533 +

-log x = -0,0910

log x = 0,0910

x = antilog 0,0910

= 1,233

ln3,5460,75 + ln5,6780,75 = (0,75 x ln x log3,546)+( 0,75 x ln x log5,678)

= 0,75 x 2,303 x log3,546+ 0,75 x 2,303 x log5,678

= (0,75 x 2,303) (log3,546+log5,678)

= (0,75 x 2,303) (0,5497+0,7542)

X = 0,75 x 2,303 x 1,3039


log x = log 0,75 + log 2,303 + log 1,3039

log 0,75 = 0,8751 – 1

log 2,303 = 0,3623 +

1,2374 -1

log 1,3039 = 0,1153 +

log x = 1,3527 -1

log x = 0,3527

x = antilog 0,3527

= antilog 0,3528

= 2,253

Persamaan Logaritma

Contoh Soal :

3log(x+1) + 3log(x-1) = 2 3log(x+1) + 3log(x-1) = 3log 9 dijadikan sama bilangan pokoknya 3log(x+1)(x-1) = 3log 9

X2 – 1 = 9

X2 = 10

X = √

= 3,1623 lihat daftar IV logaritma

5log (x+10) - 5log (x-2) = 1 5log (x+10) - 5log (x-2) = 5log 5 5log

= 5log 5

= 5

X+10 = 5x-10

-4x = -20

X = 5

xlog (x-3) +

= 1

xlog (x-3) + xlog 2 = xlog x xlog (x-3)2 = xlog x

2x – 6 = x

X = 6


MATERI 2

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan

Adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”.

Kalimat matematika terbuka merupakan kalimat matematika yang tidak dapat

ditentukan nilai benar atau salahnya.

A. Persamaan Linear

Contoh macam-macam persamaan linear:

1. 4x-4 = 2x-7 persamaan linear dengan 1 variable

2. 2x-y = 4 persamaan linear dengan 2 variable

3. 3x-5y-2z = 6 persamaan linear dengan 3 variable

Macam-macam persamaan linear :

1. Persamaan Linear Dengan 1 Variable

Bentuk umum : Ax + B = 0 , dengan A, B R, A 0

Contoh soal :

(5x-7) =

(2x+8)

X 6

3(5x-7) = 2(2x+8)

15x – 21 = 4x + 16

11x = 37

x =

= 3

Hp {3

}


Bentuk umum :

Ax + By = P

Cx + Dy = Q , dengan A, B, C, D, P, Q R

Contoh soal :

2x-5y = 16 ... (1)

3x+2y = 5 ... (2) , x, y R

Cara menyelesaikan persamaan linear 2 varible :

a. Cara Eliminasi (menghilangkan salah satu variable)

Eliminasi x : 2x-5y = 16 x3

3x+2y = 5 x2

Dikali kedua ruas agar membentuk persamaan

baru, namun hanya untuk bilangan di depan

tanda kurung

harus disertai himpunan penyelesaian


6x-15y = 48

6x+4y = 10 -

-19y = 38

y = -2


3x+2y = 5 x5

4x-10y = 32

15x+10y = 25 -

19x = 57

x = 3 Hp {3,-2}

b. Cara Substitusi (mengganti salah satu varible satu dengan varible lain)

Memanipulasi persamaan ke-2 : 3x + 2y = 5

2y = 5-3x

y =

Substitusikan ke persamaan 1 :

2x - 5y = 16

2x - 5(

) = 16

2x -

+

= 16

X 2

4x – 25 + 15x = 32

19x = 57

x = 3

y =

=

=

=

= -2

Hp {3, -2}

c. Cara Campuran (gabungan cara substitusi dan eliminasi)


3x+2y = 5 x2

6x-15y = 48

6x+4y = 10 -

-19y = 38

y = -2

Substitusi ke persamaan 2 :

3x + 2y = 5

3x + 2(-2) = 5

3x - 4 = 5

3x = 9

x = 3

d. Cara Determinan

Pada persamaan ax + by = p

cx + dy = q


Bentuk persamaan matriksnya yaitu :

*

+ * + = *

+

Determinan (det) = D =

= D = |

| = (axd)-(bxc)

x = Dx = |

| = (pxd)-(bxq)

y = Dy = | | = (axq)-(pxc)

X =

, y =

2x-5y = 16 3x+2y = 5

D = = |

| (2x2)-(-5x3) = 4 + 15

= 19

Dx = x = |

| (16x2)-(-5x5) = 32 + 25

= 57

Dy = y = |

| (2x5)-(16x3) = 10 – 48

= -38

X =

=

= 3

y =

=

= -2 Hp {3,-2}

Contoh soal :

Selisih dua bilangan bulat adalah 6, sedang jumlah kedua bilangan tersebut

adala 8. Tentukan bialangan tersebut!

Jawab :

a-b = 6

a+b = 8 +

2a = 14

a = 7

a-b = 6

7-b = 6

-b = -1

b = 1

jadi, bilangan tersebut adalah 7 dan 1

Jika menggunakan soal cerita, himpunan penyelesaian dapat menggunakan kalimat

„Jadi, ...‟

Enam tahun lalu umur Doni adalah lima kali umur Dina, sedangkan tiga tahun

yang akan datang umur Doni adalah dua kali umur Dina. Berapakah umur Doni

sekarang ?

Jawab :

Dimisalkan : x = umur Doni sekarang

Y = umur Dina sekarang


6 tahun lalu,

X – 6 = 5(y - 6)

X – 6 = 5y – 30

X – 5y = -24 ...(1)

3 tahun mendatang,

X + 3 = 2(y+3)

X + 3 = 2y + 6

X – 2y = 3 ...(2)

x – 5y = -24 x2 2x – 10y = -48

x – 2y = 3 x5 5x – 10y = 15 -

-3x = -63

x = 21

jadi, umur Doni sekarang adalah 21 tahun

-

=

...(1)

+

=

...(2)

Eliminasi y :

-

=

x4

-

=

+

=

x1

+

=

+

= 6

=

13x = 26

X = 2

Substitusi ke persamaan kedua :

-

=

-

=

-

=

-

=

y = -6 Hp {2,-6}

+

= 2 ...(1)

-

= 1 ...(2)

+

= 2 x6 2x-2+y+2 = 12

2x+y = 12 ...(1)

-

= 1 x4 x+4-4y-2 = 4

x-4y+2 = 4

x-4y = 2 ...(2)

Eliminasi x :

2x+y = 12 x1 2x+y = 12

x-4y = 2 x2 2x-8y = 4 -

9y = 8

Y =

Substitusi ke persamaan kedua :

x-4y = 2

x-4

= 2


x-

= 2

x =

x =

x = 5

Hp {5

,

}


Bentuk umum :

ax + by + cz = d

px + qy + rz = s

kx + ly + mz = n

dengan a, b, c, d, p, q, r, s, k, l, m, n R

cara menyelesaikan persamaan linear 3 variable :

a. Cara Campuran

Contoh soal :

3x+2y-6z = 12 ...(1)

5x-4y+2z = 0 ...(2)

6x+z = 26 ...(3)

Eliminasi y :

3x+2y-6z = 12 x2 6x+4y-12z = 24

5x-4y+2z = 0 x1 5x-4y+2z = 0 +

11x-10z = 24

Eliminasi z :

11x-10z = 24 x1 11x-10z = 24

6x+z = 26 x10 60x+10z = 260 +

71x =284

X = 4


6x+z = 26

6 4+z = 26

24+z = 26

Z = 2


3x+2y-6z = 12

3 4+2y-6 2 = 12

12+2y-12 = 12

2y = 12

Y = 6

Hp {4,6,2}

b. Cara Determinan

Pada persamaan :

ax + by + cz = d

px + qy + rz = s

kx + ly + mz = n

bentuk persamaan matriksnya yaitu :

|

| |

| = |

|

D = |

|

= (aqm+brk+cpl) – (cqk+arl+bpm)


Dx = |

|

= (dqm+brn+csl) – (cqn+drl+bsm)

Dy = |

|

= (asm+drk+cpn) – (csk+arn+dpm)

Dz = |

|

= (aqn+bsk+dpl) – (dqk+asl+dpn)

X =

Y =

Z=

Contoh soal :

-x+2y+z = 6

3x+3y+2z = 23

4x-y+2z = 10

D = |

|

= (-6+16-3)–(12+2+12)= 7 – 26 = -19

Dx = |

|

= (36+40-23) – (30-12+92) =53–110

=-57

Dy = |

|

= (-46+48+30)–(92-20+36) = 32 – 108

= -76

Dz = |

|

=(-30+184-18)–(72+23+60)=136-155

= -19

X =

=

= 3

Y =

=

= 4

Z =

=

= 1 Hp {3,4,1}

Contoh soal :

Fungsi y = a + bx + c, melalui titik (0,6),(1,4), dan (2,0). Tentukan

persamaan fungsi tersebut !

(0,6)

-6 = a +b(0)+c

-6 = c

C = -6 ...(1)

(1,4)

4 = a +b(1)+c

4 = a+b+c

a+b+c = 4 ...(2)

(2,0)

0 = a +b(2)+c

0 = 4a+2b+c

4a+2b+c = 0 ...(3)

Eliminasi b :

a+b+c = 4 x2 2a+2b+2c = 8

4a+2b+c = 0 x1 4a+2b+c = 0 -

-2a+c = 8


Substitusi :

-2a+c = 8

-2a+(-6) = 8

-2a = 14

a = -7

a+b+c = 4

-7+b+(-6) = 4

b-13 = 4

b = 17

y = ax2 + bx + c

f(x) = -7x2 + 17x -6

jadi, persamaan fungsinya adalah f(x) = -7x2 + 17x -6

Tiga bilangan jumlahnya 33. Bilangan pertama adalah

dari bilangan ketiga

dan bilangan kedua

dari bilangan ketiga. Tentukan ketiga bilangan

tersebut!

Jawab :

Misalnya : Bilangan I a

Bilangan II b

Bilangan III c

Persamaan :

a+b+c = 33 ...(1)

a =

c ...(2)

b =

c ...(3)

substitusi :

a+b+c = 33

c+

c+c = 33

= 33

11c = 198

c = 18

a =

c

=

x 18

= 6

b =

c

=

x 18

= 9

Jadi, bilangan I = 6

Bilangan II = 9

Bilangan III = 18

Tiga bilangan diketahui bilangan pertama dibanding bilangan kedua adalah

1:5, bilangan kedua dibanding bilangan ketiga adalah 5:7, dan 2 kali

bilangan pertama ditambah 3 kali bilangan kedua adalah 130 lebihnya dari

bilangan ketiga. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut!

Jawab :

Misalnya : Bilangan I x

Bilangan II y

Bilangan III z

Persamaan :

x : y = 1 : 5

=

5x = y

5x-y = 0...(1)

y : z = 5 : 7

=

7y = 5z

7y-5z = 0...(2)

2x + 3y = 130 + z

2x + 3y – z =130...(3)


Substitusi y :

5x-y = 0

5x = y

x =

7y-5z = 0

-5z = -7y

z =

=

y

2x + 3y – z = 130

2(

)+3y -

= 130

= 130

10y = 650

Y = 65

X =

=

= 13

Z =

y

=

x 65

= 91

X + y + z = 13 + 65 + 91

= 169

Jadi, jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 169

B. Persamaan Kuadrat

Adalah persamaan dimana pangkat tertinggi adalah pangkat 2.

Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 , dengan a, b, c R dan a 0.

Macam-macam persamaan kuadrat :

1. ax2 + bx + c = 0 (persamaan kuadrat sempurna)

2. jika b=0, maka ax2 + c = 0 (persamaan kuadrat sejati / murni)

3. jika c=0, maka ax2 + bx = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap)

Dasar penyelesaian persamaan kuadrat adalah jika p dan q dua bilangan

Real dan pxq = 0, maka ada 2 kemungkinan harga 0, yaitu p=0 atau q=0.

Ada 3 cara penyelesaian persamaan kuadrat :

a. memfaktorkan / menguraikan

contoh soal :

x2-2x-8 = 0 persamaan kuadrat sempurna

pxq = -2

p+q = -8

p = -4

q = 2

hasil faktor (x+p)(x+q)=0

(x-4)(x+2)=0

X – 4 = 0 x + 2 = 0

x1 = 4 x2 = -2 Hp {4,-2}

x2 – 9 = 0 persamaan kuadrat sejati / murni

x2 – 32 = 0 ingat sifat a2-b2 = (a+b)(a-b)

(x+3)(x-3)

v


X+3 = 0 x-3 = 0

X1 = -3 x2 = 3 Hp {-3,3}

Atau

x2 – 9 = 0

x2 = 9

x = √

= 3 Hp {-3,3}

x2+4x = 0 persamaan kuadrat tidak lengkap

x(x+4) = 0

x1 = 0 x+4=0

x2 = -4 Hp {0,-4}

b. melengkapi kuadrat sempurna

langkah-langkah penyelesaian :

1. jadikan koefisien x2 menjadi 1

2. pindahkan bilangan konstan ke ruas kanan

3. ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu x2+2px+p2

diubah menjadi (x+p)2

contoh soal :

6x2-x-2 = 0

:6

X2 -

x -

= 0 ...langkah 1

X2 -

x =

...langkah 2

X2 -

x +

2 =

+

2 ...langkah 3 (

)2

(X -

) 2 =

+

(X -

) 2 =

(X -

) 2 =

X -

= √

X -

=

X -

=

X -

=

X1 =

x2 =

=

=

=

=

Hp {

,

}

v

v

v


c. menggunakan rumus ABC

jika x1 = √

x2 = √

dengan Diskriminan, D = b2 – 4ac

jadi, x1, 2 = √

contoh soal :

4x2 – 5x – 6 = 0

Jika a=4, b=-5, c=-6,

maka D = b2 – 4ac

= (-5)2 – 4 4 (-6)

= 25 + 96

= 121

x1 = √

= √

=

=

= 2

X2 = √

= √

=

=

=

Hp {2, -

}

Jenis dan sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat :

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 ditentukan dengan D=b2-4ac

Jika D>0 , maka akar persamaan kuadrat real dan berlainan (x1 x2)

Jika D=0 , maka akar persamaan kuadrat real dan kembar (x1=x2)

Jika D<0 , maka akar persamaan kuadrat khayal dan imaginer

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, maka :

1. x1 + x2 =

2. x1 x2 =

3. x1 - x2 = √

4. jika akar berlawanan tanda dengan syarat

< 0

5. jika akar bertanda sama dengan syarat

> 0

6. akarnya saling berkebalikan dengan syarat a=c


Bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat

1. x1 + x2 =

, x1 x2 =

2. x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

3.

+

=

4.

+

=

5. x13 + x2

3 = (x1 + x2)2 – 3x1x2(x1 + x2)

contoh soal :

Tentukan p , sehingga x2-px+16=0 memiliki akar kembar, tentukan akar-

akar tersebut !

Jawab :

x2-px+16=0 , a=1, b=-p, c=16

syarat D=0 untuk akar kembar

D : b2 – 4ac = 0

(-p)2 – 4(1)(16) = 0

P2 – 64 = 0

P2 = 64

P = √

P = 8 Hp {8, -8}

Lalu dimasukan dalam persamaan x2-px+16=0 :

P=8

x2-8x+16 = 0

(x-4)(x-4) = 0

x-4=0 x-4=0

x1,2 = 4 Hp {4}

P=-8

x2+8x+16 = 0

(x+4)(x+4) = 0

x+4=0 x+4=0

x1,2 =-4 Hp {-4}

Tentukan nilai m sehingga persamaan 2x2-5x+m=0 saling berkebalikan !

Jawab :

2x2-5x+m=0, a=2, b=-5, c=m

Syarat a=c 2=m

2x2-5x+2 = 0

(2x-1)(x-2) = 0

2x-1 = 0 x - 2 = 0

2x = 1 x2 = 2

X1 =

Hp {

,2} saling berkebalikan

Salah satu akar 3x2-(p+1)x+p=2 adalah 0, tentukan nilai p dan akar yang

kedua!

X1 = 0 3x2 - (p+1)x+p = 2

3(0)2 – (p+1)0+p = 2

0 – 0 + p = 2

P = 2

Lalu dimasukan dalam persamaan 3x2-(p+1)x+p=2 :

P=2

3x2 - (2+1)x+2 = 2

v v

v


3x2 - 3x = 0 x

x2 – x = 0

x(x-1) = 0

x1 = 0 x-1 = 0

x2 = 1 , jadi akar yang kedua adalah x2 = 1

Jika x dan y akar-akar persamaan 2x2-3x+4=0, tentukan :

a. x + y , x y , x – y

b. x2 + y2

c. x2 – y2

d.

+

e.

+

dengan a=2 ,b=-3 ,c=4,

dan D : b2-4ac = (-3)2 – 4(2)(4)

= -23

Jawab :

a. x + y =

=

x y =

=

= 2

x – y = √

=

√

b. x2 + y2 = (x+y)2 – 2xy

= (

)2 – 2(2) dimasukkan dari hasil perhitungan bagian a

=

– 4

=

= -

c. x2 – y2 = (x+y)(x-y)

= (

)(

√

)

= √

d.

+

=

=

=

e.

+

=

=

=

= -

Menyusun persamaan kuadrat baru

Jika persamaan kuadrat diketahui akar-akarnya x1 dan x2 , maka persamaan

kuadrat dapat ditentukan dengan rumus :

1. (x-x1)(x-x2) = 0

2. x2 – (x1+x2)x + (x1x2) = 0

v


contoh soal :

Tentukan persamaan kuadrat baru, jika akar-akarnya -2 dan

!

Jawab :

Cara 1

(x-x1)(x-x2) = 0 , dengan x1 = -2 dan x2 =

(x-2)(x-

) = 0

x2 -

x – 2x +

= 0

x4

4x2 – x + 8x – 2 = 0

4x2 + 7x – 2 = 0 hasil persamaan kuadrat baru

Cara 2

x2 – (x1+x2)x + (x1x2) = 0, dengan x1 = -2 dan x2 =

,

x1 + x2 = -2 +

= -1

x1x2 = (-2)(

) = -

lalu dimasukan dalam rumus :

x2 – (x1+x2)x + (x1x2) = 0

x2 – (-1

)x + (-

) = 0

x2 + 1

x -

= 0

x4

4x2 + 7x – 2 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah 4x2 + 7x – 2 = 0

Akar persamaan 2x2-3x-4=0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru

yang akar-akarnya 3p dan 3q !

Jawab :

2x2-3x-4=0

a=2 , b=-3 , c=-4

p+q =

=

p q =

= -

= -2 menggunakan sifat akar persamaan kuadrat

y1 = 3p dan y2 = 3q

y1 + y2 = 3p+3q

= 3 (p+q)

= 3 (

)

=

y1 y2 = 3p 3q

= 9 pq

= 9 (-2)

= -18

lalu dimasukan dalam rumus :

y2 – (y1+y2)y + (y1y2) = 0

y2 – (

)y + (-18) = 0

x2

2y2 – 9y -36 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah 2y2 – 9y -36 = 0


Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar

persamaan 5x2-3x-6=0

Jawab :

a=5 , b=-3 , c=-6

p + q =

=

p q =

=

y1 =

dan y2 =

karena berkebalikan

y1 + y2 =

+

=

=

= -

y1 y2 =

=

=

=

y2 – (y1+y2)y + (y1y2) = 0

y2 – (-

)y + (

) = 0

x6

6y2 + 3y – 5 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah 6y2 + 3y – 5 = 0

Jika diketahui p dan q akar-akar persamaan 3-4x-x2=0. Tentukan persamaan

kuadrat yang akar-akarnya (4+p) dan (4+q) !

a=-1 , b=-4 , c=3

p + q =

=

= -4

p q =

=

= -3

y1 = (4+p) dan y2 = (4+q)

y1 + y2 = (4+p)+(4+q)

= 8 + p + q

= 8 + (-4)

= 4

y1 + y2 = (4+p)(4+q)

= 16 + 4q + 4p + pq

= 16 + 4(p+q) + pq

= 16 + 4(-4) + (-3)

= -3

y2 – (y1+y2)y + (y1y2) = 0

y2 – (4)y + (-3) = 0

y2 – 4y -3 = 0

jadi persamaan kuadratnya adalah y2 – 4y -3 = 0

# Sistem persamaan dengan 2 peubah satu linear dan satu persamaan

kuadrat

Bentuk umum 1. ax + by + c = 0

2. px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0


Dengan a, b, c, p, q, r, s, t, u R dengan p dan q 0

Cara menyelesaikannya adalah dengan substitusi

Contoh soal :

2x – y + 3 = 0 dan x2 + y2 -2x -4 =0

jawab :

2x–y+3 = 0 ...(1)

-y = -2x -3 x -1

y = 2x + 3 ...(3)

substitusi ke persamaan (2)

x2 + y2 -2x -4 = 0 ...(2)

x2 + (2x + 3)2 -2x -4 = 0

x2 + 4x2 + 12x + 9 -2x -4 = 0

5x2 + 10x + 5 = 0

(5x+5)(x+5) = 0

5x + 5 = 0 x + 5 = 0

5x = -5 x2 = -5

x1 = -1

substitusi ke persamaan 3

x1 = -1 y1 = 2x + 3 = 2(-1) + 3 = 1

x2 = -5 y2 = 2x + 3 = 2(-5) + 3 = -7

Hp {(x1,y1),(x2,y2)} Hp {(-1,1),(-5,-7)}

Pertidaksamaan

Adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan pertidakasamaan.

Hubungan tidak sama diberi notasi : , > , < , ,

Sifat – sifat pertidaksamaan :

1. Jika kedua ruas ditambah atau dikalikan dengan bilangan positif, tanda

persamaan tidak berubah.

(+) dan (x) bilangan positif tanda tidak berubah

2. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda

pertidaksamaan berubah.

(x) dan ( ) bilangan negatif tanda berubah

A. Pertidaksamaan Linear

Bentuk umum : ax + b > 0

ax + b < 0

ax + b 0

ax + b 0 , dengan a, b R dan a 0

contoh soal :

5 – 3x < 17

-3x < 12

X > -4 tanda berubah karena dibagi dengan bilangan negatif

Hp {x|x > -4 , x R}

Hasil dari himpunan dibuat garis bilangan

arah panah menunjuk ke kanan karena x > -4

Bulatan tidak penuh karena tandanya hanya >

-4

v


2x – 5

12x – 30 4x – 6

8x 24

X 3 Hp {x|x 3 , x R}

Bulatan penuh karena tandanya

3

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0

ax2 + bx + c 0 , dengan a, b, c R dan a 0

langkah penyelesaiannya adalah :

1. Tentukan dahulu pembuat nol (0) dengan mencari akar-akar persamaan

kuadrat

2. Gambar pembuat nol pada garis bilangan

3. Tentukan tanda pada garis bilangan dengan menggunakan titik uji

Contoh soal :

6 – x – x2 0

-x2 – x + 6 0 x -1

X2 + x – 6 0 tanda berubah karena dikali bilangan negatif

X2 + x – 6 = 0

(x+3)(x-2) = 0

X + 3 = 0 x – 2 = 0

X1 = -3 x2 = 2

Hp {x|-3 x 2, x R}

+ -3 - 2 +

- - - - + + + + + + +

- - - - - - - - - + + + bagian yang diarsir adalah daerah hasil

2x2 + x 6

2x2 + x – 6 0

2x2 + x – 6 = 0

(2x-3)(x+2) = 0

2x – 3 = 0 x + 2 = 0

2x = 3 x2 = -2

X1 =

Hp {x| x -2 V x

, x R}

+ -2 -

+

- - - - + + + + + + +

- - - - - - - - - + + +

-

0

v

v

x -2 x 4


0

0

0

x (x+2)2(4-x)2

(-8x+2)(x+2)(4-x) 0

(-8x+2)(x+2)(4-x) = 0

-8x+2 = 0 x+2 = 0 4 – x = 0

-8x = -2 x2 = -2 -x = -4

X1 =

x3 = 4

Hp {x|x <-2 V

x < 4, x R}

- -2 +

- 4 +

- - - - + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - + + + +

v v


MATERI 3

MATRIKS

A. Pengertian : susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk

persegi panjang yang diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku.

( ) atau * +

B. Notasi matriks dilambangkan dengan huruf besar (kapital)

Contoh : A . / atau B [ ]

Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen / unsur / entri yang ditunjuk

untuk menyebutkan nomor baris dan nomor kolom.

Contoh : A [

]

C. Ordo Matriks

Merupakan pernyataan baris kemudian diikuti kolom pada matriks.

Misal :

A *

+ memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka A2x3 =2x3=6 unsur / ordo

D. Macam-macam Matriks

1. Matriks Nol (semua unsur adalah nol)

A2x3 *

+ B3x2 [

]

2. Matriks Satu (semua unsur adalah bilangan 1)

A3x1 [ ] B3x3 [

]

3. Matriks Baris (hanya memiliki 1 baris)

P1x4 [ ] Q1x2 [ ]

4. Matriks Kolom (hanya memiliki 1 kolom)

A4x1 *

+ B3x1 0 1

5. Matriks Persegi(memiliki banyak baris dan kolom yang sama)

A *

+ A2x2 = Matriks berordo 2

B [

] B3x3 = Matriks berordo 3

6. Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks persegi yang memiliki kriteria :

Aij , untuk i j

0 , untuk i > j

Baris 1 Baris 2 Baris 3

-5 baris 2 kolom 2

-1 baris 2 kolom 1


i j

A [

] A [

] 0 karena i > j

B *

+ membentuk segitiga di atas

7. Matriks Segitiga Bawah

Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria :

Aij , untuk i j

0 , untuk i < j

P [

] membentuk segitiga di bawah

8. Matriks Diagonal

Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria :

Aij , untuk i < j dan i > j

0 , untuk i = j

A [

] membentuk diagonal utama

9. Matriks Satuan (Identitas)

1 , untuk i < j dan i > j

0 , untuk i = j

I *

+ II [

] III *

+

Cara penamaan matriks satuan harus menggunakan angka romawi.

Matriks satuan pasti matriks diagonal, matriks diagonal belum tentu matriks satuan.

E. Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama, hanya jika ordo sama dan elemen-elemennya

seletak sama.

Contoh :

1. A *

+ sama dengan B *

+

2. C [

] sama dengan D

[

]

3. Tentukan nilai x dan y, jika diketahui :

E [

] = F *

+

Jawab :

Persamaan :

3x + 2y = 12 x1 3x + 2y = 12

x – y = 4 x2 2x – 2y = 8 +

5x = 20

x = 4


x – y = 4

4 – y = 4

-y = 0

y = 0 jadi, x = 4 dan y = 0

F. Matriks Transpose

Jika matriks Amxn , transpose matriksnya At = Anxm (dibalik antara baris dan

kolomnya)

Contoh :

1. A2x3 *

+ At3x2 [

]

Baris A menjadi kolom At dan kolom A menjadi baris At

2. Tentukan matriks C, jika diketahui :

A *

+ , B [

] , C [

] , dan A = Bt

Jawab :

A *

+ = Bt [

]

Persamaan :

2x – 4 = 6 2 – 3y = -1

2x = 10 -3y = -3

x = 5 y = 1

masukkan ke matriks C :

C [

] C *

+ = C [

]

G. Penjumlahan Matriks

Matriks dapat dijumlahkan jika memiliki kesamaan matriks (ordo sama dan

elemen-elemen seletak sama).

Misal : A *

+ B [

]

A + B = *

+ + [

] = [

]

Contoh soal:

1. Jika P [ ] dan Q [

]

Maka,

P + Q = [ ] + [

] = [

]

Q + P = [

] + [ ] = [

] P+Q = Q+P , berlaku sifat komutatif

2. Jika A *

+ , B *

+ , dan C *

+

Maka,

(A+B)+C = ,*

+ *

+- + *

+

= *

+ + *

+

= *

+

A+(B+C) = *

+ + ,*

+ *

+ -


= *

+ + *

+

= *

+ (A+B)+C = A+(B+C) , berlaku sifat asosiatif

3. Jika S *

+ dan T *

+

Maka,

S + T = *

+ + *

+ = *

+

T + S = *

+ + *

+ = *

+

S + T = T + S = 0

T adalah lawan dari S dapat ditulis –S

S + (-S) = (-S) + S = 0 memiliki unsur identitas yaitu matriks nol

H. Pengurangan Matriks

Matriks dapat dikurangkan jika memiliki kesamaan matriks.

Contoh soal :

1. Jika P *

+ dan Q *

+

Maka,

P – Q = *

+ - *

+ = *

+

P + (-Q) = *

+ + *

+= *

+

dapat dijumlahkan dengan lawannya {A-B = A+(-B)}

dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif A-B B-A

2. Tentukan nilai x !

x + *

+ = *

+

x = *

+ - *

+

= *

+

Jadi, x = *

+

I. Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar

Perkalian matriks dengan bilangan skalar.

Misal A *

+ maka, p A = p *

+ = [

]

Contoh soal :

Jika A *

+ maka, -

A = -

*

+

= 0

1

2. Perkalian Matriks Dengan Matriks

Matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks kiri sama dengan jumlah

baris matriks kanan.

Misal :

[

] * + = [

]

(3x2) (2x1)

Ordo 3x1

harus sama

merupakan ordo dari hasil kali (3x1)


contoh soal :

Jika P *

+ dan Q [

]

Maka,

P2x3 x Q3x2 = *

+ [

] = *

+

= *

+

Q3x2 x P2x3 = [

] *

+ = [

]

= [

]

PxQ QxP , tidak berlaku sifat komutatif

A *

+ x B [ ] = A2x2 x B1x2 tidak sama, jadi tidak dapat dikali

3. Perkalian Matriks Satuan

Jika suatu matriks dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah

matriks itu sendiri.

Contoh :

Jika I *

+ dan A *

+

Maka,

I x A = *

+ *

+ = *

+

A x I = *

+ *

+ = *

+ I x A = A x I = A

4. Pemangkatan Matriks persegi

Jika A *

+ , tentukan A2 dan A3 !

A2 = A x A = *

+ *

+ = *

+

A3 = A x A2 = *

+ *

+ = *

+

J. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama, maka AxB = BxA = I

Contoh :

Jika A *

+ dan B *

+ ,

A x B = *

+ *

+ = *

+

B x A = *

+ *

+ = *

+

Jadi, matriks A dan B saling berkebalikan / invers.

Menentukan invers matrik ordo 2

Secara umum, jika matriks A *

+

det A = |

| = (a x d) – (b x c)

Notasi invers adalah A-1 =

*

+

Jika det A = 0 , maka matriks A matriks singular (tidak memiliki invers)


Jika det A 0 , maka matriks A matriks non singular (memiliki invers)

Contoh soal :

Tentukan invers dari A *

+ dan B *

+ !

det A = |

| = (3x4) – (5x2) = 12 – 10 = 2

A-1 =

*

+ = [

]

det B = |

| = (-4x6) – (8x-3) = -24 + 24 = 0

det B = 0 termasuk matriks singular, jadi tidak memiliki invers.

K. Persamaan Perkalian Matriks

Bentuk umum :

A x = B

A-1 A x = A-1 B

1 x = A-1 B

x = A-1 B

x A = B

x = B A-1

dengan A dan B adalah matriks

persegi

Contoh soal :

tentukan nilai x !

*

+ x = *

+

X = *

+-1 *

+

X =

*

+ *

+

X = 1 *

+ *

+

X = *

+

Jika A *

+ dan B *

+ , tentukan {(AB)-1}t !

(,*

+ *

+ -

)

= {*

+

}

= ,

*

+-

= ,

*

+-

= [

]

= [

]

Sistem Persamaan Linear Menggunakan matriks

Bentuk umum : ax + by = p

cx + dy = q

persamaan matriks :

*

+ * + = *

+

* + = *

+

* +

Contoh soal :

Tentukan nilai x dan y dari persamaan di bawah menggunakan matriks !


X + y = 3 ...(1)

2x – y = 0 ...( 2)

Bentuk matriks :

*

+ * + = *

+

* + = *

+

* +

* + =

*

+ * +

* + =

*

+

* + =

*

+

* + = *

+

Jadi x = 1 dan y = 2 atau Hp {1,2}


MATERI 4

APROKSIMASI

Aproksimasi merupakan operasi pendekatan atau pembulatan.

Macam-macam pembulatan :

1. Pembulatan ke satuan terdekat

Contoh soal :

No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan

1. 42,5002 m Persepuluhan meter

terdekat 42,5

2. 0,00789 gram Gram terdekat 0

3. 734 Puluhan terdekat 700

4. 648 Perratusan terdekat 648,00

5. 4.556.856 Ribuan terdekat 4.557.000

2. Pembulatan ke banyaknya tempat desimal

Jika bilangan yang akan dibulatkan 5 , maka nilainya ditambah 1 tempat di

depan bilangan tersebut.

Contoh soal :


1. 89,078565 3 tempat desimal 89,079

2. 0,0925 1 tempat desimal 0,1

3. 0,6863 2 tempat desimal 0,69

3. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

Angka signifikan dalah banyaknya angka yang bermakna dalam suatu bilangan.

Tabel contoh banyaknya angka signifikan

No. Bilangan Banyaknya Angka

Signifikan keterangan

1. 3,4569 5 Semua angka adalah signifikan

2. 50,043 5 Semua angka adalah signifikan

3. 0783 3 Angka pertama bukan signifikan

4. 0,00628 3 Tiga angka pertama bukan signifikan

5. 0,086070 5 Dua angka pertama bukan signifikan

6. 2800 2 Dua angka terakhir bukan signifikan

7. 8670000 5 Dua angka terakhir bukan signifikan

Aturan pembulatan ke banyaknya angka signifikan :

1. Setiap angka bukan 0 (nol) adalah signifikan

2. Setiap angka 0 diantara dua angka signifikan adalah signifikan

3. Angka 0 terletak di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan bukan signifikan

4. Angka 0 di belakang tanda desimal apabila di dahului angka bukan 0 adalah signifikan

5. Angka 0 di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan meski di belakang tanda koma

desimal bukan signifikan

6. Angka 0 di belakang angka bukan 0 adalah bukan signifikan, kecuali diberi tanda seperti

garis bawah (_), dll.

Contoh soal :


1. 72,071 3 angka signifikan 72,1

2. 23,4005 2 angka signifikan 23

3. 0,460 1 angka signifikan 0,5

4. 47778 3 angka signifikan 47700

5. 4508000 6 angka signifikan 4508000


# Galat (Salah)

Adalah selisih antara nilai yang tepat (eksak) dengan nilai dengan nilai

hampiran (hasil pengukuran yang tidak tepat) atau,

Besarnya kesalahan / penyimpangan / error dalam pengukuran.

Sumber galat :

1. Alat ukur yang digunakan kurang standar

2. Alat hitung yang kurang teliti

3. Kesalahan manusia (human error) dalam menggunakan alat ukur

4. Penggunaan operasi aritmatika pada hasil pengukuran (pembulatan, dsb.)

Operasi Bilangan Pada Aproksimasi :

1. SUK (Satuan Ukur terKecil)

Adalah satuan ukur atau pembanding terkecil dalam yang dipakai oleh

pengukur.

Tabel contoh satuan ukuran terkecil

No. Hasil Pengukuran Satuan Ukuran Terkecil

1. 42 cm 1 cm

2. 43,4 km 0,1 km atau 1 hm

3. 218,394 kg 0,001 kg atau 1 gram

4. 67,70000 ton 0,00001 ton atau 1 dag

5. 63000 km 1000 km atau 1 m

2. SM (Salah Mutlak)

Adalah jumlah kesalahan terbesar dalam pengukuran.

SM =

x SUK

3. SR (Salah Relatif)

Adalah jumlah kesalahan dari pengukuran yang dilihat dari besarnya hasil

pengukuran.

SR =

...tanpa menggunakan satuan

4. Presentase Kesalahan

Adalah banyaknya salah relatif yang dinyatakan dalam prosen.

% kesalahan = SR x 100%

5. Batas Atas dan Batas Bawah

Batas atas (BA) adalah batas tertinggi dalam suatu pengukuran yang dapat

diterima.

BA = Hasil pengukuran + SM

Batas bawah (BB) adalah batas terendah dalam suatu pengukuran yang dapat

diterima.

BB = Hasil pengukuran – SM

6. Toleransi

Adalah selisih antara batas atas dan batas bawah yang dapat diterima.

Toleransi = BA – BB

= 2 x SM

7. Jangkauan

Adalah rentan bilangan yang dapat diterima dalam suatu pengukuran.

Jangkauan =

SM


=

toleransi

Contoh soal :

Jika diketahui hasil pengukuran sebuah pensil adalah 25 cm, maka

HP (Hasil Pengukuran) = 25 cm

SUK = 1 cm

SM =

x SUK

=

x 1 cm

= 0,5 cm

SR =

=

= 0,02

% kesalahan = SR x 100 %

= 0,02 x 100 %

= 2 %

BA = HP + SM

= 25 cm + 0,5 cm

= 25,5 cm

BB = HP – SM

= 25 cm – 0,5 cm

= 24,5 cm

Toleransi = BA – BB

= 25,5 cm – 24,5 cm = 1 cm

atau

Toleransi = 2 x SM

= 2 x 0,5 = 1 cm

Jangkauan =

SM

= (

0,5) cm

= (25 0,5) cm

8. Batas – Batas Jumlah dan Selisih Hasil Pengukuran

Batas – batas jumlah pengukuran :

Jumlah maksimum = BA1 + BA2

Jumlah minimum = BB1 + BB2

atau

P1 (Hp1 SM1)

P2 (Hp2 SM2)

+

P1+P2 {Hp1+Hp2 (SM1+SM2)}

Batas – batas selisih pengukuran :

Selisih maksimum = BA1 – BB2

Selisih minimum = BA2 – BB1

P1 (Hp1 SM1)

P2 (Hp2 SM2)

+

P1-P2 {Hp1-Hp2 (SM1+SM2)}


9. Batas Hasil Kali Pengukuran

Hasil kali maksimum adalah hasil kali kedua batas atas dari hasil pengukuran.

Hasil kali maksimum = BA1 x BA2

Hasil kali minimum adalah hasil kali kedua batas bawah dari hasil pengukuran.

Hasil kali minimum = BB1 x BB2

Contoh soal :

Tentukan batas-batas jumlah, batas-batas selisih, dan hasil kali dari hasil

pengukuran dua buah tiang yaitu 5,6 m dan 6,4 m !

Jawab :

SUK = 0,1 m

SM =

x 0,1 m

= 0,05 m

HP1 = 5,6 m

BA1 = 5,6 m + 0,05 m

= 5,65 m

BB1 = 5,6 m - 0,05 m

= 5,55 m

HP2 = 6,4 m

BA2 = 6,4 m + 0,05 m

= 6,45 m

BB2 = 6,4 m - 0,05 m

= 6,35 m

Batas-batas jumlah pengukuran :

Jumlah maksimum = BA1 + BA2

= 5,65 m + 6,45 m

= 12,10 m

Jumlah minimum = BB1 + BB2

= 5,55 m + 6,35 m

= 11,90 m

atau

P1 (Hp1 SM1)

P2 (Hp2 SM2)

+

P1+P2{Hp1+Hp2 (SM1+SM2)}

P1 (5,6 0,05)m

P2 (6,4 0,05)m

+

P1+P2 (12,0 0,10)m

Jumlah maksimum = 12,0 + 0,10 = 12,10 m

Jumlah minimum = 12,0 – 0,10 = 11,90 m

Batas-batas selisih pengukuran :

Selisih maksimum = BA2 - BB1

= 6,45 m – 5,55 m

= 0,90 m

Selisih minimum = BA1 – BB2

= 5,65 m - 6,35 m

= 0,70 m

atau

P1 (Hp1 SM1)

P2 (Hp2 SM2)

-

P1-P2{Hp1-Hp2 (SM1+SM2)}

P1 (6,4 0,05)m

P2 (5,6 0,05)m

-

P1+P2 (0,8 0,10)m


Selisih maksimum = 0,8 + 0,10 = 0,90 m

Selisih minimum = 0,8 – 0,10 = 0,70 m

Hasil kali maksimum = BA1 x BA2

= 5,65 m x 6,45 m

= 36,4425 m2

Hasil kali minimum = BB1 x BB2

= 5,55 m x 6,35 m

= 35,2425 m2


MATERI 5

LOGIKA

Logika dalam matematika berfungsi untuk memberikan dasar cara berpikir

yang logis, sistematis, terarah, dan menghindari kesalahpahaman dalam

peninjauan masalah-masalah matematika. Semesta Pembicaraan adalah himpunan

obyek-obyek yang sedang dibicarakan. Kalimat matematika adalah kalimat yang

mengandung lambang-lambang matematika. Kalimat matematika ada yang

memiliki arti dan ada yang tidak memiliki arti.

Kalimat yang memiliki arti dibedakan menjadi 2, yaitu :

1. Kalimat pernyataan (deklarasi): kalimat yang memiliki benar atau salah.

Contoh : 7+3=10 (pernyataan benar) dan ibukota negara Indonesia terletak di

Pulau Kalimantan (pernyataan salah).

2. Kalimat bukan pernyataan : kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau

salah. Contoh : kalimat perintah, tanya, terbuka, permohonan.

Operasi Logika Matematika

Operasi yang dikenakan 1 pernyataan disebut operasi uner.

Operasi yang dikenakan 2 pernyataan disebut operasi biner.

1. Operasi Penyangkalan (Ingkaran / Negasi)

Merupakan operasi uner, dengan notasi “~” atau “ ”

Misal : ~p dibaca tidak benar bahwa p

~p dibaca non p / dibaca tidak p

Contoh :

P : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia.

~P : Tidak benar bahwa Jakarta ibukota negara Republik Indonesia.

: Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia.

Q : 2+9=10

~Q : tidak benar bahwa 2+9=10

: 2+9 10

R : 3>7

~R : tidak benar bahwa 3>7

: 3 7

Jumlah nilai kebenaran 2n n : jumlah kalimat pernyataan.

Tabel nilai kebenaran 21 = 2

P ~P

B S

S B

2. Operasi Konjungsi (Dan)

Merupakan operasi biner, dengan notasi “⋀ ” dibaca “dan”

Jumlah nilai kebenaran 22 = 4

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S S

V

S : Salah B : Benar


Ditunjukan dengan hubungan seri:

p q

contoh :

p Semarang ibukota Jawa Timur

q Semarang Kota ATLAS

p⋀q Semarang ibukota Jawa Timur dan Kota ATLAS

S ⋀ B = S

p Bujur sangkar adalah persegi

q 3+4 = 7

p⋀q Bujur sangkar adalah persegi dan 3+4=7

B ⋀ B = B

3. Operasi Disjungsi (Atau)

Memiliki notasi “V” , misal pVq dibaca p atau q dan kedua-duanya.

p q pVq

B B B

B S B

S B B

S S S

Ditunjukan dengan hubungan paralel :

p

q

Ada 2 jenis disjungsi :

Disjungsi Inklusif (atau dan kedua-duanya) pVq tabel seperti di atas

Disjungsi Eksklusif (atau dan tidak kedua-duanya) pVq

Tabel disjungsi eksklusif

p q pVq

B B S

B S B

S B B

S S S

Hubungan Disjungsi Inklusif dan Eksklusif

p q r pVqVr

B B B S

B B S B

B S B S

B S S B

S B B S

S B S B

S S B B

S S S S

Contoh soal :

Jika p = S

q = B


(p⋀q) V ~p

(S⋀B) V B = S V B

= B

(~p⋀q) V (pV~q)

(B⋀B) V (sVs) = B V S

= B

Jika p = B

q = S

(p⋀~q) V ~(pVq)

(B⋀B) V ~(BVS) = B V ~B

= B V S

= B

Tabel kebenaran dari (p⋀~q) V ~(pVq)

p q ~q p⋀~q pVq ~(pVq) (p⋀~q) V ~(pVq)

B B S S B S S

B S B B B S B

S B S S B S S

S S B S S B B

4. Operasi Implikasi / Kondisional

Merupakan operasi biner, menggunakan kata penghubung

“Jika ... , maka ...” dengan notasi “”

p q

misal : p q dibaca “jika p, maka q”

p disebut hipotesa / antesenden / sebab

q disebut knklusi / konsekuen / akibat

sehingga operasi p q disebut hubungan sebab akibat.

Tabel kebenaran implikasi

p q p q

B B B

B S S

S B B

S S B

Tabel kebenaran negasi dari implikasi

p q ~q pq p⋀~q

B B S B S S

B S B S B B

S B S B S S

S S B B S S

Jadi, p⋀~q

Contoh :

Jika petani menanam padi, maka harga beras turun. = r

~r : jika petani menanam padi dan harga beras tidak turun.

5. Operasi Biimplikasi / Bikondisional

Menggunakan kata penghubung “... jika dan hanya jika ... ” dengan notasi

“ ”

Misal : p ↔ q dibaca : p jika dan hanya jika q

p ekuivalen q

p syarat perlu dan cukup bagi q


Tabel kebenaran dari biimplikasi

p q pq qp pq⋀qp p↔q

B B B B B B

B S S B S S

S B B S S S

S S B B B B

Jadi, p↔q pq⋀qp

Contoh soal :

Jika p=B dan q=S

(pq)↔(~p⋀q)

(BS)↔(S⋀S) = S ↔ S = B

Buatlah tabel kebenaran dari (~pV~q)↔(pq)

p q ~p ~q ~pV~q pq (~pV~q)↔(pq)

B B S S S B S

B S S B B S S

S B B S B B B

S S B B B B B

Negasi dari pernyataan majemuk antara lain :

Negasi konjungsi : ~(p⋀q) = ~pV~q

Negasi disjungsi : ~(pVq) = ~p⋀~q

Negasi implikasi : ~(pq) = p⋀~q

Negasi biimplikasi : ~(p↔q) = (p⋀~q)V(q⋀~p)

Contoh soal :

Tentukan ingkarang dari :

Adi membawa buku dan pensil.

Adi tidak membawa buku atau tidak membawa pensil.

Hari hujan atau jalan tidak becek.

Hari tidak hujan dan jalan becek.

Jika 5+5=10 maka 7 adalah bilangan ganjil.

5+5=10 dan 7 bukan bilangan ganjil.

Persegi sisinya ada 4 buah jika dan hanya jika segitiga sama sisi sudutnya

masing-masing sama besar.

Persegi sisinya ada 4 dan segitiga sama sisi sudutnya masing-masing tidak

sama besar atau segitiga sama sisi sudutnya masing-masing sama besar

dan persegi sisinya bukan 4 buah.

a. Konversi, Inversi, dan Kontraposisi

Dari bentuk implikas pq akan dibentuk implikasi baru yaitu :

Konversi : qp

Inversi : ~p~q

Kontraposisi : ~q~p

Bentuk tabel kebenaran :

p q ~p ~q pq qp ~p~q ~q~p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Jadi, implikasi ekuivalen kontraposisi : pq ~q~p

Konversi ekuivalen inversi : qp ~p~q


Contoh :

pq : Jika petani menanam padi, maka harga beras turun.

~q~p : Jika harga beras tidak turun, maka petani tidak

menanam padi.

qp : Jika harga beras turun, maka petani tidak menanam

padi.

~p~q : Jika petani tidak menanam padi, maka harga beras

tidak turun.

Tentukan konvers, invers, kontraposisi dari (~pVq) (~p⋀q) :

Konvers : qp

: (~p⋀q) (~pVq)

Invers : ~p~q

: (p⋀~q) (pV~q)

Kontraposisi : ~q~p

: (pV~q) (p⋀~q)

b. Kalimat Berkuantor

Adalah kalimat terbuka yang telah dibubuhi dengan variabel sehingga berubah

menjadi kalimat tertutup.

Contoh :

x – 1 = 9

x2 + x – 6 = 0

x2 0

Ada 2 macam kuantor :

1. Kuantor Umum notasi “ x” dibaca “untuk semua x” atau “untuk setiap x”

2. Kuantor Khusus notasi “ x” dibaca “ada x” atau “beberapa x (sekurang-

kurangnya 1)”

c. Negasi Kalimat Berkuantor

“semua x” ingkarannya “ada x”

= x

“ada x” ingkarannya “semua x”

= x

Contoh :

Semua korban kecelakaan itu meninggal dunia.

Beberapa korban kecelakaan itu tidak meninggal dunia.

Ada siswa yang tertib.

Semua siswa tidak tertib.

d. Penarikan Kesimpulan

Bukti Langsung : dipergunakan dasar yang sah dari argumen dengan prinsip

logika.

Ada 3 cara penarikan, yaitu dengan :

a. Modus Ponens

P1 = pq (B) P : Premis

P2 = p (B) : kesimpulan

Kesimpulan = q (B)

Kalimat terbuka dengan variabel x , dapat

ditulis P(x), Q(x), F(x)


Tabel tautologi (tabel yang hasilnya benar semua)

pq ⋀ p q

p q pq pq⋀p pq ⋀ p q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B B B

Contoh :

Jika Andi minum susu maka Andi akan sehat. Andi minum susu.

Andi akan sehat.

P1 = Jika Andi minum susu maka Andi akan sehat

P2 = Andi minum susu

Kesimpulan = Andi akan sehat

b. Modus Tollens

P1 = pq (B)

P2 = ~q (B)

Kesimpulan = ~p (B)

Tabel tautologi

pq ⋀ ~q ~p

p q ~p ~q pq pq ⋀ ~q pq ⋀ ~q ~p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Contoh :

Jika Bela belajar giat maka Bela naik kelas. Bela tidak naik kelas.

Bela tidak belajar.

P1 = Jika Bela belajar giat maka Bela naik kelas

P2 = Bela tidak naik kelas

Kesimpulan = Bela tidak belajar

c. Prinsip Sillogisme

P1 = pq (B)

P2 = qr (B)

Kesimpulan = pr (B)

Tabel tautologi

pq ⋀ qr pr

p q r pq qr pr pq ⋀ qr pq ⋀ qr pr

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B


Contoh :

Jika Cindy pusing maka ia sakit. Jika Cindy sakit maka ia harus periksa ke

dokter.

Jika Cindy pusing maka ia harus pergi ke dokter

P1 = Jika Cindy pusing maka ia sakit

P2 = Jika Cindy sakit maka ia harus periksa ke dokter

Kesimpulan = Jika Cindy pusing maka ia harus pergi ke dokter

Bukti Tak Langsung

Langkah-langkahnya :

1. Dimisalkan yang akan dibuktikan dengan mengingkarinya.

2. Carilah hubungan sehingga diperoleh kontraposisi dari langkah 1.

3. Jika nilai kebenaran antara implikasi dengan kontraposisi sama, maka sudah

terbukti.

Contoh dengan menggunakan lambang :

Buktikan bahwa p (benar) :

1. Misal ~p

2. ~p ...(metode sah)... p

3. Jadi (~p⋀p), kontradiksi. Kesimpulannya p benar.

Buktikan bahwa pq (benar) :

1. Misal ~q

2. ~q ...(metode sah)... ~p

3. Jadi (~q~p) tetapi (~q~p) (pq) terbukti


MATERI 6

DIMENSI 2 (SUDUT DAN BIDANG)

Sudut

Adalah kemiringan suatu garis terhadap garis lain yang pangkal-pangkalnya

bertemu di satu titik.

a

P

b

Satuan sudut ada 3 macam :

1. Satuan Derajat (...o)

Adalah besar sudut satu derajat ditulis 1o adalah sudut yang berhadapan

dengan panjang busur =

bagian keliling lingkaran.

Satuan derajat yang lebih kecil adalah satuan menit (...’) dan detik (...”)

1o = 60’ 1’ =

1’ = 60” 1” =

1o = 60’ = 3600” 1” =

Contoh soal :

Ubahlah ke detik dan menit !

110,8745o = 110o + (0,8745 x 60’)

= 110o + 52,47’

= 110o + 52’ + (0,47 x 60”)

= 110o + 52’ + 28,2”

= 110o + 52’ + 28”

Ubahlah ke derajat desimal

76o48’50” = 76o + (

) + (

)

= 76o + 0,8o + 0,0138...o

= 76,8o + 0,0138o

= 76,8138o

2. Satuan Radian (...rad)

Adalah besarnya sudut satu radian ditulis 1 rad adalah jika panjang OAB

yang berhadapan sama dengan jari-jari (r)

o

B

P : titik pangkal / titik sudut

a & b : kaki sudut

Notasi “∠”

cara memberi nama sudut menggunakan huruf kapital, seperti ∠Q atau ∠PQR

A

OAB =

bagian keliling lingkaran

1o =

bagian keliling lingkaran

Keliling lingkaran = 360o


Gambar 1 =

=

= 1 maka, ∠AOB = 1 radian

Gambar 2 =

=

= π maka, ∠AOC = π rad = 180o

Keliling lingkaran = 2π rad = 360o

3. Satuan Grade / Gon (...g atau ...g)

Adalah besar sudut 1 grade ditulis 1g, jika panjang busur AB yang

berhadapan sama dengan

bagian keliling lingkaran.

Dengan : 1 g = 100 cg

1 cg = 100 ccg

1 g = 100 cg = 10.000 ccg

# Konversi Satuan Sudut

1. Konversi Satuan Derajat dan

Radian

1 rad = 57,3o

1o = 0,01744 rad

Contoh soal :

196o = ...rad

= 196 x 0,01744

= 3,41824 rad

rad = ...o

=

x 180o

= 60o

12 rad = ...o

= 12 x 57,3

= 338,07o

2. Konversi Satuan Radian dan

Grade

1 rad = 63,9g

1g = 0,0157 rad

Contoh soal :

510g = ...rad

= 510 x 0,0157

= 8,007 rad

rad = ...g

=

x 200

= 150g

9,45 rad = ...g

= 9,45 x 63,9

= 603,855g

3. Konversi Satuan Derajat dan Grade

1o = 1,11g 1’ = 0,0185g

1” = 0,0003086g (satuan centisimal)

o

B r

gambar 1

o

B

A

r C A O

gambar 2

1 rad = 180o

B

1 π rad = 360o

A

1g =

keliling lingkaran

Keliling lingkaran = 400g

Satuan grade yang lebih kecil adalah cg dan ccg


1g = 0,9o 1cg = 0,009o

1ccg = 0,00009o (satuan sexagesimal)

Contoh soal :

75o = ...g

= 75 x 1,11

= 83,25g

130g = ...o

= 130 x 0,9

= 117o

Ubah ke bentuk satuan sexagesimal !

175g 45cg 27ccg = (175x0,9o)+(45x0,009o)+(27x0,00009o)

= 157,5o + 0,405o + 0,00243o

= 157,90743o

157,90743o = 157o + (0,90743x60’)

= 157o + 54,4458’

= 157o + 54’ + (0,4458x60”)

= 157o + 54’ + 26,748”

= 157o 54’ 27”

Ubah ke bentuk satuan centisimal !

150o26’43” = (150x1,11g)+(26x0,0185g)+(43x0,0003086g)

= 166,5g + 0,481g + 0,0132698g

= 166,9942698g

= 166,9943g

= 166g 99cg 43ccg

Bangun Datar Beraturan

# Theorema Phytagoras

“Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya”

Ada 4 teori phytagoras :

1. c = √

b = √

a = √

Pada ABC, CD adalah garis tinggi dan CD ┴ AB

2. a2 = c1 x c

3. b2 = c2 x c

4. h2 = c1 x c2

B

C A

a

b

c

L

L

A

B

C

a

c

D

c1

c2

b

h


# Rumus – Rumus Luas dan Keliling Bangun Datar Beraturan

1. Segitiga

s =

kell

a = alas

t = tinggi

a = sisi a

b = sisi b

c = sisi c

L =

∙ a ∙ t

= √

Kell = a+b+c

2. Persegi Panjang

p = panjang

l = lebar

L = p∙l

Kell = 2 (p+l)

3. Persegi

s = sisi

L = s ∙ s = s2

Kell = 4 ∙ s

4. Jajar Genjang

L = a ∙ t

Kell = 2(a+b)

5. Belah Ketupat

d = diagonal

L =

Kell = 4 ∙ s

6. Layang-Layang

L =

Kell = 2(a+b)

7. Trapesium

L =

∙

Kell = a+b+c+d

8. Lingkaran

π =

= 3,14

r =jari-jari O

d = diameter O

L =

∙ π ∙ r2

=

∙ π ∙ d2

Kell = 2πr

= 4π

9. Ellips

a

b c t

p l

||

||

|

|

| |

|

|

s

||

||

|

| b

a t

s d1

d2

a

b

d1

d2

a

b

c t

d

d

r

b

a


L = π a∙b

Kell = π (a+b)

10. Segi-n Beraturan

n = jumlah sisi

L =

cotg

= n ∙ L

=

∙ s2 ∙ √

Kell = n∙s

Contoh soal :

- Hitung luas dan kell segi 6 dibawah ini!

s = 10cm

L =

∙ s2 ∙ √

=

∙ (10cm)2 ∙ √

=

∙ 100cm2 ∙ √

= 150√ cm2

Kell = n∙s

= 6 ∙ 10cm =60cm

- Hitung luas layang-layang dibawah ini!

EC = √

= √

= √

= √

= 5cm

DE2 = EC ∙ AE

(12)2 = 5 ∙ AE

144 = 5 AE

AE = 28,8cm

d1 = DB = DE+EB

= 12cm+5cm

= 17cm

d2 = AC = AE+EC

= 28,8cm+5cm

= 33,8cm

L =

=

= 287,3cm2

# jika diketahui koordinatnya

L =

[xn(y(n+1)-y(titik yg berhadapan n+1))+xn+1(y(n+2)-y(titik yg berhadapan n+2))+ ...]

Contoh soal:

L =

[xA(yB-yE)+ xB(yC-yA)+ xC(yD-yB)+ xD(yE-yC)+ xE(yA-yD)]

=

[-3(-2-6)+ 3(1-(-1))+ 6(4-(-2))+ 5(6-1)+ (-1)(-1-4)]

=

(24+6+36+25+5)

=

∙ 96 = 48 satuan

10cm

13cm

5cm

12cm

D

E C A

B

Rumus phytagoras

A (-3,-1) B (3,-2)

C (6,1)

D (5,4)

E (-1,6)

Hitung luas bangun disamping!

|

|


Bangun Datar Tak Beraturan

Ada 4 cara menghitung luas bangun datar tak beraturan :

1. Aturan Trapesioda

2. Aturan Mid Ordinat

Y = ordinat tengah =

Y1 =

= 6,5 Y4 =

= 6,4

Y2 =

= 6,5 Y5 =

= 7,9

Y3 =

= 5,9 Y6 =

= 8,9

Contoh soal : hitung luas bangun diatas!

L = d (y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6)

= 2 (6,5+6,5+5,9+6,4+7,9+8,9)

= 2 ∙ 42,1

= 84,2 satuan luas

3. Aturan Simpson


L =

{(oawal+oakhir)+4(ogenap)+2(oganjil)}

=

{(o1+o7)+4(o2+ o4+ o6)+2(o3+ o5)}

=

{(6+9)+4(7+5,8+8,8)+2(6+7)}

=

(15+86,4+26)

= 84,9 satuan luas

4. Dengan Luas Persegi


m = 9 , n = 16

L = 9 +

∙ 16

= 17 satuan luas

Transformasi

Transformasi adalah cara untuk memindahkan suatu titik pada suatu bidang.

d=2

6 7 6 5,8 7 8,8 9

O1 O2 O3

O4 O5 O6 O7

d = Luas Pias

O = ordinat


L = d{(𝒐𝟏 𝒐𝟕

𝟐)+o2+o3+o4+o5+o6}

= 2{(

)+7+6+5,8+7+8,8}

= 2{7,5+7+6+5,8+7+8,8}

= 2 ∙ 42,1

= 84,2 satuan luas

6 7

6

5,8

7

8,8 9

2

y1 y2 y3

y4 y5 y6

Lihat gambar trapesioda

m = kotak utuh

n = kotak tidak utuh

L = m+𝟏

𝟐n


Refleksi (Pencerminan)

adalah pencerminan suatu titik, garis, atau bangun yang bayangannya ~ dengan

asli. Sifat :

Bangun asal ~ bayangan

Jarak bangun asal terhadap cermin = jarak bayangan terhadap cermin

Garis yang menghadap titik asal dan bayangannya ┴ terhadap cermin

Pencerminan pada bidang koordinat :

P(x,y) P’(x,-y)

P(x,y) P’(-x,y)

P(x,y) → P’(2k-x,y)

P(x,y) → P’(-x,-y)

P(x,y) → P’(x,2k-y)

P(x,y) → P’(y,x)

P(x,y) → P’(-y,-x)

Titik pencerminan ke matriks :

Matriks : ( ) = (

) (

)

P(x,y) (

)

P(x,y) (

)

P(x,y) → (

)

P(x,y) → (

)

P(x,y) → (

)

Contoh soal :

1. Tentukan bayangan titik A(2,5); B(4,8); C(1,2) dicerminkan oleh sumbu x!

( ) = (

) (

) = (

)

Jadi, A’(2,-3); B(4,-8); C(1,-2)

2. Pada bayangan titik P(8,-5) yang dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan

terhadap sumbu y!

P(x,y) P’(x,-y)

P(x,y) P”(-x,y)

P”(-x,-y)

P(x,y) P”(-x,-y)

P(8,-5) P”(-8,5) jadi, bayangan akhirnya adalah P”(-8,5)

3. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y=-

menghasilkan bayangan A’(2,-4),

tentukan nilai a dan b!

P(x,y) → P’(x,2k-y)

A(a,b)

→ A’(2,-4)

a= 2

2k – b =-4

2∙

– b =-4

b =3

Translasi (Pergeseran)

adalah pergeseran titik, garis, atau bangun menurut arah dan jarak tertentu.

( )

Contoh soal:

A

B

P(x,y) 𝑻 *

𝒂𝒃+

→ P’(x+a, y+b)

T1*𝒂𝒃+ T2*

𝒄𝒅+ =

𝑻𝟐𝒐𝑻𝟏*𝒂 𝒄𝒃 𝒅

+

→


Translasi (

) dilanjutkan translasi (

) mentraslasikan titik M ke M’(2,-7), maka

koordinat M adalah...

T1 (

) ;T2 (

)

M(x,y) *

+

→ M’(2,-7)

M(x,y) *

+

→ M’(2,-7)

Persamaan linear :

X x + 2 = 2

X = 0

Y y – 1 = -7

Y = -6 M(0,-6)

Jadi, koordinat M adalah (0,-6)

Rotasi (Perputaran)

adalah pemindahan titik, bangun, atau garis sepanjang busur O dengan arah,

titik pusat, dan ∠ tertentu.

Pada titik pusat (0,0)

P(x,y) [ ]→ P’(-y,x)

P(x,y) [ ]→ P’(y,-x)

P(x,y) [ ]→ P’(-x,-y)

R1 R2 = R2OR1

Contoh soal :

Titik P(0,4) dirotasikan oleh rotasi R1(0,-90°) dilanjutkan oleh R2(0,180°)

menghasilkan P”, tentukan P”!

R2OR1= -90° + 180°

= 90°

P(x,y) [ ]→ P”(-y,x)

P(0,4) [ ]→ P”(-4,0) jadi, P” adalah (-4,0)

Bentuk Matriks : (

) = (

) ( )

X’ = x ∙ cos α – y ∙ sin α

Y’ = x ∙ sin α + y ∙ cos α

Contoh soal :

Tentukan bayangan titik P(4,6) yang dirotasikan oleh R(0,60°)!

(

) = (

) ( )

= (

√

√

) ( )

= ( √

√ )

Jadi, P’ adalah (2-3√ , 2√ +3)

Pada titik pusat (a,b)

X’ – a = (x-a)cos α – (y-b)sin α

Y’ – b = (x-a)sin α + (y-b)cos α

Contoh soal :


Tentukan bayangan titik P(6,4) karena rotasi yang berpusat di A(2,1) sebesar

= -90°!

X’ – a = (x-a)cos α – (y-b)sin α

X’ – 2 = (6-2)cos -90° – (4-1)sin -90°

X’ – 2 = 4 ∙ 0 – 3 ∙ -1

X’ – 2 = 3

X’ = 5

Y’ – b = (x-a)sin α + (y-b)cos α

Y’ – 1 = (6-2)sin -90° + (4-1)cos -90°

Y’ – 1 = 4 ∙ -1 + 3 ∙ 0

Y’ – 1 = -4

Y’ = -3

Jadi, titik P’ adalah (5,-3)

Dilatasi (Perkalian)

adalah perkalian bangun yang berupa pembesaran / pengecilan dengan titik

pusat dan faktor skala (k) tertentu.

Macam=macam dilatasi :

K > 1 bayangan sepihak dengan bangun asal dan diperbesar

0<K<1 bayangan sepihak dengan bangun asal dan diperkecil

-1<k<0 bayangan berlawanan pihak dan diperkecil

K<-1 bayangan berlawanan pihak dan diperbesar

Dilatasi dengan pusat (0,0)

P(x,y) [ ]→ P’(kx,ky)

K =

Matriks : (

) = (

) ( )

Contoh soal :

Titik P(1,2) didilatasi [0,2] menghasilkan bayangan P’, tentukan P’!

P(x,y) [ ]→ P’(kx,ky)

P(1,2) [ ]→ P’(2∙1, 2∙2)

P’(2,4)

Dilatasi dengan pusat (a,b)

X’ – a = k(x-a)

Y’ – b = k(y-b) Matriks :(

) = (

) ( ) + (

)

Contoh soal :

Tentukan bayangan titik P(3,6) karena didilatasi [A,2] terhadap titik A(1,2)!

P(3,6) (x,y) [A,2] [titik pusat A, k]

A(1,2) (a,b)

X’ – a = k(x-a)

X’ – 1 = 2(3-1)

X’ – 1 = 4

X’ = 5

Y’ – b = k(y-b)

Y’ – 2 = 2(6-2)

Y’ – 2 = 8

Y’ = 10

Jadi, P’(5,10)

P(6,4) (x,y)

A(2,1) (a,b)


MATERI 7

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Perbandingan trigonometri suatu sudut perbandingan sisi suatu segitiga siku-

siku.

Sinus α =

=

(demi)

Cosinus α =

=

(sami)

Tangen α =

=

(desa)

Cosecan α =

=

(mide)

Secan α =

=

(misa)

Cotangen α =

=

(sade)

Nilai sudut istimewa Trigonometri :

0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0

√

√ 1

Cos 1

√

√

0

Tan 0

√ 1

~

Cosec ~ 2 √

√ 1

Secan 1

√ √ 2 ~

Cotg ~ √ 1

√ 0

Menghitung sisi segitiga siku-siku istimewa :

α L

y

x

P P (x,y)

r

Q O x

PQO siku-siku di Q dengan melihat ∠ α, maka :

OP = r = sisi miring ∠ α (proyektrum)

PQ = y = sisi depan ∠ α (proyektor)

OQ = x = sisi samping ∠ α (proyeksi)

L

60o

30o

C

B A

AB = x ∙ √

BC = x ∙ 2 AC = x

45o

45o P

R

Q

PQ = x

PR = x

QR = x ∙ √

Sudutnya harus 90o, 60o, dan 30o

Sudutnya harus 90o, 45o, dan 45o L


Contoh soal :

Jawab :

a. AB =

√

=

√ x

√

√

= 4√ cm

b. BC = AB = 4√ cm

c. Sinβ =

=

√

=

√

d. Cosβ =

=

√

=

√

e. Tanβ =

=

√

√ = 1

f. Sinα =

=

√

=

√

g. Cosα =

=

√

=

√

h. Tanα =

=

√

√ = 1

Daftar III (Daftar Sinus)

Digunakan untuk mencari nilai sin, cos, tan, dan cotg dari suatu sudut atau

sebaliknya. Contoh soal :

- Berapakah nilai sin 38o14’ ?

38o

M sin tan cotg cos

... ...

10 0,6180 50

... ... ...

14 89 46

... ...

cos cotg tan sin M

51o Cara : pada daftar III logaritma cari sudut 38o, lanjut mencari 14‟ pada kolom M,

urutkan pada kolom sin, dan lihat nilainya. Jika hanya 2 digit, lihat 3 digit awalannya

di atasnya.

Jadi, nilai sin 38o14’ = 0,6189

- Tentukan ∠ β dari cos β =

!

Jawab :

cos β =

cos β = 0,6667

∠ β = arc cos 0,6667

∠ β = 48o11’

41o

M sin tan cotg cos

... ...

49 67 11

50 0,6670 10

... ...

cos cotg tan sin M

48o

8 cm

L

A

C

B

β

α

Tentukan panjang AB, BC, dan sinβ, cosβ ,tanβ, sinα,

cosα, tanα dengan ∠α = ∠β = 45o !

M = kolom menit


Cara : pada daftar III logaritma cari nilai 0,6667 pada kolom cos, lanjut melihat menit

pada kolom M dan sudut pada bawah tabel.

Daftar II (Daftar Log Sinus)

Digunakan untuk mencari nilai log sin, log cos, log tan, dan log cotg dari suatu

sudut atau sebaliknya. Contoh soal :

cara mirip daftar II, hanya saja bilangan yang tertera pada daftar harus dikurangi 10

1. Log cotg 75o46’ = 9,4042 – 10 (daftar II)

= -0,3958

2. Log sin A = -0,1761

Log sin A = 9,8239 – 10 dibuat bentuk ... - 10

∠ A = antilog sin 9,8239

= 40o49’

3. Sin β =

Log sin β = log 23,71+ log sin 69o17’ – log 27,18

Log 23,71 = 1,3749 = 1,3749 (daftar I)

Log sin 69o17’ = 9,9710 – 10 = -0,0290 + (daftar II)

1,3459

Log 27,18 = 1,4342 = 1,4342 – (daftar I)

-0,0983

Log sin β = -0,0983

= 9,9117 – 10

∠ β = antilog sin 9,9117 (daftar II)

= 54o41’

Sudut-Sudut Berelasi

Sudut dibagi dalam beberapa kuadran :

Rumus di kuadran I {(90o – α) atau (

)}

1. Sin (90o – α) = cos α

2. Cos (90o – α) = sin α

3. Tan (90o – α) = cotg α

4. Cotg (90o – α) = tan α

5. Sec (90o – α) = cosec α

6. Cosec (90o – α) = sec α

Contoh soal :

Tentukan sudut komplemennya!

I II

III IV

y

x 360o 180o

270o

PI (x,y) PII (-x,y)

PIII (-x,-y) PIV (x,-y)

90o


Cos 40o = sin (90o – 40o) = sin 50o

Cosec 57o = sec (90o – 57o) = sec 33o

Rumus di kuadran II {(180o – α) atau ( )}

1. Sin (180o – α) = +sin α

2. Cos (180o – α) = -cos α

3. Tan (180o – α) = -tan α

4. Cotg (180o – α) = -cotg α

5. Sec (180o – α) = -sec α

6. Cosec (180o – α) = +cosec α

Contoh soal :

Tentukan nilai dari :

Cos 125o = - cos (180o – 125o) = -cos 55o = -0,5736 (daftar III)

Cotg

= - cotg (π -

) = -cotg

= -√

Rumus di kuadran III {(180o + α) atau ( )}

1. Sin (180o + α) = -sin α

2. Cos (180o + α) = -cos α

3. Tan (180o + α) = +tan α

4. Cotg (180o + α) = +cotg α

5. Sec (180o + α) = -sec α

6. Cosec (180o + α)= -cosec α

Contoh soal :


Tan 240o = tan (180o + 60o) = tan 60o = √

Cos 269o35’ = cos (180o + 89o35’) = -cos 89o35’ = -0,0073 (daftar III)

Rumus di kuadran IV {(360o – α) atau ( )}

1. Sin (360o – α) = -sin α

2. Cos (360o – α) = +cos α

3. Tan (360o – α) = -tan α

4. Cotg (360o – α) = -cotg α

5. Sec (360o – α) = +sec α

6. Cosec (360o – α) = -cosec α

Contoh soal :


Cos 300o = cos (360o – 60o) = cos 60o =

Sin 1

= sin (2π -

) = -sin

= -

Relasi ∠ α dengan ∠ (-α)

∠ (-α) sudut negatif yang diputar searah jarum jam dari sumbu + sehingga

berada di kuadran IV , maka didapat :

1. Sin (-α) = -sin α

2. Cos (-α) = +cos α

3. Tan (-α) = -tan α

4. Cotg (-α) = -cotg α

5. Sec (-α) = +sec α

6. Cosec (-α) = -cosec α

Contoh soal :


Cos (-110o) =

= - cos 70o = - 0,3420

Tan (-315) =

= tan 45o = 1

Sudut-sudut periodik

∠ periodik ∠ yang besarnya > 360o

1. Sin (360o ∙ k + α) = sin α

2. Cos (360o ∙ k + α) = cos α

3. Tan (180o ∙ k + α) = tan α

4. Cotg (180o ∙ k + α) = cotg

, dengan k R


Contoh soal :


Sin 960o = sin (360o∙2 + 240o)

= sin 240o kuadran II

= -sin 60o = -

√

Tan (-5

) = -tan 5

= -tan (π∙5 +

)

=

= -

√

Koordinat cartesius (x,y)

Koordinat kutub (polar) (r, α)

Contoh soal :

Ubahlah koordinat titik B(4,3) menjadi koordinat kutub!

B(4,3) = B(x,y) B(r,α)

r = √

= √

= √

= √

= 5

α = arc tan α

= arc tan

= arc tan 0,7500 (daftar III)

= 36o52’

B(4,3) B(5, 36o52’)

Ubahlah koordinat kutub P(6,300o) ke dalam koordinat cartesius!

P(6,300o) = P(r, α) B(x,y)

X = r ∙ cos α

= 6 ∙ cos 300o (kuadran IV)

= 6 ∙ cos 60o

= 6 ∙

= 3

Y = r ∙ sin α

= 6 ∙ sin 300o (kuadran IV)

= 6 ∙ -sin 60o

= 6 ∙ -

√ = -3√

P(6,300o) P(3, -3√ )

Aturan Sinus

bisanya digunakan untuk mencari besar sudut atau panjang salah satu sisi yang

diketahui dua sisi depan dan samping.

y

x

A (x,y)

0

X disebut absis

Y disebut ordinat

X = r ∙ cos α

Y = r ∙ sin α

α

y

x

A (α,r)

r

O

r disebut jari-jari kutub

Y disebut sudut kutub

r = √𝒙𝟐 𝒚𝟐

α = arc tan 𝒚

𝒙

Saat akan menentukan α jangan lupa perhatikan letak koordinat

titik terletak pada kuadran berapa

α


=

=

= 2R

Contoh soal :

Diketahui ABC dengan BC=20cm, AC=10cm, dan besar ∠B=25o. Hitung :

a. ∠A?

b. ∠C?

c. Panjang AB?

Jawab :

a.

=

=

10 ∙ sinA = 20 ∙ sin 25°

Sin A =

Sin A = 2 sin 25° (daftar III)

Sin A = 2 ∙ 0,4226

Sin A = 0,8452

∠A = arc sin 0,8452 (daftar III)

∠A = 57°42’

b. ∠C = 180 ° - (25 ° + 57 °42’)

= 180 ° - 82 ° 42’

= 97 ° 18’

c.

=

=

C ∙ sin 25 ° = 10 ∙ sin 97 °18’

C =

Log c = log 10 + log sin 97 °18’ – log sin 25 °

Log 10 = 1,0000

log sin 97 °18’ = 9,9965 – 10 +

10,9965 – 10

log sin 25 ° = 9,6259 – 10 –

1,3706

Log c = 1,3706

C = antilog 1,3706

C = 23,48 cm

Aturan Cosinus

a2 = b2+c2-2bc cosA

b2 = a2+c2-2ac cosB

c2 = a2+b2-2ab cosC

cosA =

cosB =

cosC =

R = jari-jari lingkaran luar

B

C

10cm

25 ° A

20cm a

b

c

Sisi di depan ∠ A = sisi a

Sisi di depan ∠ B = sisi b

Sisi di depan ∠ C = sisi c

dst.


contoh soal :

Hitunglah panjang AC dan BD!

Jawab :

Perhatikan ABC

b2 = a2+c2-2ac cosB

b2 = 82+102-2 ∙ 8 ∙ 10 ∙ cos120 °

b2 = 64+100 – 160 ∙ (-cos60 °)

b2 = 164 – 160 ∙ (-

)

b2 = 164 + 80

b = √

b = √

b = 2 ∙ √ (daftar V)

b = 2 ∙ 7,8102

b = 15,6204 cm

AC= b = 15,62 cm

Perhatikan ABD

a2 = b2+d2-2bd cosA

a2 = 82 + 102 - 2 ∙ 8 ∙ 10 cos60 °

a2 = 64 + 100 - 160 ∙

a2 = 164 – 80

a = √ (daftar V)

a = 9,1652

BD = a = 9,17cm

Rumus Luas

1. L =

2. L =

∙ a ∙ b ∙ sin c

=

∙ a ∙ c ∙ sin b

=

∙ b∙ c ∙ sin a

3. L = √

4. L = 2R2 ∙ sin A ∙ sinB ∙ sinC

Contoh soal :

Tentukan luas dibawah ini!

10cm

120 °

C

60 °

D

8cm

A B 10cm

8cm

120 °

A B

C

10cm

8cm

b

a

c

60 °

D

8cm

A B 10cm

a

d

b


- Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut

L ABC =

∙ a ∙ c ∙ sinB

=

∙ 16cm ∙ 15cm ∙ sin30o

= 120cm2 ∙

= 60cm2

- Jika diketahui 3 sisinya

S =

kell

=

(15+14+13)cm

=

42cm

= 21cm

L ABC = √

= √ cm2

= √ cm2

= √ cm2

= 3∙2∙7∙2 cm2

= 84 cm2

- Jika diketahui 3 sudut dan 1 sisinya

= 2R aturan sinus

= 2R

√

= 2R

√

= R

R =

√ cm

L ABC = 2R2 ∙ sinA ∙ sinB ∙ sinC

= 2(

√ )2 ∙ sin75° ∙ sin45° ∙ sin60°

= 2(

)2 ∙ 0,9659 ∙ 0,7071 ∙ 0,8660

= 225 cm2 ∙ 0,9659 ∙ 0,7071 ∙ 0,8660

= 133,08 cm2

a

c

b

C

A B 30 °

16 cm

15 cm

a

c

b

C

A B

15 cm

13 cm

14 cm

a

c

b

C

A B 45°

60°

75°

15cm


Rumus Jumlah dan Selisih 2 Sudut

sin (α+β) = sinα ∙ cosβ + cosα ∙ sinβ

sin (α–β) = sinα ∙ cosβ – cosα ∙ sinβ

cos (α+β) = cosα ∙ cosβ – sinα ∙ sinβ

cos (α–β) = cosα ∙ cosβ + sinα ∙ sinβ

tan (α+β) =

tan (α–β) =

contoh soal :

tan 15 ° = tan (60 ° -45 °)

=

=

= √

√

= √

√ x

√

√

= √ √

= √

= √

= 2-√

Rumus Sudut Rangkap

Sin 2α = 2 ∙ sinα ∙ cosα

Cos 2α = cos2α – sin2α

= 1 – 2sin2α

= 2cos2α – 1

Tan 2α =

Sin 3α = 3sinα - 4sin3α

Cos 3α = 4cos3α – 3cosα

Tan 3α =

Contoh soal :

Tentukan Cos 22

° , misal α = 22

° !

Jawab:

Cos 2α = 2 cos2 22

° - 1

Cos 2(22

°) = 2 cos2 22

° - 1

cos 45 ° = 2 cos2 22

° - 1

√ + 1 = 2 cos2 22

°

cos2 22

° =

√

Cos 22

° = √

√

= √

√

= ±

√√

Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri

2 ∙ cosA ∙ cosB = cos(A+B) + cos(A-B)

2 ∙ sinA ∙ sinB = cos(A+B) – cos(A-B)

2 ∙ sinA ∙ cosB = sin(A+B) + sin(A-B)

2 ∙ cosA ∙ sinB = sin(A+B) – sin(A-B)


Contoh soal :

8 ∙ cos 75 ° ∙ sin 15 ° = 4sin(75 °+15 °) – 4sin(75 °-15 °)

= 4sin90 °– 4sin60 °

= 4 ∙ 1 – 4 ∙

√

= 4 - 2√

= 2(2-√ )

Rumus Penjumlahan Fungsi Trighonometri

cosA + cosB = 2 ∙ cos

(A+B) ∙ cos

(A-B)

cosA – cosB = -2 ∙ sin

(A+B) ∙ sin

(A-B)

sinA + sinB = 2 ∙ sin

(A+B) ∙ cos

(A-B)

sinA – sinB = 2 ∙ sin

(A+B) ∙ cos

(A-B)

Contoh soal :

Sin 75 ° - sin 15 ° = 2 ∙ cos

(75 °+15 °) ∙ sin

(75 °-15 °)

= 2 ∙ cos 45° ∙ sin 30°

= 2 ∙

√ ∙

=

√

Unsur Identitas Sudut Dalam Trigonometri

1. sin2α + cos2α = 1

2. sin2α = 1 - cos2α

cos2α = 1 - sin2α

tan2α = sec2α – 1

cotg2α = cosec2α – 1

3.

= tanα

= cotgα

4. sinα =

cosα =

tanα =

5. sinα ∙ cosecα = 1

cosα ∙ secα = 1

tanα ∙ cotgα = 1

contoh soal :

1.

= tan2A

= ruas kanan

tan2A = terbukti sama dengan ruas kanan

2. (sinB+cosB)(sinB-cosB) = 2cos2B – 1

Sin2B – cos2B = ruas kanan

1 - cos2B – cos2B = ruas kanan

1 - 2cos2B terbukti tidak sama dengan ruas kanan

Persamaan Trigonometri

Persamaan Bentuk Sederhana

1. Sin x = sin a

X1 = a + k ∙ 360o

= a + k ∙ 2π

X2 = (180o -a) + k ∙ 360o

= (2π -a) + k ∙ 2π

2. Cos x = cos a

X1 = a + k ∙ 360o

= a + k ∙ 2π

X2 = -a + k ∙ 360o

= -a + k ∙ 2π

3. Tan x = tan a

X1 = a + k ∙ 180o

= a + k ∙ π

X2 = (180o +a) + k ∙ 180o

= (π +a) + k ∙ π


Contoh soal :

Tentukan nilai x yang memenuhi 0° x 360°

2 cos (2x-

) = 1

Cos (2x-

) =

Cos (2x-

) = cos

cos x = cos a

2x-

=

+ k ∙ 2π a + k ∙ 2π

2x =

+ k ∙ 2π

X1 =

+ k ∙ π

2x-

= -

+ k ∙ 2π - a + k ∙ 2π

2x = k ∙ 2π

X2 = k ∙ π

K 0 1 2

X1

1

X < 360 °

X2 0π π 2π

4tanx + 3 = 0

4tanx = -3

Tan x = -

= -0,7500

Tan x = -tan 36o52’ (daftar III)

Tan x = tan (180° - 36°52’ ) kuadran II

Tan x = tan 143°08’ Tan x = tan a

X1 = 143°08’ + k ∙ 180° (khusus tan, x bisa ditulis salah satu saja)

Hp {143°08’, 323°08’ }

Persamaan yang mengandung jumlah sinus dan cosinus

Cara : diubah dalam bentuk perkalian p ∙ q=0 didapat p=0 V q=0

Contoh soal :


Sin4x + sin2x = 0

2 ∙ sin

(6x) ∙ cos

(2x) = 0 ingat sifat sinα +sinβ

2 ∙ ⏟ ∙ ⏟ = 0

P q = 0

Sin3x = 0 V cosx = 0

Sin3x = 0

Sin3x = sin 0°

Hp {0π , 𝜋

, π 1

𝜋, 2π }


3x = 0° + k ∙ 360°

X1 = 0° + k ∙ 120°

3x = 180° + k ∙ 360°

X2 = 60° + k ∙ 120°

Cos x = 0

Cos x = cos 90°

X1 = 90° + k ∙ 360°

X2 = -90° + k ∙ 360°

Hp {0, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 360° }

Persamaan Kuadrat Dalam sin x dan cos x

Cara : diubah dengan dengan sudut yang sama

Contoh soal :


2sin2x – 7sinx + 3 = 0

Misal sin x =p , maka didapat persamaan

2p2 – 7p + 3 = 0

(2p-1)(p-3) = 0

2p-1 = 0 V p-3 =0

2p = 1 p = 3

P =

Sinx =

Sinx = sin 30°

X1 = 30 ° + k ∙ 360 °

X2 = 150 ° + k ∙ 360 °

Sin x = 3

X3 = {}

Hp {30°, 150°}

Bentuk asinx + bcosx = c dengan a2 + b2 c2

1. a ∙ sinx ± b ∙ cosx = k ∙ sin(x ± Q)

2. a ∙ cosx ± b ∙ sinx = k ∙ cos(x ∓ Q)

contoh soal :

Tentukan nilai x yang memenuhi 0° ≤ x ≤ 360°

Cos3x -√ sin3x = √

cos3x - √ sin3x = k ∙ cos(3x+Q)

k = √ √

= √

= √

= 2

Q = arc tan √

= 60°

2 ∙ cos(3x+60°) = √

cos(3x+60°) =

√

cos(3x+60°) = cos 45°

3x+60° = 45 °+k ∙ 360 °

3x = -15 ° + k ∙ 360 °

x1 = -5 ° + k ∙ 120 °

3x+60° = -45 °+k ∙ 360 °

3x = -105 ° + k ∙ 360 °

x2 = -35 ° + k ∙ 120

Hp {85°, 115°, 205°, 235°, 325°, 355°}

a2 + b2 ≥ c2

12 + (- √ )2 ≥ (√ )2

1+3 2


MATERI 8

BARISAN DAN DERET

Pengertian Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu.

Secara umum dapat ditulis U1, U2, U3, U4, ..., Un

Notasi Sigma

notasi sigma yaitu kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Dalam barisan

dan deret dapat ditulis :

Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k

=1 sampai dengan k = n”

ket :

ak = Peubah variable berindeks

k = indeks (penunjuk penjumlahan) dari batas bawah sampai batas atas

1 = batas bawah

n = batas atas

Contoh soal :

1. Hitung nilai hasil penjumlahan notasi dibawah ini dalam bentuk lengkap!

5])6(2)5(2)4(2)3(2[52 22226

3

2 p

p

= [18+32+50+72]+5

= 177

)525()424()323()222()121(2 222225

1

2

iii

= 3+8+15+24+35

= 85

2. Tulis dalam bentuk notasi sigma : 4+6+8+10+12+14+16+18

U1 = 4 2∙1+2

U2 = 6 2∙2+2

...

U8 = 18 2∙8+2

Un = 2n+2

8

1

22n

n

Sifat – Sifat Notasi Sigma

1.

n

k 1

ak = a1 + a2 + a3 + … + an

2.

n

mk (ak + bk) =

n

mk ak +

n

mk bk

3.

n

mk cak = c

n

mk ak

4.

n

mk ak =

pn

pmk

ak – p


5.

n

mk c = (n – m + 1)c

6.

1p

mk ak +

n

pk

ak =

n

mk ak

7.

1m

mk ak = 0

8.

n

mk (ak + bk)2 =

n

mk ak2 + 2

n

mk ak bk +

n

mk bk2

Contoh soal :

Tulis dalam bentuk monomial (k=1) notasi sigma dibawah ini :

8

4k (8+4k-2k2) =

38

34k (8+4(k+3)-2(k+3)2)

=

5

1k (8+4k+12-2 (k2+6k+9))

=

5

1k (8+4k+12-2(k2+6k+9))

=

5

1k -2k2-12k-18+4k+20

=

5

1k -2k2-8k+2

= -2

5

1k k2 -8

5

1k k+

5

1k 2

= 2

5

1k k2 -8

5

1k k+10

Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan

aritmetika, selisih yang konstan dari setiap suku disebut beda (b). Rumus suku

ke-n pada bilangan aritmatika :

ket : Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyaknya suku

Contoh soal :

1. Tentukan suku pertama, beda dan suku ke tujuh pada barisan 6,9,12,15,...

Suku pertama a = 6, beda b = 9-6 = 12-9 = 3

Suku ke-7 Un = a+(n-1)b

U7 = 6+(7-1)3 = 6+18 = 24

Un = a+ (n -1)b

Dibuat

k=1

Karena k=n-3, maka

pada peubah n+3

Sifat notasi

sigma


2. Sebuah barisan aritmatika memiliki suku ke-3 adalah 9, sedangkan suku ke-7

adalah 21. Tentukan suku ke-10!

U3 = 9 9 =a+(3-1)b ...(1)

U7 = 21 21 =a+(7-1)b ...(2)

9 = a+2b ...(1)

21 = a+6b - ...(2)

-12 = -4b

b = 3

9 = a+2b

9 = a+2∙3

a = 3

U10 = a+(10-1)b

= 3+9∙3

= 30

3. Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama adalah 20 dan bedanya

adalah 5. Suku ke berapakah pada barisan itu yang nilainya 140?

a = 20, b = 5, Un = 140

Un = a+(n-1)b

140 = 20+(n-1)5

140 = 20+5n-5

5n = 125

n = 25 U25 =140

4. Suku ke-3 pada barisan aritmatika adalah 2, jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah

16. Hitung suku ke-16!

Un = a+(n-1)b

U3 = a+(3-1)b

2 = a+2b ...(1)

U4 = a+(4-1)b

= a+3b

U6 = a+(6-1)b

= a+5b

U4+U6 = (a+3b)+(a+5b)

16 = 2a+8b ...(2)

Persamaan (1) dan (2)

2 = a+2b x2 4 = 2a+4b

16 = 2a+8b x1 16 = 2a+8b –

-12 = -4b

b = 3

2 = a+2b

2 = a+2∙3

a = -4

Un = a+(n-1)b

U15 = -4+(15-1)3

= -4+42

= 38

5. Pada barisan 7,9,11,...,47 . tentukan banyaknya suku!

a=7, b=2

Un = a+(n-1)b

47 = 7+(n-1)2

40 = (n-1)2

20 = n-1

n = 21 U21 = 47

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika dengan pola U1

+ U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmatika. Jumlah n suku pertama

disimbolkan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + … +Un . Rumus jumlah n suku

pertama adalah :


ket : Sn = jumlah n suku pertama

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke-n

contoh soal :

1. Diketahui deret aritmatika 2+5+8+11+..., tentukanlah :

a. Rumus jumlah n suku pertama

a=2, b=3

Sn =

{2a+(n-1)b}

=

{2∙2+(n-1)3}

=

{4+3n-3}

=

(3n+1)

=

b. Jumlah 15 suku pertama

Sn =

S15 =

=

=

=

= 425

2. Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 200 yang habis dibagi 3!

Deret aritmatikanya : 3+6+9+...+198

a=3, b=3, Un=198

Un = a+(n-1)b

198 = 3+(n-1)3

198 = 3+3n-3

198 = 3n

n = 66

Sn =

(a+Un)

S66 =

(3+198)

= 33(201)

= 6633

3. Suku ke-5 dari suatu bilangan aritmatika adalah 40 dan suku yang ke-8 adalah

25. Tentukan :

a. Suku pertama dan beda dari barisan aritmatika ini

U5 = 40 a+(5-1)b=40 ...(1)

U8 = 25 a+(8-1)b=25 ...(2)

a+4b = 40 ...(1)

a+7b = 25 - ...(2)

-3b = 15

b = -5

a+4b = 40

a+4∙-5= 40

a = 60

b. Jumlah 10 suku yang pertama dari deret yang bersesuaian

Sn =

{2a+(n-1)b}

S10 =

{2∙60+(10-1)-5}

= 5{120-45}

= 5∙75

= 375

Sn =

Sn =


4. Deret aritmatika dengan rumus jumlah n suku yang pertama adalah Sn =

n+

n2

tentukan :

a. Suku pertama deret tersebut

b. Beda deret tersebut

c. Suku ke-8

Sn =

n+

n2

S0 =

∙0+

(0)2

= 0

S1 =

∙1+

(1)2

=

+

= 5

S2 =

∙2+

(2)2

= 7+6

= 13

Un = Sn – Sn-1

U1 = S1 – S0

= 5 – 0 = 5

U2 = S2 – S1

= 13 – 5 = 8

a. U1 = a = 5

b. b = U1 - U2 = 8-5 = 3

c. U8 = a+(8-1)b

= 5+7∙3

= 24

Barisan Geometri

barisan bilangan U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un disebut barisan geometri. Nilai

perbandingan konstan pada setiap suku disebut rasio ( r ), ditulis :

r =1

2

1 U

U

U

U

n

n

Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1

ket Un = suku ke-n barisan geometri

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

contoh soal :

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari suatu barisan geometri adalah 27. Dan

3, rasio barisan geometri ini adalah positif. Tentukan :

a. Rasio dan suku pertama

U3 = 27 ar(3-1) = 27

ar2 = 27

U5 = 3 ar(5-1) = 3

ar4 = 3

ar4 = 3

ar2∙r2 = 3

27∙ r2 = 3

r2 =

r = √

=

ar2 = 27

a(

)2 = 27

a ∙

= 27

a = 243

Un = ar n-1


b. Rumus untuk suku ke-n

Un = arn-1

= 243∙(

)

= 35∙(3-1)n-1

= 35∙ 3-n+1

= 35+-n+1

Un = 36-n

c. Suku ke-9

Un = 36-n

U9 = 36-9

= 3-3

=

=

d. Suku ke-berapakah dari barisan ini yang sama dengan

?

Un = 36-n

= 36-n

= 36-n

3-6 = 36-n

-6 = 6-n

n = 12

Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri dengan

pola U1 + U2 + U3 + …,Un. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Contoh soal :

1. Diketahui deret geometri 2+4+8+... Tentukan jumlah 7 suku pertama!

a=2, r=

= 2

Sn =

S7 =

=

= 2∙191

= 382

2. Diketahui deret geometri 2+22+23+...+2n=254. Hitunglah n!

a=2 , r=

=2

Sn =

254 =

254 = 2(2n-1)

127 = 2n-1

2n = 128

2n = 27

n = 7

3. Diketahui suku ke-n barisan geometri adalah Un=3n, tentukan jumlah n suku

pertamanya!

Un = 3n


U1 = 31 = 3 a

U2 = 32 = 9

r =

= 3

Sn =

=

=

(3n-1)

4. Jumlah n suku pertama barisan geometri adalah Sn=3n-1. Tentukanlah :

a. Rumus suku ke-n

Sn =3n-1

Un = Sn – Sn-1

= (3n-1) – (3n-1-1)

= 3n-1 – 3n-1+1

= 3n -

=

∙3n

b. Suku pertama dan rasio

Un =

∙3n

U1 =

∙31 = 2 a

U2 =

∙32 = 6

r =

= 3

Deret Geometri Tak Terhingga

deret geometri Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati tak terhingga,

disebut deret geometri tak terhingga dengan pola S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …

Rumus jumlah deret geometri tak terhingga untuk |r|<1 atau -1<r<1 yaitu :

r

aS

1

Contoh soal :

1. Hitunglah jumlah sampai tak berhingga dari deret geometri 1+

+

+...

a=1 , r=

=

S∞ =

=

=

= 2

2. Suku ke-n dari deret geometri adalah Un = 6-n. Tentukanlah jumlah sampai tak

berhingga dari deret geometri tersebut!

Un = 6-n

U1 = 6-1

=

a

U2 = 6-2

=

=

r =

=

∙ 6 =

S∞ =

=

=

∙

=

3. Pendapatan ayah pertahun bertambah Rp 750.000,00. Jika pendapatan ayah

tahun ini per tahun Rp 8.000.000,00. Hitung pendapatn ayah per tahun setelah

10 tahun.

a=8.000.000, b=750.000

Un = a+(n-1)b

U10 = 8.000.000+(10-1)750.000

= 8.000.000+6.750.000 = 14.750.000

rangkuman materi kelas x smkrangkuman kelas x 1 materi 1 operasi bilangan real bilangan adalah suatu...

Documents