TRANSFORMASI BALIKAN

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif

dengan daerah asal V dan daerah hasilnya juga V. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi

pada garis g, maka PPMM gg . Kita tulis juga PPM g 2

. Jadi M2 adalah

suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang

demikian dinamakan transformasi Identitas, dilambangkan dengan huruf I. Jadi

PPPI , .

Apakah I memang benar suatu transformasi?

Apakah I injektif?

Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan )()(,, 212121 xIxIxxVxx .

Bukti:

Ambil 2121 dengan , xxVxx .

Menurut definisi identitas, 111 )( xxIVx

222 )( xxIVx

Karena 21 xx maka )()( 21 xIxI

Jadi, I injektif.

Apakah I surjektif?

Untuk menunjukkan I surjektif, ditunjukkan xxIVx )(

Bukti:

Akan dibuktikan ')(' yyIVy

Ambil Vy ' , menurut definisi identitas jika yyyIVy ')( maka

Sehingga yyIyVyVy )('' . Jadi yy ' .

Jadi, I surjektif.

Benar bahwa I suatu transformasi.

Karena I transformasi, T trasnformasi, berlaku sifat berikut:

PPTpTIPITPTI ,

Jadi TTI

PPTPTIPIT ,

Jadi TIT , sehingga TITTI

Dengan demikian, transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam

himpunan transformasi-transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi-

transformasi.

Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap

0x ada balikan 1x sehingga 111 xxxx . Demikian juga dalam transformasi,

jika terdapat dua transformasi misal T dan Q, yang hasil kalinya adalah I

(transformasi identitas) ditulis IQTTQ . Transformasi balikan dari T ditulis

sebagai 1T sehingga ITTTT 11 .

Teorema yang berkaitan dengan transformasi balikan:

Teorema 1

Setiap transformasi T memiliki balikan.

Bukti:

Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.

Misal balikan dari T adalah L, maka ILTTL

Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.

Karena surjektif, XATVAVx )( prapeta

Kita tentukan AXL .

Kita punya XAT . Karena AXL , maka XXLT

Jadi XL adalah prapeta dari X .

Diperoleh XXLT atau XXTL .

Karena XXTL maka menurut definisi identitas XXI

XXIXTL

Jadi, ITL

Selanjutnya XTLXLT

Andaikan BXT

Karena transformasi maka x prapeta dari B dengan BLX

Jadi, karena BXT , maka XBLXTL )( .

Jadi VXXIXXLT , .

Jadi, ILT . Sehingga ILTTL .

Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.

Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.

Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.

Andaikan 21 XLXL dan andaikan pula 2211 )(,)( XATXAT dengan

11 AXL dan 22 AXL

Karena T transformasi, dan jika 21 AA maka )()( 21 ATAT , sehingga kita

peroleh 21 XX .

Jadi karena T transformasi dan )()( 21 XLXL maka:

)()( 21 XLTXLT

21

21

XX

ATAT

Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.

Karena ILTTL , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang

dilambangkan dengan 1T . Jadi L = 1T .

Contoh:

Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G

sebagai berikut:

yxPFyxP

2

1,2)(),.( dan

)2,2()( yxPG

Sehingga PyxyxFPGFPFG ),()2,2()(

Dan PyxyxGPFGPGF

),()

2

1,2()(

Jadi PPIPPGFPFG ,)(

Atau IGFFG

Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis 1 FG

Teorema 2

Setiap transformasi hanya memiliki satu balikan.

Bukti:

Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan 1S dan 2S .

Karena 1S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 11

dan karena 2S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 22

Sehingga ))(())(( 21 PTSPTS

)()( 21 PSTPST

Karena T transformasi maka .),()( 21 PPSPS

Sehingga 21 SS . Jadi balikan T adalah SSS 21 .

Dengan kata lain transformasi T hanya memiliki satu balikan.

Teorema 3

Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri

Bukti:

Andaikan pencerminan pada garis g adalah gM .

Andaikan gXYXM g ,)( maka XXMM gg )( atau ,))(( XIXMM gg

.gX jadi IMM gg .

Jika gX maka XXM g )( sehingga )()( XMMXM ggg atau

IMM gg

Jadi untuk setiap X diperoleh IMM gg .

Jadi gg MM 1

.

Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri

dinamakan suatu involusi.

Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan, yaitu

11 dan ST . Komposisi transformasi, yaitu ST juga suatu transformasi. Jadi

ada balikan 1ST

Teorema 4

Apabila T dan S transformasi-transformasi, maka 111 TSST .

Bukti:

Diketahui ISTST )(1 .

Tetapi ISSSISSTTSSTTS 111111 . Oleh karena suatu transformasi hanya memiliki satu balikan, maka

111 TSST .

Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan balikan

transformasi dengan urutan yang terbalik.

Contoh:

Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis xyyxg ),( dan

0),( yyxh .

Tentukan P sehingga ,))(( RPMM gh dengan R = (2,7).

Jawab :

Andaikan yxP , .

Kita peroleh berturut-turut ),)(())()((1111 RMMPMMMM hgghhg

Jadi .)(11 RMMP hg

Oleh karena )7,2(R dan hh MM 1 , maka )7,2()()(1 RMRM hh

sehingga )2,7()7,2()7,2()(111 gghg MMRMM sehingga )2,7(P .

Tugas:

Dalam tugas dibawah ini kita definisikan padanan-padanan sebagai berikut:

a) Apabila g sebuah garis. gW adalah padanan yang didefinisikan untuk

segala titik P sebagai berikut:

Apabila gP maka PPWg )(

Apabila gP maka )(PWg adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari

P pada g.

b) Apabila g sebuah garis. gV adalah padanan yang didefinisikan untuk

semua titik P sebagai berikut:

Apabila gP maka PPVg )(

Apabila gP maka ')( PPVg sehingga P titik tengah ruas garis tegak

lurus dari 'P pada g.

c) Apabila A sebuah titik. UA adalah padanan yang didefinisikan sebagai

berikut :

Untuk1)(, PPUAP A sehingga

1P adalah titik tengah ruas garis PA .

Untuk PPUAP A )(, .

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi

transformasi berikut:

a) gW b) gV c) gM d) AU

Penyelesaian:

Kasus 1 untuk A g

a) Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

AAWgWg

AAWgWg

AAI

)(

)(

)(

1

1

AAWg )(1

Jadi, AAWg )(1

Kasus 2 untuk A g

Menurut definisi dari padanan Wg

Apabila A g maka AhAAWg2

1

2

1)( ' dimana h adalah ruas garis

tegak lurus dengan g dari A.

Diketahui AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Karena AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Maka )()(1

AVAW gg

b) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

g

h

A

AAVgA 2)(1

AAVgVg

AAVgVg

))((

))((

1

1

AAVg )(1

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi identitas

Diketahui AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Karena AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Maka )()(1

AWAV gg

c) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka Mg(A) = A maka AAMg )(1

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka 1)( AAMg

Menurut Teorema 6.3

1)( AAMg

AAI )(

AAMgMg

AAMgMg

))((

1

1)(

Mg

AAMg

d) Jika AP jelas PPU A )( . Jadi balikan dari AU adalah AU .

Jika AP maka ')( PPU A dimana

'P adalah titik tengah ruas garis PA

g

h

A

AAVgA 2)(1

Dari hipotesis Jika GP , 1)( PPVg , sehingga P adalah titik tengah ruas

garis tegak lurus dari A pada g, dan misalkan gA , dan merupakan titik

potong garis yang tegak lurus dengan g dan melalui titik P dan 'P , maka P

titik tengah ruas garis AP ' . Jadi AV balikan dari AU .

2. Sederhanakanlah:

a) 1)( hgVM b) 1)( ggVW c)

1)( sgMW

d) 1)( sgWV e) 1)( sg MM f) sgs WWV

1)(

Penyelesaian:

Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka 111 TSST maka:

a) ghghhg MWMVVM 111)(

b) gggggg VWMVVM

111)(

c) gsgssg VMMMMM

111)(

d) gsgssg WVVWWV

111)(

e) gsgssg MMMMMM

111)(

f) ssgssgsgs WWMWVMWWV )()()(

111

3. Andaikan g sebuah garis,

a. Apakah gW sebuah isometri?

b. Apakah gW sebuah involusi ?

c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang

peta-petanya ?

Penyelesaian:

a) Ambil sebarang tiga titik CBA dan ,, dengan CBA dan gCBA ,,

Karena gA maka ')( AAWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

A pada g.

Karena gB maka ')( BBWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

B pada g.

Karena gC maka ')( CCWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

C pada g.

b) Ambil sebarang titik gA .

Karena gA maka ')( AAWg adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari

A pada g. Ini berarti )('AWg bukan merupakan balikan dari )(AWg

Jadi gW bukan suatu involusi.

c) Ambil tiga titik CBA dan ,, yang segaris.

gAAAAWGA g '')(, dan ,'' rAAA

gBBBWGB g '')(, dan ,'' rBBB

gCCCCWGC g '')(, dan ,'' rCCC

gAA '

gBB '

gCC '

Jadi ////// ''' CCBBAA atau .//// CrBqAp

Sehingga ,pqAB dan qrBC . Akibatnya ''BAAB dan ''CBBC .

Dapat disimpulkan jika ,, BA dan C segaris maka gW adalah sebuah

isometri.

4. Diketahui garis-garis g dan h yang berpotongan dan titik P dan Q tidak pada

garis-garis tersebut. Lukislah:

a) R sehingga PRMM hg )( .

Penyelesaian:

)()()( PMRMPRMM ghhg

)(PMMR gh

Q h

P

PMP g' g

PMMPR gh ''

b) K sehingga QKMW gh )(

Penyelesaian:

)()()(1

QWKMQKMW hggh

)(

)()(

QVMK

QVKM

hg

hg

c) E sehingga PEWV gh )(

Penyelesaian:

)()()(1

PVEWPEWV hggh

)(

)(

)()(

1

PWVE

PWWE

PWEW

hg

hg

hg

d) D sehingga DDMW gh )(

Penyelesaian:

)()()( DVDMDDMW hggh

)(DVMD hg

Karena )()( DVMDDWW hggh berarti IVMMW hggh

(Transformasi Identitas).

Maka haruslah D terletak pada perpotongan antara garis g dan h.

Q h

P

QVQ h'

g

QVMQK hg ''

)(PWVE hg

)(' PWP h Q

h

P

g

Q h

P

g

D

5. Diketahui garis-garis g, h dan k dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.

Lukislah garis-garis:

a) v sehingga vAvvWh dan )(

b) u sehingga kuWV hg )(

c) z sehingga gzVU hA )(

d) w sehingga hwW g )(2

v v

'R

'P

'Q

R

P

Q

zg ''

A

)(' gVg A

'S S

g

h

'R

'P

'Q'S

R

P

Q

S

gkh

)(' kWk g

v v

6. Diketahui titik-titik )9,2(dan ),3,2( BA .

a) Tentukan koordinat-koordinat )(BU A .

Penyelesaian:

6,02

393,

2

222

2,

2)(

ABA

ABAA

yyy

xxxBU

Jadi, koordinat )(BU A adalah (0,6).

b) Tentukan koordinat-koordinat ),(dengan ),( yxPPU A .

Penyelesaian:

)()()()()(2 hVVwhVwWhwWWhwW ggggggg

)(' hVh g

'S

S

'PP

'R

'Q

R Q

)('' hVVwh gg

gh

2

3,

2

2

2

33,

2

22

2,

2)(

yx

yx

yyy

xxxPU APA

APAA

Jadi, koordinat )(PU A adalah

2

3,

2

2 yx

c) Apakah AU sebuah isometri? Apakah AU sebuah involusi?

Penyelesaian:

Ambil sembarang titik ),Q(dan ),( 2211 yxyxP

Jarak P ke Q adalah 2122

12 yyxxPQ

2

3,

2

2')( 11

yxPPU A , dan

2

3,

2

2')( 22

yxQQU A

Sehingga jarak P ke Q adalah:

2

12

2

12

2

12

2

12

222

3

2

3

2

2

2

2''

yyxxyyxxQP

Karena ''QPPQ maka AU tidak mengawetkan jarak.

Jadi, AU bukan sebuah isometri.

Ambil sembarang titik ),( 11 yxP

Jelas

2

3,

2

2)( 11

yxPU A

Jelas

2

2

33

,2

2

22

2

3,

2

2)'(

11

11

yx

yxUPU AA

2

2

6

,2

2

4 11 yx

yxyx

,4

6,

4

4 11

Jadi, AU bukan sebuah involusi.

d) Tentukan koordinat-koordinat )(1 PU A

Penyelesaian:

Andaikan ),()(1 dbycaxPU A

Jelas PPUU AA )(1 ),( dbycaxU A

),(2

3,

2

2yx

dbycax

ydby

xcax

2

3dan

2

2

32dan 22 ydbyxcax

Jadi, koordinat )32(),22(),()(1 yxdbycaxPU A

7. Apabila 3),( xyxg tentukanlah:

a) Koordinat-koordinat ),(untuk )( yxPPWg

Penyelesaian:

Jelas ),()( yxWPW gg ),(3),( yxW xyx

=

p

gp

g yxx

x ,2

=

y

x,

2

33

=

y

x,

2

3

Jadi, koordinat )(PWg untuk ),( yxP adalah

y

x,

2

3

b) Koordinat-kordinat )(1 PW g

Penyelesaian:

Andaikan )(1 PW g

= ),( dbycax

Jelas PpWW gg )(1

),(),( yxdbycaxWg

),(,2

3yxdby

bax

xbax

2

3 dan ydby

32 xbax dan ydby

Jadi, koordinat )(1 PW g

= ),32(),( yxdbycax

c) C dengan BCWV gh )( apabila h sumbu Y dan )6,1(B

Penyelesaian:

Jelas BCWV gh )( )()()( BWVCBWCW bgbg

)6,1( hg WVC

6,

2

1gVC

)6,32

1(2( C

)6,4( C

8. Apabila T, L, S transformasi-transformasi buktikan bahwa 1111 TLSTLS .

Penyelesaian:

Menurut Teorema 6.4 : Apabila S dan T transformasi-transformasi, maka

111 oTSToS

Sehingga (TLS) 1 = (TL(S)) 1 = S 1 (TL) 1 = 111 TLS

9. Sederhanakanlah:

a) 1ghg MVW b)

1

gghh VWVM

Penyelesaian:

a). ghgghghggghgghg VWMWVMVWMMVWMVW

1111111 )())((

b). 1111111 hhggghhggghhgghh VMWVWVMVVWVMVWVM

hhgg

hhgg

MWVW

MVWV

1111

10. Apabila A titik asal dan 2),( yyxg tentukan koordinat-koordinat titik D

sehingga )4,3()( DVU gA .

Penyelesaian:

Jelas )4,3()4,3()()4,3()( AgAggA VWDVDVDVU

2,62

28,6

8,6

)4.(2),3.(2

D

D

WD

WD

g

g

11. Andaikan 63),( yxyxg dan h sumbu Y. Apabila A titik asal, tentukan

persamaan garis k sehingga gkUV Ah )( .

Penyelesaian:

Jelas )()()()( gWVkgWkUgkUV hAhAAh

1

-12

y

0

)(gWh

-6

2 x

63 xy

)(gWV hA

h

Persamaan garis k yang melalui dua titik yaitu titik (2,0) dan (0,12) adalah:

20

2

012

0

12

1

12

1

xy

xx

xx

yy

yy

126

2

212

xy

xy

Jadi persamaan garis k adalah 126 xy

12. Apabila xyyxg ),( tentukan:

a) Koordinat-koordinat titik )2,6(dengan )( AAWg

Penyelesaian:

Jelas titik A = (6,2) akan memotong (tegak lurus) g di

sehingga koordinat adalah

b) Koordinat-koordinat titik ),(Puntuk )(1 yxPW g

Penyelesaian:

Koordinat-koordinat titik untuk P = (x,y)

Jelas titik P = (x,y) memotong (tegak lurus) garis g di

dan

Misal koordinat adalah

Jelas = P

dan

dan

dan

dan

dan

Sehingga koordinat adalah