GEOMETRI TRANSFORMASI

HASIL KALI TRANSFORMASI

PRESENTASI KELOMPOK 4

NAMA ANGGOTA :

RANI PRATIWI08 03 0206

LISTA DORARIA08 03 0190

HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi,dengan

F : V V

G : V V

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G 0 F didefinisikan sebagai :

( G 0 F ) (x) = G [ F (x) ] . x єV

Teorema 5.1 : Jika F : V V dan G : V V masing– masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G 0 F : V V adalah juga suatu transformasi.

Untuk ini harus di buktikan dua hal yaitu :

Buktikan!

1) H Surjektif

2) H Injektif

Untuk ini harus di buktikan dua hal yaitu :

Buktikan!

1) H Surjektif

2) H Injektif

Ambil y є V : apakah ada x sehinggaH (x ) = y ? Karena G transformasi maka untuksetiap z є V ada y є V sehingga z = G (y) ,karena F suatu transformasimaka pada z ini ada x є V sehinggaz = F (X) . maka y = [Z(x )] atauy = G [ F (X) ] atau y = ( G o F ) (X). Jadi, y = H (x ).

Untuk ini harus di buktikan dua hal yaitu :

Buktikan!

1) H Surjektif

2) H Injektif

Untuk membuktikan bahwa H injektif

,harus kita perlihatkan bahwa kalau P

≠ Q

maka H (P) ≠ H(Q)Andaikan H (P ) = H

(Q ) ,maka G [ F (P ) ] = G [F (Q ) ]

Oleh

karena G injektif maka F (P) = F (Q)

.Karena F injektif maka pula P = Q ini

bertentangan dengan pengandaian

bahwa P ≠ Q Jaadi pemisalan bahwa

H (P ) = H (Q ) tidak benar .Sehingga

haruslah H (P) ≠ H(Q)

CONTOH

Andaikan G sebuah garis dan T sebuahtransformasi

F : V V yang didefinisikan sbagai berikut X єg maka T (X) = X

JIKA x є g maka T ( X ) adalah titik tengah ruasgaris dari x ke g yang tegak lurus.

x

T(x)

h

y

g L

Jelas T suatu transformasi ( buktikan ) .Apakah T suatu transformasi ? Ambil kemudian transformasikan kedua. Misalkan sebagai berikut :

Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah reflexidari garis h jadi hasilkali Mh [ T ( x )]= Y adalahsuatu tranformasi pula sehingga Y = ( Mh o T ) (X). Apakah hasil kali ini merupakan isometriselidiki pada contoh di atas kebetulan Mh o T = T o Mh untuk membuktikan ini ambilgambar 5. 1 garis g sebagai sumbu x suatusistim dan garis h sebagai sumbu Y .Titikpotong h dan g kita ambil sebagai titik asal.

Andaikan x = ( x, y ) maka T (x) = ( x,y ) dan h M [T ( x) ]= (- x, y ) Oleh karena Mh [T (X ) ]=T[ Mh (X) maka Mh o T ( x )= T o Mh akan tetapisifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku . untuk memperlihatkan ini ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g lihatgambar 5.2

x

T (X)

h

Mh [T (x)]

Mh (X)

T[Mh (X)]

Gambar 5.2

g

Tampak bahwa Mh [T (x)] =T[ Mh (x)] .Jadi Mh o T = T o Mh

THE END