Transformasi Z

Transformasi Z

Transformasi-Z adalah salah satu alat bantu pada

analisis sistem LTI (Linier Time Invariant).

Transformasi Z merupakan suatu teknik untuk

menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti

Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).

Kegunaan Transformasi Z

• Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi

• Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan

perhitungan aljabar yang lebih mudah

• Fungsi transfer pada sistem LTI

Definisi

Transformasi-z, X(z), dari fungsi waktu diskrit x(n) adalah: ∞

Z[ X (n)] = F(z) =

dengan z adalah variabel kompleks

∑n=−∞

−nx (n)z (1)

Hubungan pada Pers. (1) -> Transformasi-z bilateral.Pers. (1) dapat ditulis:

0 X(z) = x (n)z

∞−n −n + x (n)z ∑

n=−∞

Jika f(n)=0 untuk n > 0, maka: X(z)

∑n=0

∞−n= x (n)z (2) ∑

n=0

Hubungan pada Pers. (2) -> Transformasi-z unilateral (satu sisi)

Definisi Transformasi z

Contoh

Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah

elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar

berikut ini :

0-1

-2

-3 1 2

3 4

23

4

2

-5

x(n)

-4

-2

Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :

x(-3) = 2,

x(-2) = -5,

x(-1) = 3,

x(0) = 0,

x(1) = 4,

x(2) = 2,

x(3) = -4,

x(4) = -2

maka transformasi Z dari x(n) akan diperoleh :

TZ(x(n)) = X(Z) = 𝑛=−∞𝑛=∞ 𝑥(𝑛)𝑧

_𝑛

X(Z) = 2Z3 – 5Z2 + 3Z1 + 4Z-1 + 2Z-2 – 4Z-3 – 2Z-4

0-1

-2

-3 1 2

3 4

23

4

2

-5

x(n)

-4

-2

x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}

x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}

Karena Transformasi-z adalah deret pangkat tak hingga

Transforamsi-z hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang konvergen

Himpunan seluruh nilai z, agar F(z)

konvergen ROC

4

ROC

ContohTentukan transformasi Z dari x(n) = u(n)

Jawab:

Sinyal x(n) = u(n) memiliki nilai 1 untuk n ≥ 0. Dengan demikian:

TZ(x(n)) = X(Z) = 𝑛=−∞𝑛=∞ 𝑧

_𝑛. 𝑥(𝑛)

X(z) = ... + z2 . x(-2) + z . x(-1) + x(0) + z-1 . x(1) + z-2 . x(2) + ...

= ... + z2 . 0 + z . 0 + 1 + z-1 . 1 + z-2 . 1 + ...

= 1 + + + ...

Kita bisa memandang X(z) tersebut sebagai deret geometri dengan suku awal 1 dan rasio

Deret ini dapat dijumlahkan menjadi = asalkan | | <1 atau |z| > 1 ,jadi

x(n) = u(n) X(z) = , | Z | > 1

Syarat |Z| > 1 disebut dengan area ke-konvergen-an (Region of Convergence / ROC).

1

𝑧

1

𝑧2

1

1 −1𝑧

𝑧

𝑧 − 1

𝑧

𝑧 − 1

1

𝑧

1

𝑧

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhinggaSn = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Region Of Convergence (ROC)

ROC dengan bentuk |z| > r dan |z| < r.

Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) adalah X(Z) disertai

dengan Region of Convergence-nya.

Ada kemungkinan dua buah sinyal berbeda memiliki

transformasi z yang sama, namun ROC-nya berbeda.

Mari tinjau kasus berikut:

Seperti yang kita ketahui bahwa Transformasi-z dari

x1(n) = u(n) adalah X1(z) = 𝒛

(𝒛−𝟏)dengan ROC |z|> 1.

Di sisi lain, transformasi-z dari x2(n) = -u(-n -1) adalah:

Tz(x2(n)) = X2(z) = 𝑛=−∞𝑛=∞ 𝑧

_𝑛. 𝑥(𝑛)

= - 𝑛=−∞𝑛=∞ 𝑧

_𝑛. 𝑢(−𝑛 − 1)

= 𝑧

(𝑧−1)dengan ROC |z| < 1

X(n) X(z) ROC

u(n) |Z| > 1

-u(-n-1) |Z| < 1

Dengan demikian, transformasi-z yang lengkap adalah transformasi-z yang

disertai dengan nilai ROC-nya.

𝑧

(𝑧 − 1)𝑧

(𝑧 − 1)

Selanjutnya bisa kita lihat pula bahwa:

x1(n) = an u(n) dan x2(n) = -an u(-n - 1)

juga memiliki bentuk transformasi-z yang sama yaitu

, Hanya ROC nya yang berbeda.

X(n) X(z) ROC

an u(n) |Z| > a

-an -u(-n-1) |Z| < a

𝑧

(𝑧 − 𝑎)

𝑧

(𝑧 − 𝑎)𝑧

(𝑧 − 𝑎)

Pasangan Umum Transformasi Z

𝑥(𝑛) 𝑋(𝑧) ROC𝜕(𝑛) 1 Semua z

𝑎𝑛𝑢(𝑛) 1

1 − 𝑎𝑧−1=

𝑧

𝑧 − 𝑎𝑧 > 𝑎

−𝑎𝑛𝑢(−𝑛 − 1) 1

1 − 𝑎𝑧−1=

𝑧

𝑧 − 𝑎𝑧 < 𝑎

𝑛𝑎𝑛𝑢(𝑛) 𝑎𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 2 =𝑎𝑧

𝑧 − 𝑎 2𝑧 > 𝑎

−𝑛𝑎𝑛𝑢(−𝑛 − 1) 𝑎𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 2=

𝑎𝑧

𝑧 − 𝑎 2𝑧 < 𝑎

cos 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛) 1 − cos𝜔0 𝑧−1

1 − 2 cos𝜔0 𝑧−1 + 𝑧−2= 𝑧 > 1

sin 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛) sin 𝜔0 𝑧−1

1−2 cos 𝜔0 𝑧−1+𝑧−2=

𝑧 > 1

ancos 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛) 1 − cos𝜔0 𝑧−1

𝑎−2 − 2 cos𝜔0 𝑧−1 + 𝑧−2= 𝑧 > 1

ansin 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛) sin𝜔0 𝑧−1

𝑎−2 − 2 cos𝜔0 𝑧−1 + 𝑧−2= 𝑧 > 1

20

20

cos2 cos 1

z zz z

0

20

(sin )2 cos 1

zz z

20

2 20

cos2 cos

z zz z a

0

2 20

sin2 cos

zz z a

Sifat Transformasi Z

No Sifat 𝑥(𝑛) 𝑋(𝑧) ROC

1 Linieritas 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏𝑦(𝑛) 𝑎𝑋 𝑧 + 𝑏𝑌(𝑧) 𝑅𝑥 ∩ 𝑅𝑦

2 Pergeseran 𝑥(𝑛 − 𝑛0) 𝑧−𝑛0𝑋(𝑧) 𝑅𝑥

3 Pencerminan pada sumbu vertikal 𝑥(−𝑛) 𝑋(𝑧−1) 1 𝑅𝑥

4 Penskalaan pada domain z 𝑎𝑛𝑝(𝑛) 𝑃(𝑎−1𝑧) 𝑎 𝑅𝑥

5 Konvolusi 𝑝 𝑛 ∗ 𝑞(𝑛) 𝑃 𝑧 𝑄(𝑧) 𝑅𝑥 ∩ 𝑅𝑦

6 Turunan/perkalianx(n) dengan n 𝑛𝑥(𝑛) −𝑧𝑑𝑋(𝑧)

𝑑𝑧𝑅𝑥

Sifat-Sifat Transformasi Z

Sifat 1 ini disebut sifat linier dari transformasi-Z. Sifat ini berguna untuk

menghitung transformasi-z dari jumlah dua atau lebih sinyal.

Sifat 2 ini disebut sebagai sifat pergeseran pada sumbu waktu atau x(n).

Sifat 3 ini disebut juga sebagai pencerminan pada sumbu vertikal dari

Sifat 4 ini disebut juga sebagai sifat penskalaan pada domain-z.

Sifat 5 menyatakan bahwa konvolusi di domain waktu adalah sama dengan

perkalian di domain-z.

Sifat 6 ini adalah perkalian x(n) dengan n.