web viewsuatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis g adalah suatu transformasi yang...
TRANSCRIPT
ISOMETRI
Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis g adalah
suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan
suatu isometri.
Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri
memiliki sifat-sifat berikut :
Teorema 4.1 : sebuah isometri bersifat :
a. memetakan garis menjadi garis
b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
c. mengawetkan kesejajaran dua garis
Bukti :
a. Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri.
Kita akan membuktikan bahwa T(g)=h adalah suatu garis juga.
B B’
A’
gh
Gambar 4.1
Ambil A g dan B g. Maka A’ = T(A) h, B’=T(B) h ; melalui A’ dan B’ ada
suatu garis, misalnya h’. Akan kita buktikan h=h’.
(i) Bukti h’ h
Ambil X’ h’ . oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, kita andaikan
(A’X’B’), artinya A’X’ + X’B’ = A’B’. Oleh karena T suatu isometri, jadi suatu
transformasi maka ada X sehingga T(X) = X’ dan oleh karena T suatu isometri maka AX=
A’X’. Jadi pula AX + XB = AB. Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g.
Ini berarti lagi bahwa X’ = T(X) h.
Sehingga h’ h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X’ dengan (A’X’B’) atau (A’B’X’).
(ii) Bukti h h’
Ambil lagi Y’ h.
Maka ada Y g sehingga T(Y) = Y’’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y g
dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah isometri maka AY= A’Y’, YB=Y’B’ , AB= A’B’
Sehingga A’Y’ + Y’B’ = A’B’. Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris, yaitu garis
yang melalui A’ dan B’.
Oleh karena h’ satu-satunya garis yang melalui A’ d an B’ maka Y’ h’ . Jadi,
haruslah h h’.
Bukti serupa berlaku untuk keadaan (Y A B) atau (A B Y). Sehingga h= h’ . Jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.
b. Ambil sebuah ABC.
Akan ditunjukkan m( ABC)=m( A’B’C’)
A
B Gambar 4.2C
(a) (b)
Andaikan A’ = T(A), B’ = T(B), C’ = T(C).
Menurut (a), maka A’B’ merupakan peta dari AB dan B’C’ merupakan peta
dari BC adalah garis lurus. Karena AB dan BC merupakan garis lurus maka
A’B’ dan B’C’ merupakan garis lurus.
Karena ABC = BA BC maka A’B’C’ = B’A’B’C’ .
Perhatikan ABC dan A’B’C’ !
A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = CA. Menurut teorema ke kongruenan jika dua
buah segitiga yang memiliki sifat S S S sama maka kedua segitiga tersebut
kongruen.
Sehingga ABC A’B’C’. Jadi, A’B’C’ = ABC.
Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sudut.
c.
a b a’b’
Gambar 4.3Kita harus memperlihatkan a’ // b’
Andaikan a’ memotong b’ di sebuah titik P ’ jadi P’ a’ dan P b’. Ini berarti
bahwa a memotong b di P, jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a//b.
Maka pengandaian a’ memotong b’ salah.
Jadi haruslah a’ // b’.
Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) Teorema 1.3 ialah bahwa apabila a b
maka T(a) T(b) dengan T sebuah isometri.
Bukti:
Dipunyai a b akan ditunjukkan T(a) T(b)
Andaikan T(a) T(b) maka terapat sudut antara T(a) dengan T(b) yang tidak sama
dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka
sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan a b. Jadi pengandaian harus dibatalkan.
Artinya T(a) T(b).
Jadi apabila a b maka T(a) T(b) dengan T sebuah isometri.
Contoh: Diketahui garis g { (x,y) | y = -x } dan garis h { (x,y) | y = 2x –
3}. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g tentukanlah persamaan garis h’=
Mg(h). Jawab :
Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema
4.1, h’ adalah sebuah garis.
Y
hg
h’O Q X
XP’’Q X
R
P
Garis h’ akan melalui titik potong antara h dan g misalnya R, sebab Mg(R) = R.
g : y = -x, h : y = 2x – 3, misalkan R(x,y). Dengan mensubsitusikan g ke dalam h
diperoleh:
y 2x - 3Û - x 2x 3Û 3x 3Û x 1
Karena y = -x, jadi y = -x. Jelas bahwa R = (1,-1); h’ akan pula melalui Q ’ = (0,-3/2). Persamaan garis h’ adalah
y y1
y2 y1
x
x
1
x2 x1
Û y (1) x 1
3 (1)
0 1
2Û y 1 x 1
1 1 2
Û y 1 1
x 12
Û y 1
x 3
02 2
Û 2 y x 3 0Û x 2 y 3 0
Dengan demikian persamaan h’ adalah : h’ = { (x,y) | x-2y-3 = 0 }
4.1 Isometri langsung dan isometri lawanPerhatikan gambar 4.9 a ini. Anda melihat suatu transformasi T yang memetakan
segitiga ABC pada segitiga A1 B1 C1 misalnya sebuah pencerminan pada garis g.
C
C B
BA A
gGambar 4.9a
Gambar 4.9b
Tampak bahwa apabila pada segitiga ABC, urutan keliling adalah A B C
adalah berlawanan dengan putaran jarum jam maka pada petanya, yaitu segitiga
A1 B1 C1, urutan kelilingnya A1 B1 C1 adalah sesuai denagn putaran jarum
jam. Pada gambar 4.9b Anda lihat juga suatu isometri, yaitu suatu rotasi
(putaran)mengelilingi sebuah titik O.
Kelak akan dibicarakan lebih mendalam tentang rotasi ini.
Di sini dikemukakan sekedar sebagai contoh. Kalau pada segitiga ABC urutan
keliling A B C adalah berlawanan arah maka pada petanya yaitu pada
segitiga A2 B2 C2 urutan keliling A2 B2 C2 tetap berlawanan dengan putaran
jarum jam.
Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita perkenalkan konsep
orientasi tiga titik yang tak segaris. Andaikan (P1, P2, P3) ganda tiga titik yang
tak segaris. Maka melalui P1, P2, dan P3 ada tepat satu lingkaran l. kita dapat
mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai P2, P3 dan akhirnya
kembali ke P1.
Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam, maka dikatakan
bahwa ganda tiga titik (P1, P2, P3) memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam (atau orientasi yang negatif). Apabila arah keliling itu berlawanan
dengan arah putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa ganda tiga titik (P1, P2,
P3) memiliki orientasi yang berlawanan dengan putaran jarum jam (atau orientasi
yang positif). Jadi pada gambar 4.9a, (A,B,C) memiliki orientasi positif
sedangkan (A 1 B1 C1) memiliki orientasi yang negatif. Pada gambar 4.9b,
orientasi (ABC) adalah positif dan orientasi (A2 B2 C2) tetap positif.
Jadi pencerminan pada gambar 4.9a mengubah orientasi sedangkan putaran pada
gambar 4.9b mengawetkan orientasi.
Definisi:
1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga
titik tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya sama dengan ganda (P1’, P 2’ , P3’)
dengan P1’ = T(P 1), P2’ = T(P 1), P3’ = T(P 3).
2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik
tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya
(P1’, P 2’, P3’) dengan P 1’ = T(P 1), P2’ = T(P 1), P3’ = T(P 3).
Definisi:
Suatu transformasi dinamakan langsung apabila transformasi itu mengawetkan
orientasi; suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transfomasi
itu mengubah orientasi. Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi kita
adalah:
Teorema 4.2 : Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan.
Teorema ini tanpa bukti.
Tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Anda dapat melihat pada gambar
4.9b. di situ isometri kita (yaitu rotasi pada titik O) adalah sebuah isometri
langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti
yaitu :
Teorema 4.3 : Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah
isometri lawan.
Soal Latihan:
1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada ganbar. Dengan menggunakan jangka
dan penggaris lukislah garis g’=M h(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h. Jawab:
2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar dibawah ini. T
adalah sebuah isometric dengan B=T(A) dan u=T(s). kalau t s, lukislah t’=T(t).
Jawab:
T(t)=t’ , A t.
t Karena B=T(A) maka B t’. Karena t s dan T isometri, maka T(t) T(s) t’ u.
Jadi, untuk melukis t’ buat garis t’melalui B yang tegak lurus u.
sA
B
u
3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada
gambar. a)Lukislah Mt(
b) hubungan apakah antara dan Mt( ?
c) lukislah Mt(l)
Jawab:
a) B
Ct
A
b) Perhatikan ABC dan A’B’C’
Karena A’=M t(A) OA’=OA
B’=M t(B) OB’=OB
C’=M t(C) OC’=OC
Diperoleh m( ABC)= m( A’B’C’)
AB=OA+OB=OA’+OB’=A’B’
m( BAC)= m( B’ A’C’).
Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ABC A’B’C’
c)
D
4. Diketahui garis t.
a) Lukislah sebuah ABCsehingga Mt( ABC)= ABC (artinya: oleh Mt, ABC dan hasil refleksi pada t berimpit)
b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
Jawab:
a) b) c)
t tt
5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}.
Tulislah sebuah persamaan garis g’ = M h(g).
Jawab:Y
g’
C
B(0, 1
)2
A’(-3,0) D X
A(1,0)
g
h:x = -1
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan ga ris menjadi garis”, dan M h(g)
= g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi Cg dan Ch.
Karena Ch maka Mh(C) = C
Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A ’ = M h(A)
Koordinat titik C
g ≡ x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0, h
≡ x = -1
substitusikan x = -1 ke persamaan garis g ≡ x + 2y = 1,
diperoleh: -1 + 2y – 1 = 0 2y =2 y = 1
Jadi C(-1,1)
Kordinat A’ = M h(A)
Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu
X. AD = xA – xD = 1- (-1) = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 =
4 Misal titik A’(x ’, y’)
Absis titik A’ adalah 1 - 4 = -3
Diperoleh x’ = -3 dan y’ = y = 0
Jadi, A’(-3,0)
Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan A’(-3,0)
Persamaan garis g’: y y1 x x1 Û y 1 x (1)y y x x 3 (1)
2 20 1
1 1
Û y 1 = x 1 21
Û y 1 =x 12
Û y = 1 x 1 12 2
Û y = 1 x 32 2
Û x 2 y 3 0
Jadi, g’ = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0}
6. Diketahui garis g = {(x,y) |3x - y + 4= 0} dan h = {(x,y) |y = 2}.
Tulislah persamaan garis g’ = M h(g).Y
gJawab:
A(0,4)
D hC
B( 4A’(0,0)
X,0)3
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan ga ris menjadi garis”, dan M h(g)
= g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(4,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu Y.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi Cg dan Ch.
Karena Ch maka Mh(C) = C
Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A ’ = M h(A)
Koordinat titik C
g ≡ 3x - y + 4= 0, h ≡ y = 2
substitusikan y = 2 ke persamaan garis g ≡ 3x - y + 4= 0, diperoleh:
3x – 2 + 4= 0 3x = -2 x = 2
3
Jadi C( 2
,2)3
Koordinat A’ = M h(A)
Titik D(0,2) adalah titik potong h dengan sumbu
Y. AD = yA – yD = 4-2 = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 =
4 Misal titik A’(x ’, y’)
Ordinat titik A’ adalah 4 - 4 =
0 Diperoleh y’ = 0 dan x’ = x =
0 Jadi, A’(0,0)
Jadi, g’ melalui titik C( 2
,2) dan A’(0,0)3
Persamaan garis g’: y y1 y2 y1
Jadi, g’ = {(x,y) | 3x y 0 }
x x1 y 2x ( 2 )
Û 3x2 x1 0 2 ( 20 )
3
y 2x 2
Û =3
2 23
Û y 2 = -2 ( 3
x 1) 2
Û y = -3x -2 +2
Û y = -3x
Û 3x y 0
7. Diketahui garis-garis g = {(x,y) | y = 0}, h = {(x,y) |y = x}, dan k = {(x,y) |x = 2}.
Tulislah persaman garis-garis berikut;
a). Mg(h) b). Mh(g)
c). Mg(k) d). Mh(k)
jawab: a).
Yh: y=x
A
X
A’
h’: y=-x
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M g(h) =
h’, maka h’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, Og dan Oh.
Karena Og maka Mg(O) = O
Jadi h’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di h, misal A(1,1), maka h’ juga akan melalui A’ = M g(A).M g
A(x,y) A’(x,-y) , g = {(x,y) | y = 0}M
g
Jadi, A(1,1) A’(1,-1)
Jadi, garis h’ melalui titik O(0,0) dan A’(1,-1)
Persamaan garis h’:
y y1 x x1 Û y 0 x 0 Û y xy y x x
2 21 0 1 0
1 1
Jadi, h’ = {(x,y) | y = -x}.
b).Y
h: y=x
C’(0,1)
X g:y=0C(1,0)
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M h(g) =
g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, Og dan Oh.
Karena Oh maka Mh(O) = O
Jadi g’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di g, misal C(1,0), maka g’ juga akan melalui C’ = M h(g).M g
C(x,y) C’(y,x)M g
Jadi, C(1,0) C’(0,1)
Jadi, garis g’ melalui titik O(0,0) dan C’(0,1)
Persamaan garis g’:
y y1
x x1Û
y 0
x 0 Û x 0
y y x x2 2
1 00 01 1
Jadi, g’ = {(x,y) | x = 0}.
c). Y k: y=2
1 B(2, )
2
X : gP(2,0)
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M g(k) =
k’, maka k’ adalah sebuah garis.
Titik P(2,0) merupakan titik potong antara garis g dan k. Jadi, Pg dan Pk.
Karena Pg maka Mg(P) = P, maka k’ akan melalui titik P(2,0)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2, 1
), maka k’ juga akan melalui B’ = M g(B). 2M
g
B(x,y) B’(x’,y’) = B’(x,-y)
1M
g
1Jadi, B(2, ) B’(2,- )22
Jadi, garis k’ melalui titik P(2,0) dan B’(2,- 1 )2
Jadi, k’ = k = {(x,y) | x = 2}.
d). Y k h
B’(0,2)
B(2,0) X g
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M h(k) =
k’ , maka k’ adalah sebuah garis.
Titik A(2,2) merupakan titik potong antara garis h dan k. Jadi, Ah dan Ak.
Karena Ah maka Mh(A) = A
Jadi k’ akan melalui titik A(2,2)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2,0), karena h: y = x maka Mh(B) = (0,2) =
B’. Jadi k’ melalui A dan B’
Persamaan garis k’:
y y1
x x1Û
y 2
x 0 Û y 2
y y x x2 2
2 2 2 01 1
Jadi, g’ = {(x,y) | y=2}.
8. Jika g = {(x,y) | y = x} dan h = {(x,y) |y = 3 – 2x }, tentukan persamaan garis Mg(h). Jawab:
Y
B(0,3) g: y=x
C’(0, A2 B’(3,0) X3
C( ,0)2
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M g(h)=h’,
maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, Ag dan Ah.
Karena Ag maka Mg(A) = A
Jadi h’ akan melalui titik A
Ambil titik B(0,3) dan C( 3
,0) karena g: y = x maka Mg(B) = B’ dan M g(C)=C’. 2
Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
y y1 x x1 Û
y 0
x 3y2 y1 x2 x1 3 0 0 3
2
Û3y 3
x 9
2 2
Û 6 y 3x 9
Û 3x 6 y 9 0
Jadi, h’ = {(x,y) | 3x 6 y 9 0 }.
9. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}, selidikilah apakah A(-2,-4) terletakpada garis h’ = M g(h).
YJawab:
B’(0,3)h: 3y=x+3
DC(0,1)
B(-3,0)X
C’
g: y=-x
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M
g(h)=h’ , maka h’ adalah sebuah garis.
Titik D merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, Dg dan Dh.
Karena Dg maka Mg(D) = D Jadi h’ akan melalui titik D
Ambil titik B(-3,0) dan C(0,1) karena g: y = - x maka Mg(B) = B’ dan M
g(C)=C’. Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
y y1
x x1Û
y 0
x (1) Û y ( x 1)3 Û y 3x 3
y y x x2 2
3 0 0 (1)1 1
Jadi, h’ = {(x,y) | y 3x 3 }
Akan diselidiki apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = M g(h)
Substitusikan A(-2,-4) pada h’: y = 3x + 3
Maka h’ : -4 = 3(-2) + 3
-4 = -3 ( pernyataan yang salah)
Diperoleh A(-2,-4) tidak memenuhi persamaan h’: y = 3x + 3, artinya A(-2,-4) tidak
terletak pada garis h’ = M g(h)10. Diketahui lingkaran l= x, y: x 22 y 32 4
T sebuah isometri yang memetakan titik A(2,3) pada A’(1,-7). Tentukan persamaan
himpunan T(l). Apakah peta l juga lingkaran?
Jawab:l = x, y: x 22 y 32 4A’=T(A) dengan A(2,3) dan A’(1,-7).
L adalah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari=2.
Karena A adalah pusat lingkaran l, maka A’=(1,-7) adalah pusat lingkaran l’=T(l). Sehingga T(l)=l’= x, y: x 12 y 72 4Peta l yaitu l’ adalah lingkaran karena isometri T mengawetkan besarnya sudut yaitu
360o.
11. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga g ’=M k(g), dan h’=M k(h). Apabila
g’//h’ buktikan bahwa g//h.
Jawab:
Dipunyai
g’//h’. Adt g//h
Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri Mk mengawetkan
kesejajaran 2 garis, diperoleh g’ tidak sejajar dengan h.
Padahal dipunyai g’//h’, maka pengandaian harus dib atalkan. artinya, g//h.
12. Diketahui garis-garis g, h, dan h’ sehingga h’=M g(h). Apakah ungkapan-ungkapan di
bawah ini benar?a. Jika h’//h, maka h//g.
b. Jika h’=h maka h=g.
c. Jika h’ h={A}, maka A g.
Jawab:h’ g ha. Benar
b. Benar h’gh
c. Benar
hh'
g
13. Buktikan sifat berikut: Apabila g h maka Mh(g)=g. Apakah ini berarti bahwa apabila P
g maka Mh(P)=P?
Jawab:
Dipunyai g h.
Adt Mh(g)=g.
Karena Mh mengawetkan besarnya dua sudut yaitu sudut antara g dan h sebesar 90o,
maka sudut antara g’ dan h juga 90 o. Sehingga g’ merupakan pelurus g. Jadi, g’ berimpit dengan g sehingga Mh(g)=g.
Kasus I. P g, P h maka Mh(P)=P. P P’ g
h
Kasus II. P g, Ph. Karena Mh isometri maka OP=OP’. Diperoleh P=P’.Jadi,Mh(P) P. P P’ g
h
15. Jika g = {(x,y) | y = 2x + 3} dan h = {(x,y) |y = 2x + 1}, tentukan persamaan garis h’ =
Mg(h).
Jawab:Y h’
gE
h
D(0,3)
B(0,1)F C
1 ,0)X
A( 2
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan M g(h) =
h’ , maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A(- 1
,0 ) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu X. 2
Titik B(0,1) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Titik C(- 3
,0 ) merupakan titik potong antara garis g dengan sumbu X. 2
Titik D(0,3) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Sehingga AC =1, BD =1
Diperoleh h’ memotong sumbu X di titik F(- 5
,0) 2
h’ memotong sumbu Y di titik E(0,5)
Persamaan garis h’ melalui F dan E sehingga persamaan g’:
y y1 x x1 y 0
x ( 5 )
Û 2 Û 5y 5(x 5
) Û 5 y 10x 25
y2 y1 x2 x1 5 0 0 ( 5 ) 2 22
Û y 2x 5 0
Jadi, h’ = {(x,y) | y 2x 5 0 }
16. Suatu transformasi T ditentukan oleh T(P)=(x+1,2y) untuk semua P(x,y).
a. Jika A(0,3) dan B(1,-1) tentukan A’=T(A) dan B’= T(B). Tentukan pula persamaan
AB dan A'B' .
b. Apabila C(c,d) AB selidiki apakah C’=T(C) AB
c. Apabila D’(e,f) AB selidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
d. Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka peta
sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar?
Jawab:
T(P)=(x+1,2y) P(x,y)
a. A(0,3), B(1,-1)
A’=T(A)=(0+1,2x3)=(1,6)
B’=T(B)=(1+1,2x(-1))=(2,-2)
AB y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
Û y (1) x 13 (1) 0 1
Û y 1 x 14 1
Û y 1 4x 4Û y 4x 3 0
A'B' y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
Û y (2) x 26 (2) 1 2
Û y 2x 2
8 1Û y 2 8x 16Û y 8x 14 0
b.C(c,d) AB
A'B'Akan diselidiki C’=T(C)
A'B' merupakan peta dari AB .Karena A’=T(A), B’=T(B), maka
Sehingga jika C AB maka C’=T(C) A'B'
c. D’(e,f) AB diselidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
Karena A'B' merupakan peta AB maka jika D’ AB pasti D AB .
d.Dipunyai h’ adalah garis.
Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h’=T(h).
Andaikan h bukan garis maka h’=T(h) bukan
garis. Padahal dipunyai h’ garis.
Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, h suatu garis .
Jadi, jika h’ garis maka h juga garis dengan h’=T(H ).
18. Ada berapa refleksi garis dengan sifat berikut:
a. Sebuah segitiga sama kaki direfleksi pada dirinya sendiri?
b. Sebuah persegi panjang direfleksi pada dirinya sendiri?
c. Sebuah segiempat beraturan direfleksi pada dirinya sendiri?
Jawab:
a. 1 refleksi
b. 2 refleksi
c. 4 refleksi
Soal Latihan:1. Pada gambar 4.10, ada tiga titik tidak segaris, yaitu P, Q, R; T dan S adalah isometri-
isometri dengan P’
= T(P), R’= T(R) sedangkan P
’’ ’’ P’’ ’’= S(R).= S(P), Q = S(Q), R
Termasuk golongan manakah T dan S itu? P’’
Q R’
P’ P’’
Q’
R’
P Q’
Jawab :
R’ P’’
Q
P’ P’’
Q’
R’
PQ’
Jadi :
T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung.
2.Isometri T memetakan A pada X; B pada Y dan C pada Z. apabila T sebuah isometrilawan tentukan titik Z.
A
CB
X
Z Y3. Sebuah isometri S memetakan D pada W, E pada Z dan F pada U. Apabila S sebuah
isometri langsung, tentukan U.
Jawab:
D Z
F
E W
4. Diketahui sebuah titik A dan dua transformasi T dan S yang didefinisikan sebagai
berikut: T(A)=A, S(A)=A. Jika P A, T(P)=P’ dan S(P)=P’’. P’ adalah titik tengah
ruas garis AP sedangkan A titik tengah PP'' . Termasuk golongan manakah masing-
masing trnsformasi S dan T itu?
Jawab:
T(A)=A, S(A), jika P A T(P)=P’,S(P)=P”
Ilustrasi:
P” A P’ P
Dari gambar diperoleh S isometri berlawanan karena PA P" A
Dan T isometri langsung karena PA P' A
5. Tentukan koordinat-koordinat titik P pada sumbu X sehingga APO
BPX . Diketahui bahwa A=(0,3) dan B=(6,5).
Jawab:
A=(0,3) dan B=(6,5).Agar APO BPX maka,
tan tan
Û 3 5B x x6
A Û 18 3x 5x
Û x 18
α β8
9x A 6-x4
Jadi, agar APO BPX maka P(9/4,0)
6. Sebuah sinar mamancar dari titik A(6,4) dan diarahkan ke titik P(2,2) pada sebuah
cermin yang digambar sebagai garis g = {(x,y) |y = x}. Ada sebuah garis h = {(x,y) |x
= -1}. Sinar yang dipantulkan memotong garis h pada sebuah titik Z. Tentukan
koordinat- koordinat titik Z.
Jawab:
Yg; y=x
A’
A(6,4)
X
Z
Koordinat A’(4,6)
Persamaan sinar A’Py
y
1 x
x
1 y2 y1 x2 x1
Û y 6 x 4 2 6 2 4
Û 2( y 6) 4(x 4)Û 2 y 12 4x
16Û 2 y 4x 4 0
Jika x = -1 maka 2y + 4 +4 =0
Jadi, y = -4
Jadi, koordinat Z(-1,-4)
h: x=-1
7. Diketahui garis-garis g dan h dan titik-titik P dan R.
Diketahui bila bahwa P’=M g(P), P”=M h(P’), R’=M g(R), dan R”=M h(R).
a. Lukislah P’ dan R”
b. Bandingkan jarak PR dan P”R”
Jawab:
g
R
P h
Karena PR = P’R’ (isometri mengawetkan jarak)
Maka jarak P’ dengan h = jarak P’’ dengan h
Jarak R’ dengan h = jarak R’’ dengan h
Jadi jarak P’R’ = jarak P’’ R’’
Karena jarak PR = jarak P’R’ dan jarak P’R’ = jarak P’’ R’’ , maka jarak PR = jarak
P’’ R’’ .
8. Diketahui bahwa T dan S adalah padanan- padanan sehingga untuk semua titik P
berlaku T(P) = P’ dan S(P’) = P’’.
W adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk semua P sebagai W(P) =
P’’. Apakah W suatu transformasi?.
Jawab:
W suatu fungsi sehingga titik P P” S W(P) = P”.
Ditunjukkan W surjektif
Pikirkan sebarang titik A(x,y)T S
Jelas A(x,y) A’(x’,y’) A”(x”,y”), atauW
A(x,y) A”(x”,y”)
Jadi, titik A A” S W(P) = P”.
Jadi, W surjektif.
Ditunjukkan W injektif
Pikirkan sebarang titik B(x,y) dan C dengan B≠C.W
Jelas B B” = W(B)W
C C” = W(C) , dengan W(B) ≠ W(C)
Jadi, titik B dan C dengan B ≠ C berlaku W(B) ≠ W(C).
Jadi, W injektif.
Jadi, karena W surjektif dan injektif maka W merupakan transformasi.
10. Diketahui sebuah garis g dan titik A, A’ dan B sehingga Mg(A) = A’ dan garis AB // g. Dengan menggunakan suatu penggaris saja tentukan titik B’ = M g(B)
Jawab:
A B
g
A’ B’