bab vi bilangan real...ubahlah ke pecahan campuran . b. perkalian dan pembagian bilangan rasional...
TRANSCRIPT
126
BAB VI
BILANGAN REAL
PENDAHULUAN
Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam
himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian,
misalkan 3 : 11. Timbul pertanyaan, dapatkah kita memperluas sistem bilangan
bulat agar pembagian selalu mempunyai penyelesaian, kecuali pembaginya adalah
nol?
Dalam proses perluasan sistem ini, kita permasalahkan penyelesaian 1 : a =
x, a > 1, atau berapakah x supava ax = 1? Tidak ada bilangan bulat x sehingga ax
= 1 bukan?
Penyelesaian persamaan itu ditunjukkan sebagai , sehingga a( ) = 1.
Bilangan dinamakan invers perkalian bilangan a. Hanya ada satu bilangan bulat
yang tidak mempunyai invers perkalian yaitu nol. Mengapa?
Seperti di atas juga dapat dipemasalahkan penyelesaian 3 : 11 = x.
Berapakah x agar 11.x = 3. Misalkan kita dapat menemukan bilangan baru
sehingga 11 . = 3. Secara umum, = a akan mempunyai penyelesaian , b ≠
0. Bilangan baru ini dinamakan bilangan rasional.
Selanjutnya, ternyata dalam sistem bilangan rasional, bilangan-bilangan
tertentu tidak mempunyai akar pangkat dua atau akar pangkat tiga. Misalkan
persamaan x2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistem bilangan rasional
sebab tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan diri sendini sama
dengan 2. Dengan demikian, diperlukan untuk memperluas sistem bilangan
rasional ke sistem bilangan baru yang disebut sistem bilangan real.
A. Bilangan Rasional
Pada waktu Anda masih duduk di Sekolah Dasar, Anda sudah
dikenalkan lambang bilangan sebagai pecahan. Sesungguhnya
pecahan digunakan untuk menyatakan
127
1. Suatu pembagian
2. Suatu bagian dari
3. Suatu elemen dari sistem matematika.
Misalnya kita akan melakukan pembagian 3 : 4. Jelas bahwa
pembagian ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan
bulat.
Sekarang, kita akan mendefinisikan bilangan baru, yang dinyatakan
oleh pecahan demikian sehingga 4. = 3.
Secara umum, a : b dengan b ≠ 0 mempunyai jawab yang dinyatakan
oleh atau demikian sehingga b. = a.
Pecahan juga menyatakana suatu bagian dari, misalnya berarti
empat dari lima bagian yang sama.
Perhatikan gambar 4.1.
Gambar 6.1
Jika dibandingkan bagian daerah yang diarsir terhadap daerah
seluruhnya, gambar 4.1.a menunjukkan gambar 4.1.b menunjukkan dan
gambar 4.1.c menunjukkan .
Pengertian yang sama akan ditunjukkan dengan ruas-ruas garis yang
sama pada garis bilangan, kemudian dibagi menjadi empat ruas garis yang
sama. Masing-masing ruas garis itu menyatakan satu bagian dari empat
bagian yang sama, ditunjukkan . Berikutnya , .
Perhatikan gambar 4.2!
128
Gambar 6.2
Dengan demikian dalam membicarakan konsep pecahan dengan
menggunakan garis bilangan, setiap satuan interval dibagi menjadi ke dalam
ruas-ruas garis yang sama. Sebagai contoh, membagi setiap satuan dibagi
menjadi tiga ruas garis yang sama seperti pada gambar 4.3.
Gambar 6.3
Secara umum, pecahan dapat dinyatakan pada garis bilangan.
Penyebut pecahan, yaitu b, menyatakan banyaknya bagian dari pembagian
satu satuan, dan b ≠ 0. Pembilang pecahan a, menyatakan banyaknya bagian
yang dimaksudkan.
Selanjutnya, perhatikan gambar 4.4. Pada gambar 4.4, suatu persegi
panjang dibagi. menjadi 4 bagian yang sama, 8 bagian yang sama, dan 16
bagian yang sama. Jika bagian daerah yang diarsir dibandingkan terhadap
daerah seluruhnya, maka menunjukkan 1 bagian dari 4 bagian yang sama
(dinyatakan ) atau 2 bagian dari 8 bagian yang sama (dinyatakan ), atau
4 bagian dan 16 bagian yang sama (dinyatakan ) Perhatikan bahwa ,
dan masing-masing menyatakan daerah yang diarsir yang sama.
129
Gambar 6.4
Dengan cara yang sama, perhatikan titik-titik garis bilangan pada
gambar 4.5. Suatu titik pada garis bilangan dinyatakan oleh macam- macam
pecahan berbeda yang tak terhingga. Sebagai contoh , dan , semuanya
menyatakan titik atau bilangan yang sama.
Pecahan-pecahan yang menyatakan bilangan yang sama pada garis
bilangan disebut pecahan yang ekuivalen. Tanda (lambang) ekuivalen
kadang-kadang dinyatakan oleh “ ≈ “, tetapi sering menggunakan tanda “ =
“, misalnya = = .
Gambar 6.5
Konsep di atas didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari
pasangan berurutan bilangan bulat a dan b (dengan b ≠ 0) yang
merupakan penyelesaian pesamaan bx = a, ditulis atau a : b.
Contoh 1:
130
3 : 11 dapat ditulis sebagai , yang berarti 11. = 3
Contoh 2 :
-4 : 7 dapat ditulis sebagai yang berarti 7.( ) = -4
Selanjutnya perhatikan 6 : 3 dapat ditulis , tetapi 6 : 3 = 2. Juga, 2 =
-4 : -2, dan -4 : -2 dapat ditulis . Jadi = menyatakan bilangan
yang sama.
Definisi : Pecahan dan , b ≠ 0 dan d ≠ 0 adalah ekuivalen jika hanya
jika ad = bc.
Contoh 1 :
sebab 2.14 = 7.4
Contoh 2 :
sebab 1.12 = 3.4
Himpunan pecahan yang ekuivalen disebut kelas pecahan ekuivalen.
Kelas pecahan ekuivalen dari adalah :
Kelas pecahan ekuivalen dari adalah
Kelas pecahan ekuivalen dari 0 adalah
Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa himpunan semua
pecahan dapat dipisahkan menjadi kelas-kelas pecahan yang ekuivalen.
Teorema Dasar Pecahan
Untuk sembarang pecahan , dengan b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat
c, c ≠ 0, berlaku :
Bukti:
Gunakan definisi pecahan-pecahan ekuivalen. Kerjakan sebagai latihan.
131
Definisi : Pecahan , dengan b > 0 merupakan pecahan sederhana, jika faktor
persekutuan terbesar dan a dan b adalah 1.
Contoh 1 : adalah pecahan sederhana, sebab FPB (3, 7) = 1
Contoh 2 : bukan pecahan sederhana, sebab FPB (4, 8) = 4 ≠ 1.
Definisi : Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan
dengan untuk a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam lambang desimal,
sebagai pasangan terurut (a, b) atau sebagai perbandingan a : b, tetapi sangat
sering dinyatakan sebagai pecahan.
Contoh :
Pecahan menyatakan hilangan rasiona1
Seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan bulat,
bilangan rasional juga merupakan konsep abstrak dalam matematika.
Lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional
adalah sebarang pecahan dan kelas ekuivalennya.
Perhatikan kernbali gambar 4.5. Gambar tersebut menyatakan
pecahan-pacahan dalam kelas-kelas ekuivalen yang ditunjukkan oleh sebuah
titik pada garis bilangan. Hal ini merupakan titik yang dikaitkan dengan
bilangan rasional. Menurut definisi, jika bilangan pecah (dengan b ≠ 0)
adalah bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan bx = a, maka
bilangan rasional adalah penyelesaian persamaan bxn = a.
Definisi : Dua bilangan rasional sama jika dan hanya jika keduanya
dinyatakan oleh pecahan-pecahan dari suatu kelas-kelas ekuivalen
yang sama.
Con toh :
Jika menyatakan bilangan rasonal a, dan menyatakan bilangan
rasional b, maka a = b jika dan hanya jika =
1. Operasi pada Bilangan Rasional
132
a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional
Telah dipelajari, pada pEnjumlahan bilangan bulat 2 + 3 = 5.
Sekarang akan dicari penjumlahan bilangan rasional . didapat
bahwa
Perhatikan gambar 4.6 berikut.
Gambar 6.6
Secara umum didefinisikan penjumlahan bilangan rasional , untuk
dan bilangan-bilangan rasional.
Selanjutnya untuk penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan
oleh pecahan yang mempunyai penyebut sama tetapi bukan 1. Misalkan
akan dicari jumlah
Gambar 6.7
Perhatikan gambar 4.7.
Secara umum, untuk dan bilangan rasional.
133
Selanjutnya akan dibicarakan penjumlahan bilangan rasional yang
dinyatakan oleh pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama. Misalkan
akan dicari jumlah dan . Telah diketahui bahwa dan
= , sehingga .
Secara umum, didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Jika dan , bilanganbilangan rasional dengan b ≠ 0 dan d
≠ 0, maka
Contoh 1 :
Contoh 2:
Sampai sekarang telah dipelajari sistem bilangan cacah dan sistem
bilangan bulat. Bilangan bulat mempunyai semua sifat yang dimiliki bilangan
cacah ditambah satu sifat tentang penjumlahan yaitu : setiap bilangan bulat,
mempunyai invers penjumlahan tunggal. Demikian pula bilangan rasional
mempunyai semua sifat bilangan bulat ditambab sifat, bahwa bilangan
rasional, kecuali (atau 0) mempunyai invers perkalian.
Elemen identitas penjumahan bilangan rasional, dapat ditulis sebagai
, karena , untuk setiap bilangan rasional. Karena
maka selalu digunakan untuk menyatakan elemen identitas
penjumlahan.
Untuk setiap bilangan rasional ada invers penjumlahan -
karena + - = 0 Selanjutnya perhatikan berikut ini.
Dengan cara yang sama,
134
Jadi -( ), dan adalah invers penjumiahan dari .
Apakah -( ), dan menyatakan bilangan rasional yang sama?
Seianjutnya, untuk operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat
tertutup, komutatif, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai
invers penjumiahan.
Definisi : Penyebut persekutuan terkecil pecahan-pecahan adalah kelipatan
persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan itu.
Penyebut persekutuan terkecil pecahan digunakan untuk menyamakan
penyebut pecahan dalam rangka untuk menjumlahkan bilangan rasionai yang
dilambangkan oleh pecahan itu.
Contoh 1 :
= =
Contoh 2 :
=
Definisi : Untuk dan bilangan-bilangan rasional. Pengurangan
bilangan rasional dari (ditulis - ) adalah bilangan
rasional jika dan hanya jika = +
Contoh 1 :
Con toh 2 :
Definisi : Pecahan tidak Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih
besar atau sama dengan penyebutnya.
135
Pecahan Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dan
penyebutnya.
Contoh 1 :
Ubahlah . ke pecahan tidak sejati
Perhatikan bahwa disebut Pecahan campuran.
Contoh 2 :
Ubahlah ke pecahan campuran .
b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional
Sudah diketahui bahwa pada perkalian bilangan bulat, 3 x 4 = 12.
Sekarang, akan didefinisikan perkalian bilangan rasional.
Telah diketahui :
Jawab dari adalah bilangan rasiona1 yang dapat diperoleh dengan
mengalikan pembilang-pembilangnya dan penyebut-penyebutnya.
Selanjutnya akan dicari . Untuk menggambarkan dapat
diilustrasikan dengan membagi suatu luasan menjadi 21 bagian yang sama.
Arsirlah 2 dari 3 bagian yang sama, kemudian arsirlah 4 dari 7 bagian yang
sama yang lain. Dengan pengamatan terlihat dua bagian yang terarsir dua
kali, yang menggambarkan
Perhatikan gambar 4.8!
136
Gambar 6.8
Perhatikan bahwa dan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang-
pembilangnya dan penyebut-penyebutnya.
Misalkan bilangan. rasional dipikirkan sebagai penyelesaian dari
persamaan 3x = 5. Jadi, 3 . = 5 atau . Berarti bahwa, definisi
perkalian nanti untuk . harus demikian sehingga mempunyai jawab .
Salah satu bilangan rasional yang sama dengan adalah . Hal ini dapat
diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilang dan penyebut-penyebut
dan -. Konsep-konsep tersebut menunjukkan alasan definisi perkalian
bilangan rasional berikut.
Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional maka
Contoh 1 :
Contoh 2 :
Con oh 3:
Sekarang, carilah :
Menurut definisi
Secara umum untuk setiap bilangan rasional .
137
Selanjutnya, sebagai latihan, buktikan bahwa operasi perkalian bilangan
rasional tertutup, komutatif, assosiatif, distributif terhadap penjumlahan, ada
elemen identitas, dan ada elemen invers.
Teorema
Untuk . ) dan bilangan-bilangan rasional
1) Jika = ) maka . = .
2) Sifat konselasi perkalian
Jika - = . dengan ≠ , maka =
Bukti :
Untuk bukti. 1) sebagai berikut :
= Diketahui
ad = bc Mengapa?
(ad)(ef) = (bc)(ef) Mengapa?
[a(de)]fn = b[(ce)f] Mengapa?
[a(ed)]f = b[(ce)f] Mengapa?
(ae)(df) = (bf)(ce) Mengapa?
Mengapa?
. = . Mengapa?
Teorema
Untuk . , , , bilangan-bilangan rasional
Jika = dan = maka . = .
Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional, dengan ≠ 0, maka
: adalah bilangan rasional jika dan hanya jika = .
Contoh 1 :
138
Contoh 2 :
Contoh 3 :
Definisi : Pembagian sebagai perkalian.
Jika ada, maka : = . , adalah invers perkalian atau
kebalikan dari .
Contoh 1 :
Contoh 2 :
2. Sifat-sifat Bilangan Rasional
Untuk setiap bilangan rasional , , , , dan berlaku sifat-sifat berikut
mi.
1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian
+ adalah bilangan rasional
, adalah bilangan rasional
2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian
+ = +
. = .
3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian
( + ) + = + ( + )
( . ) . = . ( . )
4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan
. ( + ) = . + .
5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian
139
Ada bilanganrasional tunggal , sehingga : + = + =
Ada bilangan rasional tunggal , sehingga . = . =
6) Ada elemen invers penjurniahan dan perkalian
Untuk setiap ada invers penjumlahan,
, sehingga + = + =
Untuk setiap ≠ 0 ada invers perkalian
, sehingga . = . =
7) Perkalian dengan nol
. =
Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional, dari dua operasi,
penjumlahan, dan perkalian , dengan sifat-sifat tersebut, membentuk suatu sistem
bilangan rasional.
LATIHAN
Kerjakan tugas berikut sebagai latihan!
1. Tulis tujuh pecahan yang ekuivalen dengan pecahan berikut:
a) b) c)
2. Tulislah rnasing-inasing pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana
a) b)
3. Tulislah masing-masing tujuh anggota himpunan yang ditentukan, jika a dan b
bilangan-bilangan cacah dan b ≠ 0.
a) {x │ x = dan a + b = 9}
b) {x│ x = dan a + b < 11}
c) {x │ x = dan a - b = 0}
d) {x │ x = dan a – b = 4}
e) (x │ x = dan a + b < 5}
140
4. Carilah pecahan yang ekuivalen dengan . sehingga hasil kali pembilang dan
penyebutnya 224.
5. a) Jika a = c, apakah = ? Mengapa?
b) Jika b = d, apakah . = ? Mengapa?
c) Jika = dan b = d, apakah c = a? Mengapa?
3. Urutan Bilangan Rasiorial
Pada garis bilangan, bilangan rasional kurang dari jika terletak di
sebelah kiri . Perhatikan garis bilangan pada gambar 4.9. kurang dari
karena terletak di sebelah kiri .
Gambar 6.9
Kita dapat mendefinisikan kurang dari untuk bilangan rasional sehingga
konsisten dengan definisi untuk bilangan cacah dan bilangan bulat :
Definisi : < , jika dan hanya jika ada bilangan rasional positip
sehingga + =
Selanjutnya, perhatikan bahwa jika diketahui dan bilangan-
bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, dapatkah
dibuktikan bahwa < jika dan hanya jika ad < bc?
Sekarang, misalkan < . Dengan menggunakan definisi, maka ada
bilangan rasional > 0 sehingga = +
Kedua harus ditambah dengan maka , maka :
+ = ( + ) +
= + ( + ) Mengapa?
141
= ( + ) + Mengapa?
Jadi + = > 0 atau > 0
Karena d dan b keduanya positip, db > 0. Dengan demikian bc - ad
> 0 atau ad < bc.
Dari uraian di atas, maka didapat definisi baru untuk kurang dari pada
bilangan rasional.
Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut yang positip, maka < jika dan hanya jika
ad < bc.
Contoh 1 : karena 3.7 < 8.4
Contoh 2 : karena -2.2 < 3.1
Contoh 3 : karena -8.3 < 5.-2
a. Sifat Trikotomi Bilangan Rasional
Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut positip, maka terdapat tepat satu di antara berikut yang benar.
< = >
b. Sifat Kesamaan Bilangan Rasional
Misalkan , dan bilangan-bilangan rasional sehingga =
dengan, maka
1) + = +
2) . = .
c. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Rasional
Misalkan , dan bilangan-bilangan rasional sehingga <
dengan, maka
142
3) + < +
4) . < . , jika > 0
5) . > . , jika < 0
Bagi yang berminat dapat membuktikan sifat-sifat kesamaan dan
ketidaksamaan bilangan rasional di atas.
Contoh 1 : , maka
Contoh 2 :
Contoh 3 :
d. Sifat Transitif Ketidaksamaan Bilangan Rasional
Misalkan , dan adalah bilangan-bilangan rasional yang
dinyatakan dengan penyebut- penyebut positip.
Jika < dan < maka <
Selanjutnya pada bilangan rasional ada sifat:
Jika dan adalah dua bilangan rasional yang berbeda, maka selalu
ada bilangan rasional lain di antara dan .
Kenyataan ini menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional, ada
bilangan rasional ketiga. Di antara bilangan rasional pertama dan ketiga ada
bilangan rasional lain. Demikian juga di antara bilangan rasional ketiga dan
kedua. Proses ini dapat diteruskan tak terhingga. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan
rasional.
Bukti bahwa di antara tiap dua bilangan rasional ada bilangan rasional
yang ketiga akan dibuktikan sebagai berikut.
Akan ditunjukkan ada bilangan rasional di antara dan . < , b
> 0 dan d > 0
143
Maka : ad < bc
(ad)d < (bc)d Mengapa?
(ad)d + (bc)d < (bc)d + (bc)d Mengapa?
(ad + bc)d < 2 bcd Mengapa?
(ad + bc)d < 2 bcd Mengapa?
(ad + bc)d < (2 bd)c
Mengapa?
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa
<
Terbukti didapat bilangan yang terletak di antara dan .
LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Diketahui dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut positip.
Buktikan bahwa jika ad < bc, maka <
2. Diketahui , dan bilangan-bilangan rasional dengan = . Buktikan :
a) + = +
6) . = +
3 .Diketahui , dan bilangan-bilangan rasional dengan < . Buktikan
a) + < +
b) . < + , jika > 0
c) + > + , jika < 0
4.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut bila variabel dalam
himpunan bilangan rasional
a) + (-2) < 7
b)
144
B. Pecahan Desimal
Pecahan desimal diperkenalkan oleh Simon Stevin pada abad ke-16.
Dalam bukunya “The Tenth”, yang dipublikasikan tahun 1585, dia menunjukkan
bagaimana cara menulis pecahan desimal dan bagimana menghitungnya. Notasi
Stevin untuk pecahan desimal 5,3476 adalah 5 0 3 1 4 2 7 3 6 4.
Stevin tidak menggunakan titik atau koma desimal untuk memisahkan
bilangan yang bulat dan pecahan. Akhirnya, di Inggris menggunakan titik
desimal, “5.3476”, dan di beberapa negara Eropa juga di Indonesia
menggunakan koma desimal, “5,3476”.
Koma desimal diletakkan setelah angka satuan ; di sebelah kanan
koma desimal berturut-turut diletakkan angka yang menyataka persepuluhan,
perseratusan, perseribuan dan seterusnya.
Contoh 1 :
a) b) c)
Contoh 2 :
a) b) c)
Selanjutnya, coptoh berikut ini menunjukkan hubungan antara pecahan
dan pecahan desimal.
Contoh 1 :
Contoh 2:
Contoh 3:
=
=
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal mudah dilakukan bila
pecahan itu mempunyai penyebut perpangkatan 10. Tetapi bagaimanakah kalau
145
tidak demikián? Misal, . Dapakah diubah menjadi. pecahan lain yang
penyebutnya perpangkatan 10. Demikian juga ,
Tidak mungkin bukan? Jika penyebutnya merupakan perpangkatan 2 atau
5 pecahan dapat diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan
perpangkatan 10. Maka dan itu pecahan yang penyebutnya merupakan
perpangkatan 10, 2, atau 5 ini dapat ditulis sebagai pecahan desimal.
Contoh 1 : atau
Contoh 2 : atau
=
1. Artmetika Desimal
Berikut mi. akan dibicarakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian bilangan dalam pecahan desimal.
Contoh :
Jumlahkan 0,354 + 0,23
Jawab :
Cara pertama : 0,354 = dan 0,23 =
Cara kedua :
-------------------------------------------- +
146
= 0,584
Dalam cara kedua di atas, dike1ompokkan koefisien persepuluhan,
peseratusan, dan perseribuan kemudian masing-masing dijumlahkan. Sekarang
perhatikan contoh berikut.
Contoh 1 :
--------- ------- +
0,584
Contoh 2 :
Carilah 5,673 + 566,65
Jawab :
5,673
566,65
------------- +
572, 323
Perhatikan bahwa dapat dilakukan penjumlahan seperti di atas karena
algoritma berikut.
Algoritma di atas tentu saja juga dapat diterapkan untuk melakukan lebih
dari dua penjumlahan.
147
Contoh 3 :
15,275
237,56
4,2
75,008
------------ +
332,043
Dengan cara yang sama, algoritma di atas dapat diterapkan untuk
pengurangan.
Contoh 1 :
Contoh 2 :
23 , 15
1,274
------------ -
21,876
Sekarang akan dikalikan dua bilangan decimal :
Contoh 1 :
Contoh 2:
Contoh 3:
148
Perhatikan bahwa dari contoh-contoh di atas, dapat dikemukakan bahwa
jika mengalikan bilangan-bilangan yang masing-masing mempunyai r dan s
tempat pecahan desimal, maka hasil kalinya mempunyai r + s tempat pecahan
desimal.
Contoh:
56,7 (1 tempat pecahan decimal)
0,637 (3 tempat pecahan desimal)
--------- x
3969
1701
3402
------------- x
36,1179 (4 tempat pecahan desimal)
Perkalian di atas dapat dilakukan karena algoritma berikut :
Selanjutnya, akan dilakukan pembagian 5,38 : 2.
Atau
149
Sebarang pembagian pecahan desimal dapat diubah ke pembagian yang
pembaginya merupakan bilangan bulat.
Contoh 1 :
Bagilah 1668,728 : 2,3
Jawab : 168,728 : 2,43 ditulis
Karena teorema dasar pecahan, maka
Contoh 2 :
Carilah 0,24383 : 0,37
Jawab : Digunakan teorema dasar pecahan.
150
Dan contoh-contoh di atas, secara umum, dapat dinyatakan jika
pembaginya mempunyai r tempat pecahan desimal, maka supaya pembaginya
merupakan bilangan bulat, koma desimal pada bilangan yang dibagi dipindah
sebanyak r tempat ke arah kanan. Jadi 168,728 : 2,3 hasilnya akan sama dengan
1687,28 : 23. Perhatikan, 15,6 : 0,26 hasilnya akan sama dengan 1560 : 26.
Mengapa?
2. Pecahan Desimal Berulang
Pada bagian ini akan dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional
sebagai pecahan desimal.
Contoh 1 :
Ubahlah menjadi pecahan desimal.
a) b) c)
Jawab :
151
Perhatikan pada contoh (a) sisanya adalah 0. Pecahan desimal yang
demikian disebut pecahan desimal berakhir. Jika pembagian (a) dilanjutkan, akan
diperoleh 0,187500000 Oleh karena itu pecahan desimal berakhir dapat juga
ditulis sebagai pecahan desimal tak berakhir.
Pada contoh (b) dan (c) sisa pembagian nol tidak akan diperoleh. Pecahan
desimal demikian disebut tak berakhir. Pecahan desimal ini mempunyai sifat yang
menarik. Pada contoh (b) angka 6 berulang terus, sedang pada contoh (c) angka 18
berulang terus. Pecahan desimal demikian disebut pecahan desimal berulang.
Contoh di atas dapat ditulis, = 0,6666 ... = 0,6, dan 0,18
Contoh 2 :
= 0,2222222 ... = 0,2
Contoh 3 :
= 0,135135135 . . . = 0,135
Contoh 4:
= 0,384615384615 . . . = 0,384615
Dalam contoh-contoh di atas dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan
rasional positip sebagai pecahan desimal. Tentu saja hal ini dapat diperluas untuk
bilangan rasional negatip. Selanjutnya, apakah sebaliknya merupakan pernyataan
benar? Dengan kata lain, apakah setiap pecahan desimal yang angka-angkanya
berulang teratur merupakan bilangan rasional? Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1 :
Ubahlah 0,037 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.
Jawab :
Misalkan N = 0,037. Karena ada tiga angka yang berulang teratur.
N kita kalikan dengan 1000.
1000 N = 37,037037
N = 0,037037
------------------------------ -
999 N = 37
atau
152
N =
Sebagai latihan, cek kembali dengan mengubah ke desimal.
Contoh 2 :
Ubahlah 0,00253 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.
Jawab :
N = 0,00253
1000 N = 2,53253253
N = 0,00253253
------------------------------- -
999 N = 2,53
N =
Cek kembali dengan mengubah ke desimal.
Contoh 3 :
Ubahlah 8,5853 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional.
Jawab :
N = 8,585
100 N = 858,535353
N = 8,585353 .
-----------------------------
99 N = 849,95
N =
Cek kembali dengan mengubah ke desimal.
Selanjutnya, perlu dicatat bahwa setiap pecahan desimal berakhir dapat
ditulis sebagai pecahan desimal berulang. Kurangilah angka terakhir dengan satu,
kemudian tulis 9 berulang teratur.
Contoh 4 :
1) 57,6 = 57,59
2) 0,037 = 0,036
3) Cek kembali apakah 2 = 1 ,9
Jawab :
N = 1,999
153
10 N = 19,999
N = 1,999
------------------ -
9 N = 18
N = Jadi. 2 = 1,9
Dan uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa setiap bilangan rasional
dapat dinyatakan pecahan desimal berakhir atau pecahan decimal dengan angka-
angka yang berulang teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal berakhir atau
pecahan desimal angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional.
LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Hitunglah
a) 567,274 - 9,5657 b) 0,053 + 5,9874
c) 7,523 . 0,0097 d) 2466,411 : 3,53
2. Tuliskan lambang desimalnya.
a) b) c)
3. Yang mana dari tugas nomor 2 tersebut yang merupakan pecahan desimal
berakhir?
4. Tuliskan lambang pecahannya.
a) 15,037 b) 0,035 c) 0,7
5. Tunjukkan bahwa
a) 9,379 adalah 9,38 b) 6,9 adalah 7
C. Bilangan Irasional dan Bilangan Real
Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan
sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur.
Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angka-
angkanya berulang tératur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang
jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak
berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan,
154
0,37337333733337333337 . . . adalah bilangan irasional, sebab angka-angkanya
tidak berakhir dan tidak berulang teratur.
Bilangan π merupakan contoh bilangan irasional. π bukan atau
3,1416, tatapi π adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan
tidak berulang. Pendekatan untuk π sampai. 20 angka desimal adalah :
3,14159265358979323846.
Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk
membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam
beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan
tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka
mulai bertanya :
Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja,
jika panjang sisinya x, maka x . x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri
sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan ).
Akhirnya dibuktikan bahwa tidak rasional.
Contoh :
Buktikan bilangan irasional.
Jawab : Diasumsikan rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan
terjadi kontradiksi. Sehingga irasional.
Andaikan rasional.
Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat
sedemikian hingga a dan b relatif prima.
Jika = , maka ( )2 = 2 dan a
2 = 2b
2
Karena 2b2 bilangan bulat genap, maka a
2 adalah genap, demikian
pula a. Mengapa?
Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan
bulat.
Didapat a2 = 4c
2 . Padahal a
2 = 2b
2 , maka b
2 = 2c
2 , sehingga b
2
genap, akibatnya b genap.
155
Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor
persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi. dengan
pengandaian. Sehingga pengandaian bilangan rasional tidak
benar. Jadi irasional.
Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua daRI semua
bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, . . . ) adalah
bilangan irasional.
Karena akar pangkat dua dan banyak bilangan rasional adalah bukan
rasional, maka berikut mi akan dibicarakan pendekatan desimal dan bilangan akar
pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dan
bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkah-langkahnya
sebagai berikut.
a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu.
b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya,
dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.
c) Tentukan nilai ratarata dan bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai rata-
rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.
d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang
diperoleh sebagai estimasi.
Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh
ketelitian yang dikehendaki.
Contoh 1 :
Tentukan nilai pendekatan
Jawab:
Karena (1,4)2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857
= 1,414285
Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi. 1,414285
sebagai estimasi 2 : 1,414285 = 414142
= = 1,4141135
Jadi. 1,4142 adalah nilai pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal.
156
Contoh 2:
Tentukan nilal pendekatan
Jawab:
Karena (30)2 = 900, dipilih 30 sebagai estimasi.
= 31,283666
= 30,641833
938,51 : 30,64183.3 = 30,628389
= 30,635111
Jadi. 30,6351 adalah nilai. pendekatan teliti sampai 4
tempat desimal.
Dan pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat
dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. Sedang bilangan
irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan
tidak berulang. Gabungan dan kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan
himpunan bilangan real atau nyata.
Telah dibicarakan bahwa bilangan rasional dapat ditunjukkan dengan titik
pada garis bilangan. Demikian juga telah dibicarakan bahwa untuk sembarang dua
bilangan rasional yang berbeda, terdapat bilangan rasional di antara keduanya.
Kelihatannya bilangan rasional di seluruh titik pada garis bilangan. Hal mi tidak
benar. Perhatikan gambar 6.10 berikut, bilangan irasional juga dapat ditunjukkan
dengan titik pada garis bilangan.
Gambar 6.10
157
Gambar di atas menunjukkan cara meletakkan dan ( )2 pada
garis bilangan. Dan gambar bujur sangkar yang sisinya satu satuan, maka
panjang diagonalnya = . Dengan pusat 0 dapat dibuat lingkaran
dengan jari-jari , sehingga letak dan - dapat ditentukan pada garis
bilangan.
Cambar 4.11 berikut ini menyatakan cara menempatkan + dan .
Gambar 6.11
Apakah + rasional? Andaikan + bilangan rasional, maka dapat
ditulis sebesar + = dan b bulat, b ≠ 0.
Karena bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
pengurangan, maka bilangan rasional, akibatnya juga rasional.
Terjadilah kontradiksi. Akibatnya + bilangan irasonal. Bagi yang berminat
dapat membuktikan secara umum, bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional
adalah irasional.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa hasil kali bilangan rasional yang
bukan nol dan bilangan irasional adalah irasional.
Contoh 1 :
Tunjukkan 7 . irasional
Jawab :
Andaikan 7 . rasional, maka dapat ditulis sebagai :
158
7 =
(7 ) = ( )
rasional, maka rasional.
Terjadilah kontradiksi, maka pengandaian tidak benar. Yang benar 7
irasional.
Contoh 2 :
Tunjukkan irasional.
Jawab :
=
Karena ( ) irasional, jadi irasional.
Misalkan, garis bilangan dibagi lagi menjadi sepuluh segmen garis di
antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,4 sebagai. pendekatan , dan dapat dicek
kembali dengan mengkuadratkan 1,4. Kemudian dibagi menjadi seratus segmen
garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,41 sebagai pendekatan . Cek
kembali dengan mengkuadratkan 1,41. Demikian seterusnya sehingga diperoleh
bilangan rasional 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,41423 sebagai nilai
pendekatan . Hal ini membeni petunjuk secara intuitif bahwa bilangan real
bersifat padat (dense), artinya di antara dua bilangan real selalu ada bilangan real
lain, bagaimanapun dekatnya terhadap yang lain.
Akhirnya dapat dikemukakan bahwa setiap titik pada garis bilangan
menunjukkan bilangan real dan setiap bilangan real dapat ditunjukkan dengan titik
pada garis bilangan. Karakteristik ini dikatakan bahwa sistem bilangan real adalah
lengkap. Sistem bilangan rasional tidak lengkap karena ada titik pada garis
bilangan tidak menyatakan bilangan rasional.
Berikut ini dikemukakan beberapa sifat bilangan real. Karena bilangan real
merupakan perluasan dari bilangan rasional, maka semua sifat dalam sistem
bilangan rasional harus dipenuhi dalam system bilangan real. Sifat-sifat dalam
sistem bilangan real sebagai berikut :
159
1) Tertutup dalam operasi penjumlahan.
2) Tertutup dalam operasi pengurangan.
3) Tertutup dalam operasi. perkalian.
4) Tertutup dalam operasi pembagian, kecuali pembagian oleh nol.
5) Memenuhi sifat komutatif dan asosiatif untuk penjumlahàn dan perkalian.
6) Memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
7) Terdapat unsur identitas penjumlahan.
8) Terdapat unsur identitas perkalian.
9) Untuk setiap bilangan real terdapat invers penjumlahannya.
10) Untuk setiap bilangan real yang bukan 0 terdapat invers perkaliannya.
11) Transitif urutan.
Jika a < b dan b < c maka a < c.
12) Sifat Trikotomi.
Untuk a dan b bilangan real, terdapat tepat satu di antara hubungan
berikut
a < b; a = b; a ≠ b.
13) Bilangan real bersifat padat (dense).
Di antara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real lain.
14) Bilangan real bersifat lengkap.
Selanjutnya akan dibicarakan perluasan sifat-sifat eksponen untuk bilangan
bulat dan rasional dalam sistem bilangan real.
x2 = = = 1, sedangkan
x2 . x
-2 = x
2 + (-2) = x
0 = 1
Karena invers perkalian dari x2 tunggal, maka
x-2
=
Demikian juga, x1/2
. X1/2
= x1/2 +1/2
= x1
dan (x1/2
)2 = x
1/2.2 = x
1
Tetapi . atau ( )2 didefinisikan sama dengan x.
Dengan demikian x1/2
=
Secara umum, untuk sebarang bilangan real x dan bilangan asli n,
160
x-n
= . x ≠ 0
x1/n
= , jika ada
Selanjutnya, akan diperluas penggunaan rumus-rumus
xm
. xn
= xm+n
(xm
)n = x
mn
(xy)m
= xm
. ym
( )m
=
Contoh 1 :
Tentukan nilai dari a) 7-2
dan b) 9-1/9
Jawab :
Contoh 2 :
Tulis dalam bentuk paling sederhana.
a) b)
Jawab :
a) =
b) = 3 3 3 3 3
161
LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Tentukan bilangan-bilangan berikut termasuk rasional atau tidak rasional.
a) + 5 b)
c) d)
2. keduanya irasional. Mengapa?
a) Apakah hasil kalinya merupakan bilangan rasional?
b) Apakah hasil baginya merupakan bilangan rasinal?
c) Apakah jumlahnya merupakan bilangan rasional?
d) Jelaskan masing-masing jawabnya!
3. Tentukan nilai pendekatannya sampai 4 tempat desimal.
a) b)
c) d) e) / 563,48
4. Diketahui R = {bilangan real}, B = {bilangan bulat}, C = {bilangan cacah}, Q
= {bilangan rasional}, I = {bilangan irasional}.
Tentukan pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah.
a) B Ϲ Q b) Q C R
c) Q ∩ C d) B∩ Q = Q
5. a) Tentukan bilangan cacah terbesar yang lebih kecil dari 9
b) Tentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 9.
c) Tentukan bilangan rasional terbesar yang lebih kecil dari 9.
d) Tentukan bilangan irasional terbesar yang lebih kecil dari 9.
e) Tentukan bilangan real terbesar yang lebih kecil dari 9.
6. Tunjukkan dengan contoh.
a) Hasil kali bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin
irasional.
b) Hasil bagi bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin
irasional.
c) Jumlah bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin
irasional.
162
d) Selisih bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin
irasional.
7. Sederhanakan :