TEORI ANTRIAN

Tugas Individu

diajukan untuk memenuhi salah satu tugas

mata kuliah Perencanaan dan Pengendalian Produksi

Dosen Pengampu:

Ibu Siti Mujdalipah S.TP, M.Si

Disusun oleh

Yatin Dwi Rahayu NIM. 1006578

Program Studi Pendidikan Teknologi Agroindustri

Fakultas Pendidikan Teknologi dan Kejuruan

Universitas Pendidikan Indonesia

Bandung

2012

BAB I

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Antrian adalah aktivitas menunggu untuk melakukan aktivitas atau dilayani.

Sedang teori tentang antrian dapat diartikan sebagai teori yang menyangkut studi

sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan, menunggu dalam

formasi baris merupakan suatu yang sering kita jumpai dilingkungan kita, apalagi

bila fasilitas pelayanan tidak mampu melayani kebutuhan yang ada.

Ada tiga komponen dasar dalam model antrian, yaitu kedatangan, fasilitas

pelayanan, dan antrian actual. Metode perhitungan antrianpun perlu dipelajari

agar dapat mengukur keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang

disebabkan karena terjadinya antrian.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari tugas ini sebagai berikut:

1. Apa itu teori antrian?

2. Bagaiman metode perhitungan dari teori antrian?

C. Tujuan

Maksud dan tujuan dari tugas individu ini dalah agar mengetahui mengenai

teori antrian dan metode perhitungannya.

BAB II

Pembahasan

A. Pengertian Anrtrian

Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K.Erlang, yang

menggambarkan model antrian untuk menentukan jumlah optimal dari fasilitas

telepon switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada. Menurut

Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang

memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada

umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda –

beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi

menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :

1. Sistem pelayanan komersial

2. Sistem pelayanan bisnis – industri

3. Sistem pelayanan transportasi

4. Sistem pelayanan social

Pada kondisi umum kita selalu menghendaki agar jumlah fasilitas pelayanan

dapat melayani kapasitas antrian, akan tetapi biaya untuk menyediakan fasilitas

pelayanan merupakan masalah yang harus dipertimbangkan. Keputusan masalah

ini menjadi penting karena apabila pelayanan terlalu banyak maka akan

memerlukan biaya yang besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang maka

akan terjadi baris penungguan dalam waktu yang lama dan akan menimbulakan

ongkos baru. Dengan penjelasan diatas maka yang menjadi tujuan dalam teori

antrian adalah mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos

yang disebabkan karena terjadinya antrian.

B. Sistem Antrian

Komponen dasar proses antrian adalah :

1. Kedatangan

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,

panggilan telepon untuk dilayani, dan lain – lain. Unsur ini sering dinamakan

proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan

calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan

variabel acak.

Menurut Levin, dkk (2002), variable acak adalah suatu variabel yang

nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat

berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki

beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila

nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai

variabel acak kontinu.

2. Antri

Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama

tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti

terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas

pelayanan (Mulyono, 1991).

3. Pelayan

Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,

atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang –

kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol

dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari

satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada

penjualan tiket di gedung bioskop.

.

Dalam sistem antrian tingkat kedatangan (input) dan tingkat pelayanan

perlu diperhatikan, dengan ditunjukkan oleh suatu distribusi kedatangan dan

pelayanan untuk menunjukkan situasi kedatangan dan pelayanan. Selain pola

kedatangan dan pelayanan ada beberapa faktor yang mempengaruhi

pengembangan model antrian :

a. Disiplin Pelayanan

Penentuan siapa yang dilayani mengikuti aturan tertentu yang telah ditentukan

yang disebut dengan disiplin antrian, yaitu :

a) FCFS (First Come First Served) artinya, yang lebih dulu dating, lebih dulu

dilayani. Misalnya dalam pembelian tiket konser.

b) LCFS (Last Come First Served) artinya, yang dating terakhir yang lebih

keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai sama.

c) SIRO (Service In Random Order) artinya, panggilan didasan pada

peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.

d) Priority Sece artinya, Pelayanan tidak mempedulikan siapa yang datang

pertama atau terakhir. Pelayanan seperi ini, biasanya terdapat pada sistem

pelayanan yang terkendali dengan baik. Prioritas, dimana yang mendapat

prioritas tinggi akan dilayani terlebih dahulu.

b. Desain Fasilitas

Desain fasilitas dalam sistem antrian terdiri dari :

a) Jumlah fasilitas

b) Semakin banyak jumlah pelayanan, semakin banyak yang dapat

dilayani.

Beberapa jenis pelayanan :

1) Satu antrian, satu pelayanan.

2) Satu antrian, pelayanan paralel.

3) Beberapa antrian, satu pelayanan.

4) Beberapa antrian, pelayanan paralel.

5) Satu antrian, pelayanan seri.

c. Ukuran Fasilitas

Dalam sistem antrian ukuran antrian berkenaan dengan kapasitas sistem dapat

dibedakan menjadi dua ;

a) Terbatas

Bila jumlah kedatangan yang ada dalam antrian dan yang sedang dilayani dibatasi,

karena sistem tidak cukup menampung antrian yang terlalu banyak dan sedang

dilayani.

b) Tidak Terbatas

Bila sistem mampu menampung dalam jumlah yang tidak terbatas, kedatangan

yang terdapat dalam sistem antrian dan yang sedang dilayani.

C. Distribusi Kedatangan

Model antrian adalah model probabilistik (stochastic) karena unsure-unsur

tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random.

Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Baik

kedatangan maupun waktu pelayanan dalam suatu proses antrian pada umumnya

dinyatakan sebagai variabel random. Asumsi yang digunakan biasanya berkaitan

dengan distribusi kedatangan (banyak kedatangan per unit waktu) adalah

distribusi Poisson. Rumus umum distribusi Poisson adalah :

P ( x )= e−λ λx

x !

dimana : x : Banyaknya kedatangan

P(x) : Probabilita kedatangan

λ : Rata-rata tingkat kedatangan

e : Dasar logaritma natural, yaitu 2.71828

x! : x (x-1) (x-2) .... 1 ( dibaca x factorial)

Distribusi Poisson adalah distribusi diskrit dengan rata-rata sama dengan

varians.Suatu cirri menarik dari proses Poisson adalah bahwa jika banyaknya

kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata tingkat

kedatangan λ , maka waktu antar kedatangan (inter arrival time) akan mengikuti

distribusi exsponential negative dengan rata-rata 1/λ.

Sebagai ilustrasi, disajikan kasus perusahaan perkapalan “P.T. Sampan”.

Sampan mengoperasikan sebuah fasilitas dermaga di pelabuhan Tanjung

Priok. Rata‐rata lima kapal datang untuk menurunkan kargonya dalam tiap

shift kerja 12 jam. Tiap kapal yang menunggu dalam antrian untuk

menurunkan kargo akan menimbulkan biaya pada perusahaan sebanyak Rp

1.000.000. berdasarkan pengalaman, pihak manajemen memperkirakan jika

satu tim buruh angkut yang bekerja, maka tiap kapal rata‐rata akan menunggu

sebanyak 7 jam untuk dibongkar muatannya. Bila dua tim yang bekerja, maka

rata‐rata waktu menunggunya menjadi 4jam, untuk tiga tim yang bekerja 3jam,

dan untuk 4 tim yang bekerja 2jam. Biaya untuk tiap tim yang bekerja Rp

6.000.000. Tujuan dari analisa ini adalah mendapatkan nilai biaya total terkecil

yang bisa didapatkan, disajikan dalam tabel berikut:

Jumlah Buruh yang Bekerja1 2 3 4

a Rata‐rata kapal datang per shift 5 5 5 5b Rata‐rata tiap kapal menunggu untuk bongkar

muatan

7 4 3 2c Total jam bongkar yang hilang per shift (a x

b)

3

5

2

0

1

5

10d Biaya menunggu tiap kapal (dalam ribuan) 1000 1000 1000 1000e Nilai jam bongkar yang hilang (c x d) 3500

0

2000

0

1500

0

10000f Upah tim buruh angkut (dlm ribuan) 6000 1200

0

1800

0

24000g Biaya total (e + f) 4100

0

3200

0

3300

0

34000

Dari tabel diatas kita temukan bahwa nilai optimal adalah dengan 2 tim yang

bekerja dengan nilai biaya total Rp. 32.000.000. Jadi, manajemen P.T. Sampan

memutuskan untuk menggunakan 2 tim buruh angkut untuk tiap shift kerjanya.

D. Distribusi Waktu Pelayanan

Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai dengan salah satu

bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distrbusi waktu

pelayanan adalah distrbusi eksponential negatif. Sehingga jika waktu pelayanan

mengikuti distribusi eksponensial negatif, maka tingkat pelayanan mengikuti

distribusi Poisson. Rumus umum density fuction probabilitas eksponensial

negative adalah :

f (t) = μ e−μt ,

dimana : f (t) = Probabilitas yang berhubungan dengan t

t : Waktu pelayanan.

m : Rata-rata tingkat pelayanan

1/μ: Rata-rata waktu pelayanan

E : Dasar logaritma natural, yaitu 2.71828

Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk

tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data

yang telah lalu, diketahui ratarata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata

pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan

perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk

mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja

terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per

jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam.

Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka

rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan

tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam.

1hari 8 jam kerja.

Pada pengelompokkan model – model antrian yang berbeda – beda akan digunakan suatu notasi yang disebut dengan Notasi Kendall. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alas an. Diantaranya, karena notasi tebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model – model antrian, tetapi juga asumsi – asu yang harus dipenuhi (Subagyo, 2000).

Fot umum model :

(a/b/

(d/e/

f)

di mana :a = distribusi pertibaan / kedatangan (arrival distribution), yaitu

jumlah pertibaan pertambahan waktu. b = distribusi waktu pelayanan / perberangkatan, yaitu selang waktu

antara satuan – satuan yang dilayani (berangkat).

c = jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem. d

= disiplin pelayanan.

e = jumlah mamum yang dipenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah garis tunggu).

f = besarnya populasi masukan.

Keterangan :1. Untuk huruf a dan b, dapat digunakan kode – kode berikut

sebagai pengganti : M = Distribusi pertibaan Poin atau distribusi pelayanan

(perberangkatan) eonensial; juga sama dengan distribusi waktu antara pertibaan eonensial atau distribusi satuan yang dilayani Poin.

D = Antarpertibaan atau waktu pelayanan tetap.G = Distribusi umum perberangkatan atau waktu pelayanan.

2. Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan paralel.

3. Untuk huruf d, dipakai kode – kode pengganti :

FIFO atau FCFS = Fi – In Fi – Out atau Fi – Come Fi –Served.

LIFO atau LCFS = Last – In Fi – Out atau Last – Come Fi –Served.

SIRO = Sece In Random Order.G D = General Sece Diplint.

4. Untuk huruf e dan f, dipergunakan kode N (untuk menyatakan jumlah terbataatau (tak berhingga satuan – satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan).

Misalnya, model M/1);(FIFO/ / ), berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan secara Poin, waktu pelayanan didistribusikan secaraeonensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin antrian adalah fi –in fi – out , tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam sistemantrian, dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga.

Menurut Siagian (1987), berikut ini adalah beberapa karakteristik dari sistem antrian untuk model M/1);(FIFO/ / ):

1. Intensitas Lalu – Lintas

Buat dan

disebut intensitas lalu – lintas yakni hasil bagi

antara laju pertibaan dan laju pelayanan. Makin besar harga

makin

panjang antrian dan sebaliknya.

2. Periode SibukKalau mekani pelayanan sibuk, dapat dikatakan bahwa sistem

antrian sedang dalam periode sibuk. Peluang bahwa sistem antriansedang dalam keadaan sibuk pada saat sebarang, dinamakan peluangperiode sibuk.

Peluang periode sibuk dari sistem antrian dengan pelayanan tunggalsama dengan intensitas lalu – lintas. Karena itu, bila

f (b)

merupakanfungsi peluang periode sibuk, maka :

f (b)

3. Distribusi Peluang dari Langganan dalam SistemBila

merupakan peluang bahwa sistem antrian adalah sibuk, maka

tentu 1 merupakan peluang bahwa sistem tidak dalam keadaan sibuk

pada sebarang waktu. nya1

merupakan peluang bahwa sistemP

antrian tidak mempunyai langganan. Misalnya n merupakan peluang

adanya n langganan dalam antrian, maka untuk n = 0 : P

0 1

nKarena : Pn .P0 , maka :

Pn n (1 )4. Jumlah Rata – rata dalam Sistem

Misalkan E(n

t ) berupa jumlah rata – rata langganan dalam sistem

antrian, mencakup langganan yang menunggu dan yang sedang dilayani.Maka, E(nt ) nPn

n 0

n( )n (1 )n 0

(1 )n( )n

n 0

urutan suku – suku dari n( )n mempunyai bentuk 0, a, 2a2, 3a3, …,n 0

nan, …. Dalam hal ini a konstan dan kurang dari 1, deret ini akan konvergen menjadi jumlah, dengan rumus :

S a /(1 a)

2

,dimana a

E(nt ) (1 )

Jadi

(1 )

2

1 1 Bila ‘

1 atau jumlah laju pertibaan λ mendekati jumlah laju pelayanan

μ, maka jumlah rata – rata dalam sistem, E(n

t ) bembang menjadi lebih

besar. Bila λ = μ atau ρ = 1, maka E(n

t )

atau jumlah rata – rata langganan dalam sistem antrian menjadi besar tak berhingga.

5. Jumlah Rata – rata dalam Antrian

Misalkan E(n

w ) sebagai jumlah rata – rata langganan dalam antrian,

maka :

E(nw ) E(nt )

2 2

( ) 1

6. Jumlah Rata – rata yang Menerima LayananMisalkan

E(ns )

adalah jumlah rata – rata yang menerima layanan,jadi :

E(ns ) E(nt ) E(nw )

2 1 1

7. Waktu Rata – rata dalam Sistem

Misalkan E(T

t ) merupakan waktu rata – rata bahwa seorang

pelanggan akan menghabiskan waktunya dalam sistem, maka

E(Tt ) E(nt )

di manaE(n )

adalah jumlah rata – rata pelanggan t

dalam sistem.

Jadi E(Tt )

1

8. Waktu Rata – rata dalam Antrian

Misalkan E(T

w )

merupakan waktu rata – rata yang dihabin olehseorang pelanggan dalam antrian.

Maka E(Tw )

E(n ) 1 2 w

( ) ( )

9. Waktu Pelayanan Rata – rata

Misalkan E(T

s ) merupakan waktu rata – rata yang

diperlukan seorang pelanggan untuk menerima pelayanan, maka :

E(Ts )

E(n ) / 1s

Atau bisa juga diperoleh dari :

E(Ts ) E(Tt ) E(Tw ) 1

1

( ) ( )

Daftar Pustaka

Subagyo, Pangestu, dkk. 2000. Dasar – Dasar Operations Research. BPFE.

Yogyakarta.

Mulyono, S. 1991. Operations Research. FEUI.Jakarta.