model antrian

LOGO

Model Antrian

Ir Tito Adi Dewanto

Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi

dalam kehidupan sehari-hari

Intro

Theatre 1

Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan

dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket

Skip

Intro

Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi waktu menunggu

sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.

Skip

Intro

Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan

menambah jumlah pelayanan, seperti jumlah teller pada bank atau jumlah kasir

pada supermarket.

Skip

Intro

Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.

Next

Intro

Teori Antrian :

Menunggu giliran untuk mendapatkan pelayanan dari

suatu fasilitas Antrian terjadi karena

kemampuan pelayanan tidak bisa mengimbangi kebutuhan

pelayanan

CONTOH SISTEM ANTRIAN

SistemSistem Garis tunggu atau Garis tunggu atau antrianantrian FasilitasFasilitas

1. Lapangan terbang1. Lapangan terbang Pesawat menunggu di Pesawat menunggu di landasanlandasan

Landasan pacuLandasan pacu

2. Bank2. Bank Nasabah (orang)Nasabah (orang) KasirKasir

3. Pencucian Mobil3. Pencucian Mobil MobilMobil Tempat pencucian Tempat pencucian mobilmobil

4. Bongkar muat barang4. Bongkar muat barang Kapat dan trukKapat dan truk Fasilitas bongkar Fasilitas bongkar muatmuat

5. Sistem komputer5. Sistem komputer Program komputerProgram komputer CPU, Printer, dllCPU, Printer, dll

6. Bantuan pengobatan 6. Bantuan pengobatan daruratdarurat

OrangOrang AmbulanceAmbulance

7. Perpustakaan7. Perpustakaan Anggota perpustakaanAnggota perpustakaan Pegawai Pegawai perpustakaanperpustakaan

8. Registrasi mahasiswa8. Registrasi mahasiswa MahasiswaMahasiswa Pusat registrasiPusat registrasi

9. Skedul sidang 9. Skedul sidang pengadilanpengadilan

Kasus yang disidangkanKasus yang disidangkan PengadilanPengadilan

NasabahKe -

JamDatang

Jam Pelayanan Waktu Menganggur

(teller)

Waktu Tunggu(cust)

Panjang AntrianMulai Selesai

1 8.07 8.07 8.13 0 0 0

2 8.14 8.14 8.20 1’ 0 0

3 8.25 8.25 8.31 5’ 0 0

4 8.29 8.39 8.45 8’ 0 0

5 8.43 8.45 8.51 0 2’ 1

6 8.56 8.56 9.02 5’ 0 0

8

Tabel 1Hubungan kedatangan, waktu menganggur, waktu tunggu dan panjang anterian dalam pelayanan nasabah TABANAS di Bank XYZ

Contoh 1.Misal pelayanan terhadap nasabah TABANAS pada suatu bank

sebagai berikut : Kapasitas pelayanan rata-rata 10 kali setiap jam berarti pelayanan memerlukan waktu 6 menit, sedangkan

kedatangan orang/nasabah setiap jam rata-rata 6 orang. Waktu kedatangannya bersifat random dapat dilihat tabel sbb :

NasabahKe -

JamDatang

Jam Pelayanan Waktu Mengangg

ur

Waktu Tunggu

Panjang AntrianMulai Selesai

1 8.07 8.07 8.16 0 0 0

2 8.14 8.16 8.25 0 0 1

3 8.25 8.25 8.34 0 0 0

4 8.29 8.39 8.48 5’ 0 0

5 8.43 8.48 8.57 0 2’ 1

6 8.56 8.57 9.06 0 1’ 1

9

Tabel 2

Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak pengangguran petugas (unit pelayanan) oleh karena itu untuk mengurangi pengangguran kita kurangi petugas shg kapasitas pelayanan menjadi 9 menit tiap

nasabah.

Yang kita cari adalah alternatif meminimalkan jumlah kedua biaya yaitu biaya pengangguran fasilitas pelayanan dan biaya karena

meningkatnya waktu tunggu.

10

Pelayanan

Analisis Antrian

Rerata kedatangan ( Jumlah Rerata

dalam Antrian (nq )

Waktu Rerata dalam Sistem (tt )

Jumlah Rerata dalam Sistem (nt )

Waktu Tunggu Rerata dalam Antrian (tq )

Laju (

11

Grafik hubungan antara biaya, jumlah server dan kinerja

Jum

lah

Serv

er

Biaya & jumlah serverKinerja

Biaya Pelayanan Optimal

Cost / biaya

12

Biaya Sistem Antrian

= 0.0

Bia

ya F

asilit

as P

ela

yan

an

Biaya Perkiraan Total

Biaya Waktu TungguBiaya

Pengadaan Layanan

Biaya Pelayanan Optimal

13

Karakteristik Kedatangan

Ukuran Populasi Kedatangan Tak terbatas (essentially infinite) Terbatas (finite)

Pola kedatangan pada sistem Terjadwal Secara acak distribusi Poisson

!x

exP x

!x

exP x

Komponen sistem antrian

1. Populasi masukanBerapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian

2. Distribusi kedatanganMenggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda

3. Disiplin pelayananPelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak (SIRO) d. Prioritas (UGD)

4. Fasilitas Pelayananmengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia : a. Single-channel b. multiple-channel

5. Distribusi Pelayanana. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktub. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani

6. Kapasitas sistem pelayananmemaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem

6. Karakteristik sistem lainnyapelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb

Notasi dalam sistem antrian

nt = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem p = tingkat intensitas fasilitas pelayanan nt = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem nq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian tt = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem tq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu

dalam antrian 1/µ = waktu rata-rata pelayanan 1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan Ct = Biaya Total = S.Cs + nt.Cw

16

Konfigurasi Sistem Antrian

Single Channel, Single Phase System

Single Channel, Multiphase System

17

Konfigurasi Sistem Antrian

Multichannel, Single Phase System

Multichannel, Multiphase System

18

Disiplin Antrian

Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani? First Come First Served (FCFS) Last Come First Served (LCFS) Served in Random Order (SIRO) Priority (jobs are in different priority classes)/UGD

Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS

Pemrograman Simulasi

19

Penamaan Antrian

X / Y / k (notasi Kendall)X = distribusi kedatangan (iid)Y = distribusi waktu pelayanan (iid) M = distribusi eksponensial untuk waktu

layanan dan kedatangan Ek = distribusi Erlang k G = general (antrian secara umum) D = deterministic (layanan dan kedatangan

konstan)k = jumlah server


20

Model Antrian

1. M/M/1 atau M/M/I/I/I

2. M/M/s atau M/M/S/I/I

3. Model Waktu Pelayanan Konstan

4. G/G/k

5. Model Populasi Terbatas

21

Antrian M/M/1

22

Asumsi M/M/1

Laju kedatangan (distribusi Poisson)Laju pelayanan (distribusi exponential)Server tunggal (satu fasilitas pelayanan)First-come-first-served (FCFS) Panjang antrian tak terbatasJumlah pelanggan tak terbatas

SINGLE CHANNEL MODEL

Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem M/M/1

1. Populasi input tak terbatas2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial

mengikuti distribusi poisson3. Disipliln pelayanan mengikuti FCFS4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi

poisson6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

24

Karakteristik Operasi M/M/1

Faktor Utilitas

Rerata Waktu Tunggu

Rerata Jumlah Pelanggan

L

tn)(

2

qn

)(

qt

sn

1tt

25

Karakteristik Operasi M/M/1

Persentasi Waktu Luang

Prob ada n Pelanggan dalam Sistem

Biaya Pengeluaran Total

10P

1

k

knP

Total Cost = Waiting Cost + Service Cost

10P

n

nP

1

Total Cost = Waiting Cost + Service Cost

10P


Ct = Biaya Total = nt.Cw + S.Cs

26

Contoh 1

Sebuah bank memiliki 1 mesin ATM.Kenyataanya :

Waktu rata-rata untuk melayani customer 50 detik Rata-rata customer yang akan memakai atm 60 org/jam

Dirancang pembuatan mesin ATM yang baru. Pihak bank ingin mengetahui probabilitas seorang customer pasti harus

mengantri untuk memakai ATM

Penyelesaian : =Tingkat kedatangan = 60 org/jam = tingkat layanan = 1 org/50 detik x 3600 detik /1 jam= 72 org/jamSehingga tingkat kesibukan = 60/72 = 0,833

Rata waktu tunggu dalam antrian = 0,0694 jam = 4,167menit Artinya P(seorang customer harus mengantri) = 0,833 Lama menunggu rata-rata = 4,167 menit Rata jumlah customer dalam antrian = 4,2 = 4 org

)(

qt

)(

2

qn


27

Contoh 2

Suatu toko variasi mobil memiliki data sbb: Selama 1 jam rata-rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan/pembeli.

Hitunglah : A. Rata-rata jumlah langganan yang antri sebelum dilayani B. Rata-rata jumlah langganan dalam sistem C. Rata-rata lama langganan sebelum dilayani D. Rata-rata lama langganan dalam sistem E. Prob ada n langganan dalam sistem F. Rata-rata banyak langganan yang sedang dilayani G. Kalau biaya pelayanan setiap jam Rp 500 dan biaya karena langganan

menunggu setiap jam Rp 100, maka hitunglah jumlah seluruhnya setiap jam.


Pemrograman Simulasi 28

=Tingkat kedatangan = 3 org/jam = tingkat layanan = 8 org/jam

225,0)(

2

qnA

6,038

3

tnB

075,0)38(8

3

)(

qtC

2,038

11

ttD

8

3

F

G> E(Ct) = S.Cs + nt.Cw = 1.500 + 0,6.100=560

n

nPE

1n 0 1 2 3 4 5 6 7 >8

P 0,625 0,324 0,088 0,012 0,005 0,002 0,001 0

Contoh 3PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem

(menunggu pelayanan)5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam

antrian

Mobil antri menunggu pelayanan

ss1 pompa bensin

melayani 20 mobil per jam

Kedatangan mobil, 15 per

jam

Mobil Keluar

SPBU CIARD

FasilitasPelayanan

Penyelesaian

λ = 20 dan µ = 25λ = 20 dan µ = 25

1.1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau 80,025

20

μ

λ p

Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya. sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya.

Sedangkan 20% dari waktunya Sedangkan 20% dari waktunya (1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan (1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan

operator untuk istirahat, dll operator untuk istirahat, dll

22 atau,42025

20

λ-μ

λ nt

480,01

80,0

p-1

p nt

Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem

33 20,3125

400

)2025(25

)20(

λ)-μ(μ

λ nq

22

Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20 menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20

kendaraankendaraan

44 menit 12atau jam 20,025

1

2025

1

λ-μ

1 tt

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menitkendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

55 menit 9,6atau jam 16,0125

20

)2025(25

20

λ)-μ(μ

λ tq

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menitkendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit

32

Antrian M/M/s


33

Asumsi M/M/s

Laju kedatangan of (distribusi Poisson)Service rate of (distribusi exponential)Dua/lebih serverFirst-come-first-served (FCFS) Panjang antrian tak terbatasJumlah pelanggan tak terbatasLaju pelayanan sama pada semua server


34

Karakteristik Operasi M/M/s

Faktor Utilitas/rata-rata banyaknya objek dalam fasilitas pelayanan

Rerata Waktu Tunggu

Rerata Jumlah Pelanggan

.M

LLq

.M

.M

1

qt ttSq

SSS

Pot ).(

)/(1)(!( 2

.S

qt nn02

.)()!1(

)/(P

SSn

S

q


35

Karakteristik Operasi M/M/s

Persentasi Waktu Luang

SS

Sn

PSS

n

n

!1

!1

11

0

0


36

Contoh 4

Sebuah supermaket memiliki 4 jalur keluar/pembayaran. Kedatangan customer dengan tingkatan 100 org/jam. Rata-rata 1 customer dilayani 2 menit.

Ingin diketahui : Berapa jumlah customer berada dalam antrian ! Probabilitas customer tidak harus antri !

Penyelesaian :M = 4 = 100 org/jam = 30 org/jam 1 jam = ?? Org

1 org = 2 menit 1 jam = 60/2 = 30 org

Sehingga = 0,8331Dari dan diperoleh nq = 3,29 org

.M

02.

)()!1(

)/(P

SSn

S

t

tq nn


SOAL UJIAN OPERATION RESEARCH

TEORI ANTRIAN

1.Pengertian Sistem Antrian adalah …….

A. Pelayanan kepada pelangganB. Pelayanan setiap pelanggan datingC. Keseluruhaan dari layanan yang diberikan kepada pelanggan sejak ia datang sampai selesai dilayani.D. Keseluruhan dari layanan sejak pelanggan datang.

2. Penyebab timbulnya antrian adalah ……

A. Orang yang perlu dilayani terlalu banyakB. Fasilitas layanan sedikit C. Antri yang lama mendatangkan kepuasanD. Kedatangan orang yang ingin dilayani persatuan waktu lebih tinggi dari lama pelayanan persatuan waktu.


3. ‘Traffic Intencity’ merupakan perbandingan rata-rata kedatangan dengan rata-rata kemampuan pelayanan. Formulanya adalah ….

A. B. C. /D. /

4. Suatu toko variasi mobil memiliki data sebagai berikut : Selama 1 jam rata-rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan. Traffic Intencity adalah …..

A. 3/8B. 8/3C. 24D. 2 2/3

39

MASUKAN M S M S KELUARAN

•Lihat diagram berikut :

PHASE 1 PHASE 25. Model antrian diatas adalah …..A. Multi Channel-Single PhaseB. Multi Channel-Multi PhaseC. Single Channel-Multi PhaseD. Single Channel-Single Phase6. Tingkat pelayanan dalam suatu periode tertentu dalam antrian ……A. B. /C. /D. 7. Model distribusi kedatangan memiliki ketentuan jumlah …A. Macam fasilitas pelayanan banyakB. System lebih dari 1C. Kapasitas antrian terbatasD. Masukan tidak terhingga


•Model antrian dibawah adalah …..

M

S

S

Masukan Keluaran

A. Multi Channel-Multi PhaseB. Single Channel-Multi PhaseC. Single Channel-Single PhaseD. Multi Channel-Single Phase

9. Disiplin antrian secara acak tanpa memandang kedatangan disebut ….A. FCFSB. LCFSC. SIROD. Emergency First

8. Model antrian dibawah adalah …..


10. Toko jujur setiap jam dikunjungi 4 pembeli. Kapasitas pelayanan setiap jam di toko jujur adalah 6 orang. Hitung rata-rata waktu antrian sebelum dilayani….

A. 0,30B. 0,31C. 0,32D. 0,3311. Objek yang datang atau masuk ke dalam system yang memerlukan pelayanan

disebut dengan ….A. AntriB. AntrianC. Input D. Output12. Struktur yang dipakai di Rumah Sakit adalah …..A. Multi Channel-Single PhaseB. Multi Channel-Multi PhaseC. Single Channel-Multi PhaseD. Single Channel-Single Phase

model antrian

Documents