vektor
DESCRIPTION
VEKTOR. Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat. Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar vektor artinya panjang vektor Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
VEKTOR
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan penyelesaianoperasi aljabar vektor
Vektor
adalah
besaran
yang mempunyai
besar dan arah
Besar vektor artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positifVektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah
A
B
ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkalB disebut titik ujung
u
45 X
Gambar Vektor
Notasi Penulisan Vektor Bentuk vektor kolom:
4
3u
0
2
1
PQatau
Bentuk vektor baris:
4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI R2
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atauVektor yang hanya mempunyaidua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
OA PA OP
O Pi
jX
A(x,y)Y
OP = xi; OQ= yjJadi
OA =xi + yjatau
a = xi + yj
ax
y
i vektor satuan searahsumbu Xj vektor satuan searahsumbu Y
Q OA OQ OP
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga
atau Vektor yang mempunyai
tiga komponen yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
T(x,y,z)
Oxi
yj
zk
PQ
S
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
t
P
QR(x,y)
S
xi
yj
zk
OP + PR = OR atauOP + OQ = OR
OR + RT = OT atauOP + OQ + OS = OT
Jadi OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah
Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)
X
Y
O
Contoh:
A(4,1)
B(2,4)
Vektor posisi
titik A(4,1) adalah
1
4 a OA
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
ji 42 b OB
a
b
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
Di R2, panjang vektor:
2
1
a
a a
atau a = a1i + a2j Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
22
21 a aa
Di R3 , panjang vektor:
222 y x zv
z
y
x
v
atau v = xi + yj + zk Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
Contoh:1. Panjang vektor:
4
3 a
adalah 22 4 3a = 25 = 5
2. Panjang vektor: 2k -j i2 v
adalah 222 )2(1 2 v
= 9 = 3
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yangpanjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
0
0
dan
0
1
0
,
0
0
1
kji
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+
a3k
adalah
23
22
21
321 aaa
kajaia
a
a ee aa
Contoh: Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ 2k adalah….Jawab:
a
aea
222 2)2(1
22
kjiea
222 2)2(1
22
kjiea
3
22
kjiea
kjiea 32
32
31
ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Kesamaan VektorMisalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dana3 = b3
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3k
a = b1 = x - yx = -2; disubstitusikan1 = -2 – y; y = -3Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
a
a
a
a
3
2
1
b
b
b
b
3
2
1
Misalkan: dan
Jika: a + b = c , maka vektor
33
22
11
c
ba
ba
ba
Contoh
1-
2p-
3
a
3
6
p
b
Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan
2
4q
5-
c
2
4
5
3)1(
6 2
3
qp
p
jawab: a + b = c
2
4
5
3
6
p
1-
2p-
3
q
2
4
5
3)1(
6 2
3
qp
p
3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q16 + 6 = 4q 22 = 4q q = 5½;Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½
Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Misalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k
X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:
3
2-
vektor posisi:
titik A(4,1) adalah:
1
4 a
titik B(2,4) adalah:
4
2 b
vektor AB =
Jadi secara umum: ab AB
1
4
4
2 ab
3
2-
1
4 a
4
2 b
3
2- AB
vektor AB =
Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) danB(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB
2
3
2
2
5
3
-
4
2
1ab AB
2
3
2
AB Jadi
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
Jawab: P(1,2,-2)
Q(-1,3,0)
PQ = q – p =
2
1
2
2-
2
1
-
0
3
1-
2
2
1
p
0
3
1
q
2
1
2
PQ
222 )2()1(2PQ
39PQ Jadi
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a
a
a
a
3
2
1
Misalkan:
Jika: c = m.a, maka
3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
am
am
am
a
a
a
m
dan m = bilangan real
Contoh
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....Jawab:misal
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1-
2
a
4
1-
2
b
dan
x
3
2
1
x
x
x
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
12
3
6
2
2
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 16 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3Jadi
3
1
2
xvektor