VEKTORTujuanSetelah mengikuti perkuliahan mahasiswa dapat menerapkan hitung vektor dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan Fisika dan keteknikan

Besaran vektor adalah : Besaran yangmempunyai besar dan arah . Contoh besaran vektor antara lain gaya berat, kecepatan gerak, momentum dan sebagainya

Besaran skalar adalah besaran yanghanya mempunyai besar . contoh dari besaran fisis seperti ini antara lain : temperatur , massa, volume , luas dan sebagainya.

Vektor PosisiVektor Posisi digunakan untuk menentukan posisi dalam suatu koordinat. Posisi titik P terhadap O juga dapat dinyatakan dengan vektor posisi yang kita tarik dari O sampai P. Vektor posisi ini ditulis dengan P=r ( ). R =jarak O terhadap titik, sudut antara vektor dengan sb X positip

Vektor Satuanvektor yang besarnya = 1 arahnya sama dengan arah vektor

= /

=

Contoh vektor satuan adalah vektor satuan arah x y z yaitu vektor satuan ijk misal = 5 i + 3j -2k

Operasi VektorJumlah Vektor

vektor a + b = c

sb Y

c a

bsb X

Jumlah Beberapa Vektor

Vektor a,b,c,d

(b) g= a+b+d+c

(c) f= d + a b + c

Selisih Vektor

Sb Yb a O c -b sb X

Sb Yb a O c sb X c

Mencari besar resultan vektor

cab

a

c b

Besar vector c == ( 1800

)

Cos ( 1800

) = - Cos

Besar vector c =

Contoh Diketahui vektor P panjang 6 sudut dengan x positif = 30 dan vektor R panjang 8 sudut dengan sumbu x positf = 75 berapakah jumlah vektor P dan vektor R.

R P 75o 30oPenyelesaian : Sudut antara vektor P dan vektor R Adalah = 75- 30 = 45 Besar P + R = = = 12,95

R=vektor A B C besar 10 16 20

(45 30 60

X ) + ( Y)X=R(cos ) 10cos 45 16cos 30 10cos 60 X y=R (sin ) 10sin 45 16sin 30 10sin 60 Y

sudut

Perkalian VektorPerkalian titik(skalar) antara dua VektorA .B =A

adalah sebuah skalarA

B A. cos

B

Sifatnya

AB=BA

Jika vektor dinyatakan dalam komponen vektor dalam arah i, j, k maka : = Cos 00 = 1 j j = Cos 00 = 1 k k = Cos 00 = 1 k j i j = Cos 900 = 0 k = Cos 900 = 0 j = Cos 900 = 0 k = Cos 900 = 0 k j = Cos 900 = 0 j k = Cos 900 = 0

ContohVektor A = 3i + 5j k Vektor B = 2i + j + 4k Carilah A B Penyelesaian : A B = (3i + 5j k) (2i + j + 4k ) = 32 + 51 + (-1) 4 =6+54=7

Perkalian silang (vektor) antara dua Vektor A x B = A B sin

adalah sebuah vektor yang arahnya searah dengan majunya sekrup putar kanan yang diputar dari vektor A ke vektor B.AxB A

B

Untuk vektor yang dinyatakan dalam vektor komponen arah i, j, k maka berlaku aturan sebagai berikut : lihat gambar, arah putaran dari perkalian dua vektor searah dengan jarum jam sama dengan (+) vektor yang lain. Dan arah putaran dari perkalian dua vektor berlawanan arah dengan jarum jam sama dengan ( - ) vektor yang lain. Sehingga harga perkalian sebagai berikut, ki x i = 0 i x j = k i x k = -j j x j = 0 j x i =-k j x k = i kxk = 0 k x i = j k x j = -i

+j

i

ContohVektor A = i2 + 2j + k Vektor B = i+ 2j k Carilah : (a) A x B (b ) B x A Penyelesaian : AxB = (i2 + 2j + k) (i+ 2j k) = 2.1.i2 + 2.2 ij - 2.1 ik + 2.1 ji +2.2 j2 -2.1 jk + 1.1 ki +1.2kj -1.1 k2 = 0 +4k + 2j - 2k + 0 2i +j -2i +0 AxB = - 4i + 3j +2k BxA = (i+ 2j k) (i2 + 2j + k) = 1.2 i2 +1.2 ij + 1.1ik + 2.2 ji +2.2 j2 + 2.1 jk 1.2 ki - 1.2 kj - 1.1 k2 = 0 + 2k -j - 4 k + 0 + 2i 2 j + 2i + 0 BxA = 4 i 3j -2k

Untuk menghindari kesulitan diatas ada cara lain untuk mencari hasil perkalian silang antara dua vektor yaitu dengan determinan yacobi. Misal : Vektor A = a1i + a2j + a3k dan vektor B = b1i + b2j +b3k maka :AxB= I

a1

j k = i a2 a3 - j a1 a3 + k a1 a2 a2 a3 b2 b3 b1 b3 b1 b2

b1 b2 b3 =i(a2b3 b2a3) - j (a1b3 - b1a3) +k (a1b2 - b1a2)

Contohvektor A = 2i + 2j + k dan Vektor B = i + 2j k Carilah : a) A x B b) B x A Penyelesaian :

Soal latihan 1.

Carilah :

2. A = 2i + 2j + 3k B = 2i + 5j 2k Carilah : a. A.B b. A x B c. Vektor arah yang tegak lurus bidang yang dilalui A dan D 3.Vektor A = 2i + j k B = 4j + 2k C = 1j + 2k Carilah : a. sudut antara A dan B b. sudut antara A dan C c. sudut antara B dan C d. (A + B) x (B + C)