PBL MATEMATIKA:VEKTORXI.IA.3 SMAN1 Tanjungpinang

T.A. 2010/2011

Aturan SegitigaJika diketahui dua buah vector misalnya ú dan vector ý kita jumlahkan, maka akan kita dapatkan resultan dari vektor ú dan ý , yaitu ć = ú + ý . Perhatikan gambar 4.7. pada gambar tersebut, vektor ć merupakan resultan dari vektor ú dan ý.

Triangle MethodGiven two of vectors of ú and ý. If both vectors are added, then the result of the addition, or the resultan is ć = ú + ý. In picture 4.7 vector ć is the resultan of vector ú dan ý.

Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain, kemudian ditarik garis yang menghubungkan kedua ujung kurva sehingga membentuk sebuah segitiga. Pada gambar 4.7 terlihat vektor ć merupakan vektor resultan dari penjumlahan vektor ú dan vektor ý.

On triangle rules, resultan vector is obtained by placing the starting point of one of the vector on the end point of the other vector, then pull a line that connecting the both ends of the curve therefore forming a triangle. On picture 4.7 can be seen the vector of ć is a resultan vector from the addition of vector ú and ý.

(gambar 4.7 halaman 136)

Aturan JajargenjangPada aturan jajargenjang, vektor resultan diperoleh dengan mengimpitkan titik pangkal kedua vektor yang dijumlahkan, kemudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vektor sehingga membentuk sebuah jajargenjang. Selanjutnya, ditarik garis diagonal dari titik pangkal kedua vektor. Perhatikan gambar 4.8. Vektor ć merupakan vektor resultan yang dihasilkan.

Parallelogram RulesOn parallelogram rules, resultant vector is obtained by coincide the starting point of the two vectors that added, then made a parallel line with the both vectors therefore forming a parallelogram. Next, pulled out diagonal line from the starting point of the both vectors. Consider picture 4.8 vector ć is resultan vector that producted.

(gambar 4.8 halaman 138)

2. Penjumlahan Vektor secara AljabarMisalkan vektor ú = ( ) dan vektor ý = ( ), maka penjumlahan kedua vektor tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

U – v = u + v = ( )

B. Pengurangan Vektor1. Pengurangan Vektor secara geometri.

Sebelumnya, kita telah membahas tentang ‘dua vektor yang berlawanan’, yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama, tapi arahnya berlawanan. Sebagai contoh, vektor –á merupakan lawan dari vektor ádan vektor –þ merupakan lawan dari vektor þ. Sementara itu, pada bilangan real berlaku hubungan: a – b = a + (-b), dengan b merupakan invers tambah dari b.

B. Vector Subtraction1. Vector Subtraction by the GeometryBefore, we have discussed about ‘two vectors that againt’, that are two vectors that has the same size, but the direction are against each other. For instance, vector of –a is the opponent from the vector of a and vector –b is the opponent of vector b. Meanwhile, on the real number satisfies the relation of: a – b = a + (-b), where b is a plus inverse from b.

Berdasarkan pengertian di atas, jika diketahui dua buah vektor,misalnya vektor ú dan vektor v, maka ú – v artinya sama dengan ú + ( -v).Perhatikan gambar 4.9. vektor c merupakan vektor resultan yang titik pangkalnya adalah titik pangkal vektor u dan titik ujungnya adalah titik ujung vektor –v.

Based on the definition above, if given two vector, let vector of u and vector v, then u – v means equals u + (-v)Consider the Picture 4.9. vector of c is a resultant vector which is the starting point is starting point of vector u and the end point of vector –v.

1. Pengurangan vektor secara aljabarMisalkan vektor u = ( ) dan v = ( ), maka pengurangan vektor u oleh vektor v dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : U – v = u + (-v)

= ( ) 

1. Vector Subtraction by AlgebraicSuppose vector of u = ( ) and v = ( ), then the vector subtraction of u by the vector of v can be obtained by the following way :U – v = u + (-v)

= ( )

SKALAR DAN VEKTOR

SCALAR AND VEKTOR

Kuantitas skalar dijelaskan hanya oleh besar saja (temperatur, panjang)

Kuantitas vektor perlu besar dan arah untuk menjelaskannya (gaya, kecepatan)-direpresentasikan oleh sebuah panah, panjang panah berkaitan dengan besar vektor- kepala panah menunjukkan arah vector

Scalar quantity is described only by large only (temperature, length)

The quantity of vector magnitude and direction necessary to explain it (style, speed)- Represented by an arrow, long arrow associated with large vector- Head of the arrow indicates the direction vector

Ciri-ciri :

_Hasil perkalian atau pembagian vektor oleh skalar adalah sebuah vector. Besar vektor hanya dapat dikali atau dibagi oleh skalar_Jika skalar positif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian searah dengan vektor awal_Jika skalar negatif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian berlawanan arah dengan vektor awal

Characteristics:

_ Multiplication or division of vectors by scalar is a vector. Vector can only be multiplied or divided by scalar_if Positive scalar, then the direction vector results multiplication or division of the direction of the vector initial_if Negative scalar, then the direction vector results multiplication or division in the opposite direction with initial vector

Perkalian atau Pembagian Vektor oleh Skalar

Multiplication or division of Vector by Scalar

SKALAR

Perkalian scalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vector menghasilkan besaran scalar dimana berlaku: A.B= AB cosθ

Sebagai hasil perkalian scalar adalah usaha, tenaga potensial, fluksmagnet, dan lain-lain.

Scalar

scalar multiplication is also often called point multiplication of two vectors produces scalar quantity where applicable: A. B = AB cosθ

As a result of scalar multiplication is a business, potential energy, fluksmagnet, and others.

PERKALIAN VEKTORPerkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku:A×B= C

C= A x B

B

A

DUA DIMENSI

X

Y

A

XA

YA

YX AAA

jAiA YX

i

jBerapakah Ax dan Ay ?

a

sinAA

cosAA

Y

X

b

cosAA

sinAA

Y

X

Jadi

j sinAi cosAA

Atau

j sinAi cosAA

RUANG VEKTORSpace Vector

Arti geometris dari determinanGeometric meaning of the determinantJika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum dibentuk

oleh 3 vektor.If A 3x3 matrix, | det (A) | = volume of parallepipedum formed by 3

vectors.

Persamaan garis dan bidang di ruangEquations of lines and fields in spaceBidang di ruang dimensi 3:Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegaklurus terhadap bidang.Field in space dimension 3:Required inclination (slope) and point

traversed.To declare a vector inclination is uprightstraight to the plane.

Misal suatu bidang melalui titik Po (xo , yo , zo ) dan mempunyaiVektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada

padabidang.Suppose a plane through the point Po (xo, yo, zo) and hasnormal

vector n = (a b c). Suppose P(x, y, z) a point located atfield.1. Persamaan bidangnya adalah1. Field equation is n . Po P=02. atau bentuk normal persamaan bidang:2. or normal form field equation:a(x – xo ) + b( y - yo ) + c(z - zo ) = 03. atau bentuk vektor persamaan bidang:3. or vector form field equation:n . (r - ro ) = 0 di mana ro = OPo , r = OP4. atau bentuk parameter persamaan bidang:4. or shape parameter field equation:x = xo + ta, y = yo + tb, z = zo tcdi mana titik Po (xo , yo , zo ) dilalui bidang dan vektor(traversed the

field and vector) v = (a,b, c) paralel dengan bidang(parallel with the field.).

PENJUMLAHAN, PENGURANGAN , DAN PERKALIAN VEKTOR DAN SKALAR

1. Penjumlahan Vektor

a. Penjumlahan vektor secara geometri

Penjumlahan du buah vector atau lebih secara geometri dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajar genjang.

1. Addition of vectors

a. Geometrical Addition of Vectors

Geometrical addition of two vectors or more can be done by two ways i.e. ‘triangle method’ and ‘parallelogram method’.

ATURAN SEGITIGA

Jika diketahui dua buah vector misalnya ú dan vector ý kita jumlahkan, maka akan kita dapatkan resultan dari vektor ú dan ý , yaitu ć = ú + ý . Perhatikan gambar 4.7. pada gambar tersebut, vektor ć merupakan resultan dari vektor ú dan ý.

Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain, kemudian ditarik garis yang menghubungkan kedua ujung kurva sehingga membentuk sebuah segitiga. Pada gambar 4.7 terlihat vektor ć merupakan vektor resultan dari penjumlahan vektor ú dan vektor ý.

TRIANGLE METHOD

Given two of vectors of ú and ý. If both vectors are added, then the result of the addition, or the resultan is ć = ú + ý. In picture 4.7 vector ć is the resultan of vector ú dan ý.

On triangle rules, resultan vector is obtained by placing the starting point of one of the vector on the end point of the other vector, then pull a line that connecting the both ends of the curve therefore forming a triangle. On picture 4.7 can be seen the vector of ć is a resultan vector from the addition of vector ú and ý.

ATURAN JAJARGENJANG

Pada aturan jajargenjang, vektor resultan diperoleh dengan mengimpitkan titik pangkal kedua vektor yang dijumlahkan, ke mudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vektor sehingga membentuk sebuah jajargenjang. Selanjutnya, ditarik garis diagonal dari titik pangkal kedua vektor. Perhatikan gambar 4.8. Vektor ć merupakan vektor resultan yang dihasilkan.

PARALLELOGRAM METHOD

On parallelogram rules, resultant vector is obtained by coincide the starting point of the two vectors that added, then made a parallel line with the both vectors therefore forming a parallelogram. Next, pulled out diagonal line from the starting point of the both vectors. Consider picture 4.8 vector ć is resultan vector that producted

B. Penjumlahan Vektor secara AljabarMisalkan vektor ú = ( ) dan vektor ý = ( ), maka penjumlahan kedua

)U – v = u + v = (

vektor tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

PENGURANGAN VEKTOR

A. Pengurangan Vektor secara geometri

Sebelumnya, kita telah membahas tentang ‘dua vektor yang berlawanan’, yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama, tapi arahnya berlawanan. Sebagai contoh, vektor –á merupakan lawan dari vektor á dan vektor –þ merupakan lawan dari vektor þ. Sementara itu, pada bilangan real berlaku hubungan: a – b = a + (-b), dengan b merupakan invers tambah dari b.

Berdasarkan pengertian di atas, jika diketahui dua buah vektor,misalnya vektor ú dan vektor v, maka ú – v artinya sama dengan ú + ( -v).

Perhatikan gambar 4.9. vektor c merupakan vektor resultan yang titik pangkalnya adalah titik pangkal vektor u dan titik ujungnya adalah titik ujung vektor –v.

VECTOR SUBSTRACTION

A. Vector Subtraction by the Geometry

Before, we have discussed about ‘two vectors that againts, that are two vectors that has the same size, but the direction are against each other. For instance, vector of –a is the opponent from the vector of a and vector –b is the opponent of vector b. Meanwhile, on the real number satisfies the relation of: a – b = a + (-b), where b is a plus inverse from b.

Based on the definition above, if given two vector, let vector of u and vector v, then u – v means equals u + (-v)

Consider the Picture 4.9. vector of c is a resultant vector which is the starting point is starting point of vector u and the end point of vector –v.

B. Pengurangan vektor secara aljabarMisalkan vektor u = ( ) dan v = (

maka pengurangan vektor u oleh vektor v dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : U – v = u + (-v) = (

)

)

B. Vector Subtraction by Algebraic

Suppose vector of u = ( ) and v = (

then the vector subtraction of u by the vector of v can be obtained by the following way :U – v = u + (-v)

= (

)

)

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku:

A×B= CBesar vector C adalah : C = AB sin θ

Arah vector C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektorA dan vektorB. Untuk menentukan arah vektorC dapat diperhatikan gambar dibawah ini.

VECTOR TIMING

Cross-vector multiplication or multiplication of two vectors produces another vector

quantity where applicable:A × B = C

Large vector C is: C = AB sin θ

The direction of vector C is perpendicular to the field formed by vektorA and vektorB. To determine the direction of vektorC to note

the picture below

A

B

C=B XA

C = -C’

B

C’ = B X A

Diketahui bahwa hasil A ×B tidak samad engan B ×A. Walaupun besar vector hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan

It is known that the result of A × B B × A isn’t the same. Although a large cross-vector multiplication results are equal, but it has opposite direction

A

PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR

Perkalian skalar dari dan baik di R2 mauapun di R3 menghasilkan bilangan real yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

Multiplication scalar of and in either R2 or in R3 results in a real number that can be determined by the following equation

dan masing masing adalah besar vektor dan . Sementara itu, adalah sudut antara kedua vector tersebut

Where and are the magnitudes of vector and . Meanwhile, is the angle between the two vectors

a

b

a

b

PERBANDINGAN VEKTOR DI R3

1. System koordinat dalam Ruang

Sistem koordinat ruang terdiri dari 3 sumbu, yaitu sumbu X, Y, dan Z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu bertemu pada satu titik pangkal yang disebut pangkal koordinat (titik O)

Sistem koordinat ini mengikuti aturan putar tangan kanan. Ketiga sumbu koordinat membentuk 3 bidang yaitu bidang XOZ, XOY, dan YOZ yang membagi ruang menjadi 8 bagian yang masing-masing disebut oktan I,II,III,…,VIII. Setiap titik dalam koordinat ruang ditentukan oleh pasangnan terurut 3 bilangan, misalnya A(x,y,z). tanda dari masing-masing oktan adalah sebagai berikut (gambar 4.14 hal 148)

Coordinate System in a Space

Three Dimensional Coordinates system consists of three axis, X-axis, Y-axis, and Z-axis that perpendicular to each otherThis coordinate system follow the rules of right hand turning. The three coordinates axis form three planes that are XOZ, XOY, and YOZ. They divide the space into 8 parts, each of them called octant I, II, III, …, VIII. An ordered pair of three numbers, for example, A (x,y,z), defines each point in the coordinate space. The sign of each octant is as follows : ( pic. 4.14 page 148)

SUDUT ANTARA 2 VEKTOR

Angle Between 2 Vectors

With the formula scalar product of two vectors, we can determine the large angle between two vectors.

From a.b = | a | | b | cos q, we obtain:

ba

ba.cos

Dengan rumus hasil kali skalar dua vektor, kita dapat menentukan

besar sudut antara dua vektor.

Dari a.b = |a||b|cos, kita peroleh:

ba

ba.cos

Mengetahui Panjang vektor dan vektor proyeksi

Knowing the length of vectors and vector projection

In the field geometry, we have studied the notion of orthogonal projection of a segment on another segment. Orthogonal projection of line segment OA to OE line segment is a line segment OC, with a length of OC is determined by the OC = OA cos q. Definition orthogonal projection on the geometry of this field can be used as a foundation for understanding the notion of a vector projection ortogonal other.

Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos q. Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain.

Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa :

•Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||c|| dirumuskan oleh :

(2)   Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan oleh :