BAB 4VEKTOR

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam

pemecahan masalah

Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor

dalam pemecahan masalah

Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar

dua

vektor dalam pemecahan masalah

MACAM-MACAM BESARAN DALAM BIDANG FISIKA

Besaran Skalar

• Suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Hanya berlaku aljabar bilangan real biasa.

Besaran Vektor

• Suatu besaran yang mempunyai nilai sekaligus arah, dan berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Besaran vektor dapat digambarkan dengan menggunakan ruas garis berarah. Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor atau besar vektor. Arah dari peubah merupakan petunjuk arah vektor.

CONTOH:

Vektor OA panjangnya 3 satuan dan arahnya membentuk 45° terhadap sumbu X positif.

ALJABAR VEKTOR DITINJAU DARI SUDUT PANDANG GEOMETRI

Gambar: Vektor di R-2

Gambar: Vektor di R-3

KESAMAAN DUA VEKTOR

DEFINISI:

Misalkan diketahui vektor a dan vektor b.

Vektor a dikatakan sama atau ekuivalen

dengan vektor b (ditulis: a = b), jika dan hanya

jika:

1. Panjang vektor a sama dengan panjang vektor

b, dan

2. Arah vektor a sama dengan arah vektor b.

PENJUMLAHAN DUA VEKTOR

Penjumlahan dua vektor dengan aturan segitigaPenjumlahan dua vektor dengan aturan jajargenjang

SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN DUA VEKTOR

Definisi: Vektor Nol

• Vektor nol adalah suatu vektor yang besarnya atau panjangnya sama dengan nol dan arahnya sebarang. Vektor nol dituliskan notasi 0.

Notasi

Definisi: Lawan Suatu Vektor

• Misalkan diketahui vektor dan vektor . Vektor mempunyai panjang yang sama dengan panjang vektor , tetapi arah vektor berlawanan arah dengan arah vektor . Dalam hal demikian, dikatakan bahwa vektor adalah lawan dari vektor , dan sebaliknya.

SIFAT-SIFAT OPERASI PENJUMLAHAN VEKTOR

Misalkan diketahui vektor-vektor sebarang , , dan . Maka sifat-sifat penjumlahan vektor sebagai berikut:

1. Sifat Komutatif

2. Sifat Asosiatif

3. Unsur Identitas atau Unsur Satuan (Vektor Nol)

4. Lawan Suatu vektor

PENGURANGAN ATAU SELISIH DUA VEKTOR

Misalkan diketahui vektor dan vektor . Pengurangan atau selisih vektor dengan vektor ditentukan sebagai jumlah vektor dengan lawan dari vektor .

Notasi

HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTOR

Misalkan m adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali skalar m dengan vektor , ditulis sebagai = m , ditentukan sebagai berikut:

Panjang vektor sama dengan hasil kali |m| dengan panjang vektor .

Jika nilai m > 0, maka vektor searah dengan vektor . Jika nilai m < 0, maka vektor berlawanan arah dengan arah

vektor .

Contoh:

SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTOR

Misalakan m dan n adalah skalar-skalar (bilangan-bilangan real), dan adalah vektor-vektor sebarang.

Vektor Basis dalam Bidang

Vektor dapat dinyatakan dalam:

Vektor baris sebagai , atau

Vektor kolom sebagai .

Vektor dengan titik pangkal di dan titik ujungdi

Jadi,

Kesamaan Dua Vektor di Bidang

Misalkan diketahui vektor dan vektor .

Vektor = vektor , jika dan hanya jika

Dua vektor sama, jika dan hanya jika komponen-komponen seletaknya bernilai sama.

atau

Penjumlahan Dua Vektor di Bidang

Misalkan dikatakan vektor dan vektor .

Jika vektor adalah jumlah vektor dengan vektor

atau = + , maka vektor ditentukan oleh:

Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di

bidang adalah vektor , yang bersifat:

Lawan dari vektor adalah vektor .

Pengurangan Dua Vektor di Bidang

Misalkan dikatakan vektor dan vektor

Jika vektor adalah pengurang atau selisih vektor dengan

vektor atau , maka vektor ditentukan oleh:

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Bidang

Misalkan m adalah suatu saklar dan adalah vektor

dengan .

Hasil kali skalar m dengan vektor , ditulis sebagai

= m ditentukan oleh:

Panjang Vektor dalam Bidang

Misalkan adalah vektor di bidang dinyatakan dalam bentuk

vektor kolom .

Panjang atau besar vektor ditentukan dengan rumus

dibaca sebagai panjang vektor .

Vektor Satuan dalam Bidang

Vektor satuan dari vektor dilambangkan dengan (dibaca: e topi) .

Vektor searah dengan vektor dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Definisi

Vektor Baris dalam Ruang

Bilangan-bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen-komponen vektor .

Vektor-vektor , , dan disebut sebagai vektor basis di ruang R-3.

Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu X. Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu Y. vektor disebut vektor satuan dalam sumbu Z Vektor dapat dinyatakan dalam

bentuk:

► Vektor baris sebagai .

► Vektor kolom sebagai .

Vektor dengan titik tangkap di dan titik

ujung , ditentukan oleh:

dengan dan

Kesamaan Dua Vektor di Ruang

Penjumlahan Dua Vektor di Ruang

Pengurangan Dua Vektor di Ruang

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang

Panjang Vektor dalam Ruang

Vektor Satuan dalam Ruang

Misalkan adalah vektor dalam ruang dengan

Vektor satuan dari , dilambangkan dengan ,

ditentukan dengan rumus:

RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KORDINAT

Vektor-vektor , , , dan dinamakan sebagai vektor posisi titik-titik A, B, C dan D.

Vektor Posisi dari Suatu Titik

Vektor Posisi dalam Bidang

Vektor Posisi dalam Ruang

Rumus Perbandingan Vektor

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Bidang

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Ruang

HASIL KALI SKALAR DUA VEKTOR

Hasil Kali Skalar Dua Vektor di Bidang