V. DERET PANGKAT

V.A. HIMPUNAN KEKONVERGENANSampai saat ini telah kita pelajari deret-deret yang terdiri dari konstanta-konstanta

yang berbentuk ann

1

dengan an merupakan sebuah bilangan. Pada bab ini akan dipelajari

deret fungsi yaitu suatu deret yang berbentuk a xnn

( )

1

. Salah satu contoh dari deret

fungsi ini adalah,sin nx

nn2

1

= sin sin sinx x x

12

43

9 + . . .

Apabila x disubtisusikan dengan suatu nilai, misalkan x = 1 maka akan diperolehsin nnn

21

= sin sin sin1

12

43

9 + . . .

Deret ini adalah deret yang terdiri dari konstanta-konstanta yang sudah kita kenal.Ada dua pertanyaan penting yang harus dijawab mengenai deret fungsi ini, yaitu

u Untuk nilai x manakah deret tersebut konvergen ?v Ke fungsi apakah deret tersebut konvergen, atau dengan kata lain berapakah jumlah

S(x) deret tersebut ?Pada umumnya pertanyaan-pertanyaan ini dapat dijawab dalam pelajaran kalkulus lanjutan, namun dalam hal khusus, pertanyaan-pertanyaan tersebut bisa dijawab dalam kalkulus elementer. Contohnya adalah deret fungsi khusus seperti deret pangkat. Suatu deret pangkat dalam x berbentuk,

a xnn

n

0

= a a x a x a x0 1 22

33 + . . .

(aoxo dapat dianggap sebagai ao, juga apabila x = 0). Untuk deret pangkat ini kita dapat menjawab kedua pertanyaan di atas seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut.

Contoh V.1

Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat axn

n

0

= a ax ax ax 2 3 + . . . konvergen,

dan berapakah jumlahnya ?. Anggap a ¹ 0.

Jawab :Dalam bab II telah kita pelajari deret geometrik yang berbentuk,

ark

n

1

1 = a ar ar ar 2 3 . . .

Deret geometrik adalah konvergen untuk 1 < r < 1 dan jumlahnya adalah Sn = a

r1 . Deret

geometrik ini sama dengan deret yang ditanyakan di atas, yaitu dengan mengganti r dengan x. Karena itu deret yang ditanyakan di atas adalah konvergen untuk 1 < x < 1. Jumlahnya adalah,

DND

49

S(x) = a

x1

Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk suatu deret pangkat konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan. Himpunan kekonvergenan ini mempunyai bentuk suatu selang, bisa berbentuk selang tertutup (Gambar V.1a), selang terbuka (Gambar V.1b), sebagian tertutup dan sebagian terbuka (Gambar V.1c dan d), seluruh bilangan riil (Gambar V.1d) dan berupa selang yang menyempit menjadi satu titik (Gambar V.1g). Jadi himpunan kekonvergenan tidak mungkin terdiri atas dua bagian selang yang lepas seperti [1, 1]È[2, 4]. Dalam Contoh V.1, himpunan kekonvergenannya berbentuk selang terbuka, yaitu (1,1). Sifat-sifat himpunan kekonvergenan ini diberikan dalam teorema berikut.

O

Himpunan Kekonvergenan

Himpunan Kekonvergenan

Himpunan Kekonvergenan

Himpunan Kekonvergenan

a

b

c

d

Himpunan Kekonvergenan

Himpunan Kekonvergenan

f

g

Gambar V.1. Himpunan kekonvergenan

Teorema V.1

Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat axn

n

0

selalu berbentuk selang

yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut,u Satu titik x = 0u Selang (R, R), mungkin ditambah salah satu atau kedua titik ujungnya.u Seluruh himpunan bilangan riil.

Dalam u, v dan w, dikatakan radius kekonvergenan (r) masing-masing adalah 0, R dan .

Bukti :

DND

50

Andaikan deret konvergen di x = x1 ¹ 0. Maka limn n

na x

1 = 0, sehingga terdapat N

dengan a xnn1 < 1 untuk n ³ N. Jadi, untuk setiap x dengan x x< 1 diperoleh,

a x a xxx

xxn

nn

nn n

11 1

<

hubungan ini berlaku untuk semua n ³ N. Oleh karena xxn

n

11

adalah deret geometriik

dengan hasil bagi kurang dari 1, maka deret ini konvergen. Jadi berdasarkan Uji Banding,

deret a xnn

n

0

konvergen. Telah diperlihatkan bahwa apabila sebuah deret pangkat

konvergen di x1, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk setiap x sedemikian rupa sehingga x x< 1 .

Dilain pihak, andaikan sebuah deret pangkat divergen di x2. Maka deret ini divergen untuk semua x dengan x x 2 , sebab jika deret ini konvergen di x1 dengan x x1 2 , maka menurut uraian di atas, deret ini akan konvergen pula di x2, yang bertentangan dengan sifat yang diketahui (hipotesis) bahwa deret divergen di x2.

Contoh V.2Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret,

xn

n

nn ( )

1 20

= . . .112 2

13 2

14 2

2

2

3

3 x x x

Jawab :Beberapa suku dalam deret di atas dapat berharga negatif apabila x negatif. Karena itu untuk menguji kekonvergenan deret ini akan digunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, yaitu

= limn

xn

xn

n

n

n

n

1

12 2 1 2( ) ( ) = lim

n x

nn

x

n

n

n

n

1

12 21 2

( )( )

= limn

x nn

2

12

= x

n2lim

1 11 2

//nn

= x2

Apabila = x2

< 1 maka deret konvergen mutlak, hal ini berarti deret konvergen. Apabila

= x2

1, maka deret divergen. Jadi deret konvergen untuk x < 2 dan divergen untuk

x 2. Apabila x = 2 atau x = 2, Uji Hasil Bagi Mutlak tidak memberikan kepastian apa-apa. Akan tetapi jika x = 2, maka deret tersebut menjadi,

21 20

n

nn n( )

= 1

10 ( )nn

Deret ini adalah deret harmonik. Seperti telah kita ketahui, deret harmonik adalah divergen. Sedangkan apabila x = 2 maka deret menjadi,

( )( )

21 20

n

nn n

= ( )( )

1 21 20

n n

nn n

= ( )( )

110

n

n n

Deret ini adalah deret harmonik ganti tanda yang konvergen. Jadi himpunan kekonvergenan deret yang ditanyakan adalah 2 £ x < 2 atau dituliskan juga [2, 2).

DND

51

Himpunan kekonvergenan ini dilukiskan dalam Gambar V.2. Sedangkan radius kekonvergenannya adalah r = 2.

Himpunan Kekonvergenan

2 2

Gambar V.2

Contoh V.3

Tentukan himpunan kekonvergenan dan radius keonvergenan deret xn

n

n !

0

Jawab :Gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak,

= lim( )! !n

n nxn

xn

1

1 = lim

( )!!

n

n

nxn

nx

1

1 = lim

n

xn 1

= xnn

lim

11

= 0

Jadi deret konvergen untuk semua x, atau himpunan kekonvegenannya adalah seluruh bilangan riil (Gambar V.3) dan r = .

Himpunan Kekonvergenan

Gambar V.3

Contoh V.4

Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret n xn

n!

0

Jawab :Gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak,

0, jika x = 0

= lim( )!

!n

n

nn x

n x

1 1

= limn

( )n 1 x = x limn

( )n 1 =

jika x ¹ 0Jadi deret konvergen hanya untuk x = 0 (Gambar V.4) dan r = 0.

Himpunan Kekonvergenan0

Gambar V.4V.B. DERET PANGKAT DALAM (x a)

Sebuah deret yang yang berbentuk.

DND

52

a x a a a x a a x a a x ann( ) ( ) ( ) ( )

0 1 22

33

n=0 . . .

dinamakan deret pangkat dalam x a. Sifat-sifat yang berlaku bagi deret pangkat dalam x, berlaku juga untuk deret pangkat dalam (x a). Khususnya himpunan kekonvergenan berbentuk salah satu selang berikut.u Titik tunggal x = a.v Selang (a R, a + R), mungkin ditambah dengan salah satu atau kedua titik ujungnya

(Gambar V.5).w Seluruh himpunan bilangan riil.Untuk u, v dan w radius kekonvergenannya (r) adalah, a, R dan .

Himpunan Kekonvergenan

a R a + Ra

Gambar V.5

Contoh V.5

Tentukan himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret ( )( )xn

n

n

11 2

0

Jawab :Kita gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak

= lim( )( )

( )( )n

n nxn

xn

12

11

1

2 2 = lim( )( )

( )( )n

n

nxn

nx

12

11

1

2

2

= limn x

nn

112

2

2( )( )

= x 1 lim( )( )n

nn

12

2

2

= x 1 limn

n nn n

2

22 14 4

= x 1 limn

1 2 11 4 4 2

/ // /

n nn n

= x 1

Jadi deret ini konvergen apabila x 1 < 1, atau 1 < x 1 < 1 atau 0 < x < 2 dan deret divergen untuk x 1 1.

Untuk x = 0 deret menjadi,

( )( )

11

114

19

1162

0

n

n n . . .

Deret ini adalah deret-p ganti tanda dengan p = 2 1, berdasarkan Uji Kekonvergenan Mutlak deret ini konvergen.

Untuk x = 2 deret menjadi,

( )( )2 1

1 20

n

n n =

11 2

0 ( )nn

= . . . 114

19

116

Deret ini adalah deret-p dengan p = 2 1, jadi deret konvergen.Dari pengujian di atas diperoleh bahwa himpunan kekonvergenan deret yang

ditanyakan adalah 0 £ x £ 2 atau selang [0, 2] (Gambar V.6) dan r = 1.

DND

53

Himpunan Kekonvergenan

0 21

Gambar V.6

Contoh V.6Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret berikut,

( ) ln ( ) ln ( ) lnx x x

2 22

2 33

2 44

2 3 4

. 9 . 27 . 81 . . .

Jawab :

Suku ke-n deret ini adalah, un = ( ) lnx nn

n

n 2

3 . untuk n ³ 2. Jadi deret dapat dituliskan

dalam bentuk,

( ) lnx n

n

n

nn

232 .

Dengan menggunakan Uji Hasil Bagi Mutlak diperoleh,

= limn

( ) ln( )( )

( ) lnx nn

x nn

n

n

n

n

2 11 3

23

1

1 = limn

( ) ln( )( ) ( ) ln

x nn

nx n

n

n

n

n

2 11 3

32

1

1

= limn

x nn

nn

23 1

1 ln( )ln

= x 2

3limn

nn

nn

1

1ln( )ln

= x 2

3limn

11 1

/ n

limn

ln( )lnn

n

1 =

x 23

Jadi deret konvergen untuk x 2

3 < 1 atau 1 < x 2

3 < 1 atau 3 < x +2 < 3 atau

5 < x < 1, dan deret divergen untuk x 2

3 1.

Sekarang kita periksa titik-titik ujung himpunan kekonvergennnya yaitu 5 dan 1. Untuk x = 5, deret menjadi,

( ) ln

5 232

n

nn

nn .

= ( ) ln

332

n

nn

nn .

= ( )ln

12

n

n

nn

= ln ln ln22

33

44

. . .

Dengan menggunakan Uji Deret Ganti Tanda diperoleh bahwa deret ini konvergen.Untuk x = 1, deret menjadi,

( ) ln1 232

n

nn

nn .

= 3

32

n

nn

nn

ln .

= lnnnn

2

= ln ln ln22

33

44

. . .

Dengan menggunakan Uji Banding dengan deret harmonik diperoleh bahwa deret ini divergen. Jadi himpunan kekonvergenan deret yang ditanyakan adalah 5 £ x < 1 atau selang [5, 1) dan r = 3.

V.C. PENDIFERENSIALAN DAN PENGINTEGRALAN DERET PANGKAT

DND

54

Dari bagian yang lalu telah diketahui bahwa himpunan kekonvergenan deret pangkat

a xnn

n

0

berupa sebuah selang. Selang ini adalah daerah asal sebuah fungsi baru S(x), yaitu

jumlah deret pangkat tersebut. Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah, dapatkah kita menyusun rumus sederhana untuk S(x) tersebut. Memang sangat sulit untuk menentukan rumus sederhana untuk S(x) ini, walaupun demikian, untuk jumlah deret geometri, jumlah deretnya sudah kita ketahui yaitu,

S(x) = axn

n

0

= a

x1, 1 < x < 1

Pertanyaan yang lebih mudah untuk jumlah deret pangkat ini adalah mengenai sifat-sifat yang dimiliki oleh jumlah deret geometrik ini seperti apakah S(x) dapat dapat didiferensialkan dan diintegrasikan atau tidak ? Jawabannya dapat seperti yang dinyatakan dalam Teorema V.2 berikut.

Teorema V.2Andaikan S(x) adalah jumlah deret pangkat pada selang I. Jadi

S(x) = a xnn

n

0

= a a x a x a x0 1 22

33 . . .

Apabila x ada di dalam I, maka berlaku,

u S’(x) = D a xxn

nn

0

( ) = na xnn

n

1

0 = a a x a x1 2 3

22 3 . . .

v S t dtx

( )0 = a t dtn

nx

n 00

= a

nxn n

n

11

0 = a x a x a x a x0 1

22

33

412

13

14

. . .

Contoh V.7Gunakan Teorema V.2 untuk mendapatkan rumus-rumus jumlah dua deret baru dari jumlah deret geometrik berikut.

11 x

= 1 + x + x2 + x3 + . . ., 1 < x < 1

Jawab :Apabila jumlah deret geometrik tersebut kita diferensialkan suku demi suku, maka akan diperoleh,

11 2( ) x

= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . ., 1 < x < 1

Sedangkan apabila kita integrasikan suku demi suku diperoleh,

11

0 t

dtx

= dt tdt t dt t dtx xxx

0

2 3

000

. . .

Jadi, ln( )1 x = xx x x

2 3 4

2 3 4 . . . , 1 < x < 1

Jika x diganti dengan x dan ruas kiri dan kanan dikalikan dengan 1, maka akan diperoleh

DND

55

ln( )1 x = xx x x

2 3 4

2 3 4 . . ., 1 < x < 1

Contoh V.8Tentukan deret pangkat yang menggambarkan tan1x.

Jawab:

tan1x = 1

1 20 t

dtx

(i)

Deret geometrik dalam soal V.7 adalah,1

1 x = 1 + x + x2 + x3 + . . ., 1 < x < 1

Apabila kita ganti x dalam deret geometrik di atas dengan t2 maka diperoleh,

11 2 t

= 1 t2 + t4 x6 + . . ., 1 < t < 1 (ii)

Masukan persamaan (ii) ke (i) diperoleh,

tan1x = 1

1 20 t

dtx

= ( )1 2 4 6

0

t t t dtx

. . .

atau tan1x = xx x x

3 5 7

3 5 7 . . . 1 < x < 1

Contoh V.9Tentukan rumus untuk jumlah deret,

S(x) = . . .12 3

2 3

xx x

! !

Jawab :Dari Contoh V.3 diperoleh bahwa deret ini konvergen untuk semua x. Apabila ruas kiri dan kanan didiferensialkan, akan diperoleh

S’(x) = . . .12 3

2 3

xx x

! !jadi S(x) = S’(x) untuk semua x, dan S(0) = 1. Persamaan diferensial ini mempunyai jawaban tunggal, yaitu S(x) = ex karena hanya ex saja yang jika didifernsialkan hasilnya tetap ex juga. Jadi,

ex = . . .12 3

2 3

xx x

! !

DND

56

Contoh V.10.Tentukan deret pangkat untuk e x 2

Jawab :Apabila dalam deret pangkat untuk ex dalam Contoh V.9 harga x diganti dengan x2, maka diperoleh,

e x 2 = . . .12 3

24 6

xx x

! !

V.D. SOAL LATIHANTentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret pangkat

dalam Soal 1-11. Petunjuk : Tentukan terlebih dahulu rumus untuk suku ke-n, kemudian gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak.

1. . . . 6 . 55 . 44 . 33 . 22 . 1

5432

xxxxx 2. . . .

!9!7!5!3

9753 xxxxx

3. x x x x 2 3 42 3 4 . . . 4. . . . 432

1432

xxx

x

5. . . . 6 . 45 . 34 . 23 . 1

1432

xxxx

6. . . . 2222

1 4

4

3

3

2

2

xxxx

7. 1 2 22

23

24

2 2 3 3 4 4

xx x x! ! !

. . . 8. x x x x x2

23

34

45

56

2 3 4 4

. . .

9. ( ) ( ) ( ) ( )x x x x

11

12

13

14

2 3 4

. . .

10. 1 12

12

12

2

2

3

3

( ) ( ) ( )x x x . . .

11. ( ) ( )x x

51 2 3

54

4

. 2(x + 5)

. 3(x + 5)

. 4 . 5 . . .

2 3

Tentukanlah himpunan kekonvergenan dan radius kekonvergenan deret pangkat dalam Soal 12-20.

12. xn

nn 20

13. x

n

n

nn ( )

1 2014.

n xn

n

nn

!

0

15. ( !)( )!n

nxn

n

2

0 2

16. 3

0

n n

n

xn

17. ( )!

( )!2 1

2

3

0

nn

xn

n

18. 22

22

0

nn

n nx

19. ( )xn

n

n

112

020.

( )( )

xn

n

nn

31 20

DND

57

21. Tentukanlah jumlah S(x) deret ( )x n

n

30

. Untuk nilai x manakah rumus itu berlaku ?.

22. Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret setiap deret berikut.

(a) ( )3 1

20

xn

n

nn

.

(b) ( )( )

12 340

nn

nn

xn

Tuliskanlah deret pangkat yang jumlahnya f(x) dalam Soal 23-31, dan tentukanlah radius kekonvergenannya.

23. f(x) = 1

1x 24. f(x) = 1

1 2( ) x25. f(x) = x

x

2

1

26. f(x) = 1

2 3 x 27. f(x) = xx

2

41 28. f(x) = ln( )1

0

t dtx

29. f(x) =1

1 2( ) x30. f(x) =

13( ) x 31. f(x) =

xx( )1 2

Tentukanlah jumlah deret pangkat dalam soal 32-40

32. nx n

n

0

33. ( )

10

n n

nnx 34. ( )

2210

n

n

nnn

x

35. 2

1

n n

n

xn

36. ( )!

13

0

nn

n

xn

37. 22 1

2 1

1

xn

n

n

38. x x x x x 2 3 4 5 . . .

39. 12 3 4 5

2 3

! ! ! !

x x x . . .

40. 24

28

316

4

2 3 4

xx x x

. . .

Gunakanlah hasil dalam Contoh V.3 untuk menyusun deret pangkat dalam x dari fungsi yang diketahui dalam Soal 41-44.

41. f(x) = e x 42. f(x) = xex2

43. f(x) = e ex x 44. f(x) = e xx2 1 2

DND

58