SUKU BANYAK

Bentuk umum dari pembagian suku banyak dinyatakan :

Misalkan suku banyak f (x ) dibagi dengan P ( x ) memberikan hasil bagi H ( x )

dan sisa S ( x ). Persamaan umum yang menyatakan hubungan antara f ( x )

dengan P (x ),

H ( x ) dan S (x ) dituliskan :

f ( x ) = P ( x ) . H ( x ) + S (x )

Dengan :

f ( x ) merupakan suku banyak yang dibagimisalnya diketahui berderajat n

P ( x ) merupakan pembagi, misalnya berderajad m ( m ¿ n )

H ( x ) merupakan hasil bagi, berderajat n – m atau derajat suku banyak yang

dibagi dikurangi dengan derajat pembagi

S ( x ) merupakan sisa, berderajat maksimum m – 1 atau berderajat maksimum

sama dengan derajat pembagi dikurangi satu

Pembagi dengan ( x – k )

Jika pembagi P ( x ) = ( x – k ), maka persamaan pembagian dapat dituliskan

sebagai berikut:

f ( x ) = ( x – k ) . H ( x ) + S

, yang berlaku untuk tiap x bilangan real. Oleh karena pembagi P ( x ) = ( x – k )

berderajad satu, maka sisa S maksimum berderajad nol, yaitu suatu konstanta

yang tidak memuat x. Sisa S dapat ditentukan dengan menggunakan teorema

berikut ini.

A. Teorema Sisa

1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S =F(ba )

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = .

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor

(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0

C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …,

xn.

1) x1 + x2 + …+ xn = − b

a

2) x1 · x2 · …· xn = da (bila berderajat genap)

3) x1 · x2 · …· xn = −da (bila berderajat ganjil)

4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = ca

Contoh Soal

1. Sisa pada pembagian suku banyak f( x ) = 3x4 – 2x3 + x – 7 dibagi dengan x – 2

adalah ....

Jawab :

Suku banyak f ( x ) = 3 x4 – 2 x3 + x – 7 dibagi x – 2 , sisanya S = f ( 2 ).

Metode substitusi

f ( 2 ) = 3 ( 2 )4 – 2 ( 2 )3 + 2 – 7

⇔ f ( 2 ) = 48 – 16 + 2 – 7 = 27

Jadi sisa pembagiannya adalah S = f (2) = 27

2. Hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 + 5x2 -11x +8 dengan 3x – 1 adalah ....

Jawab :

Dapat diselesaikan dengan 2 metode :

1. Metode substitusi

f (

13 ) = 3(

13 )3 + 5(

13 )2 -11(

13 ) +8

f (

13 ) = 3.

127 + 5.

19 - 11.

13 + 8

f (

13 ) = 5

Jadi sisa pembagiannya S = f (

13 ) = 5

2. Metode bagan / skema

13 3 5 -11 8

1 2 -3

3 6 - 9 5 = f(

13 )

Dengan f (x) = (x -

13 ).(3x2 + 6x -9) + 5

= (x -

13 ).3(x2 + 2x -3) + 5

= (3x – 1). (x2 + 2x -3) + 5

Atau dari bagan diatas diperoleh koefisien-koefisien dari H(x), sehingga

H(x)=

3x3+6 x2−93 = x3 + 2x2 -3.

Jadi, hasil baginya (x3 + 2x2 -3) dan sisa 5

3. Jika f(x) = x3

+ ax2

- 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3), maka nilai a = ....

Jawab :

f(x) = x3

+ ax2

- 11x + 30 mempunyai

faktor (x + 3), syaratnya f(-3) = 0

f(-3) = (-3)3

+ a(-3)2

- 11(-3) + 30

0 = -27 + 9a + 33 + 30

-36 = 9a

a = -4

Jadi f(x) = x3

+ ax2

- 11x + 30 mempunyai

faktor (x + 3) untuk nilai a = -4

4. Akar – akar dari persamaan sukubanyak f(x) = x3

- 6x2

+ 9x – 2 = 0 adalah ....

Jawab :

Dengan mencoba –coba bilangan faktor 2 kita temukan sisa pembagian 0

untuk x = 2

f(2) = (2)3

- 6(2)2

+ 9(2) – 2 = 0 atau

2 1 -6 9 -2 2 -8 2 1 -4 1 0

Sehingga dapat dituliskan menjadi

f(x) = x3

- 6x2

+ 9x – 2 = 0 = ( x – 2 )( x2

- 4x + 1 ) = 0

Akar – akar irasionalnya ditentukan dari persamaan kuadrat x2

- 4x + 1 = 0

Denganmenggunakan rumus kuadrat diperoleh x = 2 - √3 atau x = 2 + √3

Jadi, persamaan sukubanyak f(x) = x3

- 6x2

+ 9x – 2 = 0 mempunyai akar

rasional 2 dan akar – akar irasional 2 - √3 atau 2 + √3 , ditulis himpunan

penyelesaiannya

HP = { 2, 2 - √3 , 2 + √3 }.

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah

….

a. –6x + 5

b. –6x – 5

c. 6x + 5

d. 6x – 5

e. 6x – 6

2. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah ….

a. (x + 1)

b. (x – 1)

c. (x – 2)

d. (x – 4)

e. (x – 8)

3. Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi

(x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah ….

a. x3 – 2x2 + x + 4

b. x3 – 2x2 – x + 4

c. x3 – 2x2 – x – 4

d. x3 – 2x2 + 4

e. x3 + 2x2 – 4

4. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4), jika di bagi

(x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah….

a. x3 – x2 – 2x – 1

b. x3 + x2 – 2x – 1

c. x3 + x2 + 2x – 1

d. x3 + x2 – 2x – 1

e. x3 + x2 + 2x + 1

5. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya

4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah ….

a. –8

b. –2

c. 2

d. 3

e. 8

6. Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x)

dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = .…

a. 10

b. 4

c. –6

d. –11

e. –13

7. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak

tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh

2x2 + 3x – 2 adalah ….

A. 45 x+5 3

5

B. 45 x+2 2

5

C. 4x + 12

D. 4x + 4

E. 4x – 4

8. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5.

Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah ….

a. –2x + 8

b. –2x + 12

c. –x + 4

d. –5x + 5

e. –5x +15

9. Salah satu akar persamaan suku banyak x3−7 x−6=0 adalah 3, maka akar-

akar yang lain adalah . . . .

a. 1 dan 2

b. -1 dan 2

c. 1 dan -2

d. -1 dan -2

e. 3 dan -2

10. Nilai a yang memenuhi pernyataan (x−2) adalah faktor dari

P ( x )=x4+ax2−ax+2 yaitu . . . .

a. -10

b. -9

c. -6

d. 9

e. 10

SOAL ESSAY

1. Diketahui (x-1) salah satu faktor dari suku banyak f(x) = 3x4 – 5x3 + px2 + 13x

+ 6. Tentukan factor-faktor lain dari suku banyak tersebut.

2. Diketahui : f(x) = x3 – 4x2 + 5x + a dan g(x) = x 2 + 3x – 2, jika f(x) dan

g(x) dibagi (x+1) bersisa sama. Tentukan nilai a.

3. Diketahui persamaan 5x4 + kx3 = 2x – 3 mempunyai akar x = 1, tentukan

jumlah ketiga akar yang lain dari persamaan itu.

4. Tentukan sisa pembagian f(x) = x3 – 1 bila dibagi (x2 – 5x + 6).

5. Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x2 – x) dan (x2 + x) masing-masing bersisa

(5x + 1) dan (3x + 1). Tentukan sisa pembagiannya jika dibagi (x2 – 1).

IRISAN KERUCUT

A Parabola dan unsur-unsurnya

Parabola adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik (pada

bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik dan suatu garis

tertentu. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis yang

dimaksud adalah garis arah/direktriks. Parabola dapat dilukiskan jika

diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis yang tegak

lurus garis arah.

1. Persamaan Parabola dengan puncak O (0,0)

Jika jarak yang tetap adalah 2p, maka untuk menentukan persamaan

parabola perhatikan sket gambar berikut :

Persamaan parabola horizontal membuka ke kanan

Panjang FP = Panjang PQ

Dengan rumus jarak dapatlah

ditemukan persamaan sebagai

berikut :

FP2=PQ 2

( x− p )2+ ( y−0 )2=( x+ p )2+ ( y− y )2

x2−2 px+ p2+ y2=x2+2 px+ p2

y2=4 px

Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (p, 0) adalah

y2=4 px , p = parameter.

Dengan: Persamaan garis direktriksnya x = - p

Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x ( y = 0 )

pp

y

xF(p,0)

P(x,y)

O

Q(-p,y)

Garis arah

Persamaan parabola horizontal membuka ke kiri.

Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (-p, 0)

adalah

y2=−4 px , p = parameter.

Dengan: Persamaan garis direktriksnya x = p

Sumbu simetri berimpit dengan sumbu x ( y = 0 )

Persamaan parabola vertical membuka ke atas.

Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (0, p)

adalah

x2=4 py , p = parameter.

Dengan: Persamaan garis direktriksnya y = - p

Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y ( x = 0 )

Persamaan parabola vertical membuka ke bawah.

Persamaan Parabola yang Puncaknya di (0, 0) dan focus F (0, - p)

adalah

x2=−4 py , p = parameter.

Dengan: Persamaan garis direktriksnya y = p

Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y ( x = 0 )

2. Persamaan Parabola dengan Puncak A (a, b)

Persamaan parabola puncak A (a, b) horizontal membuka ke kanan

y

ppxF(a+p,

0)

P(x,y)

A(a,b)

Q(a-p,

y)

Garis arah

Sb. simetri

Persamaan Parabola dengan puncak di titik A(a, b) sumbu simetri sejajar

dengan sumbu x dengan focus F(a+p, b)

( y−b )2=4 p (x−a ) , p = parameter

dengan: Sumbu simetri y = b sejajar sumbu x

Persamaan garis direktriks x = a – p

Persamaan parabola puncak A (a, b) horizontal membuka ke kiri

Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a-p, b)

adalah

( y−b )2=−4 p (x−a ) , p = parameter

dengan : Persamaan sumbu simetri y = b sejajar sumbu x

Persamaan garis direktriks x = a + p.

Persamaan parabola puncak A (a, b) vertical terbuka ke atas

Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a, b+p)

adalah

( x−a )2=4 p( y−b ), p = parameter

dengan: Persamaan sumbu simetri x = a sejajar sumbu y

Persamaan garis direktriks y = b - p.

Persamaan parabola puncak A (a, b) vertical terbuka ke bawah

Persamaan parabola yang puncaknya di (a, b) dengan focus F (a, b-p)

adalah

( x−a )2=−4 p( y−b ) , p = parameter

dengan : Persamaan sumbu simetri x = a sejajar sumbu y

Persamaan garis direktriks y = b + p.

B. Ellips dan unsur-unsurnya

Ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Selanjutnya dua

titik itu disebut titik fokus ellips.

Gambar ellips :

Keterangan:

Titik O adalah pusat ellips

A, B, C, D puncak ellips.

F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0) focus

ellips.

AB = sumbu panjang/mayor

CD = sumbu pendek/minor

Persamaan ellips

1. Persamaan ellips dengan pusat di O (0,0) adalah :

x2

a2+y2

b2=1

a. Titik Fokus F1 (c, 0 ) dan F2( -c, 0 ) dengan c2=a2−b2

b. Titik puncak A(-a, 0); B(a, 0); C(0, b) dan D(0, -b).

c. Sumbu panjang (mayor) = 2a dan sumbu pendek (minor) = 2b.

d. Perbandingan jarak dari titik pada ellips ke titik focus dengan jarak

titik ke garis direktris disebut eksentrisitas (e), e= c

a dengan 0 < e <

1.

e. Persamaan garis direktrik ellips adalah x=±a2

c

gg

R

L

O

P(x,y)

BA

C

D

F1F2

f. Ruas garis yang melalui focus tegak lurus sumbu mayor sepanjang

ellips disebut Latus Rectum (LR). LR= 2 b2

a

2. Persamaan ellips dengan pusat di titik P(x1, y1) adalah

( x−x1)2

a2 +( y− y1 )

2

b2 =1

a. Puncak ellips di titik A(x1 + a, y1); B(x1 - a, y1) ; C(x1 , y1 +b) ; D (x1 , y1

- b)

b. Koordinat focus di titik F1 (x1 + c, y1); F2 (x1 - c, y1);

c. Persamaan garis direktrik x=x1±

a2

c

d. Panjang Latus Rectum LR =2 b2

a

3. Persamaan garis singgung pada ellips

x2

a2+y2

b2=1 dengan gradient m dan

berpusat di :

a. Titik O (0,0) adalah : y = mx ±√b2+a2m2

b. Titik P (x1,y1) adalah : y− y1=m( x−x1 )±√b2+a2 m2

4. Persamaan garis singgung di T (x1,y1) dengan pusat O (0,0) adalah

x1 x

a2 +y1 y

b2 =1

5. Persamaan garis singgung di P (xp,yp) dengan pusat P (x1,y1) adalah :

( x−x p )( x1−x p )

a2 +( y− y p )( y1−y p )

b2 =1

C. Hiperbola dan unsur-unsurnya

Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang

datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya .

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. Jadi hiperbola dapat

dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang

panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.

Unsur-unsur Hiperbola

Titik O disebut titik pusat Hiperbola

Titik A dan B disebut titik-titik puncak

hiperbola.

F1 dan F2 disebut titik-titik fokus

hiperbola.

AB dan CD disebut sumbu mayor

(sumbu panjang) dan sumbu minor

(sumbu pendek).

1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O (0,0) adalah :

x2

a2−y2

b2=1

a. Fokus di F1 (c,0) dan F2 (-c,0)

b. Puncaknya di A (a,0) dan B (-a,0)

c. Persamaan asimtotnya : y=±b

ax

d. Eksentrisitas numeriknya : e= c

a >1

e. Persamaan garis arah :x = ±a2

c

2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat pada P (xp,yp) adalah:

x

O

F2

T (xi,yi)

F1

y

a a

( x−xp )2

a2 −( y− yp )2

b2 =1

a. Focus di F1(xp + c, yp) dan F2(xp – c, yp).

b. Puncaknya di A (xp + a, yp) dan B (xp – a, yp).

c. Persamaan asimtotnya :y− yp=± b

a( x−xp )

d. Eksentrisitas numeriknya : e = ca > 1

CONTOH SOAL

1. Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2 + 4y – 4x + 8 = 0.Tentukan

koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan

direktriks, dan sketsa gambarnya !

Jawab:

y2 + 4y – 4x + 8 = 0

y2 + 4y = 4x - 8

(y + 2)2 – 4 = 4x - 8

(y + 2)2 = 4x - 4

(y + 2)2 = 4(x – 1) (y - )2 = 4p(x - )

Berarti : = -2; = 1; p = 1

Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya ( + p, ) = (2, -2),

persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x =

- p x = 1 – 1 x = 0

Grafiknya :

Y

1 2 X

O

-1

y = -2

-2 F

2. Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (4, 0) dan titik-titik ujung (2,

0).

Jawab:

Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku

dari persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 6.1.

Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a

= 2 dan b2 = c2 – a2 = 16 – 4 = 12.

Jadi persamaan yang dicari adalah

x2

4 –

y2

12 = 1

3x2 – y2 = 12

3. Sebuah hiperbola mempunyai persamaan

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus hiperbola tersebut.

Jawab:

Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku.

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36

( y+1)2

9 –

( x−2 )2

4 = 1

Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 =

4. Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.

Dapat disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi berpusat di (2, –1), titik-

titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –4), titik fokusnya

adalah (2, –1 + √13 ) dan (2, –1 – √13 ).

4. Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek,

direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :

a) 9x2 + 25y2 = 900

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab:

a) 9x2 + 25y2 = 900

x2

100+ y2

36=1

a = 10, b = 6, c = 8

pusat O(0,0)

Fokus (8, 0) dan (-8, 0)

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y

Sumbu panjang = 2a = 20

Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x = ±a2

c = ±100

8 = ±12 1

2

Eksentrisitas : e =

ca= 8

10=4

5

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4

(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36

( x−2 )2

36+( y+3 )2

9=1

pusat (2, -3)

a = 6, b = 3, c = √a2−b2=√39−9=√27=3√3

Fokus (3√3 2, -3)

Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3

Sumbu panjang = 2a = 12

Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x =

a2

c+α

= ±36

3√3+2=±4√3+2

Eksentrisitas : e =

ca=3√3

6=1

2 √3

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah ….

a. (-12, 0)

b. (-4, 0)

c. (-3, 0)

d. (0, -3)

e. (0, -4)

2. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 adalah ….

a. (-1, 3)

b. (1, -3)

c. (2, -6)

d. (2, -3)

e. (-2, 6)

3. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu

simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah ….

a. (y + 2)2 = 8(x – 4 )

b. (y - 2)2 = 8(x – 4 )

c. (y + 1)2 = 8(x + 4 )

d. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )

e. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )

4. Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak lurus

dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ….

a. 2x + y – 4 = 0

b. 2x + y + 2 = 0

c. 2x + y + 8 = 0

d. 2x - y – 2 = 0

e. 2x - 8y – 5 = 0

5. Panjang sumbu mayor dari persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah .…

a. 2√5b. 6

c. 12

d. 20

e. 36

6. Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116

adalah ….

a. (5, 2) dan (-3, 2)

b. (-3, -2) dan (1, 3)

c. (3, 2) dan (5, 2)

d. (-1, 6) dan (5, 3)

e. (5, 2) dan (-3, 5)

7. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah

satu fokusnya (-6, 0) adalah ….

a. 10x2 + 6y2 = 60

b. 36x2 + 16y2 = 400

c. 16x2 + 9y2 = 400

d. 9x2 + 16y2 = 144

e. 9x2 + 25y2 = 225

8. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah ….

a. x - y + 5 = 0

b. x + y + 5 = 0

c. x + y = 5

d. x + y = -5

e. -x - y = 5

9. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah ….

a. (1, 2) dan (-1, 2)

b. (3, 2) dan (-1, 2)

c. (1, 3) dan (-1, 3)

d. (1, 0) dan (1, 4)

e. (1, -2) dan (1, -4)

10. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2)

adalah ….

a. 4x - y + 21 = 0

b. 4x - y - 34 = 0

c. 4x - y - 28 = 0

d. 9x - 2y - 34 = 0

e. 9x - 2y + 21 = 0

SOAL ESSAY

1. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan keterangan

sebagai berikut :

a. titik fokus di F(-3, 0) b. titik fokus di F(0, 3)

2. Diketahui parabola dengan persamaan (y + 2)2 = 4(x – 1).

Tentukan: a. koordinat titik puncak

b. koordinat titik fokus

c. peramaan direktriks

d. persamaan sumbu simetri

3. Tentukan persamaan parabola jika titik puncak A(2, 4) dan titik fokus di F(8,

4) !

4. Diketahui elips dengan persamaan

x2

16+ y2

25=1

.

Tentukan :

a) Koordinat titik puncak d) Persamaan direktriks

b) Koordinat titik fokus e) Nilai eksentrisitas

c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor

5. Diketahui hiperbola :

( x−2 )2

16−( y+1)2

9=1

a) Titik pusat e) Titik fokus

b) Titik puncak f) Eksentrisitas

c) Persamaan sumbu utama dan sekawan g) Persamaan direktriks

d) Persamaan asymtot

IRISAN DUA LINGKARAN

A. Kuasa Lingkaran

1. Kuasa Titik terhadap Lingkaran

Jika diketahui sebuah titik P dan lingkaran L yang berpusat di M dan

sembarang garis yang melalui P dan memotong lingkaran di A dan B maka

yang dimaksud dengan kuasa titik P terhadap lingkaran L adalah perkalian

panjang PA dengan panjang PB.

Gambar 1

Perhatikan gambar 1 Menurut definisi maka kuasa titik P ditulis K(P) atau KP

adalah

KP = PAPB (1)

Misalkan C adalah titik singgung garis yang melalui P. Perhatikan segitiga

PBC dan segitiga PCA. Terlihat bahwa :

BPC = CPA (2)

dan PAC = PCB = ½ AMC (3)

Oleh karena dua segitiga PAC dan PCB mempunyai dua pasang sudut yang

berukuran sama, maka kedua segitiga tersebut adalah sebangun. Akibatnya

terdapat hubungan perbandingan:

PAPC =

PCPB

atau PAPB = PC2 (4)

Jika (4) disubstitusikan ke (1) maka diperoleh

AB

MP

C

KP = PC2 (5)

Perhatikan bahwa PC merupakan panjang garis singgung dari titik P ke titik

singgung di lingkaran. Jadi kuasa titik P terhadap lingkaran L sebenarnya

adalah kuadrat panjang garis singgung lingkaran dari titik P ke titik

singgungnya.

Selanjutnya perhatikan bahwa segitiga PCM adalah siku-siku di C, karena PC

adalah garis singgung. Menurut dalil Pythagoras terdapat hubungan

PM2 = PC2 + CM2 atau PC2 = PM2 – CM2 (6)

Apabila koordinat titik P adalah (x1, y1) dan lingkaran L mempunyai

persamaan yang berbentuk (x – h)2 + (y – k)2 = r2, maka

PM2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 dan CM2 = r2 (7)

sebab CM merupakan jari-jari lingkaran.

Jika persamaan (7) disubstitusikan ke (6) dan (5) diperoleh kuasa titik P

terhadap lingkaran L adalah

KP = (x1 – h)2 + (y – k)2 – r2 (8).

Jika persamaan lingkaran L berbentuk umum x2 + y2 + ax + by + c = 0, maka

kuasa titik P(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah

KP = x12 + y1

2 + ax1 + by1 + c (9)

2. Garis Kuasa

Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap

dua lingkaran berupa garis lurus dan disebut garis kuasa.

Jika diberikan dua lingkaran L1 dan L2 maka garis kuasa dapat dicari.

Misalkan kita akan menentukan persamaan garis kuasa lingkaran L1 x2 + y2

+ a1x + b1y + c1 dan lingkaran L2 x2 + y2 + a2x + b2y + c2 dan misalkan P(xP, yP)

adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2.

Menurut (9) maka kuasa titik P terhadap lingkaran L1 adalah

KP = xP2 + yP

2 + a1xP + b1yP + c1

dan kuasa titik P terhadap lingkaran L1 adalah

KP = xP2 + yP

2 + a2xP + b2yP + c2

Kuasa titik P terhadap kedua lingkaran adalah sama sehingga:

xP2 + yP

2 + a1xP + b1yP + c1 = xP2 + yP

2 + a2xP + b2yP + c2

(a1 – a2)xP + (b1 – b2)yP + (c1 – c2) = 0

Jika titik P dijalankan maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang

mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran L1 dan L2 yaitu

(a1 – a2)x + (b1 – b2)y + (c1 – c2) = 0 (10)

Secara simbolis persamaan garis kuasa lingkaran L1 = 0 dan L2 = 0 dituliskan

sebagai :

L1 – L2 = 0 (11)

3. Titik Kuasa

Misalkan L1, L2, L3 adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada

pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga

garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini

disebut titik kuasa.

Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar,

dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.

4. Keluarga Lingkaran

Jika sebuah persamaan linier memuat satu konstanta sembarang, atau

parameter, maka persamaan itu menyatakan sebuah himpunan semua garis

pada bidang. Situasi yang sama juga ada untuk lingkaran. Persamaan

lingkaran yang memuat parameter disebut keluarga lingkaran.

Misalkan persamaan

(x – 2)2 + (y – 3)2 = r2

akan menyatakan keluarga lingkaran yang berpusat di (2, 3) (lihat gambar

2).

Gambar 2

Dengan memberikan nilai tertentu untuk r maka akan menunjuk pada lingkaran

tertentu secara unik.

Persamaan dalam bentuk

(x – h)2 + (y h)2 = h2

akan menyatakan keluarga lingkaran yang meyinggung kedua sumbu koordinat

(perhatikan gambar 3).

Gambar 3

Juga sangat memungkinkan mempunyai keluarga lingkaran yang mempunyai

dua parameter. Sebagai contoh, persamaan

(x – h)2 + (y – 2h)2 = r2

menyatakan keluarga lingkaran yang mempunyai pusat pada garis y = 2x,

tetapi dengan jari-jari sebagai variabel.

O

Y

X

(2, 3)

B. Berkas Lingkaran

Pandang dua lingkaran L1 dan L2 yang berpotongan (baik real maupun

imajiner) dengan persamaan sebagai berikut:

L1 x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0 dan

L2 x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0;

Pandang pula persamaan yang berbentuk:

L1 + kL2 x2 + y2 + a1x + b1y + c1 + k(x2 + y2 + a2x + b2y + c2) = 0 (1)

Untuk sembarang nilai k –1 maka persamaan L1 + kL2 = 0 menyatakan

lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran L1 dan L2. Ini mudah

dipahami bahwa (1) adalah suatu lingkaran dengan menyusun kembali

persamaan (1) dalam bentuk:

x2 + y2 +

a1−a2

1+k x +

b1−b2

1+k y +

c1−c2

1+k = 0 (2)

yang mana menurut seksi 4.2 persamaan di atas merupakan sebuah lingkaran.

Koordinat titik potong kedua lingkaran L1 dan L2 juga memenuhi lingkaran

dengan persamaan L1 + kL2 = 0, sebab titik potong itu memenuhi persamaan L1

dan L2.

Sedangkan untuk k = –1, maka L1 – L2 = 0 merupakan garis kuasa kedua

lingkaran yang juga dapat dianggap sebagai lingkaran dengan pusat pada garis

hubung titik pusat kedua lingkaran dan terletak di tak hingga, sehingga

busurnya berupa garis lurus.

C1 + C2 = 0

C1 = 0C2 = 0

C1 + kC2 = 0

Jika diberikan semua nilai parameter k yang mungkin maka himpunan semua

lingkaran yang berbentuk L1 + kL2 = 0 disebut berkas lingkaran dengan L1 dan

L2 sebagai lingkaran dasar/basis.

Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua

anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa berserikat dan

pusatnya adalah berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat

lingkaran dasarnya.

CONTOH SOAL

1. Tentukan titik pada sumbu-x yang mempunyai kuasa sama terhadap

lingkaran L1 (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 dan L2 = x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, dan

tentukan kuasa titik tersebut terhadap kedua lingkaran.

Jawab:

Persamaan garis kuasa kedua lingkaran adalah L1 – L2 = 0. Jadi persamaan

garis kuasanya adalah :

(x – 1)2 + (y – 4)2 –16 – (x2 + y2 + 2x – 6y – 15) = 0

–4x – 2y + 16 = 0

2x + y – 8 = 0

Semua titik yang berada pada garis ini mempunyai kuasa sama terhadap

kedua lingkaran L1 dan L2 di atas. Sedangkan titik yang ditanyakan adalah

berada pada sumbu-x, yaitu titik potong sumbu-x dengan garis kuasa. Jadi

ordinat titik yang dicari adalah y = 0. Substitusi ke garis kuasa diperoleh

absis titik yang dicari yaitu

2x + 0 – 8 = 0, atau x = 4.

Jadi koordinat titik yang dicari adalah P(–4, 0) dan kuasa titik P terhadap

kedua lingkaran adalah

KP = (4 – 1)2 + (0 – 4)2 – 16 = 9

2. Tentukan titik kuasa lingkaran L1 x2 + y2 + 3x + 5y – 7 = 0; L2 x2 + y2 – 2x +

4y – 6 = 0; dan L3 x2 + y2 + 4x – 2y – 2 = 0.

Jawab:

Garis kuasa lingkaran L1 dan L2 adalah L1 – L2 = 0 yaitu

5x + y – 1 = 0 (1)

Garis kuasa lingkaran L1 dan L3 adalah L1 – L3 = 0 yaitu

x – 7y + 5 = 0 (2)

Dari persamaan simultan (1) dan (2) menghasilkan penyelesaian x = 1/18

dan y = 13/18. Dengan demikian koordinat titik kuasa ketiga lingkaran

tersebut adalah (1/18, 13/18).

3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran

L1 x2 + y2 + 4x – 6y – 96 = 0 dan L2 x2 + y2 – 18x – 8y + 48 = 0,

dan melalui titik asal.

Jawab:

Lingkaran yang dicari merupakan salah satu anggota berkas lingkaran

dengan basis L1 dan L2, yaitu

(x2 + y2 + 4x – 6y – 96) + k(x2 + y2 – 18x – 8y + 48) = 0.

Karena lingkaran juga melalui titik asal O(0, 0) maka substitusikan x = 0

dan y = 0 pada persamaan di atas diperoleh

–96 + 48k = 0, atau k = 2

Substitusikan nilai k pada berkas lingkaran diperoleh persamaan lingkaran

yang dicari yaitu :

3x2 + 3y2 – 32x – 22y = 0

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Diketahui tiga buah persamaan lingkaran berikut.

L1 = x2 + y2 + x + y – 14 = 0

L2 = x2 + y2 = 13

L1 = x2 + y2 + 3x - 2y – 26 = 0

Koordinat-koordinat titik kuasa lingkaran-lingkaran tersebut adalah ….

A. (3, -2)

B. (2, 3)

C. (-2, -3)

D. (1, -2)

E. (-2, 1)

2. Diketahui persamaan lingkaran berikut.

L1 x2 + y2 + 4x – 6y – 48 = 0

L2 x2 + y2 – 18x – 8y + 48 = 0

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran tersebut adalah ….

A. 2x2 + 2y2 – 14x – 14y = 0

B. 3x2 + 3y2 – 32x – 22y = 0

C. 2x2 + 2y2 – 32x – 22y = 0

D. x2 + y2 – 32x – 22y = 0

E. 3x2 + 3y2 – 32x – 12y = 0

3. Letak kuasa titik (3, 2) kepada lingkaran x2+y2+2x-6y+1=0 adalah ….

A. k = ± 2√2

B. k = ±√5

C. k = ±3

D. k = ±8

E. k = ±3√3

4. garis kuasa kedua lingkaran dengan persamaan x2+y2=25 dan x2+y2+6x-8y+11=0 adalah

….

A. 3x – 4y – 7 = 0

B. 3x – 4y – 9 = 0

C. 5x – 4y – 7 = 0

D. 4x – 3y – 7 = 0

E. 3x – 3y – 7 = 0

5. persamaan berkas yang melalui titik potong

L1 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0

L2 = x2 + y2 - 4x – 6y – 22 = 0

Lingkaran ini melalui titik pangkal O(0,0) adalah ….

A. x2 + y2 – 8x – 10y = 0

B. 2x2 + 2y2 – 8x – 10y = 0

C. 3x2 + 3y2 – 8x – 10y = 0

D. 3x2 + 3y2 – 4x – 5y = 0

E. 2x2 + 2y2 – 4x – 5y = 0

6. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong lingkaran x2 + y2 – 6x – 10y – 15 = 0

dan x2 + y2 + 2x + 4y – 17 = 0 dan yang titik pusatnya terletak pada garis 5x – 3y + 1 = 0

adalah ….

A. x2 + y2 – 14x + 24y – 13 = 0

B. x2 + y2 – 14x + 4y – 13 = 0

C. x2 + y2 – 14x + 14y – 13 = 0

D. x2 + y2 – 4x + 24y – 18 = 0

E. x2 + y2 – 24x + 24y – 16 = 0

7. Koordinat-koordinat dari titik kuasa lingkaran-lingkaran x2 + y2 + x + y – 14 = 0, x2 + y2

= 13, dan x2 + y2 + 3x - 2y – 26 = 0 adalah ….

A. (3, -2)

B. (2, 3)

C. (1, 3)

D. (-2, 3)

E. (-3, -2)

8. Diketahui lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y = p membagi dua sama besar lingkaran x2 + (y – 1)2

= 4. Nilai p = ….

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

E. 11

9. Kuasa titik T(1, 3) terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 adalah ….

A. 12

B. 24

C. -24

D. -12

E. -6

10. Kuasa titik T(1, 3) terhadap lingkaran 2x2 + 2y2 – x = 0 adalah ….

A. 4,5

B. 5,5

C. 6,5

D. 8,5

E. 9,5

SOAL ESSAY

1. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang berpusat pada garis x – y – 5 = 0

dan

(a) melalui titik asal.

(b) menyinggung sumbu-y.

2. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang melalui titik (2, 3) dan titik

(–4, 5).

3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran

x2 + y2 + 10x + 12y + 45 = 0, x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0,

dan melalui titik asal.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran

x2 + y2 – 6x + 2y = 0, x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0,

dan melalui titik (5, 3).

5. Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran L1 x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 dan lingkaran L2

x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0. Buktikan bahwa garis kuasa itu tegak lurus dengan garis

hubung pusat-pusat lingkaran basis. Buktikan pula bahwa semua pusat singkaran

anggota berkas adalah terletak pada satu garis lurus, yaitu garis hubung kedua pusat

lingkaran dasar.

STATISTIKA

A. Pengambilan Sampel (Sampling)

Penentuan sampel merupakan langkah penting dalam penelitian kuantitatif, konsep

dasar dari penentuan sampel adalah bahwa agregasi dari orang, rumah tangga atau

organisasi yang sangat besar dapat dikaji secara efektif dan efisien serta akurat melalui

pengkajian yang terinci dan hati-hati pada sebagian agregasi yang terpilih. Agregasi

(Keseluruhan) disebut populasi atau universe yang terdiri dari unit total informasi yang

ingin diketahui. Dari populasi yang ingin dikaji kemudian ditentukan sampelnya, melalui

prosedur sampling yang sesuai dengan karakteristik populasinya.

Penelitian bidang sosial dan Pendidikan banyak dilakukan dengan menggunakan

sampel (Sampling Methods), hal ini tidak hanya karena alasan biaya dan waktu, tapi juga

untuk menghindari kekeliruan akibat pengumpulan, pemrosesan dan penganalisaan data

dari agregasi yang sangat besar. Dengan penarikan sampel maka estimasi dapat dilakukan

serta hipotesis dapat diuji yang hasilnya dapat berlaku terhadap populasi darimana sampel

itu diambil. Pengkajian terhadap sampel pada dasarnya dimaksudkan untuk menemukan

generalisasi atas populasi atau karakteristik populasi (Parameter), sehingga dapat

dilakukan penyimpulan (inferensi) tentang universe, oleh karena itu penarikan sampel

jangan sampai bias dan harus menggambarkan seluruh unsur dalam populasi secara

proporsional, hal ini bisa dilakukan dengan cara memberikan kesempatan yang sama pada

seluruh elmen dalam populasi.

Adapun langkah-langkah dalam penentuan sampel adalah :

a. Mendefinisikan populasi yang akan dijadikan obyek penelitian

b. Menentukan prosedur sampling

c. Menentukan besarnya sampel

pendefinisian populasi merupakan langkah pertama yang sangat penting, dari sini dapat

tergambar bagaimana keadaan populasi, sub-sub unit populasi, karakteristik umum

populasi serta keluasan dari populasi tersebut. Dalam hubungan ini perlu dibedakan antara

populasi target (Target/actual population) dan populasi terjangkau (Accessible population),

populasi target adalah populasi yang ingin digeneralisasi oleh peneliti, sedangkan populasi

terjangkau adalah populasi yang dapat digeneralisasi oleh peneliti, target populasi

merupakan pilihan ideal dan populasi terjangkau merupakan pilihan yang realistis.

Sesudah diperoleh gambaran tersebut kemudian ditentukan prosedur apa yang akan

diambil dalam penentuan sampel, sesudah langkah ini baru kemudian ditentukan besarnya

sampel yang akan dijadikan obyek penelitian. Sebagai Contoh akan dikemukakan berikut

ini:

Masalah penelitian yang akan dikaji : Akibat pemanfaatan media elektronik

terhadap prestasi belajar Siswa Sekolah Dasar di Kabupaten Sleman.

Populasi Target : Seluruh Siswa Sekolah Dasar di Kabupaten Sleman

Populasi Terjangkau : Seluruh Siswa Sekolah Dasar di Kecamatan Sleman Kabupaten

Sleman

Kerangka Sampel : Daftar Nama siswa yang tercatat pada Dinas Pendidikan

Kecamatan Sleman

Sampel : Lima belas persen Siswa Sekolah Dasar di Kecamatan Sleman Kabupaten

Sleman

Masalah penelitian yang akan dikaji : Hubungan antara Motivasi Berprestasi dengan

Kinerja Guru di Kabupaten Sleman.

Populasi Target : Seluruh Guru di Kabupaten Sleman

Populasi Terjangkau : Seluruh Guru SMU di Kabupaten Sleman

Kerangka Sampel : Daftar Guru SMU yang tercatat pada Dinas Pendidikan

Kabupaten Sleman

Sampel : Dua puluh persen Guru SMU di Kabupaten Sleman

1. Simple Random Sampling

Pengambilan sampel acak sederhana adalah cara pengambilan sampel dimana

setiap unsur yang membentuk populasi diberi kesempatan yang sama untuk terpilih

menjadi sampel, cara ini akan sangat mudah apabila telah terdapat daptar lengkap

unsur-unsur populasi. Prosedur yang cukup akurat untuk pengambilan sampel secara

acak adalah dengan menggunakan tabel angka acak (Table of random numbers),

disamping itu dapat pula dilakukan dengan cara mengundi.

2. Pengambilan Sampel secara Sistimatis

Systematic Sampling merupakan Alternatif lain pengambilan sampel yang sangat

bermanfaat untuk pengambilan sampel dari populasi yang sangat besar. Pengambilan

sampel secara sistematis adalah suatu metode dimana hanya unsur pertama dari

sampel yang dipilih secara acak, sedang unsur-unsur selanjutnya dipilih secara

sistematis menurut suatu pola tertentu. Sebagai contoh Kepala Dinas Pendidikan ingin

mengetahui bagaimana Motivasi Kerja Kepala Sekolah di Kabupaten Sleman yang

berjumlah 1000 orang dan akan mengambil sempel 100 orang Kepala sekolah,

kemudian Nama-nama Kepala Sekolah disusun secara alpabetis, lalu dipilih sampel per

sepuluh Kepala Sekolah, untuk itu disusun nomor dari 1 sampai 10, lalu diundi untuk

memilih satu angka, jika angka lima yang keluar, maka sampelnya adalah nomor 5, 15,

25, 35, dan seterusnya sampai diperoleh jumlah sampel yang dikehendaki.

3. Pengambilan Sampel berstrata (Stratified Sampling)

Pengambilan sampel berstrata merupakan teknik pengambilan sampel dimana

populasi dikelompokan dalam strata tertentu, kemudian diambil sampel secara random

dengan proporsi yang seimbang sesuai dengan posisinya dalam populasi. Sebagai

contoh : seorang Kepala Sekolah ingin mengetahui tanggapan Siswa tentang

pelaksanaan program Keterampilan. Jumlah Siswa sebanyak 2000 orang dengan

komposisi kelas 3 sebanyak 600 siswa, kelas 2 sebanyak 400 siswa dan kelas 1

sebanyak 1000 siswa, besarnya sampel yang akan diambil adalah 200 orang, jika

stratanya berdasarkan Kelas maka langkah yang harus dilakukan adalah :

a. Tetapkan proporsi strata dari populasi hasilnya kelas 3 sebesar 30%, Kelas 2

sebesar 20% dan kelas 1 sebesar 50%.

b. Hitung besarnya sampel untuk masing-masing strata, hasilnya kelas 3 sebanyak 60

siswa, kelas 2 sebanyak 40 siswa dan kelas 1 sebanyak 100 siswa

c. Kemudian pilih anggota sampel untuk masing-masing strata secara acak (random

sample).

4. Pengambilan sampel Kelompok (Cluster Sampling)

Cluster Sampling adalah teknik pengambilan sampel dimana pemilihannya

mengacu pada kelompok bukan pada individu. Cara seperti ini baik sekali untuk

dilakukan apabila tidak terdapat atau sulit menentukan/menemukan kerangka sampel,

meski dapat juga dilakukan pada populasi yang kerangka sampelnya sudah ada.

Sebagai contoh : Kepala Dinas Pendidikan Kabupaten Sleman ingin mengetahui

bagaimana Sikap Guru SLTP terhadap Kebijakan Manajemen Berbasis Sekolah (MBS),

besarnya sampel adalah 300 orang, kemudian ditentukan Clusternya, misalnya sekolah,

Jumlah SLTP sebanyak 66 Sekolah dengan rata-rata jumlah Guru 50 orang, maka jumlah

cluster yang diambil adalah 300 : 50 = 6, kemudian dipilih secara acak enam Sekolah

dan dari enam sekolah ini dipilih secara acak 50 orang Guru sebagai anggota sampel.

Pengambilan sampel dengan cara yang sudah disebutkan di atas umumnya

dilakukan pada populasi yang bersifat terbatas (Finit), sementara itu untuk Populasi

yang jumlah dan identitas anggota populasinya tidak diketahui (Infinit) pengambilan

sampel biasanya dilakukan secara tidak acak (Non random Sampling). Adapun yang

termasuk pada cara ini adalah :

1. Quota Sampling : yaitu penarikan sampel yang hanya menekankan pada jumlah

sampel yang harus dipenuhi.

2. Purposive Sampling : pengambilan sampel hanya pada individu yang didasarkan

pada pertimbangan dan karakteristik tertentu.

3. Accidental Sampling : pengambilan sampel dengan jalan mengambil individu

siapa saja yang dapat dijangkau atau ditemui.

B. Pengujian Hipotesis

Hipotesis statistik merupakan pernyataan sementara tentang satu populasi atau

lebih. Dalam statistika, pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting untuk mengambil

keputusan. Dengan melakukan pengujian hipotesis seorang peneliti akan dapat menjawab

pertanyaan-pertanyaan yang diajukan dengan menyatakan penolakan atau penerimaan

terhadap hipotesis. Kebenaran hipotesis secara pasti tidak pernah diketahui kecuali jika

dilakukan pengamatan terhadap seluruh anggota populasi. Untuk melakukan hal ini

sangatlah tidak efisien apalagi bila ukuran populasinya sangat besar.

Dalam pengujian hipotesis ada dua jenis tipe kesalahan yaitu kesalahan jenis I dan

kesalahan jenis kedua. Kesalahan jenis I adalah kesalahan yang terjadi akibat menolak H 0

padahal H0 benar, sedangkan kesalahan jenis II adalah kesalahan yang terjadi akibat

menerima H0 padahal H1 benar. Secara ringkas tabel dari dua jenis tipe kesalahan tersebut

adalah :

Ho benar Ho salah

KeputusanTerima Ho Keputusan benar Galat jenis II

Tolak Ho Galat jenis I Keputusan benar

Galat jenis I = P (menolak Ho Ho benar)

=

= taraf nyata

Galat jenis II = P (menerima Ho Ho salah)

=

Sifat-sifat penting dari dan adalah :

1. dan saling berhubungan. Menurunnya probabilitas yang satu akan meningkatkan

probabilitas yang lain.

2. Ukuran wilayah kritis, yang selalu berarti peluang melakukan galat jenis I, selalu

dapat diperkecil dengan mengubah nilai kritisnya.

3. Peningkatan ukuran sampel (n) akan memperkecil dan secara bersamaan.

4. Bila Ho salah, nilai akan semakin besar bila parameternya dekat dengan nilai yang

dihipotesiskan. Semakin besar jarak antara nilai yang sesungguhnya dengan nilai yang

dihipotesiskan, maka akan semakin kecil nilai .

Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu-arah dinyatakan sebagai :

Ho : = o

H1 : > o

atau

Ho : = o

H1 : < o

disebut uji satu arah.

Sedangkan uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah seperti

Ho : = o

H1 : o

disebut uji dua arah.

Ho selalu dituliskan dengan tanda kesamaan, sehingga menspesifikasi suatu nilai tunggal.

Dengan cara ini peluang melakukan galat jenis I dapat dikendalikan.

Langkah-langkah pengujian hipotesis :

1. Nyatakan hipotesis nol (Ho), yaitu Ho : = θ θo

2. Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai.

3. Tentukan taraf nyatanya ().

4. Pilih statistik uji yang sesuai dan tentukan wilayah kritisnya.

5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampel.

6. Ambil keputusan :

a. Tolak Ho bila nilai statistik uji terletak dalam wilayah kritis,

b. Terima Ho bila nilai statistik uji jatuh di luar wilyah kritis.

C. Variabel Acak

Pengertian variable acak dalam suatu eksperimen yaitu suatu variabel yang dapat

bernilai numeric yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Variabel tersebut

disebut diskrit jika variabel itu hanya dapat memiliki nilai tertentu dan disebut kontinu

jika variabel itu dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu.

D. Distribusi Binomial

Perumusan mengenai distribusi binomial (disebut juga; distribusi kemungkinan

Bernoulli) ini diketemukan oleh seseorang tahu matematika bangsa Swiss yang bernama

Jacob Bernoulli. Perumusan yang dikemukakan disebut; fungsi kepadatan kemungkinan

binomial (binomial probablilty density function).

Bentuk perumusan adalah sebagai berikut :

Pr(r/n,P) = aCrPrQn-r

Dalam perumusan diatas dapat dilihat bahwa n merupakan banyaknya suatu

percobaan dilakukan atau diulang. Ini menunjukkan bahwa suatu percobaan dapat

dilakukan lebih dari sekali. Proses pengulangan tersebut disebut proses Bernoulli dan

memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

1. Hanya terdapat dua buah hasil yang mungkin untuk setiap percobaan;

2. Data yang dikumpulkan di dalam percobaan merupakan hasil perhitungan dan sebaran

kemungkinan Bernouli itu merupakan sebuah distribusi diskrit;

3. Kemungkinan suatu hasil (sukses) (P) tetap sama untuk setiap percobaan, demikian

juga dengan kemungkinan suatu kegagalan (Q atau 1-P);

4. Percobaan-percobaan yang dilakukan adalah independen (bebas) satu sama lain,

sehingga tiada suatu pola tertentu mengenai hasil-hasilnya.

Contoh Soal

1. Suatu jenis vaksin influenza yang beredar di pasaran diketahui hanya 25% efektif

setelah periode dua tahun. Untuk menentukan apakah suatu vaksin baru lebih unggul

dalam memberikan perlindungan terhadap virus yang sama untuk periode yang lebih

lama, dilakukan penelitian. 20 orang diambil secara acak dan diinokulasi dengan vaksin

baru tersebut. Bila 9 atau lebih di antara yang menerima vaksin baru terbebas dari

virus tersebut selama periode 2 tahun, maka vaksin baru dinilai lebih unggul.

a. Hitung peluang melakukan galat jenis I.

b. Jika Ho salah, dan yang benar H1 : p = ½, maka hitung peluang melakukan galat jenis

II.

c. Jika Ho salah, dan yang benar H1 : p = 0,7, maka hitung peluang melakukan galat jenis

II.

d. Misalkan kriteria pengujiannya diubah menjadi : jika 8 atau lebih berhasil

melampaui periode 2 tahun dengan baik, maka vaksin baru dinilai lebih unggul.

Tentukan peluang melakukan galat jenis I dan II (dengan H1 : p = ½).

e. Misalkan ukuran sampel diperbesar menjadi 100 orang, dan kriteria pengujiannya :

jika 37 orang berhasil melampaui periode 2 tahun tersebut, maka vaksin baru

dinilai lebih unggul. Tentukan peluang melakukan galat jenis I dan II (dengan H 1: p

= ½).

Jawab :

a. = P (galat jenis I)

= P (x 9 bila p = ¼ )

=∑x=9

20

b(x; 20, ¼) = 1 -∑x=0

8

b(x; 20, ¼) = 1 – 0,9591

= 0,0409

b. = P (galat jenis II)

= P (x < 9 bila p = ½ )

=∑x=0

8

b(x; 20, ½ ) = 0,2517

c. = P (x < 9 bila p = 0,7 ) =∑x=0

8

b(x; 20, 0,7 ) = 0,0051

d. = P (x 8 bila p = ¼ )

=∑x=8

20

b(x; 20, ¼) = 1 -∑x=0

7

b(x; 20, ¼) = 1 – 0,8982

= 0,1018

= P (x < 8 bila p = ½ ) = ∑x=0

7

b(x; 20, ¼) = 0,1316

e. Digunakan hampiran normal :

Bila Ho benar

= n p = 100 ( ¼ ) = 25

2 = n p q = 100 ( ¼ ) ( ¾ ) = 300/16

= P (galat jenis I)

= P (x > 36,5 bila p = ¼ ) = P (z > 2,66) = 0,0039

Bila H1 benar

= n p = 100 ( ½ ) = 50

2 = n p q = 100 (½) (½) = 25

= P (galat jenis II)

= P (x < 36,5 bila p = ½ ) = P (z < -2,7) = 0,0035

2. Dimisalkan N = 8; P = 0,8 Q = 1-P. Hitunglah kemungkinan untuk r = 3 dengan

perumusan Binomial!

Jawab :

Nilai kemungkinannya dihitung sebagai berikut :

Pr (r = 3/n = 8, P = 0,8) = 8C3. (0,8)3. (0,2)8-3

Pr(r = 3/n=, 8, P = 0,8) = 56 x 0.512 x 0.00032 = 0.00917504 = 0.0092

Atau bila dinyatakan dalam persen = 0,92%

Latihan Soal

SOAL PILIHAN GANDA

1. Seorang guru Matematika akan meneliti hasil ulangan matematika untuk materi

statistika kelas XII SMA Negeri 96 Yogyakarta yang terdiri dari 4 kelas. Penelitian

dilakukan di kelas XII-1 dan XII-3. Populasi dari kejadian tersebut adalah ….

a. Seluruh siswa SMA 96 Yogyakarta

b. Seluruh siswa kelas XII

c. Siswa kelas XII-1

d. Siswa kelas XII-2

e. Siswa kelas XII-3

2. Untuk mengetahui daya beli masyarakat, Biro Pusat Statistik (BPS) melakukan survei ke

beberapa penduduk di Indonesia. Sampel dari kejadian tersebut adalah ….

a. Seluruh masyarakat Indonesia

b. Seluruh penduduk yang disurvei

c. Daya beli masyarakat

d. Biro Pusat Statistik

e. Penduduk yang tidak disurvei

3. Seorang Camat Wilayah A ingin mengetahui jenis penyakit binatang sapi di wilayahnya.

Untuk keperluan itu, diteliti maisng-masing 20 ekor sapi pada beberapa kelurahan di

wilayah A. Populasi kejadian tersebut adalah ….

a. 20 ekor sapi

b. seluruh sapi di wilayah A

c. sapi di beberapa kelurahan

d. petugas kecamatan

e. Camat Wilayah A

4. Dalam penelitian terhadap kemampuan Matematika siswa SMA se DIY, maka setiap

Kodya mengirimkan 3 sekolah secara acak untuk diberikan tes diagnostik. Sampel

dalam penelitian tersebut adalah ….

a. Seluruh siswa SMA di DIY

b. Seluruh siswa SMA di setiap Kodya

c. Seluruh siswa SMA yang mendapat tes

d. Seluruh siswa SMA yang tidak mendapat tes

e. Seluruh siswa SMA yang mendapat tes di sekolah satu Kodya

5. Variabel acak X merupakan variabel acak diskrit jika X menyatakan ….

A. Tinggi badan manusia

B. Tahan hidup bola lampu

C. Banyaknya sisi belakang (B) yang muncul pada lambung 2 mata uang logam

bersama-sama 1 kali

D. Jarak yang ditempuh oleh pejalan kaki dalam 1 jam

E. Kecepatan sebuah mobil

6. Variabel acak Y merupakan variabel acak diskrit jika Y menyatakan ….

A. Banyaknya sisi M yang muncul pada lambungan 3 mata uang logam bersama-sama

satu kali

B. Selisih banyaknya mata dadu yang muncul pada lambungan 2 dadu bersama-sama 1

kali

C. Tinggi tempat dari permukaan laut

D. Jarak yang ditempuh oleh pejalan kaki dalam 1 jam

E. Banyaknya jawaban yang benar dari 10 soal yang diberikan kepada para siswa

7. Dalam suatu penelitian tentang warna ditemukan bahwa 20 % dari responden memilih

warna hijau dari berbagai warna yang ditawarkan. Jika responden diambil 20 orang

secara acak, maka probabilitas bahwa 10 orang memilih warna hijau adalah ….

A. 0,001

B. 0,002

C. 0,003

D. 0,004

E. 0,005

8. Akan diperiksa 3 sampel hasil suatu produksi. Jika probabiliras hasil produksi itu rusak

adalah ¼ , maka probalitas bahwa paling sedikit 2 dari 3 sampel itu adalah sampel yang

rusak adalah ….

A.9

64

B.3

32

C.1064

D.6

64

E.7

64

9. Dari SMA “ABC”, diketahui 10 % siswanya memakai kacamata. Diambil sampel sebesar

30 secara random. Harapan banyaknya siswa terambil sebagai sampel berkacamata

adalah ….

A. 3

B. 6

C. 9

D. 10

E. 12

10. Probabilitas suatu komponen radio bertahan pada suatu tes adalah ¾ . Diambil 4

komponen untuk dites. Probabilitas bahwa tepat 2 komponen dapat bertahan adalah ….

A.9

128

B.27

128

C.9

64

D.2764

E.5464

SOAL ESSAY

1. Sebuah mata uang logam dilambungkan 3 kali. Tentukan nilai dari variabel acak yang

menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dikurangi banyaknya sisi belakang yang

muncul.

2. Dua buah kotak masing-masing berisi 5 kartu dituliskan angka 1, 2, 3, 4, 5. Dari kotak I

dan II masing-masing diambil sebuah kartu secara random. Tentukan nilai dari variabel

random yang menyatakan jumlah kedua angka pada kartu yang diambil.

3. Pada label kawat baja tertulis :

Diameter (2 ± 0,0005) mm

Tentukan nilai dari variabel acak yang menunjukkan diameter kawat baja yang

diproduksi pabrik tersebut.

4. Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakit langka adalah 0,4. Limabelas orang

telah diketahui terjangkit penyakit tersebut. Berapakah probabilitasnya.

a. Paling sedikit 10 orang dapat bertahan dan sembuh

b. Antara 3 sampai dengan 8 orang dapat sembuh

c. Tepat 5 orang yang dapat sembuh

5. Dari suatu klinik bersalin terjadi 10 kelahiran tiap minggu. Tentukan probabilitas

lahirnya 3 orang anak laki-laki dalam seminggu.

LIMIT FUNGSI

A. Limit fungsi trigonometri

1.limx→0

sin axbx

=limx→0

axsin bx

=ab

2.limx→0

tan axbx

=limx→0

axtan bx

=ab

Catatan

Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 1 – cos A = )(sin2 2

12 A

b.

1sin x = csc x

c.

1cos x = secan x

d. cos A – cos B = – 2 sin 12 (A + B) sin

12 (A – B)

e. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

B. Limit Mendekati Tak Berhingga

1.limx→∞

axn+bxn−1+ .. .cxm+dxm−1+ .. . = p , dimana:

a. p =

ac , jika m = n

b. p = 0, jika n < m

c. p = , jika n > m

2.limx→∞

(√ax+b±√cx+d )= q, dimana:

a. q = , bila a > c

b. q = 0, bila a = c

c. q = –, bila a < c

3.

limx→∞

(√ax2+bx+c−√ax 2+qx+r )= b−q2√a

Contoh Soal

1.limx→0

−x2

1−cos x=.. . .

Jawab :

2.

Jawab :

3.limx→∞

(√( x= p)( x+q−x )= .. ..

Jawab:

limx→ ∞

(√( x+ p )( x+q )−x )

limx→ ∞

(√ x2+( p+q) x+ pq−√ x2)

limx→ ∞

( p+q )2√1

= p+q2

4.

limx→π

2

sin( x−π2 )

√ x2−√ π

4

=. .. .

Jawab :

limx→ π

2

sin( x− π2 )

√ x2−√ π

4

= 00

Dalil L’Hospital

limx→ π

2

cos (x−π2 )

12 ( x

2 )−1

2 . 12

= 11/2√π

=2√π

5.limx→1

sin(1−1x ) cos (1−1

x )(x−1)

=.. ..

Jawab:

limx→1

sin(1−1x ) cos (1−1

x )(x−1)

limx→1

12 (2sin(1− 1

x )cos (1− 1x ))

( x−1)

limx→1

12

sin 2(1−1x )

( x−1)

limx→1

12

sin 2( x−1x )

( x−1)

limx→1

12

sin 2 ( x−1 )( 1x )

( x−1)

limx→1

12

. 2 . 11=1

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Nilai limx→0 ( 1−cos2 x

1−cos4 x )= ….

a. −12

b. −14

c. 0

d. 116

e. 14

2. Nilai xxx

x 2tan14coslim

0

= ….

A. 4

B. 2

C. – 1

D. – 2

E. – 4

3. Nilai limx→∞

√5 x+4−√3 x+9 )4 x = ….

A. 0

B. 12

C. 1

D. 2

E. 4

4. Nilai limx→∞

(√x ( 4 x+5)−2 x+1 )= ….

A. 0

B. 14

C. 12

D. 94

E.

5.limx→ 1

sin(1−1x )cos (1−1

x )x−1

=¿ . . . .

a. -∞

b. -1

c. 0

d. 1

e. ∞

6. limx→ ∞

√ ( x+a )(x+b)−x=¿ . . . .

a.a+b

2

b.2 a+b

2

c.a+2b

2

d.2a−b

2

e.a−b

2

7.limx → π

cos 2 x

sin x−cos x=¿. . . .

a. √2

b. 1

c. 0

d. -1

e. −√2

8.limx → 0

sin ax

cos bx=¿ . . . .

a. – ba

b.−ab

c. 0

d.ab

e.ba

9.limx→ 0

sin 2 x

3−√2 x+9=¿ . . . .

a. -12

b. -9

c. -6

d. -3

e. 0

10.limx → 0

1−cos x

x sin 2 x=¿ . . . .

a.−14

b.−12

c. 0

d.12

e.14

SOAL ESSAY

1. Hitunglah limit berikut.

a.

limx→0

1−cos 4 xx2

b.

limx→0 ( 1−cos2x

2 x sin 2 x )2. Hitunglah limit berikut.

a.

limx→∞

(√ x( 4 x+5)−√4 x2−3)

b.

limx→∞

√2x2+2x−3−√2x2−2 x−32

3. Tentukan nilai

limx→∞

x tan 3 xsin2 6 x

.

4. Tentukan nilai

limx→∞

√( x+a)( x+b )−x

5. Hitunglah limit berikut.

a.

limx→∞

x√1+x−√1−x

b.

limx→∞

(3 x−2−√9 x2−2 x+5 )

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

A. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :

1. f(x) = sin x, yaitu :

f(x) = sin x

f(x + h) = sin (x + h)

f’(x) = limh→o

f ( x+h )−f ( x )h

= limh→0

sin( x+h )−sin( x )h

= limh→0

2cos 12(2x+h )sin 1

2h

h

= limh→0

2 cos 12(2 x+h) lim

h→0

sin 12

h

h

= 2 cos

12(2 x ) . 1

2

= cos x

2. f(x) = cos x, yaitu :

f(x) = cos x

f(x + h) = cos ( x + h )

f’(x) = limh→o

f ( x+h )−f ( x )h

= limh→0

cos ( x+h)−cos( x )h

= limh→0

−2sin 12(2 x+h )sin 1

2h

h

= limh→0

(−2 sin 12(2 x+h ) lim

h→ 0

sin 12

h

h)

= - 2 sin

12(2 x ) . 1

2

= - sin x

Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :

1. a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x

a. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x

2. a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )

b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )

dan jika u suatu fungsi maka:

3. a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u

b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u

B. DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN

Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Jika g(x) = u→ g’ (x) =

dudx dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) →

dydu = f’(u) = f’(g(x))

Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi

dydx

=dydu

. dudx

Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka:

dydx

=dydu

. dudv

. dvdx

CONTOH SOAL

1. Tentuka turunan dari:

b. f(x) = 3 sin x + 2 cos x

c. f(x) = sin (5x – 2)

d. f(x) = tan x

Jawab:

a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x

f’(x) = 3 cos x - 2 sin x

b. f(x) = sin (5x – 2)

f’ (x) = 5 cos (5x – 2 )

c. f(x) = tan x =

sin xcos x

missal : u = sin x → u’ = cos x

v = cos x → v’ = - sin x

f’ (x) =

u' v−uv 'v2

=

cos x .cos x−sin x .(−sin x )cos2 x

=

cos2 x+sin2 xcos2 x

=

1cos2 x

= sec2 x

2. Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari :

a. y = (x2 – 3x)

43

b. y = cos5 (

π3−2 x

)

Jawab:

a. y = (x2 – 3x)

43

missal : u = x2 – 3x →

dudx = 2x – 3

y = u

34

→

dydu

=43

u13

=

43( x2−3 x )

13

Sehingga :

dydx

=dydu

. dudx =

43( x2−3 x )

13

.(2x – 3)

= (8x−4) (x2−3 x )

13

b. y = cos5 (

π3−2 x )

Misal: v =

π3−2x

→

dvdx = -2

u = cos v →

dudv = - sin v = - sin (

π3−2x

)

y = u5 →

dydu = 5u4 = 5(cos v)4

Sehingga :

dydx

= dydu

. dudv

dvdx = 5(cos v)4 . - sin (

π3−2x

) . -2

= 10 (cos v)4 sin (

π3−2x

)

= 10 (cos(

π3−2 x

) )4 sin (

π3−2x

)

LATIHAN SOAL

PILIHAN GANDA

1. Turunan pertama dari y = 14 sin 4 x adalah y’ =….

A. –cos 4x

B. − 116 cos4 x

C.12 cos 4 x

D. cos 4x

E.116 cos4 x

2. Turunan pertama fungsi f(x) = sin2(8x – 2) adalah f’(x) = ….

A. 2 sin (8x – 2)

B. 8 sin (8x – 2)

C. 2 sin (16x – 4)

D. 8 sin (16x – 4)

E. 16 sin (16x – 4)

3. Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x – 3) adalah f’(x) = …

A. 2cos(4x – 6)

B. 2 sin(4x – 6)

C. –2cos(4x – 6)

D. –2 sin(4x – 6)

E. 4 sin(2x – 3)

4. Turunan pertama dari f(x) = 3√sin2 3 x adalah f’(x) = …

A.23 cos

−13 3 x

B. 2cos−

13 3x

C.23 cos

−13 3 x sin3 x

D. –2 cot 3x · 3√sin2 3 x

E. 2 cot 3x · 3√sin23 x

5. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5) cos x adalah f’(x) = …

A. 3x sin x + (3x2 – 5) cos x

B. 3x cos x + (3x2 – 5) sin x

C. –6x sin x – (3x2 – 5) cos x

D. 6x cos x + (3x2 – 5) sin x

E. 6x cos x – (3x2 – 5) sin x

6. Turunan pertama f(x) = cos3x adalah …

A. f'(x) = –32 cos x sin 2x

B. f'(x) = 32 cos x sin 2x

C. f'(x) = –3 sin x cos x

D. f'(x) = 3 sin x cos x

E. f'(x) = –3 cos2x

7. Diketahui f(x) = (1 + sin x)2 (1 + cos x)4 dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).

nilai f’(π2 ) = …

A. –20

B. –16

C. –12

D. –8

E. –4

8. Jika f ( x )=sin x−cos x

sin x , maka f ' ( 1

3π)=

….

A.

14

B. 1

C.

34

D.1 1

3

E. 2

9. Turunan pertama dari fungsi f ( x )=1+cos x

sin x adala f’ (x) = …

A.

1−sin xsin2 x

B.

sin x−1cos x−1

C.

2cos x+1

D.

2sin x−1

E.

1cos x−1

10. Turunan pertama dari y = cos4 x adalah,…

A.

14

cos3 x

B. −4 cos3 sin x

C.−1

4cos3 x

D. 4 cos3 sin x

E. −4cos3 x

SOAL ESSAY

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

1. f (x)=−10 x+3cos x

2. f (x)=5sin x

3. f (x)= cot x1+cot x

4. f ( x )=cos3 x sin x

5. p= tan q1+ tan q

APLIKASI TURUNAN FUNGSI

A. Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi,

diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m

adalah:

y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

CONTOH SOAL

1. Pada selang -1 ≤ x ≤ 2, fungsi y = x3 – 3x2 + 3 mempunyai nilai maksimum …

Jawab:

– 1 ≤ x ≤ 2

y = x3 – 3x2 + 3

y’ = 3x2 – 6x

0 = 3x (x – 2) → x = 0 atau x = 2

o x = - 1 → y = (-1)3 – 3 (-1)2 + 3 = - 1

o x = 0 → y = (0)3 – 3(0)2 + 3 = 3

o x = 2 → y = (2)3 – 3(0)2 + = - 1

nilai maksimum = 3

2. Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabola y2- = 8x adalah …

Jawab:

Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabola y2 = 8x

d=√( x1−x2 )2+( y1− y2)

2

d=√( y2

8−4 )

2

+( y−2)2

d '=2( y2

8−4)( 2 y

8 )+2( y−2 )

2√( y2

8−4)

2

+( y−2)2=0

y3 = 64 → y = 4

d=√( 42

8−4 )2+( 4−2)2=2√2

3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi

S(t) =

13

t 3+3 t2−5 t .kecepatan tertinggi mobil itu di capai pada waktu t = …

Jawab:

s( t )=−13

t3+3 t2−5 t

v (t )=dsdt=−t 2−+6 t−5

v(t) = - 2t + 6

0 = - 2t + 6 ⇒ t = 3

4. Sebuah pintu berbetuk seperti gambar.

Keliling pintu sama dengan p.

Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan …

Jawab:

keliling = p

2 x+2 y+ 12

πx=p

2x + 2y + x = pπ

x x y 2x

2x

xxy

2y = p – 2x – πx

L=(2 x ). y+ 12

πx2

L=( p−2 x−πx )x+ 12

πx2

L=px−2 x2−12

πx2

Agar luas maksimum ⇒ L (x) = 0

L (x) = p – 4x – x π0 = p – (4 + )xπ

x= p4+π

5. Seekor semut merayap pada bidang xoy. Pada saat t ia berada di titik (x(t),y(t) dengan

x(t) dan y(t)=t2-4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak

semut itu dari sumbu y sama dengan…

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Jawab: C

x(t) = t2 ⇒ t=√ x

y(t) = t2 – 4t + 5

semut merayap xoy

y= (√x )2−4 √x+5

y=x−4 √x+5Jarak minimum bila y’ = 0

y '=1− 2√x

0=1− 2√x

2√x

=1 ⇒ √ x=2 atau x = 4

x = 4 ⇒ y=4−4 √4+5=1jarak minimum semut ke sumbu x pada saat semut di titik dengan x = 4

LATIHAN SOAL

SOAL PILIHAN GANDA

1. Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik …

A. (0, 8)

B. (0, 4)

C. (0, –3)

D. (0, –12)

E. (0, –21)

2. Diketahui h adalah garis singgung kurva y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik

potong garis h dengan sumbu X adalah …

A. (–3, 0)

B. (–2, 0)

C. (–1, 0)

D. (–12 , 0)

E. (–13 , 0)

3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi

s(t) = 14 t 4− 3

2 t 3−6 t 2+5 t . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t

= … detik

A. 6

B. 4

X

Y

(x,y)

0X + 2y = 4

C. 3

D. 2

E. 1

4. Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik

pada garis itu dibuat garis–garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga

membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum

daerah persegi panjang yang diarsir adalah ... satuan luas

A. 14

B. 12

C. 1

D. 2

E. 3

5. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu

rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00

tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp16.000,00

B. Rp32.000,00

C. Rp48.000,00

D. Rp52.000,00

E. Rp64.000,00

6. Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x 2)

rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga

Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh

perusahaan tersebut adalah …

A. Rp149.000,00

B. Rp249.000,00

C. Rp391.000,00

D. Rp609.000,00

E. Rp757.000,00

7. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan

dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x

dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut–

turut adalah …

A. 10 dm, 7 dm, 1 dm

B. 8 dm, 5 dm, 1 dm

C. 7 dm, 4 dm, 2 dm

D. 7 dm, 4 dm, 1 dm

E. 6 dm, 3 dm, 1 dm

8. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar karton dengan volum 16

dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari–jari lingkaran alasnya adalah …

A.3√ 4

π dm

B.

23√π dm

C.

43√π dm

D. 23√π dm

E. 43√π dm

9. Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut–turut

adalah …

A. (–2,4) dan (0,3)

B. (0,3) dan (–2,4)

C. (–2,6) dan (0,5)

D. (0,4) dan (–2,8)

E. (–2,8) dan (0,4)

10. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 13 x3− 3

2 x2+2 x+9 pada interval 0 x 3 adalah …

A. 923

B. 956

C. 10

D. 1012

E. 1023

SOAL ESSAY

1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:

a. y = x2 – 6x di titik (-1,7)

b. y = sin 2x di titik ( π

2, 12 √2)

2. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3,

tentukan :

a. Titik singgung

b. persamaan garis singgung

3. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun.

a. f(x) = x2 – 6x

b. f(x) =

13 x3 + 4x2 – 20x + 2

c. f(x) = (x2 -1) (x+1)

4. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.

5. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut :

a. f(x) = x2 – 6x

b. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x

c. f(x) =

14

x4−12

x2

d. f(x) = x4 – 8x2 -9

e. f(x) =

( x−1)2

x−4