MakalahSUKU BANYAK

DISUSUN

OLEH :

NAMA : Kasfaisal Katja {34201300162}Luthfi Rohman {34201300167}

PENDIDIKAN MATEMATIKAUNIVERSITAS ISLAM SULTAN AGUNG SEMARANG

KATA PENGANTAR

Assalamu  Alaikum Wr. Wb

              Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan hidayah-Nya lah sehingga Makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa pula salam dan taslim tak henti-hentinya kita haturkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW ,Nabi pembawa obor keselamatan dunia wal akhirat. Amin              Ucapan terimakasih kami berikan kepada pihak-pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Permohonan maaf dan kritikan yang bersifat membangun sangat kami harapkan karena kami menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah  kami ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah kami ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya.Wassalamu Alaikum Wr. Wb

                                                                                                               Penulis 

Semarang,17 Mei 2014

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR............................................................................................. iDAFTAR ISI..........................................................................................................  iiBAB I PENDAHULUAN........................................................................................ 1

A.    Latar Belakang..................................................................................... 1B.     Rumusan Masalah............................................................................... 2C.     Tujuan Makalah................................................................................... 2

BAB II PEMBAHASAN......................................................................................... 3

       A. Pengertian suku banyak..................................................................... 3       B. Nilai suku banyak.....................................................................................3      C. Derajat Suku Banyak pada Hasil bagi dan Sisa Pembagian...........................5

D. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak..............................................7Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor..............................................101. Pengunaan Teorema Sisa..........................................................................102. Pengunaan Teorema Faktor..............................................................................123. Penyelesaian persamaan Suku Banyak.............................................................124. Pembuktian Teorema sisa dan Teorema Faktor................................................13Akar – akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak.............................................151. Menentukan akar rasional..........................................................................152. Sifat-sifat akar persamaan suku banyak......................................................15

BAB III PENUTUP.............................................................................................. 18     A. KESIMPULAN.......................................................................................... 18     B. SARAN..................................................................................................... 18DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 19

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

       Sukubanyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis

sebagaui berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0

       Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling

tinggi bagi variabel x yang ada dalam sukubanyak itu.

Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak di atas diawalai oleh suku yang variabelnya

mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat

variabel x yang semakin menurun an-1xn-1 , an-2xn-2 , … , a2x2 , a1x dan diakhiri dengan suku

tetap a0.

Sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti

“aturan pangkat turun” dalam variabel x. perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku

banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel lainnya,

seperti: a, b, c, … , s, t, …, u, … , y dan z.

B.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut:1)Menjelaskan alogaritma pembagian suku banyak2)Menentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam alogaritma pembagian3)Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau kuadrat4)Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa5)Menentukan faktor linear dari suku banyak dengan teorema faktor6)Menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menggunakan teorema faktor

C.     Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut:1)Menjelaskan alogaritma pembagian suku banyak2)Menentukan derajat suku banyak sebagai hasil bagi dan sisa pembagian dalam alogaritma pembagian3)Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau kuadrat4)Mnentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear kuadrat dengan teorema sisa5)Menentukan faktor linear dari suku banyak dengan teorema faktor6)Menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menggunakan teorema faktor

BAB IIPEMBAHASAN

PENGERTIAN SUKU BANYAK, NILAI SUKU BANYAK, DAN OPERASI ANTAR-SUKU BANYAK

A.Pengertian suku banyak

            Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

dengan :·        an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0  adalah bilangan-bilangan real dengan an  ≠ 0.

an adalah  dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta).

·        n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Derajat dari suatu suku banyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam suku banyak itu.

Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas dawali oleh suku yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat variabel x yang semakin turun, yaitu an-1xn-1, an-2xn-2, …., a2x2, a1x dan di akhiri dengan suku tetap a0. Suku banyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti aturan pangkat turun dalam variabel x. Perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel yang lain seperti variabel-variabel a, b,c …., s, t, u, …., y, z. Misalnya, suku banyak (t + 1)2 (t – 2) (t + 3) = t4 + 3t3 – 3t2 – 11t – 6 , merupakan suku banyak dalam variabel t berderajat 4. Koefisien t4 adalah 1, koefisien t3 adalah 3, koefisien t2 adalah -3, koefisien t adalah -11 dan suku tetapnya adalah -6.

            Suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel di sebut suku banyak univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak dengan variabel lebih dari satu di sebut suku banyak multivariabel. Misalnya,Suku banyak x3 + x2y4 – 4x + 3y2 – 10, merupakan suku banyak dalamdua variabel ( variabel x dan y ). Suku banyak ini  berderajat 3 dalam variabel x atau berderajat 4 dalam variabel y.

 B.Nilai suku banyak

            Dalam bentuk umum dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

Dimana n ∈ bilangan cacah dan a ≠ 0

Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak.Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara sebagai berikut:

1.Metode Substitusi

  Nilai suku banyak untuk sebuah nilai variabel tertentu dapat dicari dengan aturan metode substitusi sebagai berikut.

Nilai suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x +a0untuk x = k (k  bilangan real ) di tentukan oleh:F(x) = an(k)n + an-1(k)n-1 + an-2(k)n-2+ … + a2(k)2 + a1(k) + a0

Contoh :Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x3 + 3x2 – x + 5 untuk nilai-nilai x berikut.a). x = 1                                                     b). x =m – 2 (m ∈ R)

JAWAB :a). Untuk x = 1, diperoleh :      f(1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 – 1 + 5 = 8      Jadi, nilai f(x) untuk x = 1 adalah f(1) = 8.

b). Untuk x =m -2 ( m R ), diperoleh :      f(m – 2) = (m – 2)3 + 3(m – 2)2 – (m -2) + 5 = m3 – m2 – 5m + 11      Jadi, nilai f(x) untuk x = m – 2 (m ∈  R) adalah f(m – 2) = m3 – m2 – 5m + 11.2.Cara horner/bangun/skema/sintetik

Misalkan suku banyak f(x)=ax3+bx2+cx+dJika akan ditentukan nilai suku banyak x+k,maka:f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=(ax2+bx+c)x+df(x)=((ax+b)x+c)x+dSehingga f(k)=((ak+b)k+c)+d

Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini:

Agar lebih memahami tentang cara Horner,lihat contoh berikut:

Contoh soalHitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan sebagai berikut:

1)f(x)=x3+2x2+3x-4 untuk x=5

2) f(x)=2x3-3x2+9x+4 untuk x=12

Penyelesaian:

C. Derajat Suku Banyak pada Hasil bagi dan Sisa PembagianDerajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu suku

banyak.Jika suku banyak ditulis anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0 maka derajat dari suku banyak tersebut adalah n.Bagaimanakah derajat suku banyak pada hasil bagi?

Kita misalkan,suku banyak ax3+bx2+cx+d dibagi oleh(x-k).Dengan pembagian cara susun,maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut:

Dari perhitungan tersebut diperoleh ax2 +(ak + b)x + (ak2 + b + c) sebagai hasil bagi.Maka,dapat diketahui dari ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x-k) hasil baginya berderajat 2.selain itu ,dari perhitungan diatas diperoleh ak3 + bk2 + ck + d sebagai sisa pembagian.

Jika terdapat suku banyak f(x) dibagi (x – k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k) sebagai sisa pembagian,sedemikian hingga f(x)=(x – k) h(x) + f(k).

Perhatikan penentuan nilai suku banyak dengan cara horner berikut:

Jika kita bandingkan hasil di atas dengan pembagian cara susun,maka diperoleh hasil sebagai berikut:

a. ak3 + bk2 + ck + d merupakan hasil bagib. a,ak + b, dan ak2 + bk + c merupakan koefisien hasil bagi derajat dua.

Dengan demikian,menentukan nilai suku banyak dengan cara horner dapat juga digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagi (x – k)

Berdasarkan uraian diatas maka dapat kita tarik kesimpulan bahwa:“Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n – 1) dan sisa pembagian berbentuk konstanta”

Contoh soal:Tentukanlah derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak tersebut:1)2x3 + 4x2 – 18 dibagi x – 32) 2x3 + 3x2 + 5 dibagi x + 1

Penyelesaian:1) 2x3 + 4x2 – 18 dibagi x – 3

a. Dengan cara susun

b. Dengan cara horner

2) 2x3 + 3x2 + 5 dibagi x + 1a. cara susun

b. Cara horner

D.Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyaka. Pembagian suku banyak oleh bentuk linear (ax + b)

Pembagian suku banyak dengan pembagi (x - k) yang telah kita pelajari ,dapat dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b).Suku banyak f(x) dibagi (x - k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k) sebagai sisa pembagian,sedemikian sehingga f(x)=(x – h) h(x) + f(k).Pembagian suku banyak f(x) dibagi

(ax + b),dapat diubah menjadi bentuk f(x) dibagi x – (−b−a

).Berarti nilai k= -ba

,sehingga pada

pembagian suku banyak f(x) tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut:

Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkan h(x )

a sebagai hasil bagi dan f (-

ba

) sebagai

sisa pambagian sehingga f(x)+ax + b). h(x )

a + f(-

ba

)

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:Contoh soal1. f(x)=2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (2x – 1)Jawab:1. f(x)=2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (2x – 1)

Cara horner

b. Pembagian Suku Banyak Oleh Bentuk kuadrat (ax2 + bx + c)Pembagian Suku Banyak Oleh Bentuk kuadrat ax2 + bx + c,dimana a≠0 dapat

dilakukan dengan cara biasa apabila ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan,sedangkan jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara horner.

Misalkan,suatu suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c dengan a≠0 dan dapat difaktorkan menjadi (ax – p1)(x – p2).Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan langkah” berikut ini:

Agar kita lebih memahami pembagian suku banyak oleh bentu kuadrat,perhatikan contoh berikut:Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian dari:1) 3x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)2) 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1)Jawab:1)3x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)Karena x2 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan,maka dilakukan pembagian biasa(cara susun):

2) 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1)Karena ( x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi(x + 1)(x – 1),maka pembagian tersebut dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:a)cara susun

b)cara horner

Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor1)Pengunaan Teorema Sisa

a. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linearDalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear,kita dapat menggunakan teorema sisaTeorema Sisa 1“Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k),maka sisa pembagiannya adalah f(k)Contoh:Tentukan sisa pembagian dari f(x)=x3 + 4x2 + 6x + 5Jawab:Cara 1:cara biasa

Cara 2:sintetik(horner)

Teorema sisa 2

“Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagiannya adalah f(- ba

)

Contoh:Tentukan sisa pembagian dari f(x)=5x3 + 21x2 + 9x – 1 dibagi (5x – 1)Jawab:Cara 1:cara biasa:

Cara 2:cara sintetik (horner)

b.Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadratDalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat,kita dapat

menggunakan teorema sisa berikut ini:Teorema sisa 3“Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)( x – b),maka sisanya adalah px + qdimana f(a)=pa + q dan f(b)=pb + qContooh:Jika f(x)=x3 -2x2 + 3x – 1 dibagi (x2 + x + 2),tentukanlah sisa pembagiannya:Jawab:

2)Pengunaan Teorema FaktorTeorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak.

Perhatikan teorema faktor berikut ini:“Jika f(x) suatu suku banyak maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x)=0”Contoh soal:1)2x3 – 2x2 + 2x – 3Jawab:Jika (x – k) merupakan faktor suku banyak 2x3 – 2x2 + 2x – 3,maka k merupakan pembagi dari 3,yaitu a ± 1 dan ± 3.Kemudian,dicoba nilai-nilai tersebut.Misalkan,dicoba cara horner dengan pembagi(x + 1)

3)Penyelesaian persamaan Suku Banyak

Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar=akar persamaan yang memenehi f(x)=0.Kita dapat menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menentuka faktor linear“Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar persamaan f(x)=o”Contoh:1) Tentukan himpunan penyelesaian dan faktor linear dari f(x)=x3 – 2x2 – 2x + 2

2) Jika12

merupakan akar –akar persamaan 2x3 + x2 – 13x + a dan akar-akar yang lain

Jawab:1) f(x)=x3 – 2x2 – 2x + 2 f(x) dibagi (x – 1)

2) Jika12

merupakan akar –akar persamaan 2x3 + x2 – 13x + a dan akar-akar yang lain

4)Pembuktian Teorema sisa dan Teorema Faktora.Pembuktian teorema sisa Teorema sisa 1 menyatakan bahwa f(x) dibagi (x – k),maka sisa pembagiaanya adalah f(k).Perhatikan uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut: Diketahui f(x)=(x – k)h(x) + s.Derajat x lebih rendah satu dari pada derajat (x – k),sehingga S merupakan konstanta.Karena f(x)=(x – k) k(x) + S berlaku untuk semua x,maka jika x diganti k maka diperoleh:

Contoh soal:Jika f(x) dibagi oleh x2 – 5x + 6 sisanya 2x + 1.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – 3Penyelesaian:

2)Pembuktian teorema sisa 2Teorema sisa 2 menyakan bahwa jika f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagianya adalah f (- ba

).Perhatikan uaraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:

Diketahui f(x)=(ax + b). h(x )

a + S.Karena pada f(x) = (ax + b).

h(x )a

+ S berlaku untuk

semua nilai x,maka jika nilai x= −ba

akan diperoleh:

Contoh:Jika f(x) dibagi (x – 2) dan jika dibagi (2x + 1) sisanya 5.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi 2x2 – 3x – 2Penyelesaian:

b. Pembuktian teorema faktor Teorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak,maka x – h merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(h)= 0.Perhatikanlah uraian berikut ini untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:Diketaahui menurut teorema sisa f(x) = (x – k). h(x) dan f(k).Jika f(k) = 0,maka f(x)= (x – k).h(x).sehingga x – k merupakan faktor dari f(x).Sebaliknya jika x – k merupakan faktor dari f(x),maka f(x) = (x – k). h(x).Jika x = k F(k) = (k – k).h(k) = 0.h(k) = 0Jika,f(k) = 0 jika dan hanya jika (x – k) merupakan faktor dari f(x) (terbukti)Contoh:Hitunglah p jika 2x3 – 5x2 – 4x + p habis dibagi x + 1PenyelesaianKarena 2x3 – 5x2 – 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0,sehingga:

C.Akar – akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak

1.Menentukan akar rasional Jika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x – a) adalah faktor dari f(x),maka a adalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 02.Sifat-sifat akar persamaan suku banyak a. Untuk suku banyak berderajat ax2 + bx + c = 0 Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan dari ax3 + bx2 + cx + d = 0,maka:

1)x1 + x2 = −ba

2) x1. x2 = ca

b.Suku banyak berderajat tiga : ax3 + bx2 + cx + d = 0Jika x1, x2 dan x3 adalah akar – akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka;

1) x1 + x2 + x3 = −ba

2) x1. x2 + x2 . x3 + x1 . x3 = ca

3) x1 . x2 . x3 = −da

c.Unntuk suku banyak berderajat empat : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0Jika x1 , x2 , x3 dan x4 adalah akar – akar persamaan dari suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,maka :

1)x1 + x2 + x3 + x4 = −ba

2) x1 . x2 . x3 + x2 . x3 . x4 + x3 . x4 . x1 + x4 . x1 . x2 = ca

3) x1. x2 + x1 . x3 + x1 . x4 + + x2 . x3 + x2 . x4 + + x3 . x4 = −da

4) x1 . x2 . x3 . x4 = ca

Contoh Soal1. Jika salah satu akar dari suku banyak x3 + 4x2 + x - 6 = 0 adalh x – 1 tentukan akar – akar lainnya.Jawab.

2. Diketahui x1, x2 dan x3 adalah akar – akar persamaan 2x3 - bx2 - 18x + 36 = 0Tentukan:a) x1 + x2 + x3

b) x1. x2 + x2 . x3 + x1 . x3

c) x1 . x2 . x3

d) Nilai b,jika x2 adlah lawan dari x1

e)Nilai masing – masing x1, x2 dan x3 untuk b tersebut

jawab

BAB III

PENUTUPA.    Kesimpulan

  Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

dengan :·        an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0  adalah bilangan-bilangan real dengan an  ≠ 0.an adalah  dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta).·        n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Derajat dari suatu suku banyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam suku banyak itu.

B.SaranDengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai suku banyal

matematika dapat lebih dipahami lagi oleh orang lain dan dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

DAFTAR PUSTAKA

http://newsinformasi013.blogspot.com/2013/05/contoh-makalah-logika-matematika_17.html

http://belajarmatematikaasyik.weebly.com/suku-banyak-polynom.html

http://belajarmatematikaasyik.weebly.com/suku-banyak-polynom.html

http://akbarpelatnas11.blogspot.com/2012/06/materi-suku-banyak-sma.html

http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Mat-011201&bab=Suku%20Banyak&judul=Matematika&rincian=Algoritma%20Pembagian%20Suku%20Banyak&kd_judul=Mat-01&kode_bab=12&ko

http://edukasigratis.blogspot.com/2013/06/matematika-kelas-ix-bab-5-suku-banyak.html