matematika - suku banyak

Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2


4.Menggunakan aturan

suku banyak dalam

penyelesai an masalah


4.2 Menggunakan teorema sisa

dan teorema faktor dalam

pemecahan masalah


Menentukan sisa pembagian suku-banyak

oleh bentuk linear dan kuadrat dengan

teorema sisa.

Menentukan faktor linear dari suku-banyak

dengan teorema faktor.

Menyelesaikan persamaan suku-banyak

dengan menggunakan teorema faktor

Membuktikan teorema sisa dan teorema

faktor

1

2

3

4


Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear

Teorema Sisa :

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR

1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh

pembagi linear berbentuk (x – k), maka

sisanya adalah s = f(k).

2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh

pembagi linear berbentuk (ax + b), maka

sisanya adalah s = abf

Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s

Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s

f(k) = 0 + s Sisa s = f(k) (terbukti)


Contoh soal :

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)

oleh (x – 2)

Jawab : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 48 + 32 – 1 = 79

Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79

2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika

dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai

a + b !


Jawab : f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)

s = 7 jika dibagi (2x – 3)

s = = 7 23f

s = = 2 + a + b – 2 = 7 23f 3

23

23 2

23

72f s2

3b4

9a427

23

x 4 27 + 9a + 6b = 36

9a + 6b = 9 : 3 3a + 2b = 3 ......(1)

f(x) habis dibagi (x + 2) s = f(– 2) = 0

s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0

s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0

2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi

(2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !


s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0

4a – 2b = 18 : 2

2a – b = 9 ….......(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :

(1)….3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9

x 1

x 2

3a + 2b = 3 4a – 2b = 18 + 7a = 21

a = 3

Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada

persamaan (1) atau (2) (2)…. 2 . 3 – b = 9 b = – 3

Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0


Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk

Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b)

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)

Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),

selalu dapat dituliskan :

f(x) = p(x) . H(x) + s

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)

P adalah koefisien x dan q adalah konstanta

Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan

5.2 pada hal. 173


Sehingga didapatkan :

ba

afbbfaqdan

ba

bfafp

)(.)(.)()(

Jadi :

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()()(

Contoh soal : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)

oleh x2 + x – 6 !

Jawab :

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3


)3(2

79).3(104.2

)3(2

10479)(

xxs

Jadi :

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()()(

5

237208

5

25

x

895 x


P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3

Jawab :

f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79

f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7

= 243 – 108 – 9 – 15 – 7

= 104

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()()(

Jadi :


Teorema Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki

faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki

faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 abf

Contoh soal : Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari

suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !

Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)


Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)

Terbukti

• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)

Terbukti


Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak

Jika f(x) = a0xn + a1x

n-1 + … + an-1x + an dan

(x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai

a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat

dari an

Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin

dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8


Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :




f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor

dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan

dengan cara HORNER sebagai berikut :


2 – 14 – 5 8

x = – 2

2

– 4 + – 9

18

4

– 8

0 f(-2)

Sehingga : f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)

dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)


Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Contoh soal : Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0

Jawab :




f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor

dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan

dengan cara HORNER sebagai berikut :


2 – 14 – 5 8

x = – 2

2

– 4 + – 9

18

4

– 8

0 f(-2)

Sehingga :

f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)

dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)


Pembagian Suku Banyak Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)

1. Cara bersusun

Contoh soal :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7

dibagi (x – 2) !

Jawab : 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 (x – 2)

3x3

3x4 – 6x3 - 10x3 – x2 + 5x – 7

+ 10x2

10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7

+ 19x

19x2 – 38x -


3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 (x – 2)

3x3

3x4 – 6x3 - 10x3 – x2 + 5x – 7

+ 10x2

10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7

+ 19x

19x2 – 38x - 43x – 7

+ 43

43x – 86 - 79 sisa

Hasil bagi

pembagi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43

dan sisanya adalah 79


2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :

Jawab :

3 - 1 4 - 7 5

x = 2

3

6 + 10

20

19

38

43 79

86

Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7

dibagi (x – 2) !

Koefisien Hasil Bagi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya

adalah 79


Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b)

1. Cara bersusun

Contoh soal :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1

dibagi (2x + 4) !

Jawab : 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4)

3x3

6x4 + 12x3 - – 12x3 – 4x2 + 2x – 1

– 6x2

– 12x3 – 24x2 -

20x2 + 2x – 1

+ 10x

20x2 + 40x -


6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4)

3x3

6x4 + 12x3 - – 12x3 – 4x2 + 2x – 1

– 6x2

– 12x3 – 24x2 -

20x2 + 2x – 1

+ 10x

20x2 + 40x - – 38x – 1

– 19

– 38x – 76 - 75 sisa

Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan

sisanya adalah 75

Hasil bagi

pembagi

6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75



Jawab :

6 – 4 0 – 1 2

x = – 2

6

– 12 + – 12

24

20

– 40

– 38 75

76

Sisa


dibagi (2x + 4) !

Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan

sisanya adalah f(– 2) = 75

H(x) =

a

3820x12x6x 23

= 3x3 – 6x2 + 10x – 19 2

3820x12x6x 23


Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)

1. Cara bersusun

Contoh soal :


dibagi (2x2 + x – 1) !

Jawab : 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1 (2x2 + x – 1) 4x4 + 2x3 – 2x2

- – 2x3 – 3x2 + 3x – 1

2x2

– 2x3 – x2 + x -

– 2x2 + 2x – 1

– x

-

– 1

– 2x2 – x + 1

3x – 2 sisa

Hasil bagi

pembagi



Jawab :


dibagi (2x2 + x – 1) !



Jawab :

4 – 5 0 – 1 3

x = 1/2 4

– 4 + – 4

4

– 1

1

4 – 5

– 4

Sisa 1

Tentukan pembagian suku banyak f(x) =4X4 + 0X3 – 5X2 +

3X – 1 bagi (2x2 + X - 1) !

x = – 1

2 – 1 – 1

4 – 2 – 2 3 Sisa 2


Sisa = sisa 2 ( pembagi 1) + sisa 1

3 (X + 1) + ( - 5)

3X + 3 – 5 = 3X – 2

Hasil bagi 4X2 – 2X – 2 2

= 2X2 - X - 1


Kesimpulan

Atau dengan cara Horner :

x - a

s1

x - b

s2

Sisanya = S2 ( x – a) + S1


Terima Kasih

matematika - suku banyak

Documents