SUKU BANYAK

Disusun oleh : Triwulan Rahayu (10310075)

IKIP PGRI SEMARANG

XI IPA Semester 2

Pengampu: Drs. Djoko Purnomo

Standar Kompetensi

Menggunakan aturan sukubanyak dalam

penyelesaian masalah

Kompetensi Dasar

Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

TUJUAN PEMBELAJARAN

Siswa dapat menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak.

Siswa dapat menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.

Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.

Menentukan sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.

Menentukan faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor.

Menyelesaikan persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.

SUKU BANYAK

Pengertian Suku Banyak, Nilai Suku Banyak, Operasi

Antar Suku Banyak

Pembagian Suku Banyak

Teorema Sisa

Teorema FaktorPenyelesaian Persamaan Sukubanyak

Pengertian Suku Banyak, Nilai Suku Banyak, Operasi Antar

Suku Banyak

Pengertian Suku Banyak

Nilai Suku Banyak

Operasi Antar Suku Banyak

Pengertian Suku Banyak(P o l i n u m)

Bentuk:anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0

dinamakan sukubanyak dalam xyang berderajat n

an adalah koefisien xn,a0 disebut suku tetap

n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak

Contoh

Tentukan derajat dan koefisien:x4 dan x2 dari suku banyakx5 - x4 + x3 – 7x + 10

Jawab: derajat suku banyak = 5 koefisien x4 = -1 koefisien x2 = 0

Nilai Suku Banyak

A.Metode Substitusinilai suku banyak f(x)= anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 nilai x = k (k anggota bilangan real)f(k) = an(k)n + an-1(k)n-1 + …+ a1k + a0

ContohTentukan nilai suku banyak 2x3 + x2 - 7x – 5

untuk x = -2

Jawab:Nilainya adalahP(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 - 7(-2) – 5 = -18 + 4 + 14 – 5 = -5

B. Metode Bagan/Skema

f(x)= a3x3 + a2x2+ a1x + a0

Dengan metode substitusi, nilai suku banyak f(x) untuk x = k ditentukan oleh:

f(k)= a3k3 + a2k2+ a1k + a0

x = k

a3 a2 a1a0

a3

a3k

a3k + a2

a3k2+a2k

a3k2+a2k+ a1

a3k3+a2k2+ a1k

a3k3+a2k2+ a1k+ a0 = f(k)+

Artinya dikali dengan k

Koefisien sukubanyak

+

Contoh :

Hitunglah nilai sukubanyak dengan menggunakan metode bagan :f(x) = x4 - 3x3 + 4x2 – x + 10 untuk x =5

Jawab:

x = 5

1 -3 4 -1

15

2

10

14

70

69

10

345

355

Jadi nilai suku banyaknya adalah 355

OPERASI ANTAR-SUKU BANYAK

A. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian

Contoh:

Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan f(X)= x3 + x2 – 4 dan g(x) = x3 + 2x2 + x + 2 a. Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnyab. Tentukan f(x) – g(x) serta derajatnyac. Tentukan f(x) . g(x) serta derajatnya

Pembahasan:

a. f(x) + g(x) = (x3 + x2 – 4) + (x3 + 2x2 + x + 2) = (x3 + x3) + (x2 + 2x2) + x + (-4 +

2) = 2x3 - x2 + x – 2

Jadi nilai f(x) + g(x) = 2x3 - x2 + x – 2 dan f(x) + g(x) berderajat 3

b. f(x) – g(x) = (x3 + x2 – 4) - (x3 + 2x2 + x + 2) = (x3 - x3) + (x2 - 2x2) - x + (-4 - 2) = 3x2 - x – 6

Jadi nilai f(x) – g(x) = 3x2 - x – 6 dan f(x) – g(x) berderajat 2

c. f(x) . g(x) = (x3 + x2 – 4)(x3 + 2x2 + x + 2) = x3 (x3 + 2x2 + x + 2) + x2(x3 + 2x2 + x

+ 2) - 4 (x3 + 2x2 + x + 2) = x6 - 2x5 + x4 + 2x3 + x5 - 2x4 + x3 +

2x2 - 4x3 + 8x2 – 4x – 8 = x6 +(- 2x5 + x5) + (x4 - 2x4) + (2x3 +

x3 - 4x3) + (2x2 + 8x2) – 4x – 8 = x6 – x5 -x4 – x3 + 10x2 - 4x – 8

Jadi f(x) . g(x) = x6 – x5 -x4 – x3 + 10x2 - 4x – 8 dan f(x) . g(x) berderajat 6.

B. Kesamaan Sukubanyak

f(x) ≡ g(x) Misal diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) yang dinyatakan dalam bentuk umum.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + …+ b1x + b0

Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x) ditulis f(x) ≡ g(x) Maka berlaku hubungan:

an= bn , an-1 = bn-1, …, + a1 = b1, dan a0 = b0

Contoh:

Tentukan nilai a pada kesamaan x2 -3x + 14 ≡ (x – 1)(x – 2) + 3a

Jawab:Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan

x2 -3x + 14 ≡ x2 -3x + 2 + 3ax2 -3x + 14 ≡ x2 -3x + (2 + 3a)

Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh:

14 = 2 + 3aa = 4

Jadi nilai a pada kesamaan x2 -3x + 14 ≡ (x – 1)(x – 2) + 3a adalah a = 4

Pembagian Suku Banyak

Hubungan antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa bagi

Contoh :

Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 5 oleh (x – 2)

X -2 x3 + 2x2 + 3x – 5

x2 + 4x – 11

x3 - 2x2

4x2 + 3x

4x2 - 8x

11x - 511x - 22

17

Pembagi

Hasil bagi

Yang dibagi

Sisa pembagian

Pembagian Sukubanyak dengan Pembagi Berbentuk Linear

A.Pembagi Sukubanyak dengan (x – k)

Persamaan yang menghubungkan suku banyak yang dibagi f(x) dengan sukubanyak pembagi (x – k), suku banyak hasil bagi H(x), dengan sisa pembagian S adalah:

f(x) = (x – k) . H(x) + S

Untuk menentukan H(x) dan S menggunakan bantuan bagan/ skema dikenal dengan metode pembagian sinektik atau Horner.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x4 + x3 - 2x2 + x + 2 dengan x + 2 !

Jawab:Menggunakan bagan/skema:

x = -2

1 1 -2 1

1-2

-1

2

0

0

1+

2

-2

0

Berdasarkan bagan diatas, diperoleh hasil bagi H(x) = x3 - x2 + 1 dan sisa S =0. jadi, pembagian f(x) = x4 + x3 - 2x2 + x + 2 oleh x + 2 memberikan hasil bagi H(x) = x3 - x2 + 1 dan sisa S =0.

B. Pembagian Sukubanyak dengan (ax +b)

Misal k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh k = -b/a Sehingga bentuk x – k menjadi x – (- b/a ) = x + b/a

f(x) = (x + -b/a) . H(x) + S

Persamaan diatas diubah bentuknya menjadi:

f(x) = (x + -b) . H(x)/a + S

Contoh

Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 +

11x + 5 dibagi 2x - 1

Jawab:

(2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1)

Sisa: P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5 = 2.⅛ - 7.¼ + 5½ + 5 = ¼ - 1¾ + 5½ + 5 = 9

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Dapat ditulis:2x3 – 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + S

Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : H(x) Sisa : SKita gunakan pembagian horner

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x =

½

x =

2 -7 11

5

11-6

-38

4

9+

½

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1Dapat ditulis:2x3 – 7x2 + 11x + 5 =(x - ½)(2x2 – 6x + 8) + 9

=(2x – 1)(x2 – 3x + 4) + 9

Jadi Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : x2 – 3x + 4

Sisa : 9

C. Pembagian Sukubanyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat

Pembagian Dengan (x –a)(x – b)

Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai

P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)berarti:

P(a) = S(a) dan P(b) = S(b)

Catatan: S(x) berderajat 1, misal px +

q

Contoh Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x –

2), sisanya sama dengan….

Jawab:

Bentuk pembagian ditulis:

P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)

Karena pembagi berderajat 2

maka sisa = S(x) berderajat 1

misal: sisanya px + q

Sehingga

• bentuk pembagian ditulis:x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q

x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q

• Dibagi (x + 1) bersisa P(-1) dibagi (x – 2) bersisa P(2)

P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6

= 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8

P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32

P(x) = px + qP(-1) = -p + q = -8P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24 p = -8

p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8 q = -16Sisa: px + q = -8x + (-16)

Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Teorema Sisa

Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S(x). Persamaannya :

f(x) = P(x) . H(x) + S(x)

Menentukan Sisa Pembagian Suatu Sukubanyak oleh Pembagi Berbentuk

Linear

A.Pembagi Berbentuk (x – k)

Jika sukubanyak pembagi P(x) = (x – k), maka persamaan sebelumnya:

f(x) = (x –k) . H(x) + S

Persaan ini berlaku untuk semua bilangan real x. karena sukubanyak pembagi P(x) = (x –k) berderajat satu, maka sisa pembagian S maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x. Sisa pembagian S ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

f(x) = (x –k) . H(x) + S

Teorema 1:Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya di tentukan oleh:

S = f(x)

Contoh:Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak f(x) = x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi dengan x – 2

Jawab:f(x) = x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi dengan x – 2, sisanya S = f(2). f(2) = 24 – 6(2)3 – 6(2)2 + 8(2) + 6 = 16 – 48 – 24 + 16 + 6 = -34

B. Pembagi Berbentuk (ax + b)

f(x) = (ax +b) . H(x)/a + S

Persamaan diatas berlaku untuk semua bilangan real x.Nilai sisa pembagi S ditentukan dengan menggunakan teorema berikut:

Teorema 2:Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax +b) maka sisanya ditentukan oleh

S = f(-b/a)

Contoh:Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak f(x) = 2x3 + 9x2 - 6x + 4 dengan 2x + 1

Jawab:Sukubanyak f(x) = 2x3 + 9x2 - 6x + 4 dibagi dengan 2x + 1, sisanya adalah S=(-1/2)., maka f(-1/2)f(-1/2) = 2(-1/2)3 + 9(-1/2)2 – 6(-1/2) + 4

= -1/4 + 9/4 + 3 + 4 = 9

Jadi sisa pembagiannya adalah S = f(-1/2) = 9

Teorema Faktor

Jika f(x) adalah

sukubanyak;

(x – k) merupakan faktor

dari P(x)

jika dan hanya jika P(k) = 0

Artinya:

1.Jika (x – k) merupakan faktor,

maka nilai P(k) = 0

sebaliknya,

2. jika P(k) = 0 maka (x – k)

merupakan faktor

Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1

Jawab:(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukan(x + 1) adalah faktor darix3 + 4x2 + 2x – 1 adalah denganpembagian horner: 1 4 2 -1 koefisien

-1 1

-13

-3-1

10 P(-1) = 0

berarti (x + 1)faktornyaartinya dikali (-1)

Suku banyak+

Menentukan Faktor-Faktor Suatu Sukubanyak

Contoh:

Tentukan faktor-faktor dariP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6

Jawab:Misalkan faktornya (x – k), Maka nilai k yang mungkin adalahpembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.Nilai-nilai k itu kita substitusikanke P(x), misalnya k = 1diperoleh:P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6 = 0

Oleh karena P(1) = 0, maka(x – 1) adalah salah satu faktor

dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain,kita tentukan hasil bagi P(x)

oleh (x – 1) dengan pembagian horner:

Koefisien sukubanyakP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6adalah 2 -1 -7 6 k = 1

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6

+2

2 1

1 -6

-6 0

Koefisien hasil bagi

Karena hasil baginya adalahH(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)dengan demikian2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktornya adalah(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

Penyelesaian Persamaan Sukubanyak

A. Akar-akar Rasional dari Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teoremafaktor adalah mencari akar-akarsebuah persamaan sukubanyak,

karena ada hubungan antarafaktor dengan akar-akarpersamaan sukubanyak

Jika P(x) adalah sukubanyak;(x – k) merupakan faktor dari

P(x)jika dan hanya jika k akar dari

persamaan P(k) = 0

k disebut akar atau nilai noldari persamaan sukubanyak:

P(x) = 0

Contoh

Tunjukan -3 adalah salah satuakar dari x3 – 7x + 6. Kemudiantentukan akar-akar yang lain.

Jawab:Untuk menunjukan -3 akar dariP(x), cukup kita tunjukan bahwaP(-3) = 0

P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6 = 0

Oleh karena P(-3) = 0,maka -3 adalah akar dariPersamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

Untuk menentukan

akar-akar yang lain,

kita tentukan terlebih dahulu

hasil bagi

P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3

dengan pembagian Horner

sebagai berikut

P(x) = x3 – 7x + 6berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6k = -3

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 =(x – 1)(x – 2)

+1

-3 -3

9 2

-6 0

Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak

tsb dapat ditulis menjadi

(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain

adalah x = 1 dan x = 2

Teorema Akar-akar RasionalJika

P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao

dan (x – k) merupakan faktor dari P(x)

maka

n

0

a daribulat

a daribulat

faktor

faktork

Contoh:Banyaknya akar-akar rasional dari

persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

Jawab:

Karena persamaan sukubanyak

berderajat 4, maka akar-akar

rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu

faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor

bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

Dari 4 kemungkinan yang akan

menjadi akar-akar rasional

persamaan sukubanyak tsb, kita

coba nilai 1

Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0

adalah 1, 0, -3, 0, dan 6

1 0 -3 0 2 k = 1

Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,

Selanjutnya kita coba -1.Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

+1

1 1

1 -2

-2 0-2 -2

1 1 -2 -2 k = -1

Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya,

Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

+1

-1 0

0 -2

2 0

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi(x - √2)(x + √2) = 0Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.Jadi akar-akar rasionalnya hanyaada 2 yaitu 1 dan -1.

Latihan Soal :

1. Nilai m supaya 4x3 – 12x2 + mx

+ 2 habis dibagi 2x – 1 adalah….

4

3

A.

B.

C.

D.

2

1

2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x +

2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya

7. Suku banyak tersebut bila dibagi

oleh x2 – x - 6 bersisa….

A.

B.

C.

D.

4x - 6

5x - 6

4x - 5

5x - 4

3. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=….

A.

B.

C.

D.

6

7

8

9

4. Jika suku banyak 2x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….

A.

B.

C.

D.

3

2

1

-1

BENAR!!!!

1. 2. 3. 4.

SALAH

COBA LAGI yukkkk

1. 2. 3. 4.

PEMBAHASAN

1.4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x – 1

x = -1/2

4 -12 m 2

12

-10

-5

-5+m

(-5/2)+m/2

-1/2 + m/2+

-1/2 + m/2 = 0m/2 = ½m = 1

Jadi nilai m adalah 1

Maka jawabannya adalah D

2.

Misal sisanya: S(x) = ax + b

P(x): (x + 2)

S(-2) = -13 -2a + b = -13

P(x): (x – 3) Þ S(3) = 7 3a + b = 7

-5a = -20 a = 4

a = 4 disubstitusi ke

-2a + b = -13 ®-8 + b = -13® b = -5

Jadi sisanya adalah: ax + b

4x - 5

Maka jawabannya adalah D

3.P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + bP(x) : (x2 – 1) sisa = 6x + 5Pembagi : (x2 -1) = (x + 1)(x – 1)Maka:P(x):(x + 1) sisa =P(-1) 2 - a - 3 + 5 + b = 6(-1) + 5 -a + b – 6 = – 6 + 5 -a + b = 5….(1)

P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + bP(x) : x2 - 1 sisa = 6x + 5Pembagi : x2 -1 = (x+1) (x-1)Maka:P(x):(x – 1) sisa =P(1) 2 + a – 3 + 5 + b = 6(1) + 5 a + b + 4 = 6 + 3 – 2

a + b = 7….(2)

-a + b = 5.…(1) a + b = 7….(2) 2b = 12 b = 6b = 6 disubstitusi ke a + b = 7 a + 6 = 7 a = 1 Jadi a.b = 1.6 = 6

+

Maka jawabannya adalah A

4.

2x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1)

Sisanya P(-1) = -1 -1 – a + 7

= 5 - pa

2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)

Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1

= 4

Karena sisanya sama,

Berarti 5 – p = 4

- p = 4 – 5

Jadi p = 1

Maka jawabannya adalah C

Terima kasih