Suku Banyak Dan Teorema Faktor1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan sukubanyak2

Teorema FaktorJika f(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0

3

Artinya:1.Jika (x k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0 sebaliknya, 2. jika P(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor4

Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) 1 = -1 + 4 2 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya.5

Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x3 + 4x2 + 2x 1 adalah dengan pembagian horner: 1 4 2 -1 koefisien Suku banyak -1 -1 -3 1 + P(-1) = 0 3 -1 0artinya dikali (-1)

berarti (x + 1) faktornya

6

Contoh 2: Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 x2 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu7

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: 1, 2, 3, dan 6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 1.12 7.1 + 6 =217+6 =08

Oleh karena P(1) = 0, maka (x 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 x2 -7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x 1) dengan pembagian horner:9

Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 x2 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6 k=1 2 1 -6 + 2 1 -6 0 ]Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 610

Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x 6 = (2x 3)(x + 2) dengan demikian2x3 x 7x + 6 = (x 1)(2x2 + x 6) 2x3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktornya adalah (x 1), (2x 3 ) dan (x + 2)11

Contoh 3: Diketahui (x 2) adalah faktor P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6. Salah satu faktor yang lainnya adalah. a. x + 3 b. x 3 c. x 1 d. 2x 3 e. 2x + 312

Jawab: Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x2 yaitu a = ? Jika (x 2) faktornya P(x) maka P(2) = 0 2.23 + 22 + 2a - 6 = 0 16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = -14 a = -713

P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6 berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6 4 10 6 + k=2 2 5 3 0 ]Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) Jadi faktor yang lain adalah 2x + 314

Contoh 4:Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx 2 mempunyai faktor (x 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah.

a. 5

b. 6

c. 7

d.8

e.9

15

Jawab:Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx 2 (x 1) faktor f(x) f(1) = 0 1a +b2=0 -a + b = 1.(1) dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36

(-2)3 a(-2)2 + b(-2) 2 = -3616

(-2)3 a(-2)2 + b(-2) 2 = -36 - 8 4a 2b 2 = -36 - 4a 2b = -36 + 10 -4a 2b = -26 2a + b = 13.(2)

17

Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13 = -12 a =4 b=1+4=5 Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 918

-3a

Akar-akar Rasional Persamaan SukubanyakSalah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak19

Jika P(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 020

Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + + a1x + ao dan (x k) merupakan faktor dari P(x) maka faktor bulat dari a 0 k ! faktor bulat dari a n21

Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 022

P(x) = x3 7x + 6. P(-3) = (-3)3 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 =0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 7x + 6 = 0

23

Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut24

P(x) = x3 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 -3 9 -6 + k = -3 1 -3 2 0 ]Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = x2 3x + 2 =(x 1)(x 2)25

Hasil baginya: H(x) = x2 3x + 2 = (x 1)(x 2) sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x 1)(x 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 226

Contoh 2: Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 3x2 + 2 = 0 adalah. a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o

27

Jawab: Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -228

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x4 3x2 + 6 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 629

1 k=1 1

0 1 1

-3 0 2 1 -2 -2 + -2 -2 0

Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -230

1 k = -1 1

1 -2 -1 0 0 -2

-2 2 + 0

Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x 1)(x + 1)(x2 2) = 031

(x 1)(x + 1)(x2 2) = 0 (x2 2) difaktorkan lagi menjadi (x - 2)(x + 2) = 0 Berarti akar yang lain: 2 dan -2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.32

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak

33

Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka b x1 + x2 + x3 = ac x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = a d x1.x2.x3 = a

34

Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x3 3x2 + 2 = 0 adalah. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 b x1 + x2 + x3 = a-3 = 1

=335

Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x3 x2 + 5x 8 = 0 adalah. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = d =a -8 2

=436

Contoh 3: Salah satu akar persamaan x3 + px2 3x 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah.

37

Jawab: -2 adalah akar persamaan x3 + px2 3x - 10 = 0 -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 3(-2) - 10 = 0 -8 + 4p + 6 10 = 038

-8 + 4p + 6 10 = 0 4p 12 = 0 p 4p = 12p p = 3 Persamaan tersebut: x3 + 3x2 3x 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: b x1 + x2 + x3 = a =3 1

= -339

Contoh 4: Akar-akar persamaan x3 4x2 + x 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 =.

40

Jawab: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) x3 4x2 + x 4 = 0 x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 141

x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 2.1 = 16 2 = 1442

43