ukuran tendensi sentral

Bab 4 Ukuran Tendensi Sentral

Bab 4

UKURAN TENDENSI SENTRAL

3.1 NILAI RATA – RATA (MEAN)

Nilai rata-rata didefinisikan sebagai berikut :

=

dimana ialah frekuensi dan n =

Untuk data yang dikelompokkan, adalah nilai tengah kelas

Contoh 3.1 :

Hitunglah nilai rata-rata tinggi 100 mahasiswa pada distribusi frekuensi pada tabel 3.1 berikut ini.

Titik tengah kelas x

Frekuensi ()

153 5 765158 20 3160163 42 6846168 26 4365173 7 1211

100 16350

Jawab :

= ( 5x153 + 20x158 + 42x163 + 26x168 + 7x173)

= 163,50 cm (dari tabel 3.1)

3.2 NILAI TENGAH (MEDIAN)

Median adalah nilai tengah dari sekumpulan nilai yang telah diurutkan, jika banyaknya data ganjil. Tetapi jika banyaknya data genap, maka median

adalah rata-rata kedua nilai di tengahnya. Median diberi notasi

Contoh 3.2.1 :

Jajaran 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10 mempunyai median 6

Jajaran 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 10 mempunyai median (6+8) = 7

Probabilitas dan Stokastik 24


Untuk data yang dikelompokkan dan disajikan dalam distribusi frekuensi,

median dihitung dengan rumus :

= b + p ( )

dimana : b =batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median terletak

p =panjang kelas median=ukuran sampel atau banyak data=jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil

dari tanda kelas median=frekuensi kelas median

Contoh 3.2.2

Dari nilai ujian 80 mahasiswa, akan dihitung mediannya, dengan menggunakan daftar berikut ini

NILAI UJIAN BANYAK MAHASISWA

31 - 40 141 - 50 251 - 60 561 - 70 1571 - 80 2581 - 90 20

91 - 100 12JUMLAH 80

Setengah dari seluruh data ada 40 buah. Jadi median akan terletak di kelas interval ke-5, karena sampai dengan ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 40.Dari kelas median ini didapatkan : b = 70.5, p = 10 dan = 25 , sedangkan

= 1 + 2 + 5 +15 = 23, sehingga

= 70.5 + 10 ( ) = 77.3

3.3 MODUS

Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dari sekumpulan data.

Modus itu bisa unik, bisa juga tidak. Bahkan bisa juga tidak ada.

Contoh 3.3.1

Kumpulan 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 8Kumpulan 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10 mempunyai 2 modus, yaitu 4 dan 8. Ini disebut bimodal. Jika banyaknya modus lebih dari 2 disebut multimodalKumpulan 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 tidak mempunyai modus.



Modus diberi notasi

Untuk data yang dikelompokkan dan disajikan dalam distribusi frekuensi,

median dihitung dengan rumus :

Mo = b + p( )

dimana Mo = batas bawah kelas modus, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyakp = panjang kelas interval b1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas dengan batas bawah lebih

kecil dari kelas modusb2 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas dengan batas bawah lebih

besar dari kelas modus

Contoh 3.3.2 :

NILAI UJIAN BANYAK MAHASISWA

31 - 40 141 - 50 251 - 60 561 - 70 1571 - 80 2581 - 90 20

91 - 100 12JUMLAH 80

3.4 KUARTIL, DESIL, PERSENTIL

Kuartil adalah bilangan pembagi sekumpulan data yang dibagi menjadi 4 bagian yang sama, setelah diurutkan. Ada 3 buah kuartil, kuartil pertama, kedua, dan ketiga. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah :1. Susun data menurut urutan nilainya2. Tentukan letak kuartil3. Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i , dan diberi lambang Ki ditentukan oleh rumus :

Letak Ki = data ke , dengan i = 1,2,3


1. Kelas modus = kelas kelima2. b = 70,53. b1 = 25 – 14 = 104. b2 = 25 - 20 = 55. p = 10

Mo = 70,5 + (10) ( )

Mo = 77,16


Contoh 3.4.1:

Sampel dengan data : 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70.Setelah diurutkan menjadi : 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94.

Letak K1 = data ke = data ke 3 , yaitu antara data ke–3 dan ke–4

seperempat jauh dari data ke-3

Nilai K1 = data ke–3 + (data ke-4 - data ke-3)

= 57 + (60 - 57)

= 57

Letak K3 = data ke = data ke 9

Nilai K3 = data ke–9 + (data ke-10 - data ke-9)

= 92 + (86 - 82)

= 85

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil Ki (I = 1, 2, 3) dihitung dengan rumus :

Ki = b + p ( ) dengan i = 1, 2, 3

dimana b = batas bawah kelas Ki , yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak

p = panjang kelas interval F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas < tanda kelas Ki

f = frekuensi kelas Ki

Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi disebut desil.

Rumus letak Di

Rumus Di


Letak Di = data ke , dengan i = 1,2, …,

9

Di = b + p (

)


Contoh 3.4.2:

TINGGI FREKUENSI151 – 155 5156 – 160 20161 – 165 42166 – 170 26171 - 175 7JUMLAH 100

Carilah D6, D8, P50 dan P95 !

Jawab :

Letak D6 adalah data ke 6(100 + 1) / 10 = 606 / 10 = 60.6 (terletak pada interval ke-3)

D6 = 160.5 + 5 ( ) = 160.5 + 4.17= 164.67

Letak D8 adalah data ke 8(100 + 1) / 10 = 808 / 10 = 80.8 (terletak pada interval ke-4)

D8 = 166.5 + 5 ( ) = 166.5 + 2.5 = 169

Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi disebut persentil.

Rumus letak Pi

Rumus Pi


Letak Pi = data ke , dengan i = 1,2, …,

99

Pi = b + p ( )


Contoh 3.4.2:

TINGGI FREKUENSI151 – 155 5156 – 160 20161 – 165 42166 – 170 26171 - 175 7JUMLAH 100

Carilah P50 dan P95 !

Jawab

Letak P50 adalah data ke 50(100 + 1) / 100 = 50.5 (terletak pada interval ke-3)

P50 = 160.5 + 5 ( ) = 160.5 + 2.98 = 163.48

Letak P95 adalah data ke 95(100 + 1) / 100 = 95.95 (terletak pada interval ke-5)

P95 = 160.5 + 5 ( ) = 171.5 + 1.43 = 172.93



Contoh soal

1. Jumlah bakteri dalam suatu kultur selama 3 hari bertambah dari 1.000 menjadi 4.000, tentukan rata-rata prosentase kenaikan jumlah bakteri tersebut tiap hari.

Jawab :

Untuk gejala yang bersifat tumbuh dengan syarat – syarat tertentu seperti pertumbuhan bakteri, pertumbuhan penduduk, jumlah uang yang disimpan di bank, dll, biasanya menggunakan rumus berikut :

Pt = P0 (1 + r)n Rumus bunga majemuk

Dimana Pt = keadaan pada waktu tP0 = keadaan awalr = rata-rata atau tingkat pertumbuhan setiap satuan waktun = total waktu atau periode waktu yang dipakai.

Maka, untuk soal di atas, 4.000 = 1.000 ( 1 + r)3

Ambil logaritma untuk kedua ruas Log 4.000 = 3 log 1.000 ( 1 + r)

log (1 + r) = = = 0,20

(1 + r) = antilog (0,20) = 1,585 r = 1,585 - 1 = 0,585 = 58,5%

Jadi rata-rata prosentase kenaikan jumlah bakteri setiap tahun sebesar 58,5%

Latihan Soal

1. Bang Ali menyimpan uangnya dalam bentuk deposito di suatu bank sebesar Rp 100.000.000,00 dengan tingkat suku bunga tetap yaitu sebesar 11% per tahun. Berapakah saldo yang dimilki Bang Ali setelah uangnya disimpan selama 5 tahun, jika semula tidak diambil ?

2. Diketahu data berat badan mahasiswa suatu perguruan tinggi sebagai berikut :

Berat badan

frekuensi

118 - 126 2127 - 135 5136 - 144 9145 - 153 5154 - 162 4163 - 171 4172 - 180 2

31

a. Tentukan nilai rata – rata hitung, median, dan modus data berat badan mahasiswa tersebut.

b. Tentukan nila Q3, D6, P20


ukuran tendensi sentral

Documents